Fungsi dan Grafik - Darpublic · Fungsi Eksponensial 10. Fungsi Hiperbolik 11. Fungsi dalam...
Transcript of Fungsi dan Grafik - Darpublic · Fungsi Eksponensial 10. Fungsi Hiperbolik 11. Fungsi dalam...
7/23/2013
1
Fungsi dan Grafik
Sudaryatno Sudirham
1
Pokok Bahasan mencakup
1. Pengertian Tentang Fungsi2. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural9. Fungsi Eksponensial10. Fungsi Hiperbolik11. Fungsi dalam Koordinat Polar
2
Pembatasan
Pembahasan Fungsi dan Grafikdibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata
3 4
7/23/2013
2
FungsiApabila suatu besaran y
maka dikatakan bahwa
memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x
y merupakan fungsi x
5
panjang sebatang batang logam (= y)
merupakan fungsi temperatur (= x)
Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan
)(xfy =
y disebut peubah tak bebas
nilainya tergantung x
x disebut peubah bebas
bisa bernilai sembarang
Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupabilangan nyata.
Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.
Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai xtetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi
Contoh:
6
Domain
Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.
a brentang terbuka
a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang
rentang setengah terbuka a b
a ≤≤≤≤ x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak
rentang tertutup a b
a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b a dan b masuk dalam rentang
Ada tiga macam rentang nilai yaitu:
7
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku
P[2,1]
Q[-2,2]
R[-3,-3]
S[3,-2]
-4
-3
-2
-1
1
2
3y
0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
IV
III
III
sumbu-x
sumbu-y
Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebutsumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.
Bidang terbagi dalam 4 kuadranyaitu Kuadran I, II, III, dan IV
(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)
Posisi titik pada bidangdinyatakan dalam
koordinat [x, y]
8
7/23/2013
3
Kurva dari Suatu Fungsi
xy 5,0=
Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y
x -1 0 1 2 3 4 dst.
y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-1
0 1 2 3 4 x
y
∆x∆y
P
RQ
xy 5,0=Kurva
Titik P, Q, R, terletak pada kurva
Kemiringan kurva: x
y
∆∆
Kita lihat fungsi:
(kita baca: “delta x per delta y”)
9
Kekontinyuan
Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.
Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:
(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;
(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai
yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).
)()(lim cfxfcx
=→
10
Contoh:
y = 1/x
y = 1/x
y
x
-1
0
1
-10 -5 0 5 10
Tak terdefinisikan di x = 0
y = u(x)1y
x00
Terdefinisikan di x = 0
yaitu y|x=0 = 1
(y untuk x = 0 adalah 1)
(y untuk x = 0 tidak dapatditentukan nilainya)
11
Simetri
1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
12
7/23/2013
4
Contoh:
y = 0,3x2
y = 0,05x3
y2 + x2 = 9
x
-6
-3
0
3
6
-6 -3 0 3 6
y
tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y
tidak berubah bila x diganti −x
tidak berubah jika:x diganti −xx dan y diganti dengan −x dan −yx dan y dipertukarkany diganti dengan −y
(simetris terhadap sumbu-y)
(simetris terhadap titik [0,0])
13
Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit
8
1
1
22
2
22
=++
=
==+
yxyx
xy
xy
yx
)(xfy =Pernyataan fungsi
Pernyataan bentukimplisit
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x
akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y
dapat diubah ke bentuk eksplisit
/1
1 2
xy
xy
xy
=
=−=
0)8( 22 =−++ xxyy
2
)8(4
2
22 −−±−=
xxxy
disebut bentuk eksplisit.
-8
-4
0
4
8
-4 -2 0 2 4
x
y
14
Fungsi Bernilai Tunggal
Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
0
4
8
-1 0 1 2 3 4x
y25,0 xy =
0
0,8
1,6
0 1 2x
y
xy +=
-1,6
-0,8
00 1 2
x
y xy −=
-0,8
0
0,8
0 1 2 3 4x
y xy 10log=
0
2
4
-4 -2 0 2 4x
y
2xxy ==
Contoh:
15
Fungsi Bernilai Banyak
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3
x
y
xy ±=
Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memilikilebih dari satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3x
y
xy /12 = xy /1±=
Contoh:
16
7/23/2013
5
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:
),,,,( vuzyxfw =
Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya
2222 zyx ++=ρ
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai
222 zyx +++=ρ
17
Sistem Koordinat Polar
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem
koordinat polar.
Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ
Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut
θ= sinry
θ= cosrx
22 yxr +=
)/(tan 1 xy−=θx
P
θ
r
y
rsinθ
rcosθ
18
Contoh:
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1
y
x
r
θ
P[r,θ]
Bentuk ini disebut cardioid
)cos1(2 θ−=r
19
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1 0 1 2 3x
y
r
θ
P[r,θ]y = 2
2=θrContoh:
20
7/23/2013
6
21
Fungsi Tetapan
Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.
ky =
x
-4
0
5
-5 0 5
y y = 4
5.3−=y
Contoh:
22
Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]
mxy =
kemiringan garis lurus
∆∆
==" delta"
" delta" :dibaca , kemiringan
x
y
x
ym
0
1
2
-1
0 1 2 3 4 x
y
∆x∆y
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4 x
y
y = 0,5x
y = x
y = 2x
y = -1,5x
m > 0
m < 0
Contoh:
garis lurus melalui [0,0]
23
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus
y = 2x
y − 2 = 2x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 0 1 2 3 4x
y
mxby =− )(
y = 2x
y =2(x–1)
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
)( axmy −=Secara umum, persamaan garis lurusyang tergeser sebesar
b ke arah sumbu-y positif adalah
menunjukkanpergeseran sebesar a
ke arah sumbu-x positif
titik potongdengan sumbu-y
titik potongdengan sumbu-x
bmxy +=amxy ′+=
Bentuk umum persamaan garis lurus
pergeseran kearah sumbu-y
pergeseran kearah sumbu-x
menunjukkanpergeseran sebesar b
ke arah sumbu-y positif24
7/23/2013
7
Contoh:
Persamaan garis: xy 24 −=−
202
40
12
12 −=−−=
−−=
∆∆=
xx
yy
x
ym
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
memotong sumbuy di 4
memotong sumbux di 2
atau )2(2 −−= xy42 +−= xy
dapat dilihat sebagai garismelalui (0,0) yaitu
y = -2xyang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x
25
12
12
xx
yym
−−
=
xxx
yymxy
11
12
−−
==
Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik
[x1,y1]
[x2,y2]
-4
-2
0
2
4
6
8
-1 0 1 3x
y
2
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
[1,4]
[3,8] 213
48
12
12 =−−=
−−=
xx
yym
persamaan garis: xby 2=− atau )(2 axy −=
24 =− b )3(28 a−=
2=b 1−=a
xy 22=− )1(2 += xy
22 += xy
Contoh:
Persamaan garis lurusmelalui [0,0] yang sejajardengan garis yang melalui
P dan Q
P
Q
Garis ini harus digeserhingga melalui P dan Q
26
Perpotongan Garis Lurus
111 bxay += 222 bxay +=
2211 bxabxa +=+
2P2P1P1P
21
12P
atau
bxaybxay
aa
bbx
+=+=⇒
−−=⇒
Contoh:84dan 32 21 −=+= xyxy
5,5843221 =→−=+→= xxxyy
1435,5232 =+×=+= xy
Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2.
Dua garis:
Koordinat titik potong P harus memenuhi:
dan
-30
-20
-10
0
10
20
30
-10 -5 0 5 10
y
x
y2
y1
P
xP
yP
Titik potong: 14] P[(5,5),
27
Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata
Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a
maF = atvtv += 0)(
]]]]anoda katoda
l
Contoh:
Contoh:
e
e
m
Fa =
Beda tegangan antara anoda dan katoda dalamtabung katoda adalah V
Kuat medan listrik:l
VE =
Gaya pada elektron:l
eVeEFe ==
Percepatan pada elektron:
gaya fungsi linier dari V
percepatan fungsi linier dari Fe
Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?28
7/23/2013
8
Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier daripanjang tarikan.
Contoh:
kxF =
Contoh:Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.
R
VGVi ==
RG
1=
A
lR ρ=
RA
V
A
ij ==
gaya panjang tarikankonstanta pegas
konduktansi resistansi
kerapatan arusresistivitas
G dan R adalah tetapan
Luas penampang konduktor
panjangkonduktor
29
Contoh:
materimasuk di xa
materikeluar di x
xa x
Ca
Cx
∆x
Peristiwa difusi mencapaikeadaan mantap,jika
konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan
Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.
