Ukuran Statistik

Ir. Moden Purba, MT

Pendahuluan

Ukuran penyebaran Suatu ukuran baik parameter atau statistik

untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya

Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data

Data yang belum dikelompokan Grouped data

Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi

Ukuran PenyebaranUkuran penyebaran: Range Mean Deviasi Rata – rata Modus Median Varian Deviasi standar Range inter-kuartil Deviasi kuartil

Ukuran kecondongan dan keruncingan

Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan

Range – Jarak Merupakan perbedaan antara nilai

terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel

Rumusan RangeRange = Nilai terbesar – nilai

terkecilPerusahaan Harga Saham

Sentul City 530

Tunas Baru 580

proteinprima 650

total 750

Mandiri 840

Range = 840 – 530= 310

Deviasi Rata – rata Populasi

Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnyaRumusan Deviasi rata –rata ( MD)

∑|x - x| MD =

N

X = Nilai data pengamatanX = Rata – rata hitungN = Jumlah data

Contoh Deviasi Rata - RataPerusahaan Indek x - X Nilai Mutlak

Sentul City 7.5 1.14 1.14

Tunas Baru 8.2 1.84 1.84

proteinprima 7.8 1.44 1.44

total 4.8 -1.56 1.56

Mandiri 3.5 -2.86 2.86

Total 31.8 8.84

Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768

MD == ∑|x - X| / n= 8.84 / 5= 1.768

Varians dan Standar Deviasi Populasi

Varians Rata – rata hitung deviasi kuadrat

setiap data terhadap rata – rata hitungnya

Rumus varians populasi (X - µ )2

2= N

µ = (∑ X) / N

X = Nilai data pengamatanµ = Nilai rata – rata hitungN = Jumlah total data

Contoh Kasus Varians

Perusahaan Indek X - µ (X - µ)²

Sentul City 7.5 1.14 1.2996

Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856

proteinprima 7.8 1.44 2.0736

total 4.8 -1.56 2.4336

Mandiri 3.5 -2.86 8.1796

Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372

Rata - rata (µ) 6.36 s² 3.4744

(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5

Standar deviasi Akar kuadrat dari varians dan

menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya

Rumus standar deviasi

(X - µ )2

= N

Standar Deviasi

atau = ²

Contoh Kasus Standar Deviasi

(X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744

N 5

Nilai varians :

Nilai standar deviasi : = 3.4744 = 1.864

Nilai penyimpangan sebesar 1.864

Varians dan Standar Deviasi Sampel

Varians

Standar deviasi

(x - x )2

s 2= n -1

S = s²

Contoh Kasus SampelNo Perusahaan

Harga saham x - X (x - X)²

1 Jababeka 215 -358 128164

2 Indofarma 290 -283 80089

3 Budi Acid 310 -263 69169

4 Kimia farma 365 -208 43264

5 Sentul City 530 -43 1849

6 Tunas Baru 580 7 49

7 proteinprima 650 77 5929

8 total 750 177 31329

9 Mandiri 840 267 71289

10 Panin 1200 627 393129

Jumlah 5730   824260

Rata - Rata (X) 573 s² 91584.44

    S 302.63

Varians : ∑(x – X)²s² = n – 1s² = 824260 / 9s² = 91584.44

Standar deviasi :S = s²S = 91584.44S = 302.63

Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan

Range – Jarak Merupakan selisih antara batas

atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah

Rumusan RangeRange = Batas atas kelas

tertinggi – nilai terkecil

Kelas1 215 21222 2123 40303 4031 59384 5939 78465 7847 9754

Interval

Contoh RangeBatas atasKelas terendah

Batas atas Kelas tertinggi

Range := 9754 – 215= 9539

Deviasi Rata - Rata

Rumus deviasi rata - rata

f. |x - x| MD = n

Rata – rata hitung data dikelompokanx = ( f.x ) / n

Contoh Kasus Kelas

Interval Kelas f

Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X|

1 16 24 10 20 200 13.68 136.8

2 25 33 18 29 522 4.68 84.24

3 34 42 14 38 532 4.32 60.48

4 43 51 4 47 188 13.32 53.28

5 52 60 2 56 112 22.32 44.64

6 61 69 2 65 130 31.32 62.64

Total   50 255 1684 89.64 442.08

Rata - rata (X)     33.68    

MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416

Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan

Varians

Standar deviasi

f. (x - x )2

s2= n -1

s = s²

Contoh Kasus Kelas Interval Kelas f

Titik tengah (x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|²

1 16 24 10 20 200 13.68 187.1424 1871.424

2 25 33 18 29 522 4.68 21.9024 394.2432

3 34 42 14 38 532 4.32 18.6624 261.2736

4 43 51 4 47 188 13.32 177.4224 709.6896

5 52 60 2 56 112 22.32 498.1824 996.3648

6 61 69 2 65 130 31.32 980.9424 1961.885

Total   50 255 1684 89.64 1884.254 6194.88

Rata - rata (X)     33.68      

Varians :s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 = 6194.88 / 49 = 126.4261

