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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA
UNI-NORTE
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
INGENIERIA INDUSTRIAL E
INGENIERIA DE SISTEMAS
V Unidad: Teora de Colas
Lneas de espera)
de Espera:
Teora de Colas
Maestro
Ing. Julio Rito Vargas Avils
12/06/2009
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Teora de Colas
Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperandoen una cola. Estudiaremos algunos modelos matemticospara las lneas de esperas. Estos modelos se usarn pararesponder preguntas como las siguientes:
1. Cunto tiempo est ocioso cada servidor?
2. Cul es el nmero esperado de clientes presentes en la cola?
3. Cul es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?
4. Cul es la distribucin de probabilidad del tiempo de espera deun cliente?
5. Cul es la distribucin de probabilidad de la cantidad de clientespresentes en la cola?
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Las colas
Las colas son frecuentes en nuestra vidacotidiana:
En un banco
En un restaurante de comidas rpidas Al matricular en la universidad
Los autos en un lava carro.
En un supermercado. En una estacin de combustible
En un estadio deportivo
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Las colas
En general, a nadie le gusta esperarCuando la paciencia llega a su lmite, la
gente se va a otro lugar.
Sin embargo, un servicio muy rpidotendra un costo muy elevado
Es necesario encontrar un balance adecuado
Esto es la relacin positiva deBeneficio/costo.
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Teora de colas
Una cola es una lnea de espera.
La teora de colas es un conjunto de modelos
matemticos que describen sistemas de lneasde espera particulares.
El objetivo es encontrar el estado estable del
sistema y determinar una capacidad de servicioapropiada
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Teora de colas
Existen muchos sistemas de colas distintos
Algunos modelos son muy especiales
Otros se ajustan a modelos ms generales
Se estudiarn ahora algunos modelos comunes
Otros se pueden tratar a travs de lasimulacin
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Sistemas de colas: modelo bsico
Un sistema de colas puede dividirse en dos
componentes principales:
La cola
La instalacin del servicio
Los clientes o llegadas vienen en forma
individual para recibir el servicio
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Sistemas de colas: modelo bsico
Los clientes o llegadas pueden ser:
Personas
Automviles Mquinas que requieren reparacin
Documentos
Entre muchos otros tipos de artculos
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Sistemas de colas: modelo bsico
Si cuando el cliente llega no hay nadie en lacola, pasa de una vez a recibir el servicio
Si no, se une a la cola
Es importante sealar que la cola no incluye
a quien est recibiendo el servicio
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Sistemas de colas: modelo bsico
Las llegadas van a la instalacin del serviciode acuerdo con la disciplina de la cola
Generalmente sta esprimero en llegar,
primero en ser servido(FIFO)
Pero pueden haber otras reglas o colas con
prioridades(LIFO)
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Sistemas de colas: modelo bsico
Llegadas
Sistema de colas
ColaInstalacin
delservicio
Disciplinade la cola
Salidas
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Estructuras tpicas de sistemas de colas: una
lnea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor Salidas
http://moviles.ociojoven.com/3-024/es_es/1/11000/manga-yataa.htmlhttp://moviles.ociojoven.com/3-024/es_es/1/8042/ribery.html5/21/2018 Teoria de colas.pdf
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Estructuras tpicas de sistemas de colas: una lnea,
mltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
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Estructuras tpicas de colas: varias lneas,
mltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
ColaServidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
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Estructuras tpicas de colas: una lnea,
servidores secuenciales
LlegadasSistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
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Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para elcliente al esperar
Representa el costo de oportunidad del
tiempo perdido
Un sistema con un bajo costo de espera es
una fuente importante de competitividad
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Costos de un sistema de colas
2. Costo de servicio: Es el costo deoperacin del servicio brindado
Es ms fcil de estimar
El objetivo de un sistema de colas es
encontrar el sistema del costo total
mnimo
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Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo que transcurre entre dos llegadas
sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo
entre llegadasEl tiempo entre llegadas tiende a ser muy
variable
El nmero esperado de llegadas por unidad detiempo se llama tasa media de llegadas ()
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Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo esperado entre llegadas es 1/
Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es
= 20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entre llegadas
es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
!)(
k
ekP
k
: tasa media de llegadas
e= 2,7182818
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Ejemplo: pedido de cervezas
La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restauranteDick. Sigue una distribucin de Poisson, con un promedio de
30 cervezas por hora.
