Post on 25-Jul-2015
1.0 PENGENALAN
Penyelesaian masalah matematik merupakan satu kemahiran yang sangat penting dan
ianya adalah objektif utama dalam pembelajaran matematik di sekolah rendah. Ia juga
merupakan bentuk pembelajaran pada tahap tertinggi. Pelbagai strategi penyelesaian masalah
matematik telah diperkenalkan oleh para guru kepada pelajar dan diharapkan mereka dapat
mengaplikasikan kemahiran yang telah dipelajari untuk melaksanakan pembelajaran atau
tugasan yang lebih berkesan di sekolah.
Guru di sekolah sentiasa meneroka pelbagai strategi untuk menyelesaikan masalah
serta dapat memilih strategi yang sesuai dengan mengambil kira perbezaan seperti kebolehan,
minat, gaya pembelajaran serta pelbagai kecerdasan pelajar. Maka guru akan memberi peluang
kepada pelajar untuk menyelesaikan masalah matematik dengan membanding bezakan
kekuatan dan kelemahan strategi yang telah dan akan digunakan oleh pelajar. Pelajar
diharapkan agar dapat membina pengetahuan dan kemahiran baru melalui proses
penyelesaian masalah, menyelesaikan masalah yang dihadapi dalam kurikulum matematik
serta dapat mengaplikasikan pelbagai strategi penyelesaian masalah matematik dalam konteks
yang berbeza.
Penyelesaian masalah adalah merupakan satu proses yang kompleks dan sukar
dipelajari. Ianya mengandungi satu siri tugasan dan proses pemikiran yang berkait rapat untuk
membentuk satu set corak pemikiran heuristik. Ianya merupakan satu keadaan dimana pelajar
mesti melaluinya untuk menyelesaikan masalah dalam matematik. Heuristik ialah satu kaedah
umum yang mana dapat diapliksikan kepada semua jenis masalah. Terdapat beberapa model
penyelesaian masalah yang sering digunakan dalam pendidikan matematik seperti Model
Lester (1975), Model Mayer (1983), Model Polya (1973) dan Model Schoenfeld (1985). Dalam
Kurikulum Bersepadu Sekolah Rendah (KBSR) Model Polya adalah model utama yang
digunakan dalam kurikulum matematik dimana ianya mempunyai empat langkah yang mudah
difahami dan sering digunakan dalam penyelidikan matematik di Malaysia.
Menurut Model Polya (1973), terdapat empat fasa penyelesaian masalah matematik
yang merangkumi pemahaman tentang masalah, merancang strategi tentang masalah,
implementasikan strategi yang dirancang dan mengimbas kembali.
Dalam setiap fasa penyelesaian masalah, beberapa soalan ditanya atau cadangan untuk
membantu para pelajar memahami masalah serta mendapat penyelesaian tentang masalah
tersebut. Salah satu pendekatan pengajaran ialah pendekatan berpusatkan masalah (problem-
1
centered approach). Pendekatan ini dipercayai dapat menerokai idea – idea penting dalam
matematik serta memperkembangkan kuasa matematik iaitu keupayaan untuk membuat
matematik dan mempunyai celik akal dalam pembelajaran matematik. Ianya juga dapat
mengelakkan penekanan daripada melakukan aktiviti matematik kepada memikirkan hubungan
antara idea – idea matematik. Sesuatu masalah boleh digunakan sebagai satu cara untuk
mempelajari isi kandungan yang terdapat dalam subjek matematik yang kita pelajari dalam
kehidupan.
Dalam penyelesaian masalah juga terdapat dua jenis masalah iaitu masalah rutin
(routine problem) dan masalah bukan rutin (non-routine problem). Masalah rutin (routine
problem) ialah ialah jenis masalah matematik secara mekanikal iaitu pengiraan, Ianya bertujuan
untuk melatih pelajar untuk menguasai kemahiran asas terutamanya kemahiran aritmetik yang
melibatkan empat operasi dalam matematik iaitu penambahan, penolakan, pendaraban dan
pembahagian. Dan juga aplikasi secara terus (direct) yang menggunakan formula matematik,
mengikut prinsip matematik, secara teori dan persamaan. Secara umumnya masalah rutin ini
ialah jenis penyelesaian masalah dalam matematik yang paling mudah atau asas ianya
bertujuan untuk memudahkan pelajar menguasai konsep algoritma.