Standar deviasi :S = s² = 126.4261 = 11.2439

Modus

Modus untuk Ungrouped DataContoh : Sumbangan Mahasiswa (Rp)

7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000

Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) bisa terjadi data tanpa modus a. Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus)b. Umur Mahasiswa : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17Modus : 18 dan 19

Modus untuk Grouped Data 

Mo = b1 + i(d1/(d1+d2)Mo = Modusb1 : Batas Bawah Kelas Modusd1 : frekwensi kelas modus dikurangi

frekwensi sebelum kelas modusd2 : frekwensi kelas modus dikurang

frekwensi sesudah kelas modus

Mengitung Modus

fi 16 24 15.5 24.5 1025 33 24.5 33.5 1834 42 33.5 42.5 1443 51 42.5 51.5 452 60 51.5 60.5 261 69 60.5 69.5 2

Kelas Interval

Kelas Bounderies

Kelas Modus : 24.5 – 33.5b1 : 24.5i : 9Frekwensi Mo : 18Frekwensi seb Mo : 10Frekwensi ses Mo : 14d1 = 18-10 = 8d2 = 18-14 = 4

Mo = b1 + i(d1/(d1+d2))

Mo = 24.5 + 9( 8/(8+4)) = 30.5

Median (Me)Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar

Median untuk Ungrouped Data

Letak Median berada dalam gugus data yang telah tersortir Letak Median = (n + 1)/2 n: banyak dataContoh 1: Tinggi Badan 5 mahasiswa: 1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meterSorted : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 metern = 5 Letak Median = (n+1)/2 =(5+1)/2 = 3 Median = Data ke-3 = 1.75

 

Median Cont’s

Contoh 2:

Tinggi 6 Mhs : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 1.80 meter (Sorted) n = 6Letak Median = (n+1)/2 = 3.5

 Me = (Data ke 3 + Data ke 4) = (1.75 + 1.78)/2 = 1.765

= Data ke-3 + 0.5 (Data ke-4 – Data ke-3) = 1.75 + 0.5 (1.78 – 1.75) = 1.75 + (0.5 0.02) = 1.75 + 0.015 = 1.765

Median untuk Grouped Data

Letak Me = n/2 n: banyak dataKelas Median : Kelas di mana Median beradaKelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi KumulatifMe = b1 + i((1/2)n - F))/fMe

Me : Median i : Interval KelasF : Kumulatif Frekwensi Sebelum kelas MedianfMe : Frekwensi Kelas Median

Mengitung Median Grouped Data

Letak Median n/2 = 50/2 =25Letak Median / Frekwensi Kumulatif = 25Kelas Median : 24.5 – 33.5b1 : 24.5i : 9(1/2)n : 25Frekwensi Kumulatif seb Me : 10Frekwensi Me (fMe) : 18

Me = b1 + i((1/2)n - F))/fMe

Me = 24.5 + 9(( 25-10))/18= 32.0

fi Sfi

16 24 15.5 24.5 10 1025 33 24.5 33.5 18 2834 42 33.5 42.5 14 4243 51 42.5 51.5 4 4452 60 51.5 60.5 2 4661 69 60.5 69.5 2 48Total   50 50

Kelas Interval

Kelas Bounderies

Ukuran Penyebaran Relatif

Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatifPenggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : Data mempunyai satuan pengukuran

yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang

sama

Ukuran Penyebaran Relatif

Koefisien rangeKoefisien deviasi rata-rataKoefisien deviasi standar

Koefisien Range

Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatifRumusan :

KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %

La : Batas atas data atau kelas tertinggiLb : Batas bawah data atau kelas terendah

Contoh Koefisien Range

KelasInterval Kelas f

1 16 24 102 25 33 183 34 42 144 43 51 45 52 60 26 61 69 2

La : Kelas tertinggi = 69Lb : Kelas terendah = 16

KR := (La – Lb) / (La + Lb)= (69 – 16 ) / (69 + 16)= 53 / 85= 0.6235 x 100 %= 62.35 %

Koefisien Deviasi Rata - Rata

Koefisien deviasi rata – rata Ukuran penyebaran dengan

menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya

Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100%MD = Deviasi rata - rataX = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus

Data dikelompokan : MD = 8.8416 X = 33.68

Koefisien deviasi rata – rata :KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 % = 0.2625 x 100 %

= 26.25 %

Koefisien Standar Deviasi

Koefisien standar deviasi Ukuran penyebaran yang

menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase

Rumus KSD = [ s / x ] x 100 %

S = Standar deviasiX = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus

Data dikelompokan Standar Deviasi = 11.2439 Rata – Rata hitung (x) = 33.68

Nilai Koefisien Standar Deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 %

= 33.38 %

Ukuran Kecondongan - Skewness

Ukuran kecondongan – kemencengan Kurva tidak simetris

Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan mediaPendekatan : Jika Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke

kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke

kanan

Kuartil

Letak Ki = (i(n+1)/4i = 1,2,3Suatu data setelah diurutkan :

