3. Komposisi dan Invers Fungsi a. Komposisi Fungsi
Syarat dua fungsi bisa dikomposisikan jika dan hanya jika π·! β© π ! β β
Gambar 5
Operasi pada komposisi fungsi tidak bersifat komutatif
π!π π₯ β π!π π₯ Operasi pada komposisi fungsi bersifat asosiatif
β!π!π π₯ = β! π!π π₯ = β!π !π π₯
Jika fungsi π dan π didefenisikan sebagai π:π΄ β π΅ dan π:π΅ β πΆ maka π!π:π΄ β πΆ adalah komposisi fungsi dimana range atau keluaran dari fungsi π merupakan domain atau masukan dari fungsi π dan ditulis dengan
π!π π₯ = π π π₯
b. Invers dan Fungsi Identitas
Syarat suatu fungsi mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi tersebut merupakan relasi satu ke satu
Gambar 6
Jika π¦ = π π₯ maka π!! π π₯ = πΌ π₯π!! π π₯ = π₯π!! π¦ = π₯
π¦ = π π₯ βΉ π₯ = π!! π¦
Jika fungsi π dan π didefenisikan sebagai π:π΄ β π΅ dan π:π΅ β π΄ maka π!π:π΄ β π΄ dan π!π:π΅ β π΅ adalah komposisi fungsi yang merupakan fungsi identitas. Fungsi π disebut invers dari fungsi π dan ditulis π!! (bukan pangkat β1) begitu juga sebaliknya. Maka berlaku rumus
π!! π π₯ = π π!! π₯ = πΌ π₯ = π₯
Contoh 1 : Fungsi π π₯ = !"!!
!"!! fungsi inversnya adalah π!! π₯ =
Misalkan π!! π₯ = π¦
π π₯ = !!!!!!!!
π π¦ = !!!!!!!!
π π!! π₯ = πΌ π₯π π!! π₯ = π₯π π¦ = π₯!"!!!"!!
= π₯
ππ¦ + π = ππ¦ β π π₯ππ¦ + π = ππ₯π¦ β ππ₯ππ₯ + π = ππ₯π¦ β ππ¦ππ₯ + π = ππ₯ β π π¦!"!!!"!!
= π¦!"!!!"!!
= π!! π₯
Contoh 2 : SBMPTN 2013 Jika π !
!!!!= !!!!
!!! , maka nilai π!! 1 adalah ...
Misalkan π!! 1 = π maka 1 = π π!! 1 = π π dan π = !!!!!
Substitusi
π !!!!!
= !!!!!!!
π π = !!!!!!!
1 = !!!!!!!
π₯ + 4 = 2π₯ + 34β 3 = 2π₯ β π₯1 = π₯
π!! 1 = ππ!! 1 = !
!!!!
π!! 1 = !! ! !!
π!! 1 = !!!!
π!! 1 = !!!
π!! 1 = β3
c. Invers Fungsi Komposisi i. β π₯ = π!π π₯ βΉ π π₯ = β π!! π₯
Bukti : β π₯ = π!π π₯β π₯ = π π π₯β π!! π₯ = π π π!! π₯β π!! π₯ = π π₯
β π₯ = π!π π₯ βΉ π π₯ = β π!! π₯ Contoh : UMPTN 2000 Jika π π₯ = 2π₯ β 3 dan π!π π₯ = 2π₯ + 1 , maka π π₯ = β― Misalkan π¦ = π!! π₯ maka π₯ = π π!! π₯ = π π¦
π π₯ = 2π₯ β 3π π¦ = 2π¦ β 3π₯ = 2π¦ β 3π₯ + 3 = 2π¦!!!!
= π¦
π!π π₯ = 2π₯ + 1π π π₯ = 2π₯ + 1π π π¦ = 2π¦ + 1π π₯ = 2 !!!
!+ 1
π π₯ = π₯ + 3 + 1π π₯ = π₯ + 4
Cara lain π!π π₯ = 2π₯ + 1π π π₯ = 2π₯ + 1π 2π₯ β 3 = 2π₯ β 3+ 4π 2π₯ β 3 = 2π₯ β 3 + 4π π¦ = π¦ + 4π π₯ = π₯ + 4
ii. β π₯ = π!π π₯ βΉ π π₯ = π!! β π₯ Bukti : Misalkan β π₯ = π!π π₯ βΉ β π₯ = π π π₯ π!! π π₯ = πΌ π₯π!! π π₯ = π₯π!! π π π₯ = π π₯π!! β π₯ = π π₯
β π₯ = π!π π₯ βΉ π π₯ = π!! β π₯
Contoh : UMPTN 1994
Jika π π₯ = β4π₯ dan π π π₯ = β !!+ 1 maka π π₯ = β―
Misalkan π¦ = π!! π₯ βΉ π₯ = π π¦ dan β π₯ = π π π₯ = β !
!+ 1
π π₯ = β4π₯π π¦ = β4π¦π₯ = β4π¦β !
!= π¦
β !!
= π!! π₯
π!! π₯ = β !!
π!! β π₯ = β ! !!
π π₯ = β!!!!!
!
π π₯ = β !!β !
!+ !
!
π π₯ = !!!Γβ !
!π₯ β 2
π π₯ !!π₯ β 2
Cara Lain π π₯ = β4π₯π π π₯ = β4π π₯β !
!+ 1 = β4π π₯
!!!
β !!+ !
!= π π₯
!!!Γβ !
!π₯ β 2 = π π₯
!!π₯ β 2 = π π₯
iii. π!π !! π₯ = π!!ππ!! π₯ Bukti : Misalkan π!π π₯ = β π₯ βΉ π!π !! π₯ = β!! π₯ β π₯ = π!π π₯ βΉ π π₯ = β π!! π₯ βΉ π!! π₯ = β!! π π₯ β!! π π₯ = π!! π₯β!! π π!! π₯ = π!! π!! π₯β!! π₯ = π!! π!! π₯π!π !! π₯ = π!!ππ!! π₯
π!π !! π₯ = π!!ππ!! π₯
Top Related