Teoria de colas.pdf

5/21/2018 Teoria de colas.pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

UNI-NORTE

INVESTIGACIN DE OPERACIONES II

INGENIERIA INDUSTRIAL E

INGENIERIA DE SISTEMAS

V Unidad: Teora de Colas

Lneas de espera)

de Espera:

Teora de Colas

Maestro

Ing. Julio Rito Vargas Avils

12/06/2009


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Teora de Colas

Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperandoen una cola. Estudiaremos algunos modelos matemticospara las lneas de esperas. Estos modelos se usarn pararesponder preguntas como las siguientes:

1. Cunto tiempo est ocioso cada servidor?

2. Cul es el nmero esperado de clientes presentes en la cola?

3. Cul es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?

4. Cul es la distribucin de probabilidad del tiempo de espera deun cliente?

5. Cul es la distribucin de probabilidad de la cantidad de clientespresentes en la cola?


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Las colas

Las colas son frecuentes en nuestra vidacotidiana:

En un banco

En un restaurante de comidas rpidas Al matricular en la universidad

Los autos en un lava carro.

En un supermercado. En una estacin de combustible

En un estadio deportivo


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Las colas

En general, a nadie le gusta esperarCuando la paciencia llega a su lmite, la

gente se va a otro lugar.

Sin embargo, un servicio muy rpidotendra un costo muy elevado

Es necesario encontrar un balance adecuado

Esto es la relacin positiva deBeneficio/costo.


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Teora de colas

Una cola es una lnea de espera.

La teora de colas es un conjunto de modelos

matemticos que describen sistemas de lneasde espera particulares.

El objetivo es encontrar el estado estable del

sistema y determinar una capacidad de servicioapropiada


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Teora de colas

Existen muchos sistemas de colas distintos

Algunos modelos son muy especiales

Otros se ajustan a modelos ms generales

Se estudiarn ahora algunos modelos comunes

Otros se pueden tratar a travs de lasimulacin


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Sistemas de colas: modelo bsico

Un sistema de colas puede dividirse en dos

componentes principales:

La cola

La instalacin del servicio

Los clientes o llegadas vienen en forma

individual para recibir el servicio


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Los clientes o llegadas pueden ser:

Personas

Automviles Mquinas que requieren reparacin

Documentos

Entre muchos otros tipos de artculos


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Si cuando el cliente llega no hay nadie en lacola, pasa de una vez a recibir el servicio

Si no, se une a la cola

Es importante sealar que la cola no incluye

a quien est recibiendo el servicio


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Las llegadas van a la instalacin del serviciode acuerdo con la disciplina de la cola

Generalmente sta esprimero en llegar,

primero en ser servido(FIFO)

Pero pueden haber otras reglas o colas con

prioridades(LIFO)


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Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalacin

delservicio

Disciplinade la cola

Salidas


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Estructuras tpicas de sistemas de colas: una

lnea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola Servidor Salidas
http://moviles.ociojoven.com/3-024/es_es/1/11000/manga-yataa.htmlhttp://moviles.ociojoven.com/3-024/es_es/1/8042/ribery.html


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Estructuras tpicas de sistemas de colas: una lnea,

mltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas


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Estructuras tpicas de colas: varias lneas,

mltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

ColaServidor

Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola


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Estructuras tpicas de colas: una lnea,

servidores secuenciales

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor


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Costos de un sistema de colas

1. Costo de espera: Es el costo para elcliente al esperar

Representa el costo de oportunidad del

tiempo perdido

Un sistema con un bajo costo de espera es

una fuente importante de competitividad


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Costos de un sistema de colas

2. Costo de servicio: Es el costo deoperacin del servicio brindado

Es ms fcil de estimar

El objetivo de un sistema de colas es

encontrar el sistema del costo total

mnimo


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Sistemas de colas: Las llegadas

El tiempo que transcurre entre dos llegadas

sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo

entre llegadasEl tiempo entre llegadas tiende a ser muy

variable

El nmero esperado de llegadas por unidad detiempo se llama tasa media de llegadas ()


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El tiempo esperado entre llegadas es 1/

Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es

= 20 clientes por hora

Entonces el tiempo esperado entre llegadas

es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos

!)(

k

ekP

k

: tasa media de llegadas

e= 2,7182818


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Ejemplo: pedido de cervezas

La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restauranteDick. Sigue una distribucin de Poisson, con un promedio de

30 cervezas por hora.

