BAB 10

IRISAN KERUCUT

Irisan Kerucut

Irisan kerucut adalah kurva yang diperoleh sebagai

hasil perpotongan antara kerucut dan bidang.

Jenis Irisan Kerucut

Titik Garis Dua garis

Elips Lingkaran Parabola Hiperbola

Eksentrisitas

Pandang garis 𝑙, yang disebut direktriks dan titik 𝐹, yang disebut fokus.

Eksentrisitas 𝑒 didefinisikan sebagai

𝑒 =|𝑃𝐹|

|𝑃𝑙|

Jenis Irisan Kerucut

0 < 𝑒 < 1: elips 𝑒 = 1: parabola 𝑒 > 1: hiperbola

10.1 Parabola

Parabola

Parabola adalah himpunan titik yang memenuhi:

jarak dari titik ke fokus sama dengan jarak dari titik

ke direktriks.

Parabola

Rumus umum:

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 konstanta real.

Misalkan 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

10.2 Elips dan Hiperbola

Elips

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

Jika 𝑎 = 𝑏: lingkaran

Jika 𝑎 ≠ 𝑏: elips

Contoh

1. Sketsalah irisan kerucut yang memenuhi persamaan 𝑥2 +𝑦2 − 4𝑥 + 10𝑦 + 13 = 0.

2. Sketsalah irisan kerucut yang memenuhi persamaan 4𝑥2 +𝑦2 − 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0.

3. Carilah persamaan lingkaran yang titik ujung dari

diameternya adalah (1,3) dan (7,11).

Hiperbola

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1 −

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

Hiperbola memiliki sepasang asimtot miring:

𝑦 =𝑏

𝑎𝑥 dan 𝑦 = −

𝑏

𝑎𝑥.

10.4 Representasi Parameter

dari Kurva pada Bidang

Fungsi Eksplisit dan Implisit

Pada saat suatu objek bergerak pada bidang,

pergerakannya dapat digambarkan dengan suatu kurva.

Tidak semua kurva dapat diekspresikan dalam fungsi

eksplisit 𝑦 = 𝑓(𝑥) atau 𝑥 = 𝑓(𝑦), sebagian harus dituliskansecara implisit, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0.

Representasi Parameter

dari Kurva pada Bidang

Untuk merepresentasikan kurva secara

implisit, digunakan representasi parameter:

𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 di [𝑎, 𝑏].

𝑡 disebut parameter, yang biasanyamengukur waktu.

(𝑓(𝑎), 𝑔(𝑎)) disebut titik awal dan (𝑓(𝑏), 𝑔(𝑏)) disebut titik akhir.

Kurva Tertutup dan Sederhana

Jika kedua titik ujung dari suatu kurva berimpit, kurva

tersebut tertutup.

Jika 𝑡 yang berbeda mengakibatkan titik yang berbedapada bidang (kecuali mungkin pada 𝑡 = 𝑎 dan 𝑡 = 𝑏), kurvadisebut sederhana.

Contoh

Sketsalah kurva berikut.

1. 𝑥 = 𝑡2 + 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 − 3,−2 ≤ 𝑡 ≤ 3.

2. 𝑥, 𝑦 = (𝑎 cos 𝑡, 𝑏 sin 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.

Sikloid

Misalkan 𝑃 adalah titik yang terletak pada suatu roda.

Sikloid adalah kurva yang menggambarkan

pergerakan titik 𝑃 pada saat roda tersebutmenggelinding sepanjang bidang datar.

Persamaan Parameter Sikloid

Koordinat untuk 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah𝑥 = 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 − 𝑀𝑁 = ⋯𝑦 = 𝑁𝑅 = 𝐶𝑁 + 𝐶𝑅 = ⋯

Sehingga persamaan parameter untuk sikloid

adalah (𝑥, 𝑦) = (𝑎(𝑡 − sin 𝑡), 𝑎(1 − cos 𝑡))

Keistimewaan Sikloid (1)

Kurva dengan waktu tempuh minimum.

Keistimewaan Sikloid (2)

Waktu suatu partikel 𝑃 menggelinding pada sikloiduntuk mencapai titik terendah akan sama di mana

pun 𝑃 diletakkan pada awalnya.

© Physics StackExchange © Wikimedia

Turunan

Misalkan 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 di [𝑎, 𝑏] adalahsuatu persamaan parameter untuk suatu

kurva di bidang.

Jika 𝑓, 𝑔 dapat diturunkan dan 𝑓′(𝑡) ≠ 0pada [𝑎, 𝑏], maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

ൗ𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ𝑑𝑥 𝑑𝑡

=𝑔′(𝑡)

𝑓′(𝑡)

Contoh

1. Tentukan 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2dari

𝑥 = 5 cos 𝑡, 𝑦 = 4 sin 𝑡 , 0 < 𝑡 < 3.

2. Jika 𝑥 = 2𝑡 − 1 dan 𝑦 = 𝑡2 + 2, tentukan

13𝑥𝑦2𝑑𝑥.

3. Tentukan luas daerah di atas sumbu−𝑥dan di bawah sikloid

𝑥, 𝑦 = 𝑡 − sin 𝑡, 1 − cos 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.