Manakala masalah bukan rutin (non-routine problem) pula ialah penyelesaian masalah
yang unik di mana memerlukan pelajar mengaplikasikan kemahiran dan konsep atau prinsip
dalam matematik yang telah dipelajari dan dikuasai. Kaedah penyelesaian masalah bukan rutin
dalam matematik tidak boleh dihafal atau dicongak tidak sepertimana menjawab soalan yang
berbentuk pengiraan. Proses penyelesaian masalah ini memerlukan satu set aktiviti yang
sistematik di mana ianya mempunyai perancangan yang logik termasuk strategi yang hendak
digunakan serta pemilihan kaedah yang sesuai untuk melaksanakannya.Di dalam tugasan ini
kami akan menunjukkan 3 contoh soalan bukan rutin beserta strategi penyelesaian yang
berbeza setiap satu soalan menggunakan kaedah penyelesaian masalah polya.
2
2.0 MODEL PENYELESAIAN MASALAH POLYA
LANGKAH 1: MEMAHAMI MASALAH
Berikut ialah soalan yang harus kita tanyakan pada diri kita sendiri:
Adakah kita faham akan maksud perkataan dalam soalan tersebut?
Bolehkah kita menyatakan semula soalan tersebut melalui kefahaman kita sendiri?
Apakah yang harus kita cari?
Apakah maklumat yang diberi dalam soalan?
Apakah yang kita tidak ketahui?
Apakah maklumat yang mungkin tidak diperlukan atau hilang?
LANGKAH 2: RENCANAKAN RANCANGAN PENYELESAIAN
Soalan-soalan di bawah membantu kita merencanakan rancangan untuk menyelesaikan
masalah tersebut:
Apakah perkaitan antara data yang diberi dengan apa yang kita cari?
Adakah masalah ini serupa dengan masalah yang pernah kita selesaikan sebelum ini?
Apakah strategi yang boleh kita gunakan?
LANGKAH 3: MELAKSANAKAN RANCANGAN
Gunakan strategi yang telah dipilih dan selesaikan masalah.
Semak setiap langkah rancangan semasa sedang menyelesaikan masalah.
Pastikan langkah-langkah tersebut betul.
LANGKAH 4: LIHAT KEMBALI(SEMAK)
Baca kembali soalan.
Adakah kita menjawab soalan?
Adakah jawapan tersebut tepat?
Adakah jawapan kita tampak masuk akal?
3
3.0 CONTOH MASALAH BUKAN RUTIN
3.1 Masalah 1
Marina dan Suraya merancang untuk pergi ke Alor Star Kedah menggunakan perkhidmatan kereta api. Mereka bertolak daripada stesen kereta api Sungai Buloh pada jam 9.00 malam. Selepas 1 jam berlalu, kereta api tersebut berhenti di Serendah untuk mengambil penumpang selama ¼ jam. Kemudian kereta api tersebut meneruskan lagi perjalanan ke Tanjung Malim dan mengambil masa 4jam untuk tiba dan berehat selama ½ jam. Kemudian perjalanan diteruskan selama 2 jam dan tiba di Ipoh untuk berehat selama ½ jam lagi. Setelah berehat, Marina dan Suraya meneruskan perjalanan mereka ke Sungai Petani dan mengambil masa 1 1/2 jam lagi dan menurunkan penumpang selama ¼ jam kemudian Kereta api meneruskan perjalanan ke stesen terakhir iaitu Stesen kereta api Alor Star selepas sejam berikut. Pukul berapakah Suraya dan Marina tiba ke destinasi yang mereka tuju?
PENYELESAIAN MASALAH MODEL POLYA
1. Memahami masalah :
-Bertolak dari Dg Buloh jam 9 Malam
-Dari Sg Buloh ke Hentian Serendah:1jam + ¼ jam
-Dari Serendah keTg Malim:4jam+1/2 jam
-Dari Tg Malim ke Ipoh:2jam+1/2 jam
-Dari Ipoh ke Sg petani:1 ½ jam+1/4 jam
-Dari Sg Petani ke Alor Star : 1jam
-Masalah :Pukul berapa mereka tiba
2. Rencanakan rancangan penyelesaian
- STRATEGI 1: Pengiraan matematik
- STRATEGI 2: Jadual
3. Melaksanakan rancangan penyelesaian
-Tambah kesemua masa perjalanan
-Tambah dengan waktu awal perjalanan
4
STRATEGI 1: PENGIRAAN MATEMATIK
Dari Sungai Buloh ke Serendah: 9.00 pm + 1 jam 15 minit = 10.15 pm
Dari Serendah ke Tg Malim: 10.15 pm + 4 jam 30 minit = 2.45 am
Dari Tg Malim ke Ipoh: 2.45 am + 2 jam 30 minit = 5.15 am
Dari Ipoh ke Sg Petani: 5.15 am + 1 jam 45 minit = 7.00 am
Dari Sg Petani dan tiba di Alor Star: 7.00 am + 1 jam = 8.00 am
Jawapannya ialah Marina dan Suraya tiba di Alor Star pada jam 8 pagi.