Peristiwa difusi: materi menembus materi lain
dx
dCDJ x −=
gradienkonsentrasi
koefisien difusi
Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi
Fluksi materi yang berdifusi ke arah x
30
31
Fungsi Anak Tangga
0untuk 0
0untuk 1)(
<=≥=
x
xxu
)(xkuy =
muncul pada x = 0
amplitudo
Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi
di x = 0
Fungsi anak tangga satuan
Secara umum
0
2
0 5x
y
1
1)(xuy =
)(xuy =
Contoh:
-4
0
5
0 5x
y)(5,3 xuy =
)(5,2 xuy −= 32
7/23/2013
9
)( axkuy −=Fungsi anak tangga tergeser
-4
0
5
0 5x
y
1
)1(5,3 −= xuy
Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif
Contoh:
33
Fungsi Ramp )(xaxuy =
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3 4x
y y1 = xu(x)y2 = 2xu(x)
y3 = 1,5(x-2)u(x-2)
Fungsi ramp tergeser: )()( gxugxay −−=
Fungsi ramp satuan : )(xxuy =
Contoh:
kemiringan a = 1
kemiringan
Fungsi ini baru muncul pada x = 0karena ada faktor u(x) yang
didefinisikan muncul pada x = 0(fungsi anak tangga)
Pergeseransearah sumbu-x
34
Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatunilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1
)()( 21 xxauxxauy −−−= :persamaan
12 xx −:pulsalebar
{ })2()1(2 −−−= xuxu
y1=2u(x-1)
y2 = −2u(x−2)
y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)
lebar pulsa
-2
-1
0
1
2
-1 0 1 2 3 4x
perioda
x
y
Deretan Pulsa:
Contoh:
35
Perkalian Ramp dan Pulsa
{ } )()()( 21 xxuxxuAxmxuy −−−×=
{ })()( 21 xxuxxumAxy −−−=
ramp pulsahanya mempunyai nilaidalam selang lebarnya
y1=2xu(x)
y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}
y3 = y1 y2
0
2
4
6
8
10
-1 0 1 2 3 4 5x
y
Contoh:
maka y jugaakan bernilaidalam selang
lebar pulsa saja
36
7/23/2013
10
y2 = {u(x)-u(x-b)}
y1 = mxu(x)
y3 = y1 y2
= mx{ u(x)-u(x-b)}
0
2
4
6
8
10
-1 0 1 2 3 4 5yy
xb
Contoh:
37
Gabungan Fungsi Ramp
.......)()()()()( 2211 +−−+−−+= xxuxxcxxuxxbxaxuy
Contoh:
y1= 2xu(x)
y2= −2(x−2)u(x−2)
y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)y
-8
-4
0
4
8
12
0 1 2 3 4 5x
Kemiringan yang berlawananmembuat y3 bernilai konstanmulai dari x tertentu
38
y1=2xu(x)
y2= −4(x−2)u(x−2)
y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5x
y
y2 lebih cepat menurun dari y1 makay3 menurun mulai dari x tertentu
Contoh:
39
y1= 2xu(x)
y2= −4(x-2)u(x-2)
y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{ u(x-1)-u(x-3)}
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5x
y
Pulsa ini membuat y3 hanyabernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3
Contoh:
40
7/23/2013
11
41
Mononom
42
Mononom
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn
Mononom Pangkat Dua: 2kxy =
y = x2
y = 3x2y = 5x2y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -2 -1 0 1 2 3x-100
-80
-60
-40
-20
0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y
x
210xy −=
22xy −=
Contoh:
y memiliki nilai maksimum
Karena x2 ≥ 0,makajika k > 0 → y > 0
jika k < 0 → y < 0
y memiliki nilai minimum
43
y1 = 10x2
y2 = 10(x−2)2
y3 = 10(x−2)2 + 30
Pergeseran kurva mononom pangkat dua
-5 -3 3 5x0
50
100
-1 1
y
Pergeseran ke arahsumbu-x positif
Pergeseran ke arahsumbu-y positif
44
7/23/2013
12
Mononom Pangkat Genap pada umumnya
y2 = 2x4
y3 = 2x6
y1 = 2x2
0
1
2
3y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x
0
2
4
6
8
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = x6
y = 3x4
y = 6x2 y
x
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai
kurva di sekitar titik puncak
Jika kurva-kurva ini memilikinilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Koordinat titik potong antara kurva
( ) 1223dan 2