1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60
cervezas entre las 10 y 12 de la noche.
2. Encuentre la de media y desviacin estndar de cervezas
pedidas entre las 9 PM y 1 AM.
3. Determine la probabilidad de que el tiempo entre dospedidos consecutivos est entre 1 y 3 minutos.
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Solucin: (1)
La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de lanoche, se apega a una distribucin de Poisson con parmetro
2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30
cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la
probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es:
Se puede usar la funcin de excel. POISSON(60,60,FALSO)=
0.05143174= 5.1%
05143174.0!60
60
!)(
6060
e
k
ekP
k
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Solucin(2 y 3)
Resulta que =30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Portanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120.La desviacin estndar en ese perodo es (120)1/2 =10.95
Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos de
cervezas. El nmero de promedio de pedidos por minutos esexponencial con parmetros o razn 30/60 = 0.5 (treintacervezas en 60 minutos). Cervezas por minutos. Por lo tanto lafuncin de densidad de la probabilidad del tiempo que transcurreentre pedidos de cervezas (dado que la tasa
de llegada para una cola M/M/1). Entonces.
38.05.0
5.0)5.0()31( 5.05.1
3
1
5.05.03
1
eeedteXP tt
tt eeta 5.05.0)(
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Sistemas de colas: Las llegadas
Adems es necesario estimar la distribucinde probabilidad de los tiempos entre
llegadas
Generalmente se supone una distribucin
exponencial
Esto depende del comportamiento de lasllegadas
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Sistemas de colas: Las llegadas
Distribucin exponencial
La forma algebraica de la distribucin
exponencial es:
Donde trepresenta una cantidad expresada en
unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)
tetserviciodetiempoP 1)(
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Sistemas de colas: Las llegadas
Distribucin exponencial
Media Tiempo0
P(t)
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Sistemas de colas: Las llegadas
Distribucin exponencial
La distribucin exponencial supone una mayor
probabilidad para tiempos entre llegadas
pequeosEn general, se considera que las llegadas son
aleatorias
La ltima llegada no influye en la probabilidadde llegada de la siguiente
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Sistemas de colas: Las llegadas -
Distribucin de Poisson
Es una distribucin discreta empleada con
mucha frecuencia para describir el patrn de
las llegadas a un sistema de colasPara tasas medias de llegadas pequeas es
asimtrica y se hace ms simtrica y se
aproxima a la binomial para tasas de llegadasaltas
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Sistemas de colas: Las llegadas -
Distribucin de Poisson
Su forma algebraica es:
Donde:
P(k): probabilidad de k llegadas por unidad
de tiempo : tasa media de llegadas
e= 2,7182818
!)(
k
ekP
k
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Sistemas de colas: Las llegadas -
Distribucin de Poisson
Llegadas por unidad de tiempo0
P
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Sistemas de colas: La cola
El nmero de clientes en la cola es elnmero de clientes que esperan el servicio
El nmero de clientes en el sistema es el
nmero de clientes que esperan en la cola
ms el nmero de clientes que actualmente
reciben el servicio
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Sistemas de colas: La cola
La capacidad de la cola es el nmeromximo de clientes que pueden estar en la
cola
Generalmente se supone que la cola es
infinita
Aunque tambin la cola puede ser finita
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Sistemas de colas: La cola
La disciplina de la cola se refiere al orden en
que se seleccionan los miembros de la cola
para comenzar el servicioLa ms comn es (FIFO)PEPS: primero en
llegar, primero en servicio
Puede darse: seleccin aleatoria, prioridades,(LIFO)UEPS, entre otras.
