Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah

13
DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN FUNGSI DUA PERUBAH Yulvi zaika

description

Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah. Yulvi zaika. Deret taylor untuk satu variable bebas. Deret Pangkat : a o + a 1 (x-h)+ a 2 (x-h) 2 + a 3 (x-h) 3 ………an(x-h) n …… Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah

Page 1: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN FUNGSI

DUA PERUBAHYulvi zaika

Page 2: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

DERET TAYLOR UNTUK SATU VARIABLE BEBAS Deret Pangkat:

ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……

Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat

f(x)=ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……

Deret Taylor untuk delta (kenaikan) yang kecil f(x)=f(h) + f(b)’(x-h)+ f(h)’’ (x-h)2+ f(h)’’’ (x-h)3……… f(b)n(x-h)n …… 2! 3! n! Bila h=0 maka deret menjadi deret Maclaurin f(x)=f(0) + f(0)’(x)+ f(0)’’ (x)2+ f(0)’’’ (x)3……… f(0)n(x)n …… 2! 3! n! (354)

Page 3: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

DERTER TAYLOR UNTUK DUA VARIABLE BEBAS Jika z=f(x,y); kenaikan terjadi arah x dan y maka

Z+z=(x+h, y+k); dimana h = keneikan arah x dan k = kenaikan arah y Untuk R

fx(x,y) = df(x,y)/dx dan fxx(x,y)=d2f(x,y)/dx2

Dari R ke Q maka (x+h) konstan : y berubah

(y+k)(2)

(1)

Page 4: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

CONTINUE Untuk mendapatkan formulasi kenaikan pada y dari persamaan kenaikan terhadap x yaitu f(x+h,y) maka dapat dilakukan dengan menurunkan persamaannya.

Turunan ke dua terhadap y

Persamaan (2) menjadi

Page 5: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

TEOREMA TAYLOR UNTUK 2 VARIABLE BEBAS Bila persamaan yang diambil hanya sampai turunan kedua maka akan menjadi

Jika z=f(x,y); h=dx dan k=dy maka teorema taylor dapat ditulis

Bila z dipindahkan ke kiri maka

Karena dx dan dy kenaikan yang kecil sehingga turunan berikutnya akan menjadi lebih kecil sehingga bias diabaikan, maka persamaannya akan menjadi

Page 6: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

CONTINUE

Dapat digambarkan sbg berikut

Page 7: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

CONTOH SOAL

Jari – jari kerucut meningkat dengan kecepatan perubahan sebesar 1.5 mm/s dan tingginya meningkat sebesar 6.0 mm/s. Tentukan peningkatan perubahan volumenya saat r= 12mm dan h=24mm

Solusi: V= ;

dr/dt=1.5mm/s dan dh/dt=6.0 mm/s maka

Tidak terjadi perubahan volume pada r=12mm dan h=24mm

Page 8: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

PERUBAHAN VARIABEL Bila z=f(x,y) dimana x, y juga merupakan fungsi dari variable bebas u dan v. formulasi untuk dz/du dan dz/dv. Persamaan awal adalah:

Dengan membagi dengan du dan dv maka:

Page 9: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

CONTOH Jika z= x2-y2 dan x=r cos dan y= r sin tentukan dz/d ; dz/dr; d2z/d2; d2z/dr2

Solusi:

Page 10: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

FUNGSI INVERS Bila z=f(x,y) dan x dan y merupakan fungsi dari variable u dan v yang dinyatakan dalam fungsi u=g(x,y) dan v= h(x,y). Kita bias menentukan dx/du; dx/dv;dy/du; dy/dv serta dz/dx dan dz/dy

Contoh: Jika z=f(x,y) dan u=excosy dan v=e-x sin y tentukan dx/du dan dx/dv

(1) (2)

Page 11: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

CONTINUE (1) (2) Jumlahkan

Menentukan dy (1) (2) Jumlahkan

Page 12: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

RUMUSAN

Menentukan dx

Jika z=f(x,y) dan x=g(u,v); y=h(u.v) maka

Untuk menentukan du dan dv eliminasi dy

Kurangkan

Menentukan dy

Eliminasi dx

Page 13: Deret taylor dan  mac  laurin fungsi dua perubah

CONTINUE Dari jawaban di atas terlihat bahwa pembaginya sama sehingga bias dinyatakan dengan determinan yang disebut dengan Jacobian