1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60

cervezas entre las 10 y 12 de la noche.

2. Encuentre la de media y desviacin estndar de cervezas

pedidas entre las 9 PM y 1 AM.

3. Determine la probabilidad de que el tiempo entre dospedidos consecutivos est entre 1 y 3 minutos.


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Solucin: (1)

La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de lanoche, se apega a una distribucin de Poisson con parmetro

2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30

cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la

probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es:

Se puede usar la funcin de excel. POISSON(60,60,FALSO)=

0.05143174= 5.1%

05143174.0!60

60

!)(

6060

e

k

ekP

k


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Solucin(2 y 3)

Resulta que =30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Portanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120.La desviacin estndar en ese perodo es (120)1/2 =10.95

Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos de

cervezas. El nmero de promedio de pedidos por minutos esexponencial con parmetros o razn 30/60 = 0.5 (treintacervezas en 60 minutos). Cervezas por minutos. Por lo tanto lafuncin de densidad de la probabilidad del tiempo que transcurreentre pedidos de cervezas (dado que la tasa

de llegada para una cola M/M/1). Entonces.

38.05.0

5.0)5.0()31( 5.05.1

3

1

5.05.03

1

eeedteXP tt

tt eeta 5.05.0)(


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Adems es necesario estimar la distribucinde probabilidad de los tiempos entre

llegadas

Generalmente se supone una distribucin

exponencial

Esto depende del comportamiento de lasllegadas


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Distribucin exponencial

La forma algebraica de la distribucin

exponencial es:

Donde trepresenta una cantidad expresada en

unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)

tetserviciodetiempoP 1)(


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Media Tiempo0

P(t)


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La distribucin exponencial supone una mayor

probabilidad para tiempos entre llegadas

pequeosEn general, se considera que las llegadas son

aleatorias

La ltima llegada no influye en la probabilidadde llegada de la siguiente


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Sistemas de colas: Las llegadas -

Distribucin de Poisson

Es una distribucin discreta empleada con

mucha frecuencia para describir el patrn de

las llegadas a un sistema de colasPara tasas medias de llegadas pequeas es

asimtrica y se hace ms simtrica y se

aproxima a la binomial para tasas de llegadasaltas


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Su forma algebraica es:

Donde:

P(k): probabilidad de k llegadas por unidad

de tiempo : tasa media de llegadas

e= 2,7182818

!)(

k

ekP

k


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Llegadas por unidad de tiempo0

P


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Sistemas de colas: La cola

El nmero de clientes en la cola es elnmero de clientes que esperan el servicio

El nmero de clientes en el sistema es el

nmero de clientes que esperan en la cola

ms el nmero de clientes que actualmente

reciben el servicio


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La capacidad de la cola es el nmeromximo de clientes que pueden estar en la

cola

Generalmente se supone que la cola es

infinita

Aunque tambin la cola puede ser finita


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La disciplina de la cola se refiere al orden en

que se seleccionan los miembros de la cola

para comenzar el servicioLa ms comn es (FIFO)PEPS: primero en

llegar, primero en servicio

Puede darse: seleccin aleatoria, prioridades,(LIFO)UEPS, entre otras.


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Sistemas de colas: El servicio

El servicio puede ser brindado por unservidor o por servidores mltiples

El tiempo de servicio vara de cliente a

cliente

El tiempo esperado de servicio depende de

la tasa media de servicio ()


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El tiempo esperado de servicio equivale a1/

Por ejemplo, si la tasa media de servicio es

de 25 clientes por hora

Entonces el tiempo esperado de servicio es

1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos


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Es necesario seleccionar una distribucin deprobabilidad para los tiempos de servicio

Hay dos distribuciones que representaran

puntos extremos:La distribucin exponencial (=media)

Tiempos de servicio constantes (=0)


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Una distribucin intermedia es la distribucin

Erlang

Esta distribucin posee un parmetro de formakque determina su desviacin estndar:

mediak1


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Si k= 1, entonces la distribucin Erlang esigual a la exponencial

Si k= , entonces la distribucin Erlang esigual a la distribucin degenerada contiempos constantes