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Sistemas de colas: El servicio
El servicio puede ser brindado por unservidor o por servidores mltiples
El tiempo de servicio vara de cliente a
cliente
El tiempo esperado de servicio depende de
la tasa media de servicio ()
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Sistemas de colas: El servicio
El tiempo esperado de servicio equivale a1/
Por ejemplo, si la tasa media de servicio es
de 25 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado de servicio es
1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
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Sistemas de colas: El servicio
Es necesario seleccionar una distribucin deprobabilidad para los tiempos de servicio
Hay dos distribuciones que representaran
puntos extremos:La distribucin exponencial (=media)
Tiempos de servicio constantes (=0)
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Sistemas de colas: El servicio
Una distribucin intermedia es la distribucin
Erlang
Esta distribucin posee un parmetro de formakque determina su desviacin estndar:
mediak1
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Sistemas de colas: El servicio
Si k= 1, entonces la distribucin Erlang esigual a la exponencial
Si k= , entonces la distribucin Erlang esigual a la distribucin degenerada contiempos constantes
La forma de la distribucin Erlang vara deacuerdo con k
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Sistemas de colas: El servicio
Media Tiempo0
P(t)k =
k = 1k = 2
k = 8
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Sistemas de colas:
Distribucin Erlang
Distribucin Desviacin estndar
Constante 0
Erlang, k= 1 media
Erlang, k= 2
Erlang, k= 4 1/2 media
Erlang, k= 8
Erlang, k= 16 1/4 media
Erlang, cualquier k
media2/1
media8/1
mediak/1
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Sistemas de colas: Etiquetas para
distintos modelos
Notacin de Kendall:A/B/cLa notacin de Kendall, caracteriza un sistema de lnea de espera en el
cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que est libre
uno de los s servidores paralelos idnticos. Luego el primer clienteen la cola entre al servicio, y as sucesivamente.
A: Distribucin de tiempos entre llegadas
B: Distribucin de tiempos de servicio
M: distribucin exponencial D: distribucin degenerada
Ek: distribucin Erlang
c: Nmero de servidores
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Estado del sistema de colas
En principio el sistema est en un estado inicial
Se supone que el sistema de colas llega a una
condicin de estado estable (nivel normal deoperacin)
Existen otras condiciones anormales (horas
pico, etc.)Lo que interesa es el estado estable
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Desempeo del sistema de colas
Para evaluar el desempeo se buscaconocer dos factores principales:
1. El nmero de clientes que esperan en la
cola
2. El tiempo que los clientes esperan en la
cola y en el sistema
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Medidas del desempeo del sistema
de colas
1. Nmero esperado de clientes en la cola Lq2. Nmero esperado de clientes en el sistema
Ls3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
5. Nmero promedio de clientes que atender
el servidor W
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Medidas del desempeo del sistema de colas:
frmulas generales
LW
LL
WL
WL
WW
qs
ss
qs
1
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Medidas del desempeo del sistema
de colas: ejemplo
Suponga una estacin de gasolina a la cualllegan en promedio 45 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en
promedio a 60 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en
promedio 3 minutos en la cola
M did d l d d l i
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Medidas del desempeo del sistema
de colas: ejemplo
La tasa media de llegadas es 45 clientes por
hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicio es 60 clientes porhora o 60/60 = 1 cliente por minuto
M did d l d d l i
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Medidas del desempeo del sistema
de colas: ejemplo
clientesWL
clientesWL
WW
W
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min41131
min3
M did d l d d l i
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Medidas del desempeo del sistema
de colas: ejercicio
Suponga un restaurante de comidas rpidas alcual llegan en promedio 100 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a150 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en promedio 2minutos en la cola
Calcule las medidas de desempeo del sistema
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Probabilidades como medidas del
desempeo
Beneficios:Permiten evaluar escenarios
Permite establecer metas
Notacin:Pn: probabilidad de tener nclientes en el
sistema
P(Ws t) : probabilidad de que uncliente no espere en el sistema msde thoras
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Factor de utilizacin del sistema
Dada la tasa media de llegadas y la tasa mediade servicio , se define el factor de utilizacin
del sistema .
Generalmente se requiere que < 1
Su frmula, con un servidor y con sservidores,
respectivamente, es:
s
F t d tili i d l i t
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Factor de utilizacin del sistema -
ejemplo
Con base en los datos del ejemplo anterior, = 0.75, = 1
El factor de utilizacin del sistema si se
mantuviera un servidor es
= / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
Con dos servidores (s = 2): = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
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Modelos de una cola y un servidor M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de
servicio exponenciales M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribucin general de tiempos de
servicio
M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribucin degenerada de tiempos de
servicio
M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadasexponenciales y una distribucin Erlang de tiempos de
servicio
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Modelo M/M/1
1,0
)()(
)()1(
)(1
)(
)1()1(
1
2
t
etWPetWP
nLPP
LWW
LL
t
q
t
s
n
s
n
n
qqs
qs
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Modelo M/M/1: ejemplo 1
Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa mediade llegadas es de 9 autos por hora
Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modeloM/M/1
Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, laprobabilidad de tener una cola de ms de 3 clientes y laprobabilidad de esperar ms de 30 min. en la cola y en el sistema
Modelo M/M/1: ejemplo 1
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Modelo M/M/1: ejemplo 1
17.0)60/30(
22.0)60/30(
32.0)3(25.0)1(
min1525.0)(
min2033.0
1
25.2)(
3
75.0
12
9,12,9
)1(
)1(
1300
2
t
q
t
s
s
q
s
qs
eWP
eWP
LPP
hrsW
hrsW
clientesLclientesL
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Modelo M/M/1 ejemplo 2
Un promedio de 10 automviles por hora llegan a un cajero conun solo servidor que proporciona servicio sin que uno desciendadel automvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio porcada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas ylos tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas
siguientes:1. Cul es la probabilidad que el cajero est ocioso?
