Post on 06-Feb-2020
Transformasi LinierMatematika Lanjut 1
Dr. Ahmad Sabri
Universitas Gunadarma
Definisi dan teorema
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 2
Definisi [Transformasi Linier]. Diberikan ruang vektor ๐ dan ๐. Fungsi๐น: ๐ โ ๐ disebut transformasi linier jika:
i. ๐น ๐ฎ + ๐ฏ = ๐น ๐ฎ + ๐น(๐ฏ)
ii. ๐น ๐๐ฎ = ๐๐น(๐ฎ)
untuk semua vektor u, v pada V dan semua skalar k.
Contoh: ๐น: ๐ 2 โ ๐ 3 adalah sebuah transformasi linier.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 3
Buktikan ๐น (๐ฅ, ๐ฆ) = (๐ฅ, ๐ฅ + ๐ฆ, ๐ฅ โ ๐ฆ) adalah transformasi linier.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 4
Sifat-sifat
Teorema. Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah transformasi linier, maka:
a) ๐ ๐ = ๐
b) ๐ โ๐ฏ = โ๐(๐ฏ) untuk semua v di V
c) ๐ ๐ฏ โ ๐ฐ = ๐ ๐ฏ โ ๐(๐ฐ) untuk semua v,w di V
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 5
Definisi. Untuk ๐: ๐ โ ๐ transformasi linier,
โข Himpunan semua ๐ฏ โ ๐ sehingga ๐ ๐ฏ = ๐ disebut kernel (ruang nol) dari T, dan dinotasikan sebagai ker(๐).
โข Himpunan semua ๐ฐ โ ๐ yang merupakan peta dari T disebutjangkauan dari T, dan dinotasikan sebagai ๐ (๐).
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 6
โข tinjau kembali slide no. 11 materi โ06 Solusi SPLโ
โข Dengan eliminasi Gauss-Jordan, diperoleh matriks eselon baris :
1 1 0 0 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0
โข basis dari ruang pemecahan adalah
vektor ๐ฃ1 =
โ11000
dan ๐ฃ2 =
โ10โ101
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 7
Masalah tersebut dapat dipandang sebagai mencari kernel dari sebuahtransformasi linier, dengan matriks transformasi
๐ด =
2 2 โ1 0 1โ1 โ1 2 โ3 11 1 โ2 0 โ10 0 1 1 1
Menemukan solusi ๐ด๐ฑ = 0 ekivalen dengan menemukan kernel daritransformasi linier ๐ ๐ฑ = ๐ด๐ฑ, yang diberikan oleh:
ker ๐ = ๐ โ1,1,0,0,0 + ๐ก โ1,0, โ1,0,1 ๐ , ๐ก โ ๐
dalam hal ini dimensi dari ker(๐) adalah 2Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 8
Teorema. Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah transformasi linier, maka:
a) ker(๐) adalah subruang dari V
b) ๐ (๐) adalah subruang dari W.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 9
Diberikan basis-basis ๐ = ๐ฏ๐, ๐ฏ๐, ๐ฏ๐ untuk ๐ 3, di mana ๐ฏ๐ =1,1,1 , ๐ฏ๐ = 1,1,0 , ๐ฏ๐ = (1,0,0). Sebuah transformasi linier ๐: ๐ 3 โ๐ 2 pada vektor-vektor basis memberikan:
๐ ๐ฏ๐ = 1,0 ; ๐ ๐ฏ๐ = 2,โ1 ; ๐ ๐ฏ๐ = (4,3)
a) Temukanlah formula untuk T
b) Tentukan ๐(2, โ3,5)
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 10
Definisi. Diberikan transformasi linier ๐: ๐ โ ๐.
โข Dimensi dari ker(๐) disebut nulitas T,
โข Dimensi jangkauan dari T disebut rank T.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 11
Teorema. Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah transformasi linier dan V berdimensi n, maka: rank T + nulitas T = n.
Teorema. Jika A matriks ๐ ร ๐, maka dimensi ruang pemecahan untuk๐ด๐ฑ = ๐ adalah ๐ โ ๐๐๐๐(๐ด).