La forma de la distribucin Erlang vara deacuerdo con k


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Media Tiempo0

P(t)k =

k = 1k = 2

k = 8


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Sistemas de colas:

Distribucin Erlang

Distribucin Desviacin estndar

Constante 0

Erlang, k= 1 media

Erlang, k= 2

Erlang, k= 4 1/2 media

Erlang, k= 8

Erlang, k= 16 1/4 media

Erlang, cualquier k

media2/1

media8/1

mediak/1


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Sistemas de colas: Etiquetas para

distintos modelos

Notacin de Kendall:A/B/cLa notacin de Kendall, caracteriza un sistema de lnea de espera en el

cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que est libre

uno de los s servidores paralelos idnticos. Luego el primer clienteen la cola entre al servicio, y as sucesivamente.

A: Distribucin de tiempos entre llegadas

B: Distribucin de tiempos de servicio

M: distribucin exponencial D: distribucin degenerada

Ek: distribucin Erlang

c: Nmero de servidores


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Estado del sistema de colas

En principio el sistema est en un estado inicial

Se supone que el sistema de colas llega a una

condicin de estado estable (nivel normal deoperacin)

Existen otras condiciones anormales (horas

pico, etc.)Lo que interesa es el estado estable


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Desempeo del sistema de colas

Para evaluar el desempeo se buscaconocer dos factores principales:

1. El nmero de clientes que esperan en la

cola

2. El tiempo que los clientes esperan en la

cola y en el sistema


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Medidas del desempeo del sistema

de colas

1. Nmero esperado de clientes en la cola Lq2. Nmero esperado de clientes en el sistema

Ls3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

5. Nmero promedio de clientes que atender

el servidor W


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Medidas del desempeo del sistema de colas:

frmulas generales

LW

LL

WL

WL

WW

qs

qq

ss

qs

1


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de colas: ejemplo

Suponga una estacin de gasolina a la cualllegan en promedio 45 clientes por hora

Se tiene capacidad para atender en

promedio a 60 clientes por hora

Se sabe que los clientes esperan en

promedio 3 minutos en la cola

M did d l d d l i


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de colas: ejemplo

La tasa media de llegadas es 45 clientes por

hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto

La tasa media de servicio es 60 clientes porhora o 60/60 = 1 cliente por minuto

M did d l d d l i


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de colas: ejemplo

clientesWL

clientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.0

3475.0

min41131

min3

M did d l d d l i


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de colas: ejercicio

Suponga un restaurante de comidas rpidas alcual llegan en promedio 100 clientes por hora

Se tiene capacidad para atender en promedio a150 clientes por hora

Se sabe que los clientes esperan en promedio 2minutos en la cola

Calcule las medidas de desempeo del sistema


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Probabilidades como medidas del

desempeo

Beneficios:Permiten evaluar escenarios

Permite establecer metas

Notacin:Pn: probabilidad de tener nclientes en el

sistema

P(Ws t) : probabilidad de que uncliente no espere en el sistema msde thoras


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Factor de utilizacin del sistema

Dada la tasa media de llegadas y la tasa mediade servicio , se define el factor de utilizacin

del sistema .

Generalmente se requiere que < 1

Su frmula, con un servidor y con sservidores,

respectivamente, es:

s

F t d tili i d l i t


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Factor de utilizacin del sistema -

ejemplo

Con base en los datos del ejemplo anterior, = 0.75, = 1

El factor de utilizacin del sistema si se

mantuviera un servidor es

= / = 0.75/1 = 0.75 = 75%

Con dos servidores (s = 2): = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%


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Modelos de una cola y un servidor M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de

servicio exponenciales M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribucin general de tiempos de

servicio

M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribucin degenerada de tiempos de

servicio

M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadasexponenciales y una distribucin Erlang de tiempos de

servicio


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Modelo M/M/1

1,0

)()(

)()1(

)(1

)(

)1()1(

1

2

t

etWPetWP

nLPP

LWW

LL

t

q

t

s

n

s

n

n

qqs

qs


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Modelo M/M/1: ejemplo 1

Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa mediade llegadas es de 9 autos por hora

Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modeloM/M/1

Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, laprobabilidad de tener una cola de ms de 3 clientes y laprobabilidad de esperar ms de 30 min. en la cola y en el sistema



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17.0)60/30(

22.0)60/30(

32.0)3(25.0)1(

min1525.0)(

min2033.0

1

25.2)(

3

75.0

12

9,12,9

)1(

)1(

1300

2

t

q

t

s

s

q

s

qs

eWP

eWP

LPP

hrsW

hrsW

clientesLclientesL


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Modelo M/M/1 ejemplo 2

Un promedio de 10 automviles por hora llegan a un cajero conun solo servidor que proporciona servicio sin que uno desciendadel automvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio porcada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas ylos tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas

siguientes:1. Cul es la probabilidad que el cajero est ocioso?