5
STRATEGI 2: JADUAL
JADUAL WAKTU KERETA APITEMPAT
BERTOLAKMASA
BERTOLAKTEMPAT DITUJUI
MASA SAMPAI + MASA REHAT
BERTOLAK SEMULA
SG BULOH 9.00 PM SERENDAH 10.00 PM +15 MIN 10.15 PM
SERENDAH 10.15 PM TG MALIM 2.15 AM +30 MIN 2.45 AM
TG MALIM 2.45 AM IPOH 4.45 AM +30 MIN 5.15 AM
IPOH 5.15 AM SG PETANI 6.45 AM +15 MIN 7.00 AM
SG PETANI 7.00 AM ALOR STAR 8.00 AM
JAWAPAN: MARINA DAN SURAYA TIBA KE DESTINASI PADA JAM 8.00 AM
4.Lihat dan semak kembali
Jika ditambah kesemua masa perjalanan iaitu 10 jam 30 minit dengan masa awal bertolak
memang munasabahlah jawapan yang diberikan iaitu 9.00 malam tambah 11 jam maka
benarlah keretapi itu tiba jam 8.00 pagi.
5.Justifikasi
Berdasarkan pemerhatian saya, strategi yang lebih sesuai digunakan ialah STRATEGI 2 kerana
jalan penyelesaiannya yang mudah dan lebih teratur. Kedua-dua strategi sama-sama mudah
difahami tetapi STRATEGI 2 kelihatan lebih kemas dan tidak berserabut dengan bentuk yang
pelbagai tidak seperti STRATEGI 1.
3.2 Masalah 2
Hakimi telah pergi ke kedai untuk membeli 3 tin sardin,lima buku roti,dan 6 bungkus tepung pesanan ibunya. Jumlah harga 3 tin sardin adalah rm 7.50. Harga 5 buku roti pula rm 6.50. Jumlah kesemua barang yang perlu dibayar oleh Hakimi adalah rm 26. Berapakah harga 1 bungkus biskut yang dibelinya sebanyak 6 bungkus?
6
PENYELESAIAN MASALAH MODEL POLYA
1. Memahami masalah
-harga 3 tin sardin ialah RM7.50
-harga 5 buku roti ialah RM 6.50
-harga kesemua barang ialah RM 26.00
-harga 6 bungkus tepung adalah hasil tolak harga tin sardine dan roti.
-
2. Rencanakan rancangan penyelesaian
- STRATEGI 1: lakonan semula
- STRATEGI 2: working backward
3. Melaksanakan rancangan penyelesaian
STRATEGI 1 : UJI KAJI DAN SIMULASI
1. Sediakan 3 tin kosong dan dibalut dengan kertas berlabel RM 2.50 setiap satu unit
2. Sediakan plastik barang dan masukkan span kedalamnya sebagai model buku roti.
Plastik haruslah diikat dan juga dilabelkan harga iaitu RM 1.30 sebungkus.
3. Kemudian dapatkan kertas nila dan dan digunting bentuk segi empat. Lukis gambar
plastic tepung di atas kertas nila tersebut tanpa tanda harga.
4. Guna 3 individu yang berlakon sebagai Emak, Hakimi dan Pakcik Man.
5. Situasi lakonan berlaku seakan akan berlaku di dalam rumah dan di sebuah kedai runcit.
6. Contoh situasi dapat dilihat di dalam dialog di bawah.
7
8
STRATEGI 2: WORKING BACKWARD
BARANG BILANGAN JUMLAH HARGA SEUNIT
SARDIN RM 7.50 RM 2.50
ROTI RM6.50 RM1.30
TEPUNG GANDUM
X Y
JUMLAH SEMUA RM 26
6x + RM 7.50 + RM 6.50 = RM 26.00
6x= RM 26.00 – RM 7.50 – RM 6.50
6x= RM 12
x= RM 12 ÷ 6
x= 2 #
4.Lihat dan semak kembali
Jika jawapan sebungkus tepung beharga RM 2,kita boleh menyemak kembali dengan menambahkan semula harga 3 tin sardin,5 buku roti,dan 6 bungkus tepung dapatkah jumlah kesemuanya RM 26.Jawapannya adalah munasabah kerana apabila ditambah jumlah 3 tin sardin 7.50,5 buku roti 6.50,dan jumlah tepung RM 12 dapatlah RM26
9
5. Justifikasi
Pada pendapat kami, strategi 2 lebih menjadi pilihan kami.Hal ini kerana strategi 2 lebih jelas
dan mudah difahami.Strategi ini juga lebih tersusun dan boleh dilaksanakan dengan
mudah.Berbeza pula dengan strategi 1 yang agak kompleks dan tidak nyata kerana strategi ini
berbentuk lakonan lisan sahaja tanpa bukti bertulis.