2. Cul es el nmero promedio de automviles que estn en la coladel cajero? (se considera que un automvil que est siendo
atendido no est en la cola esperando)3. Cul es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en
el estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio
4. Cuntos clientes atender en promedio el cajero por hora?
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Solucin:
De acuerdo con las premisas estamos trabajando con sistemade colas M/M/1 para lo cual =10 automviles por hora y
=15 automviles por hora. Por lo tanto
1. , el cajero estar ocioso un
tercio del tiempo.2. Determinar clientes.
3. Estimamos W, pero necesitamos obtener L.
3
2
15
10
3
1
3
211tantolo 0 por
3
4
3
21
3
2
1
2
2
qL
clientes2
3
21
32
1
L
horas5
1
10
2
LW
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Solucin:
4. Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendera un promediode =15 clientes por hora. Segn la solucin encontrada en (1)
el cajero est ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada
hora, el cajero atender un promedio de (2/3)(15)= 10
clientes.
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Modelo M/M/1: Ejemplo 3
Suponga que todos los dueos de automvil acuden a la gasolinera cuando sustanques estn a la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se requiere unpromedio de 4 minutos para servir a un automvil. Suponga que los tiemposentre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.
1. Calcule L y W para los tiempos actuales.
2. Suponga que hay un dficit de gasolina y que hay compras de pnico. Paramodelar este fenmeno, suponga que todos los dueos de automvilescompran ahora gasolina cuando sus tanques tienen de combustible. Como
cada dueo pone ahora menos gasolina en el tanque cada vez que acude a lagasolinera, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3minutos y un tercio. Qu tanto afectan a L yW las compras de pnico?
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Solucin:
Tenemos un sistema M/M/1 con = 7.5 automviles porhora y =15 (60/4) automviles por hora. Por lo tanto
tiempo que la bomba pasa ocupada.
(cantidad de clientes promedio presente en
el sistema de colas
(Tiempo previsto que un cliente pasa en el
sistema de cola). Por tanto bajo estas circunstancia todo estbajo control.
50.015
5.7
150.01
50.01
L
horas13.05.7
1
LW
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Solucin.
=2(7.5)= 15 automviles por hora(esto se infiere por quecada dueo llenar su tanque dos veces) . Ahora
Automviles por hora. Entonces.
automviles
18333.3
60
6
5
18
15
56/51
6/51
L
min203
1
15
5 hora
LW
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Modelo M/M/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora queson atendidos entre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3minutos
Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modeloM/M/1
Adems la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, laprobabilidad de tener una cola de ms de 4 clientes y laprobabilidad de esperar ms de 10 min. en la cola
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Modelo M/G/1
1
1
1
)1(2
0
222
w
q
qqs
qqs
PP
LWWW
LLL
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Modelo M/G/1: ejemplo
Un lava carro puede atender un auto cada 5min. y la tasa media de llegadas es de 9
autos/hora, = 2 min.
Obtenga las medidas de desempeo de acuerdocon el modelo M/G/1
Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el
sistema y la probabilidad de que un cliente tenga
que esperar por el servicio.
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Modelo M/G/1: ejemplo
75.025.01
min7.8145.0
min7.13228.01
31.1)1(2
06.275.31.1
0
222
w
q
q
qs
q
qs
PP
hrsLW
hrsWW
clientesL
clientesLL
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Modelo M/G/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que sonatendidos entre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.
Suponga = 5 min Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/G/1
Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la
probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio
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Modelo M/D/1
1
1
)1(2
2
q
qqs
qss
LWWW
LWL
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Modelo M/D/1: ejemplo
Un lava carro puede atender un auto cada 5 min.La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.
Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo
con el modelo M/D/1
= 9 carros/hora.
= 12 carros/hora.
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Modelo M/D/1: ejemplo
min5.7125.09
125.1
min5.12208.012
1125.0
1
125.1)75.01(2
75.0
)1(2
87.1)208.0(9
22
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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Modelo M/D/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entre sus 5
cajas.
Cada caja puede atender en promedio a uncliente cada 3 minutos.
Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo
con el modelo M/D/1
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Modelo M/Ek/1
1
1
)1(2
)1(2
q
qqs
qss
LWWW
k
kLWL
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Modelo M/Ek/1: ejemplo
Un lavacar puede atender un auto cada 5min.
La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.)
Obtenga las medidas de desempeo de
acuerdo con el modelo M/Ek
/1
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Modelo M/Ek/1: ejemplo
min25.111875.0
min25.162708.01
6875.1
)1(2
)1(
437.2
2
hrsL
W
hrsWW
clientes
k
kL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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Modelo M/Ek/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entre sus 5
cajas.
Cada caja puede atender en promedio a uncliente cada 3 minutos. Suponga k= 4
Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo
con el modelo M/Ek/1
Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el
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Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el
cuadro ejemplo lavacarro
Modelo Ls Ws Lq Wq
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1
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Modelos de varios servidores
M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos deservicio exponenciales
M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales yuna distribucin degenerada de tiempos de servicio
M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponencialesy una distribucin Erlang de tiempos de servicio
M/M/ l d
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M/M/s, una lnea de espera
00
0
02
1
0
0
!
1,
!
,
!
1
)()!1(
!!
1
Ps
s
sPknsiP
ssP
knsiP
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LWLLP
ssL
ns
s
s
P
s
wsn
n
n
n
nqs
q
qqs
s
q
s
n
ns
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M/M/s, una lnea de espera
)46)(3(
3
4
2
2
4
2
3
q
q
L
sSi
L
sSi
Anlisis econmico de lneas de
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Anlisis econmico de lneas de
espera
Costos
Tasa de servicioTasa ptima
de servicio
Costo de espera
Costo del servicio
Costo total
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Prctica 1, con WQSB
Un almacn tiene 2 cajeras que atienden a razn de 1.5 minutospor cliente siguiendo una distribucin exponencial. Los clientesllegan a este almacn siguiendo una distribucin Poisson a raznde 30 por hora. Con esta informacin calcular: A)Laprobabilidad de que el sistema est lleno, B) La intensidad de
trafico.
Datos:
Numero de servidores = 2
=30 [cl/hr]
=1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]
El problema ser del tipo M/M/2/FIFO//
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Solucin:
Procedimiento Se iniciar un nuevo problema en el modulo Anlisis de Colas
(QA).
Se elegir Sistema Simple M/M, por que es un modelo del
que se conocen todos los datos. Este se llamar Cajeras,eligiendo como unidad de tiempo a horas:
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Solucin
En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos comose muestra:
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Solucin
En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos como semuestra:
Los valores de M, representan que es un valor infinito
S l i
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Solucin
Al presionar el icono se ver la ventana de losresultados:
S l i
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Solucin
Al presionar el icono se ver la ventana de losresultados:
S l i
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Solucin
Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de Frmula
Promedio de cliente llegados por Hora = 30Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40
Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30
Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30
Tasa de ocupacin del sistema 37.50%
Nmero promedio de clientes en el sistema (L) = 0.8727
Nmero promedio de clientes en la cola(Lq) = 0.1227
Nmero promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) = 0.6
Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) = 0.0291 Horas
Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) = 0.0041 Horas
Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) = 0.0200 Horas
Probabilidad que todos los servidores estn ociosos (Po) = 45.45%
Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema est ocupado(Pb) = 20.45%
Nmero promedio de clientes que no sern atendidos por el sistema por Hora = 0Costo total del servidor ocupado por Hora = $0
Costo total del servidor ocioso por Hora = $0
Costo total clientes esperando por hora $0
Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0
Cosot total de clientes being balked per Hora = $0
Total queue space cost per Hora = $0
Costo total del sistema por Hora = $0
E
nEspaol
S l i
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Solucin
Adicionalmente podemos realizar los siguientes anlisis: Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0
hasta 200 clientes en la cola:
S l i
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Solucin
Tambin podemos realizar una simulacin del sistema: Si presionamos veremos la siguiente ventana:
En el que usaremos: La semilla de aleatoriedad por defecto
Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS)
Un tiempo de simulacin de cola de 24 horas (1 da).