2. Cul es el nmero promedio de automviles que estn en la coladel cajero? (se considera que un automvil que est siendo

atendido no est en la cola esperando)3. Cul es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en

el estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio

4. Cuntos clientes atender en promedio el cajero por hora?


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Solucin:

De acuerdo con las premisas estamos trabajando con sistemade colas M/M/1 para lo cual =10 automviles por hora y

=15 automviles por hora. Por lo tanto

1. , el cajero estar ocioso un

tercio del tiempo.2. Determinar clientes.

3. Estimamos W, pero necesitamos obtener L.

3

2

15

10

3

1

3

211tantolo 0 por

3

4

3

21

3

2

1

2

2

qL

clientes2

3

21

32

1

L

horas5

1

10

2

LW


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Solucin:

4. Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendera un promediode =15 clientes por hora. Segn la solucin encontrada en (1)

el cajero est ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada

hora, el cajero atender un promedio de (2/3)(15)= 10

clientes.


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Modelo M/M/1: Ejemplo 3

Suponga que todos los dueos de automvil acuden a la gasolinera cuando sustanques estn a la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se requiere unpromedio de 4 minutos para servir a un automvil. Suponga que los tiemposentre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.

1. Calcule L y W para los tiempos actuales.

2. Suponga que hay un dficit de gasolina y que hay compras de pnico. Paramodelar este fenmeno, suponga que todos los dueos de automvilescompran ahora gasolina cuando sus tanques tienen de combustible. Como

cada dueo pone ahora menos gasolina en el tanque cada vez que acude a lagasolinera, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3minutos y un tercio. Qu tanto afectan a L yW las compras de pnico?


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Solucin:

Tenemos un sistema M/M/1 con = 7.5 automviles porhora y =15 (60/4) automviles por hora. Por lo tanto

tiempo que la bomba pasa ocupada.

(cantidad de clientes promedio presente en

el sistema de colas

(Tiempo previsto que un cliente pasa en el

sistema de cola). Por tanto bajo estas circunstancia todo estbajo control.

50.015

5.7

150.01

50.01

L

horas13.05.7

1

LW


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Solucin.

=2(7.5)= 15 automviles por hora(esto se infiere por quecada dueo llenar su tanque dos veces) . Ahora

Automviles por hora. Entonces.

automviles

18333.3

60

6

5

18

15

56/51

6/51

L

min203

1

15

5 hora

LW


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Modelo M/M/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora queson atendidos entre sus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3minutos

Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modeloM/M/1

Adems la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, laprobabilidad de tener una cola de ms de 4 clientes y laprobabilidad de esperar ms de 10 min. en la cola


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Modelo M/G/1

1

1

1

)1(2

0

222

w

q

qqs

qqs

PP

LWWW

LLL


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Modelo M/G/1: ejemplo

Un lava carro puede atender un auto cada 5min. y la tasa media de llegadas es de 9

autos/hora, = 2 min.

Obtenga las medidas de desempeo de acuerdocon el modelo M/G/1

Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el

sistema y la probabilidad de que un cliente tenga

que esperar por el servicio.


65/102

Modelo M/G/1: ejemplo

75.025.01

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1

0

222

w

q

q

qs

q

qs

PP

hrsLW

hrsWW

clientesL

clientesLL


66/102

Modelo M/G/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que sonatendidos entre sus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.

Suponga = 5 min Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/G/1

Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la

probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio


67/102

Modelo M/D/1

1

1

)1(2

2

q

qqs

qss

LWWW

LWL


68/102

Modelo M/D/1: ejemplo

Un lava carro puede atender un auto cada 5 min.La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.

Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo

con el modelo M/D/1

= 9 carros/hora.

= 12 carros/hora.


