DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN FUNGSI

DUA PERUBAHYulvi zaika

DERET TAYLOR UNTUK SATU VARIABLE BEBAS Deret Pangkat:

ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……

Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat

f(x)=ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……

Deret Taylor untuk delta (kenaikan) yang kecil f(x)=f(h) + f(b)’(x-h)+ f(h)’’ (x-h)2+ f(h)’’’ (x-h)3……… f(b)n(x-h)n …… 2! 3! n! Bila h=0 maka deret menjadi deret Maclaurin f(x)=f(0) + f(0)’(x)+ f(0)’’ (x)2+ f(0)’’’ (x)3……… f(0)n(x)n …… 2! 3! n! (354)

DERTER TAYLOR UNTUK DUA VARIABLE BEBAS Jika z=f(x,y); kenaikan terjadi arah x dan y maka

Z+z=(x+h, y+k); dimana h = keneikan arah x dan k = kenaikan arah y Untuk R

fx(x,y) = df(x,y)/dx dan fxx(x,y)=d2f(x,y)/dx2

Dari R ke Q maka (x+h) konstan : y berubah

(y+k)(2)

(1)

CONTINUE Untuk mendapatkan formulasi kenaikan pada y dari persamaan kenaikan terhadap x yaitu f(x+h,y) maka dapat dilakukan dengan menurunkan persamaannya.

Turunan ke dua terhadap y

Persamaan (2) menjadi

TEOREMA TAYLOR UNTUK 2 VARIABLE BEBAS Bila persamaan yang diambil hanya sampai turunan kedua maka akan menjadi

Jika z=f(x,y); h=dx dan k=dy maka teorema taylor dapat ditulis

Bila z dipindahkan ke kiri maka

Karena dx dan dy kenaikan yang kecil sehingga turunan berikutnya akan menjadi lebih kecil sehingga bias diabaikan, maka persamaannya akan menjadi

CONTINUE

Dapat digambarkan sbg berikut

CONTOH SOAL

Jari – jari kerucut meningkat dengan kecepatan perubahan sebesar 1.5 mm/s dan tingginya meningkat sebesar 6.0 mm/s. Tentukan peningkatan perubahan volumenya saat r= 12mm dan h=24mm

Solusi: V= ;

dr/dt=1.5mm/s dan dh/dt=6.0 mm/s maka

Tidak terjadi perubahan volume pada r=12mm dan h=24mm

PERUBAHAN VARIABEL Bila z=f(x,y) dimana x, y juga merupakan fungsi dari variable bebas u dan v. formulasi untuk dz/du dan dz/dv. Persamaan awal adalah:

Dengan membagi dengan du dan dv maka:

CONTOH Jika z= x2-y2 dan x=r cos dan y= r sin tentukan dz/d ; dz/dr; d2z/d2; d2z/dr2

Solusi:

FUNGSI INVERS Bila z=f(x,y) dan x dan y merupakan fungsi dari variable u dan v yang dinyatakan dalam fungsi u=g(x,y) dan v= h(x,y). Kita bias menentukan dx/du; dx/dv;dy/du; dy/dv serta dz/dx dan dz/dy

Contoh: Jika z=f(x,y) dan u=excosy dan v=e-x sin y tentukan dx/du dan dx/dv

(1) (2)

CONTINUE (1) (2) Jumlahkan

Menentukan dy (1) (2) Jumlahkan

RUMUSAN

Menentukan dx

Jika z=f(x,y) dan x=g(u,v); y=h(u.v) maka

Untuk menentukan du dan dv eliminasi dy

Kurangkan

Menentukan dy

Eliminasi dx

CONTINUE Dari jawaban di atas terlihat bahwa pembaginya sama sehingga bias dinyatakan dengan determinan yang disebut dengan Jacobian