El momento que iniciar la recoleccin de datos
ser a las cero horas.
La capacidad de la cola es infinita (M).
El mximo de nmero de recolecciones de datos ser infinito (M).
Solucin
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Si presionamos OK, se llevar adelante la simulacin y veremoslos siguientes resultados de la actuacin de la cola durante 24 horas:
Solucin
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Las probabilidades estimadas para n clientes:
Solucin
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Otro de los anlisis del que podemos disponer es el de Anlisis desensibilidad.
Si presionamos podremos observar la siguienteventana:
Solucin
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Si realizamos un anlisis de sensibilidad, seleccionando comoparmetro de anlisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta
cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando elmodelo de aproximacin G/G/s, podremos ver de que manerareacciona el sistema:
Podemos observar claramente de que la utilizacin del sistema va enincremento en una proporcin de 10 [cl/hr], y cuando sta llega a los70 [cl/hr], se da una utilizacin del 87.5% (Mxima utilizacin posible),pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistemase vuelve inestable, es decir el nmero de servidores es insuficiente.
Solucin
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Tambin podemos ver el grfico del anlisis de sensibilidad de unparmetro determinado en funcin del parmetro analizado:
Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph
Se abrir la siguiente ventana:
En la que seleccionaremos comovariable independiente para elgrfico a L (Nmero promedio de
clientes en el sistema), en funcinde nuestro parmetro analizado ():
Solucin
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En el que se puede ver un crecimiento exponencial.As sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los
parmetros, dependiendo que necesidades se tiene.
Solucin
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Otro anlisis disponible es el de Anlisis de Capacidad:Como ste anlisis se realiza a partir de costos, se asumirn los
siguientes costosCosto de servidor ocupado por hora = 5 $Costo de servidor ocioso por hora = 1 $Costo por cliente en espera = 0.5 $Costo por cliente servido por hora = 3 $
Costo por cliente no atendido = 1 $Costo unitario por capacidad de cola = 3 $
Solucin
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Si presionamos podremos observar lasiguiente ventana:
En el que variaremos el nmero de servidores de 2 a 8, con un pasode 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando laformula G/G/s de aproximacin.
Solucin
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c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados ser la siguiente:
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Prctica 2, con WQSB Una cadena de supermercados es abastecida por un almacn central. La mercadera que
llega a este almacn es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descarganllegan en forma aleatoria siguiendo una distribucin Poisson a razn de dos camiones porhora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo unadistribucin exponencial. Si el nmero de trabajadores del equipo es incrementado, larazn de servicio se incrementa en la misma proporcin. Cada trabajador recibe 5$ porhora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando serservido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamao del equipo que
minimiza el costo total. Datos:
Numero de servidores = 2
=2 [cl/hr]
1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]
El problema ser del tipo M/M/1/FIFO//
CS = 5 [$/hr]
CE = 20 [$/hr]
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Problema 3 Cierta computadora tarda exactamente 1.5 horas en atender un
servicio requerido. Si los trabajos llegan segn una Poisson a raznde un trabajo cada 120 minutos, se desea saber: Qu tanto debe esperar en promedio un trabajo para recibir atencin?
Ser necesario la compra de otra computadora? Si la distribucin del tiempo de servicio fuera Erlang con una media de 1.5 y
con un parmetro k = 5, Cunto debera esperar un trabajo para seratendido? Cul sera la probabilidad de ser atendido?
Datos:
Numero de servidores = 1
=1/120 [tr/min] = 0.5 [tr/hr]
= 1/1.5 [tr/hr] = 0.667 [tr/hr] El problema ser del tipo M/M/1/FIFO//
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Solucin
ProcedimientoSe iniciar un nuevo problema en el modulo Anlisis de
Colas (QA).Se elegir Sistema Simple M/M, por que es un modelo delque se conocen todos los datos. Este se llamarComputadora, eligiendo como unidad de tiempo a horas:
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Solucin
En la hoja de clculo se introducirn los datos conocidoscomo se muestra:
Solucin
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Solucin
Al presionar el icono se ver la ventana de losresultados:
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