04-Fungsi-Hiperbolik
-
Upload
tika-puspita -
Category
Documents
-
view
17 -
download
0
description
Transcript of 04-Fungsi-Hiperbolik
-
Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK
Matematika
FTP UB
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Pendahuluan
Diketahui
Maka
Jika
Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi
eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik
cos sin and cos sinj jj e j e
cos2
j je e
cos2 2
jjx jjx x xe e e ejx
cosh2
x xe ex
jx
-
Matematika
Pendahuluan
Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut
sinus hiperbolik
Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus
hiperbolik disebut tangen hipebolik
sinh2
x xe ex
sinhtanh
cosh
x x
x x
x e exe ex
-
Matematika
Pendahuluan
Deret pangkat fungsi eksponensial
Sehingga diperoleh
2 3 4 2 3 41 ... and 1 ...
2! 3! 3! 2! 3! 3!x xx x x x x xe x e x
2 4 6 3 5 7cosh 1 ... and sinh ...
2! 3! 6! 3! 5! 7!x x x x x xx x x
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Grafik dari Fungsi Hiperbolik
Grafik sinus hiperbolik dan kosinus
hiperbolik
-
Matematika
Grafik dari Fungsi Hiperbolik
Grafik tangen hiperbolik
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik
Nilai sinh x, cosh x dan tanh x dapat dicari
dengan menggunakan kalkulator atau
tombol eksponensial
Sebagai contoh:
1.275 1.275 3.579 0.279sinh1.275 1.65 to 2dp
2 2
e e
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Fungsi Hiperbolik Invers
Untuk mencari sebuah fungsi hiperbolik invers mengunakan kalkulator tanpa fasilitas yang dibutuhkan untuk menggunakan fungsi eksponensial
Sebagai contoh, untuk mencari nilai sinh-1 1.475 diperlukan terlebih dahulu mengetahui nilai x sehingga sinh x = 1.475. Dengan cara:
Sehingga didapat:
21 2.950 so that 2.950 1 0x x xx
e e ee
3.257 or 0.307 so 1.1808xe x
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers
Jika y = sinh-1x maka x = sinh y. maka:
Sehingga:
Oleh karena itu,
22 so that 2 1 0y y y ye e x e xe
2
2-1
1
sinh ln 1
ye x x
y x x x
-
Matematika
Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers
Dengan cara yang sama
2-1
-1
cosh ln 1
11 tanh ln
12
y x x x
xy x
x
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Identitas Hiperbolik
Seperti rasio trigonometrik lainnya,
terdapat fungsi-fungsi hiperbolik kebalikan
1 cothtanh
1 sechcosh
1cosechsinh
xx
xx
xx
-
Matematika
Identitas Hiperbolik
Dari definisi cosh x dan sinh x
2 2
2 2
2 2 2 2
cosh sinh2 2
2 2
4 4
1
x x x x
x x x x
e e e ex x
e e e e
2 2 cosh sinh 1x x
-
Matematika
Identitas Hiperbolik
Dengan cara yang sama
2 2
2 2
sech 1 tanh
cosech coth 1
x x
x x
2 2
2
2
2
sinh2 2sinh cosh
cosh2 cosh sinh
1 2sinh
2cosh 1
2 tanhtanh2
1 tanh
x x x
x x x
x
x
xx
x
-
Matematika
Pokok Bahasan
Pendahuluan
Grafik dari fungsi hiperbolik
Menentukan nilai fungsi hiperbolik
Fungsi hiperbolik invers
Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
Identitas hiperbolik
Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
-
Matematika
Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik
Diketahui
Maka untuk
cos and sin2 2
j j j je e e ej
cos cosh
sin sinh
jx x
j x jx
jx
-
Matematika
Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik
Dengan cara yang sama
Lebih lanjut
cosh cos
sin sinh
jx x
jx j x
tanh tan
tan tanh
jx j x
jx j x
-
Matematika
Hasil Pembelajaran
Mendefinisikan fungsi hiperbolik dalam bentuk fungsi eksponensial
Menyatakan fungsi hiperbolik sebagai deret pangkat
Mengenal grafik fungsi hiperbolik
Mencari nilai fungsi hiperbolik dan inversnya
Menentukan bentuk logaritmik dari fungsi hiperbolik invers
Membuktikan identitas trigonometrik hiperbolik
Memahami hubungan antara fungsi trigonometrik melingkar dan hiperbolik