69/102

Modelo M/D/1: ejemplo

min5.7125.09

125.1

min5.12208.012

1125.0

1

125.1)75.01(2

75.0

)1(2

87.1)208.0(9

22

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesWL

q

q

qs

q

ss


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Modelo M/D/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entre sus 5

cajas.

Cada caja puede atender en promedio a uncliente cada 3 minutos.


con el modelo M/D/1


71/102

Modelo M/Ek/1

1

1

)1(2

)1(2

q

qqs

qss

LWWW

k

kLWL


72/102

Modelo M/Ek/1: ejemplo

Un lavacar puede atender un auto cada 5min.

La tasa media de llegadas es de 9

autos/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.)

Obtenga las medidas de desempeo de

acuerdo con el modelo M/Ek

/1


73/102

Modelo M/Ek/1: ejemplo

min25.111875.0

min25.162708.01

6875.1

)1(2

)1(

437.2

2

hrsL

W

hrsWW

clientes

k

kL

clientesWL

q

q

qs

q

ss


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Modelo M/Ek/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entre sus 5

cajas.

Cada caja puede atender en promedio a uncliente cada 3 minutos. Suponga k= 4


con el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el


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Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el

cuadro ejemplo lavacarro

Modelo Ls Ws Lq Wq

M/M/1

M/G/1

M/D/1

M/Ek/1


76/102

Modelos de varios servidores

M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos deservicio exponenciales

M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales yuna distribucin degenerada de tiempos de servicio

M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponencialesy una distribucin Erlang de tiempos de servicio

M/M/ l d


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M/M/s, una lnea de espera

00

0

02

1

0

0

!

1,

!

,

!

1

)()!1(

!!

1

Ps

s

sPknsiP

ssP

knsiP

n

PWW

LWLLP

ssL

ns

s

s

P

s

wsn

n

n

n

nqs

q

qqs

s

q

s

n

ns


78/102

M/M/s, una lnea de espera

)46)(3(

3

4

2

2

4

2

3

q

q

L

sSi

L

sSi

Anlisis econmico de lneas de


79/102

Anlisis econmico de lneas de

espera

Costos

Tasa de servicioTasa ptima

de servicio

Costo de espera

Costo del servicio

Costo total


80/102

Prctica 1, con WQSB

Un almacn tiene 2 cajeras que atienden a razn de 1.5 minutospor cliente siguiendo una distribucin exponencial. Los clientesllegan a este almacn siguiendo una distribucin Poisson a raznde 30 por hora. Con esta informacin calcular: A)Laprobabilidad de que el sistema est lleno, B) La intensidad de

trafico.

Datos:

Numero de servidores = 2

=30 [cl/hr]

=1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]

El problema ser del tipo M/M/2/FIFO//


81/102

Solucin:

Procedimiento Se iniciar un nuevo problema en el modulo Anlisis de Colas

(QA).

Se elegir Sistema Simple M/M, por que es un modelo del

que se conocen todos los datos. Este se llamar Cajeras,eligiendo como unidad de tiempo a horas:


82/102

Solucin

En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos comose muestra:


83/102

Solucin

En la hoja de clculo se introducir los datos conocidos como semuestra:

Los valores de M, representan que es un valor infinito

S l i


84/102

Solucin

Al presionar el icono se ver la ventana de losresultados:

S l i


85/102

Solucin


S l i


86/102

Solucin

Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de Frmula

Promedio de cliente llegados por Hora = 30Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40

Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30

Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30

Tasa de ocupacin del sistema 37.50%

Nmero promedio de clientes en el sistema (L) = 0.8727

Nmero promedio de clientes en la cola(Lq) = 0.1227

Nmero promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) = 0.6

Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) = 0.0291 Horas

Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) = 0.0041 Horas

Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) = 0.0200 Horas

Probabilidad que todos los servidores estn ociosos (Po) = 45.45%

Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema est ocupado(Pb) = 20.45%

Nmero promedio de clientes que no sern atendidos por el sistema por Hora = 0Costo total del servidor ocupado por Hora = $0

Costo total del servidor ocioso por Hora = $0

Costo total clientes esperando por hora $0

Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0

Cosot total de clientes being balked per Hora = $0

Total queue space cost per Hora = $0

Costo total del sistema por Hora = $0

E

nEspaol

S l i


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Solucin

Adicionalmente podemos realizar los siguientes anlisis: Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0

hasta 200 clientes en la cola:

S l i


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Solucin

Tambin podemos realizar una simulacin del sistema: Si presionamos veremos la siguiente ventana:

En el que usaremos: La semilla de aleatoriedad por defecto

Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS)

Un tiempo de simulacin de cola de 24 horas (1 da).

