BAB 10
IRISAN KERUCUT
Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah kurva yang diperoleh sebagai
hasil perpotongan antara kerucut dan bidang.
Jenis Irisan Kerucut
Titik Garis Dua garis
Elips Lingkaran Parabola Hiperbola
Eksentrisitas
Pandang garis 𝑙, yang disebut direktriks dan titik 𝐹, yang disebut fokus.
Eksentrisitas 𝑒 didefinisikan sebagai
𝑒 =|𝑃𝐹|
|𝑃𝑙|
Jenis Irisan Kerucut
0 < 𝑒 < 1: elips 𝑒 = 1: parabola 𝑒 > 1: hiperbola
10.1 Parabola
Parabola
Parabola adalah himpunan titik yang memenuhi:
jarak dari titik ke fokus sama dengan jarak dari titik
ke direktriks.
Parabola
Rumus umum:
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 konstanta real.
Misalkan 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
10.2 Elips dan Hiperbola
Elips
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Jika 𝑎 = 𝑏: lingkaran
Jika 𝑎 ≠ 𝑏: elips
Contoh
1. Sketsalah irisan kerucut yang memenuhi persamaan 𝑥2 +𝑦2 − 4𝑥 + 10𝑦 + 13 = 0.
2. Sketsalah irisan kerucut yang memenuhi persamaan 4𝑥2 +𝑦2 − 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0.
3. Carilah persamaan lingkaran yang titik ujung dari
diameternya adalah (1,3) dan (7,11).
Hiperbola
𝑥2
𝑎2−𝑦2
𝑏2= 1 −
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Hiperbola memiliki sepasang asimtot miring:
𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 dan 𝑦 = −
𝑏
𝑎𝑥.
10.4 Representasi Parameter
dari Kurva pada Bidang
Fungsi Eksplisit dan Implisit
Pada saat suatu objek bergerak pada bidang,
pergerakannya dapat digambarkan dengan suatu kurva.
Tidak semua kurva dapat diekspresikan dalam fungsi
eksplisit 𝑦 = 𝑓(𝑥) atau 𝑥 = 𝑓(𝑦), sebagian harus dituliskansecara implisit, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0.
Representasi Parameter
dari Kurva pada Bidang
Untuk merepresentasikan kurva secara
implisit, digunakan representasi parameter:
𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 di [𝑎, 𝑏].
𝑡 disebut parameter, yang biasanyamengukur waktu.
(𝑓(𝑎), 𝑔(𝑎)) disebut titik awal dan (𝑓(𝑏), 𝑔(𝑏)) disebut titik akhir.
Kurva Tertutup dan Sederhana
Jika kedua titik ujung dari suatu kurva berimpit, kurva
tersebut tertutup.
Jika 𝑡 yang berbeda mengakibatkan titik yang berbedapada bidang (kecuali mungkin pada 𝑡 = 𝑎 dan 𝑡 = 𝑏), kurvadisebut sederhana.
Contoh
Sketsalah kurva berikut.
1. 𝑥 = 𝑡2 + 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 − 3,−2 ≤ 𝑡 ≤ 3.
2. 𝑥, 𝑦 = (𝑎 cos 𝑡, 𝑏 sin 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.
Sikloid
Misalkan 𝑃 adalah titik yang terletak pada suatu roda.
Sikloid adalah kurva yang menggambarkan
pergerakan titik 𝑃 pada saat roda tersebutmenggelinding sepanjang bidang datar.
Persamaan Parameter Sikloid
Koordinat untuk 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah𝑥 = 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 − 𝑀𝑁 = ⋯𝑦 = 𝑁𝑅 = 𝐶𝑁 + 𝐶𝑅 = ⋯
Sehingga persamaan parameter untuk sikloid
adalah (𝑥, 𝑦) = (𝑎(𝑡 − sin 𝑡), 𝑎(1 − cos 𝑡))
Keistimewaan Sikloid (1)
Kurva dengan waktu tempuh minimum.
Keistimewaan Sikloid (2)
Waktu suatu partikel 𝑃 menggelinding pada sikloiduntuk mencapai titik terendah akan sama di mana
pun 𝑃 diletakkan pada awalnya.
© Physics StackExchange © Wikimedia
Turunan
Misalkan 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 di [𝑎, 𝑏] adalahsuatu persamaan parameter untuk suatu
kurva di bidang.
Jika 𝑓, 𝑔 dapat diturunkan dan 𝑓′(𝑡) ≠ 0pada [𝑎, 𝑏], maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
ൗ𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ𝑑𝑥 𝑑𝑡
=𝑔′(𝑡)
𝑓′(𝑡)
Contoh
1. Tentukan 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2dari
𝑥 = 5 cos 𝑡, 𝑦 = 4 sin 𝑡 , 0 < 𝑡 < 3.
2. Jika 𝑥 = 2𝑡 − 1 dan 𝑦 = 𝑡2 + 2, tentukan
13𝑥𝑦2𝑑𝑥.
3. Tentukan luas daerah di atas sumbu−𝑥dan di bawah sikloid
𝑥, 𝑦 = 𝑡 − sin 𝑡, 1 − cos 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Top Related