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 12
(lihat slide no. 11 materi โ06 Solusi SPLโ)
๐ด =
2 2 โ1 0 1โ1 โ1 2 โ3 11 1 โ2 0 โ10 0 1 1 1
, ekivalen dengan matriks eselon baris
1 1 0 0 10 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 0
, sehingga rank(A) = 3
maka dimensi dari ruang pemecahan untuk ๐ด๐ฑ = ๐ adalah ๐ โ ๐๐๐๐ ๐ด =5 โ 3 = 2.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 13
Transformasi Linier ๐ ๐ke ๐ ๐
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 14
โข Misalkan A matriks berukuran ๐ ร ๐, dan v vektor di ๐ ๐.
โข ๐ ๐ฑ = ๐ด๐ฑ merupakan transformasi linier yang memetakan vektor di ๐ ๐ ke vektor di ๐ ๐.
โข Transformasi linier ๐: ๐ ๐ โ ๐ ๐ disebut juga transformasi matriks.
Bukti:๐ ๐ฎ + ๐ฏ = ๐ด ๐ฎ + ๐ฏ = ๐ด๐ฎ + ๐ด๐ฏ = ๐ ๐ฎ + ๐(๐ฏ)๐ ๐๐ฎ = ๐ด ๐๐ฎ = ๐๐ด ๐ฎ = ๐๐(๐ฎ)
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 15
Teorema. Jika
โข ๐: ๐ ๐ โ ๐ ๐ adalah transformasi linier, dan
โข ๐1, ๐2, โฏ , ๐๐ adalah basis baku untuk ๐ ๐,
maka ๐ ๐ฏ = ๐ด๐ฎ, di mana ๐ด = ๐(๐1) ๐(๐2) โฏ ๐(๐๐)
Matriks A disebut matriks baku untuk T.
Dengan kata lain, setiap transformasi linier dapat dinyatakan sebagaitransformasi matriks.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 16
Temukanlah matriks baku untuk ๐: ๐ 3 โ ๐ 4 yang didefinisikan oleh:
๐
๐ฅ1๐ฅ2๐ฅ3
=
๐ฅ1 + ๐ฅ2๐ฅ1 โ ๐ฅ2๐ฅ3๐ฅ1
Jawab:
๐ ๐1 = ๐100
=
1101
, ๐ ๐2 = ๐010
=
1โ100
, ๐ ๐3 = ๐001
=
0010
๐ด = ๐ ๐1 ๐ ๐2 ๐ ๐3 =
1 1 01 โ1 00 0 11 0 0
. Cek: ๐ด
๐ฅ1๐ฅ2๐ฅ3
=
1 1 01 โ1 00 0 11 0 0
๐ฅ1๐ฅ2๐ฅ3
=
๐ฅ1 + ๐ฅ2๐ฅ1 โ ๐ฅ2๐ฅ3๐ฅ1Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 17
Transformasi linier bidang
โข Transformasi linier bidang adalah ๐: ๐ 2 โ ๐ 2.
โข Transformasi utama pada bidang:1. Rotasi
2. Refleksi
3. Ekspansi/kompresi
4. Shearing
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 18
โข Refleksi โข Ekspansi/kompresi
โข Shear
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 19
Transformasi Fungsi Transformasi Matriks Transformasi
Rotasi terhadaptitik pusat
๐๐ฅ๐ฆ =
๐ฅ cos ๐ โ ๐ฆ sin ๐๐ฅ sin ๐ + ๐ฆ cos ๐
cos ๐ โ sin ๐sin ๐ cos ๐
Refleksi terhadapsumbu Y
๐๐ฅ๐ฆ =
โ๐ฅ๐ฆ
โ1 00 1
Refleksi terhadapsumbu X
๐๐ฅ๐ฆ =
๐ฅโ๐ฆ
1 00 โ1
Refleksi terhadapgaris ๐ฆ = ๐ฅ
๐๐ฅ๐ฆ =
๐ฆ๐ฅ
0 11 0
Ekspansi/kompresiarah x dengan faktor k
๐๐ฅ๐ฆ =
๐๐ฅ๐ฆ
๐ 00 1
Ekspansi/kompresiarah y dengan faktor k
๐๐ฅ๐ฆ =
๐ฅ๐๐ฆ
1 00 ๐
Shearing arah xdengan faktor k
๐๐ฅ๐ฆ =
๐ฅ + ๐๐ฆ๐ฆ
1 ๐0 1
Shearing arah ydengan faktor k
๐๐ฅ๐ฆ =
๐ฅ๐๐ฅ + ๐ฆ