El momento que iniciar la recoleccin de datos

ser a las cero horas.

La capacidad de la cola es infinita (M).

El mximo de nmero de recolecciones de datos ser infinito (M).

Solucin


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Si presionamos OK, se llevar adelante la simulacin y veremoslos siguientes resultados de la actuacin de la cola durante 24 horas:

Solucin


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Las probabilidades estimadas para n clientes:

Solucin


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Otro de los anlisis del que podemos disponer es el de Anlisis desensibilidad.

Si presionamos podremos observar la siguienteventana:

Solucin


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Si realizamos un anlisis de sensibilidad, seleccionando comoparmetro de anlisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta

cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando elmodelo de aproximacin G/G/s, podremos ver de que manerareacciona el sistema:

Podemos observar claramente de que la utilizacin del sistema va enincremento en una proporcin de 10 [cl/hr], y cuando sta llega a los70 [cl/hr], se da una utilizacin del 87.5% (Mxima utilizacin posible),pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistemase vuelve inestable, es decir el nmero de servidores es insuficiente.

Solucin


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Tambin podemos ver el grfico del anlisis de sensibilidad de unparmetro determinado en funcin del parmetro analizado:

Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph

Se abrir la siguiente ventana:

En la que seleccionaremos comovariable independiente para elgrfico a L (Nmero promedio de

clientes en el sistema), en funcinde nuestro parmetro analizado ():

Solucin


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En el que se puede ver un crecimiento exponencial.As sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los

parmetros, dependiendo que necesidades se tiene.

Solucin


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Otro anlisis disponible es el de Anlisis de Capacidad:Como ste anlisis se realiza a partir de costos, se asumirn los

siguientes costosCosto de servidor ocupado por hora = 5 $Costo de servidor ocioso por hora = 1 $Costo por cliente en espera = 0.5 $Costo por cliente servido por hora = 3 $

Costo por cliente no atendido = 1 $Costo unitario por capacidad de cola = 3 $

Solucin


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Si presionamos podremos observar lasiguiente ventana:

En el que variaremos el nmero de servidores de 2 a 8, con un pasode 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando laformula G/G/s de aproximacin.

Solucin


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c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados ser la siguiente:


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Prctica 2, con WQSB Una cadena de supermercados es abastecida por un almacn central. La mercadera que

llega a este almacn es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descarganllegan en forma aleatoria siguiendo una distribucin Poisson a razn de dos camiones porhora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo unadistribucin exponencial. Si el nmero de trabajadores del equipo es incrementado, larazn de servicio se incrementa en la misma proporcin. Cada trabajador recibe 5$ porhora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando serservido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamao del equipo que

minimiza el costo total. Datos:


=2 [cl/hr]

1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]

El problema ser del tipo M/M/1/FIFO//

CS = 5 [$/hr]

CE = 20 [$/hr]


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Problema 3 Cierta computadora tarda exactamente 1.5 horas en atender un

servicio requerido. Si los trabajos llegan segn una Poisson a raznde un trabajo cada 120 minutos, se desea saber: Qu tanto debe esperar en promedio un trabajo para recibir atencin?

Ser necesario la compra de otra computadora? Si la distribucin del tiempo de servicio fuera Erlang con una media de 1.5 y

con un parmetro k = 5, Cunto debera esperar un trabajo para seratendido? Cul sera la probabilidad de ser atendido?

Datos:


=1/120 [tr/min] = 0.5 [tr/hr]

= 1/1.5 [tr/hr] = 0.667 [tr/hr] El problema ser del tipo M/M/1/FIFO//


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Solucin

ProcedimientoSe iniciar un nuevo problema en el modulo Anlisis de

Colas (QA).Se elegir Sistema Simple M/M, por que es un modelo delque se conocen todos los datos. Este se llamarComputadora, eligiendo como unidad de tiempo a horas:


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Solucin

En la hoja de clculo se introducirn los datos conocidoscomo se muestra:

Solucin


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Solucin


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