52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94Cari :K1 K3

Kuartil [cont’]

Letak K1K1 = (1(n+1))/4

= (1(12+1))/1= 3.25, = Data ke 3+ 0.25(Data4-

Data3)= 57 + 0.25(60-57)= 57.75

Kuartil [cont’]

K3 = (3(n+1))/4= (3(12+1))/4= 9.75= Data9 + 0.75(Data10-

Data9)= 82 + 0.75(86-82)= 85

Kuartil Dist. Frekwensi

Ki = b + p(((in/4)-F)/f))b = Batas Bawah Kelas Ki dimana

terletakP = panjang KelasF = Frekwensi dengan tanda lebih

kecilf = Frekwensi kelas Ki

Kuartil Dist Frekwensi [cont’]

f31 40 141 50 251 60 561 70 1571 80 2581 90 2091 100 12

80

Nilai Ujian

Jumlah

Letak K3? in/4 = (3x80)/4 = 60

K3 = b+p(((in/4)-F)/f)) = 80.5 + 10((60-48)/20) = 86.5

Desil

Letak Di = (i(n+1))/10i = 1,2,3,4, …,9 Contoh Data setelah diurutkan52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,9

4D7 =?

Desil [cont’]

Letak D7 = (7(n+1))/10 = (7(12+1))/10

= 9.1

= Data9 + 0.1(Data10-Data9)

= 82 + 0.1(86-82)= 82.4

Desil Dist. Frekwensi

Di = b + p(((in/10)-F))/f)Di = Desil ke Ib = Batas Bawah Kelas Bounderies Letak

Di

P = panjang kelasN jumlah dataF= Jumlah Frekwensi dgn tanda lebih

kecil dari DiF = frekwensi kelas Di

Desil [cont’]

f31 40 141 50 251 60 561 70 1571 80 2581 90 2091 100 12

80

Nilai Ujian

Jumlah

Cari Nilai D3

Letak D3 = (3x80)/10 =24

D3 = 70.5 + (10(24-23))/25D3 = 70.9

Persentil

Letak Pi = (i(n+1))/100 untuk non DF

Pi = b+p(((in/100)-F)/f)) untuk DF

Kemiringan

Kemiringan = (Rata-rata – Modus)/s

Kemiringan = (3(Rata-rata – Median))/s

Momen

m’r = (p(Sficir))/n

m2 = m’2 – (m’1)2

m3 = m’3 – 3m’1m’2 + 2(m’1)3

m4 = m’4 – 4m’1m’3 + 6(m’1)2m’2 – 3(m’1)4

Momen

fi ci fici fici2 fici

3 fici4

16 24 15.5 24.5 10 -1 -10 10 -10 1025 33 24.5 33.5 18 0 0 0 0 034 42 33.5 42.5 14 1 14 14 14 1443 51 42.5 51.5 4 2 8 16 32 6452 60 51.5 60.5 2 3 6 18 54 16261 69 60.5 69.5 2 4 8 32 128 512Total   50 9 26 90 218 762

Interval Bounderies

Kurtosis

a4 = m4/m22

Kurtosis

a4 = 3 Dist. Normala4 > 3 Dist. Leptokurtik

a4 < 3 Dist. Platikurtik

Kurtosis

Koefisien Skewness

Sk = [µ - Mo ] / atau = 3.[µ - Md] / µ = Nilai rata – rata hitung

Mo = Nilai modusMd = Nilai median = Standar deviasi

Contoh kasus data dikelompokanµ = 33.68Mo = 30.5Md = 32 = 11.2439

Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439Sk = 15.68 / 11.2439Sk = 1.394

Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439Sk = 5.04 / 11.2439Sk = 0.4482

Ukuran Keruncingan - Kurtosis

Keruncingan disebut juga ketinggian kurvaPada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : Leptokurtis = Sangat runcing Mesokurtis = Keruncingan sedang Platykurtis = Kurva datar

Koefisien Kurtosis

Bentuk kurva keruncingan – kurtosis Mesokurtik 4 = 3 Leptokurtik 4 > 3 Platikurtik 4 < 3

Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)

4 =

1/n ∑(x - )4

4

Nilai data

Koefisien Kurtosis

Koefisien kurtosis (data dikelompokan)

4 =

1/n ∑ f. (X - )4

4

Nilai rata – rata hitungStandar deviasi

Nilai tengah kelas

Jumlah Frekuensi

Rata – Rata Geometrik

Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rateRumus :

G = n (x1 . x2 . x3 . … xn )

G = [log x1 + log x2 +… log xn]

n G = Antilog (log G)

Contoh

Data pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 %Tingkat pertumbuhan :G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 +

log 1.2 + log 2.5 ] / 5G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079

+ 0.397] / 5G = 1.5464 / 5 = 0.30928G = antilog 0.30928 = 2.03

Terimaksih