1 0๐ 1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 20
Jika ๐: ๐ 2 โ ๐ 2 adalah perkalian oleh sebuah matriks elementer, maka efekgeometris dari transformasi tersebut adalah salah satu dari yang berikut:
1. Shearing sepanjang sumbu koordinat: 1 0๐ 1
,1 ๐0 1
2. Refleksi terhadap ๐ฆ = ๐ฅ: 0 11 0
3. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat: ๐ 00 1
,1 00 ๐
4. Refleksi terhadap sumbu koordinat: โ1 00 1
,1 00 โ1
5. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat diikuti oleh refleksiterhadap sumbu koordinat
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 21
โข Jika ๐: ๐ 2 โ ๐ 2 adalah perkalian dengan sebuah matriks A yang non-singular, maka T memetakan (๐ฅ, ๐ฆ) ke ๐ฅโฒ, ๐ฆโฒ sebagaimana berikut:
๐ฅโฒ๐ฆโฒ
= ๐ด๐ฅ๐ฆ
โข oleh karena A non-singular, maka:๐ฅ๐ฆ = ๐ดโ1
๐ฅโฒ๐ฆโฒ
โข transformasi dengan matriks ๐ด dan ๐ดโ1 disebut transformasi-transformasi invers
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 22
Teorema. Jika ๐: ๐ 2 โ ๐ 2 adalah perkalian oleh matriks A yang non-singular, maka efek geometrik dari T sama dengan shearing, kompresi, ekspansi, dan refleksi yang dilakukan berdasarkan urutan perkalianmatriks-matriks elementer pembentuk A.
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 23
Contoh: Nyatakanlah ๐ด =1 23 4
sebagai hasil kali matriks elementer, dan jelaskan
efek geometrik perkalian oleh A.
Jawab:
1 23 4
๐2โ3๐1 1 20 โ2
โ12๐2 1 2
0 1
๐1โ2๐2 1 00 1
๐ธ1 =1 0โ3 1
, ๐ธ2 =1 00 โ
12, ๐ธ3 =
1 โ20 1
๐ด = ๐ธ1โ1๐ธ2
โ1๐ธ3โ1 =
1 03 1
1 00 โ2
1 20 1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 24
Efek geometris:
1.1 20 1
shearing arah x dengan
faktor 2
2.1 00 โ2
ekspansi arah y
dengan faktor -2
3.1 03 1
shearing arah y dengan
faktor 2
Sebuah persegi memiliki titik sudut ๐1 0,0 , ๐2 1,0 , ๐3 0,1 , ๐4(1,1). Gambarlah urutan efek geometrik dari peta persegi tersebut berdasarkan
transformasi matriks ๐ด =โ1 22 โ1
.
โ1 22 โ1
๐2+2๐1 โ1 20 3
13๐2 โ1 2
0 1
โ๐1 1 โ20 1
๐1+2๐2 1 00 1
๐ธ1 =1 02 1
, ๐ธ2 =1 00 1
3, ๐ธ3 =
โ1 00 1
, ๐ธ4 =1 20 1
๐ธ1โ1 =
1 0โ2 1
, ๐ธ2โ1 =
1 00 3
, ๐ธ3โ1 =
โ1 00 1
, ๐ธ4โ1 =
1 โ20 1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 25
๐ด๐ = ๐ธ1โ1๐ธ2
โ1๐ธ3โ1๐ธ4
โ1๐
โข ๐ธ4โ1 0 1 1 0
0 0 1 1=
0 1 โ1 โ20 0 1 1
โข ๐ธ3โ1 0 1 โ1 โ2
0 0 1 1=
0 โ1 1 20 0 1 1
โข ๐ธ2โ1 0 โ1 1 2
0 0 1 1=
0 โ1 1 20 0 3 3
โข ๐ธ1โ1 0 โ1 1 2
0 0 3 3=
0 โ1 1 20 2 1 โ1
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 26
Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 27