3.3 Masalah 3
Azura telah pergi bercuti ke I-City Shah Alam. Di sana dia telah melakukan 2 aktiviti di mana dia
telah membayar RM 10 untuk kedua-dua aktiviti tersebut. Dia telah mendapat pulangan baki
sebanyak RM 3.75. Apakah kedua-dua aktiviti yang dilakukannya? Berikut merupakan senarai
aktiviti di tempat percutiannya beserta harga:
AKTIVITI BAYARAN
Wayang RM3.50
Golf RM3.00
Meluncur RM2.00
Cable Car RM2.75
PENYELESAIAN MASALAH MODEL POLYA
1. Memahami masalah
-duit yang dibayar oleh Azura: RM 10
-baki duit: RM 3.75
-jumlah bayaran sebenar aktiviti = RM 10 – RM 3.75 = RM 6.25
2. Rencanakan rancangan penyelesaian
- STRATEGI 1: melukis gambar rajah pokok
- STRATEGI 2: teka dan semak
3. Melaksanakan rancangan penyelesaian
10
STRATEGI 1: MELUKIS GAMBAR RAJAH POKOK
11
GOLFRM 3.00WAYANGRM 3.50RM 6.50
MELUNCURRM 2.00RM 5.00
CABLE CARRM 2.75RM 5.75
WAYANGRM 3.50GOLFRM 3.00RM 6.50
MELUNCURRM 2.OORM 5.50
CABLE CARRM 2.75RM 6.25
MELUNCURRM 2.00WAYANGRM 3.50RM 5.50GOLF
RM 3.00RM 5.00CABLE CAR
RM 2.75RM 4.75
CABLE CARRM 2.75
WAYANGRM 3.50
RM 6.25
GOLFRM 3.00
RM 5.75
MELUNCURRM 2.00
RM 4.75
STRATEGI 2: TEKA DAN SEMAK
AKTIVITI BAYARAN
Wayang RM3.50
Golf RM3.00
Meluncur RM2.00
Cable Car RM2.75
CUBAAN
-wayang + meluncur -RM3.50 + RM2.00 = RM5.50. (kurang daripada RM 6.25)
-golf + cable car- RM 3.00+ RM 2.75= RM 5.75. (kurang daripada RM 6.25)
-wayang + cable car – RM 3.50 + RM 2.75 = RM 6.25 (TEPAT)
Oleh itu, dapat dilihat di sini bahawa 2 aktiviti yang dilakukan oleh Azura ialah menonton
wayang dan cable car
4.Lihat Kembali
- Jawapan yang diperoleh amat logik.
- Jawapan menjawab soalan.
5.Justifikasi
Daripada pemerhatian, saya berpendapat bahawa STRATEGI 1 lebih sesuai digunakan kerana
rajah pokok yang dihasilkan menunjukkan kepada kita semua kemungkinan aktiviti yang
dilakukan oleh Azura. Dan dengan senangnya kita dapat mengesan aktiviti yang dilakukannya
berdasarkan jumlah bayaran 2 aktiviti yang dilakukan. STRATEGI 2 kurang sesuai
memandangkan ianya memerlukan masa yang lama. Jika kita asyik meneka tetapi jawapan
masih belum diperoleh, soalan itu lambat untuk diselesaikan. Teka- meneka ini kebiasaannya
bergantung kepada nasib. Jika seseorang itu mendapat jawapan dengan sekali teka, mungkin
itu memang nasibnya.
BIBLIOGRAFI
12
Buku-Buku
Mohd. Uzi Dollah. (2006). Pengajaran Dan Pembelajaran Matematik Melalui Penyelesaian Masalah. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa Dan Pustaka.
Noor Shah Saad. (2001). Teori Dan Perkaedahan Pendidikan Matematik. Petaling Jaya: Pearson Education Malaysia Sdn. Bhd.
13
LAMPIRAN
14