236
3dan 6 :Kurva
4
242
42
===→
=→=
==
yx
xxx
xyxy
( ) 813dan 3
33
3dan :Kurva
6
246
46
===→
=→=
==
yx
xxx
xyxy
Contoh:
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y 45
Mononom Pangkat Ganjil
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 2x y = 2x5
y = 2x3
y
x
Pangkat ganjil terendah: linier
Jika kurva-kurva ini memilikinilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik[0,0] yaitu titik yang merupakan
titik belok
Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
46
Mononom Pangkat Tiga
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-2 -1 0 1
y
-5 -4 -3 2 3 4 5x
33xy −=32xy =
Mononom pangkat tiga
Simetris terhadap [0,0]
y = 10(x−2)3
y = 10(x−2)3 + 100
y = 10x3
-5 -3 3 5x
-600
-400
-200
0
200
400
600
-1 1
y
Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah
sumbu-x positif
Pergeseran ke arahsumbu-y positif
47
Polinom
48
7/23/2013
13
Polinom Pangkat Duacbxaxy ++= 2
y1=2x2
y3=13
y2=15x
x-10
y
-150
0
150
0 10
13152 2 ++= xxy
y1=2x2
y4 = 2x2+15x
y2=15xx = −15/2
y
-150
0
150
0 x-10 10
Kurva masing-masingkomponen (mononom)
dari polinom:
Penjumlahan mononompertama dan ke-dua: xxy 152 2 +=
Perpotongan dengan sumbu-x
2
151520 2 −=⇒+= xxx
49
y4 = 2x2+15x
−15/2
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri−15/4
10
y4 = 2x2+15x
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13
10
Sumbu simetri dari xxy 152 2 +=
memotong sumbu-x di: 4
15−=x
Penambahan komponen y3 = 13 memberikan:
13152 2 ++= xxy
Koordinat titik puncak:
125,15134
1515
4
152
75,34/152
−=+
−+
−=
=−=
y
x
50
y = ax2 +bx +c
y = ax2
y
x0
0
Polinom Pangkat Dua secara umum
x2x1
Sumbu simetri:
a
bx
2−=
a
acb
a
bxa
ca
b
a
bxa
cxa
bxay
4
4
2
42
22
22
2
−−
+=
+−
+=
+
+=
Pergeseran ke arah kiri sumbu-x
Pergeseran ke arah negatif sumbu-y
−−a
acb
4
42
51
Penjumlahan: y3 = y1 + y2
-2000
0
2000
-10 0 10x
y
y1
y2
20080194 233 −−+= xxxy
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua
dcxbxaxy +++= 23
Mononom pangkat tiga (y1)Dan
Polinom pangkat dua (y2)
-2000
0
2000
-10 0 10
y
x
y1 = 4x3
2008019 22 −−= xxy
y3 memotong sumbu-x di 3 titik
Hal ini tidak selalu terjadiTergantung dari nilai koefisien y152
7/23/2013
14
2000
-10 10
y2
y1
y3 = y1 + y2
-2000
Kasus:a kurang positifPenurunan kurva y1 di daerah x
negatif tidak terlalu tajamKurva terlihat hanya memotong
sumbu-x di 2 titikTitik potong ke-3 jauh di sumbu-x
negatif
-2000
2000
-10 15
y1
y2
y3 = y1+y2
Kasus:a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif
sangat tajamTak ada titik potong dengan sumbu
di daerahx negatifHanya ada satu titik potong di x
positif
31 axy =
dcxbxaxy +++= 23
31 axy =
53
y3 = y1 + y2
y1
y2
-2000
0-10 0 15
2000
dcxbxaxy +++= 23
y3 = y1 + y2
-2000
0
2000
-10 0 15
331 kxaxy −==
dcxbxy ++= 22
a < 0Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif
Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat
54
55
• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −xmaka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
• jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
• jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −xdan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Simetri
56
7/23/2013
15
Nilai Peubah
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari ydan x yang kita perhatikan
Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks
Contoh:122 =+ xy
21 xy −±=
Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0
11 ≤≤− y
Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
11 ≤≤− x
Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
57
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat
Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-ydiperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikiantidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-xmaupun sumbu-y
Contoh:
122 =+ xy
Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]
xy = 1
Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
58
Asimptot
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkinmenyentuhnya, disebut asimptot
Contoh:
10)( 222 +=− xxxy)1(
102
−+±=
xx
xy
tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0
haruslah x < 0 atau x > 1
Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva
-4
0
4
-4 0 4
y
x
59
Jarak Antara Dua Titik
Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
22 )()(PQ qpqp yyxx −+−=
Contoh:
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
[1,4]
[3,8]
20)48()13(PQ 22 =−+−=
60
7/23/2013
16
Parabola Bentuk kurva 2kxy = disebut parabola
[0,0]
y
x
y=kx2
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy = −p garis sejajar sumbu-xR terletak pada garis y
ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR
Q disebut titik fokus parabolaGaris y disebut direktrik
Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya
xppyy
xpy
xp
222
22
22
2
)(
)PR(PQ
++−=
+−=
+−= py )(PR +=
pyxppyy +=++− 222 2p
xy
4
2=
pk
4
1=
kp
4
1=
2
4
1x
py =
P[x,y]
Q[0,p]
R[x,−p]
61
Contoh:
Parabola 25,0 xy =
dapat kita tuliskan
22
5,04
1
2
1xxy
×==
Direktrik: 5,0−=−= py
Titik fokus: Q[0,(0,5)]
62
LingkaranLingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap satu titik tertentuyang disebut titik pusat lingkaran
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r
22 yxr += 222 ryx =+
persamaan lingkaranberjari-jari r
berpusat di [0.0]
222 )()( rbyax =−+−Pergeseran titikpusat lingkaransejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-y
Persamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)
63
-1
1
-1 1
0,5
0,5[0,0] x
y
r = 1
122 =+ yx
r
222 )5,0()5,0( ryx =−+−
Contoh:
64
7/23/2013
17
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
y22)(XP ycx ++=
22)(XQ ycx +−=
( )aycxycx
a
2)()(
misalkan kita 2XQXP
2222 =+−+++⇒
=+
22)( ycxxa
ca +−=−
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++
2222 )(2)( ycxaycx +−−=++
22222
22 22 yccxxx
a
ccxa ++−=+− 1
22
2
2
2=
−+
ca
y
a
x
kwadratkan
kwadratkan
sederhanakan
22 2 2XQXP :PXQ segitiga di caca >→>=+
12
2
2
2=+
b
y
a
x
222 cab −=65
12
2
2
2=+
b
y
a
x
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
y[−a,0] [a,0]
[0,b]
[0,−b]
sumbu panjang = 2a
sumbu pendek = 2b
Elips tergeser
1)()(
2
2
2
2=−+−
b
qy
a
px 122 =→= aa
5,012 =→= bb1
-1
0-1 0 1 2x
y
15,0
)25,0(
1
)5,0(2
2
2
2=−+− yx
5,0=p
25,0=q
66
HiperbolaHiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
y
x
22)(XP ycx ++=22)(XQ ycx +−=
aycxycx
XQXP
2)()( 2222 =+−−++
=−2222 )(2)( ycxaycx +−+=++
22)()/( ycxaxac +−=−
122
2
2
2
=−
−ac
y
a
x
Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ
→ 2c < 2a → c2 − a2 = b2
12
2
2
2
=−b
y
a
x
kwadratkan dan sederhanakankwadratkan
persamaan hiperbola 67
12
2
2
2
=−b
y
a
x
+∞
−∞
X(x,y)
-c c
y
x
[-a,0] [a,0]
Kurva tidak memotong sumbu-y
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a
222 acb −=
68
7/23/2013
18
Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx
Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0 −======
Lingkaran: ;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = −1
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas.
Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
69
Perputaran Sumbu Koordinat
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x
aayaxayax 2)()()()( 2222 =−+−−+++
22 )()( ayaxayx −+−=−+
22 axy =
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,
2222 )()(2)()( ayaxaayax −+−+=+++
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -5
0
5
-5 0 x
y
P[-a,-a]
Q[a,a]
y
x
X[x,y]
70
71
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kitagambarkan lingkaran-satuan, r = 1
Fungsi sinus
PQPQ
sin ==θr
Fungsi Cosinus
OQOQ
cos ==θr
Fungsi Tangent
θθ==θ
cos
sin
OQ
PQtan
θ−=−
=′
=θ− tanOQ
PQ
OQ
QP)tan(
Fungsi Cotangent
θθ==θ
sin
cos
PQ
OQcot
θ−=−
=′
=θ− cotPQ
OQ
QP
OQ)cot(
Fungsi Secan
Fungsi Cosecan
OQ
1
cos
1sec =
θ=θ
PQ
1
sin
1csc =
θ=θ
P
Q
θO[0,0]
-1
1
-1 1 x
y
r = 1
P’
-θ
θ+θ= 22 cossin1
72
7/23/2013
19
Relasi-Relasi
sinα
α
-1
1
-1 [0,0] 1 x
y
β
cosα
cosα cosβ
cosα sinβ
βsinα sinβ
sinα cosβ
73
Relasi-Relasi
sinα
α
-1
1
-1 [0,0] 1 x
y
β
cosα
cosα cosβ
cosα sinβ
βsinα sinβ
sinα cosβ
)sin( β+α βα+βα= sincoscossin
)cos( β+α βα−βα= sinsincoscos
βα+βα=β−αβα−βα=β−α
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(Karena
β−=β− sin)sin(
β=β− cos)cos(
74
Contoh:
αα=αα+αα=α+α=α cossin2sincoscossin)sin()2sin( a).
α−α=αα−αα=α+α=α 22 sincossinsincoscos)cos()2cos( b).
α+α= 22 sincos1
α=+α 2cos21)2cos(
1cos2)2cos( 2 −α=α
α−=−α 2sin21)2cos(α−=α 2sin21)2cos(
α−α=α 22 sincos)2cos(c).
75
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
2
)sin()sin(cossin
β−α+β+α=βα
2
)cos()cos(coscos
β−α+β+α=βα
βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(
2
)cos()cos(sinsin
β+α−β−α=βα
βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(
βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(
Contoh:
βα−βα=β−α sincoscossin)sin(
d).
βα=β−α+β+α cossin2)sin()sin(
e). βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(
βα=β−α+β+α coscos2)cos()cos(
f).
βα=β+α−β−α sinsin2)cos()cos(
76
7/23/2013
20
Fungsi Trigonometri Normal
77
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y
perioda
-1
0
1
0 x
y
2ππ−πx
y
-1
0
1
0−π π 2π−2π
perioda
)2/cos()sin( π−== xxy
pergeseran fungsi cosinus sejauhπ/2 ke arah sumbu-x positif
Contoh:oooo 34cos)9056cos(56sin =−=
)sin(xy = )cos(xy =
Fungsi Sinus Fungsi Cosinus
78
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3π/4 0-π/2 π/4 π/2 3π/4-π/4
Fungsi Tangent
θ=
θθ
=θcot
1
cos
sintan
asimptot
Rentang: -π/4 < tanθ < π/4π/4 < tanθ < 3π/4dst.
Lebar rentang: π/2
θθ
cos
sin
79
-3
-2
-1
0
1
2
3
0-3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4
Fungsi Cotangent
θ=
θθ=θ
tan
1
sin
coscot
asimptot
Rentang: 0 < tanθ < π/2-π/2 < tanθ < 0dst.
Lebar rentang: π/2
θθ
cos
sin
80
7/23/2013
21
Fungsi Secan
Fungsi Cosecan
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
)cos(
1)sec(
xxy ==
)sin(
1)csc(
xxy ==
Rentang: -π/2 < tanθ < π/2π/2 < tanθ < 3π/2dst.
Lebar rentang: π
Rentang: 0 < tanθ < π-π< tanθ < 0dst.
Lebar rentang: π
asimptot
81
Fungsi Trigonometri Inversi
82
Sinus Inversi
x
xy1sin
atau arcsin−=
=
x
y
-10
10
−π
π
2π
−2π
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-1 -0,5 0 0,5 1x
y
Kurva lengkap
Kurva nilai utama
-π/2 < sin-1x <π/2
-1 < x < 1
yx
1
21 x−
xy 1sin−=
2
2
1tan
1cos
x
xy
xy
−=
−=
Sudut y yang sinusnya = x
xy =sin
83
Cosinus Inversi
x
y
-10
10
−π
π
0
0,25π
0,5π
0,75π
1π
-1 -0,5 0 0,5 1x
y
Kurva lengkap
Kurva nilai utama
0 < cos-1x < π
-1 < x < 1
xy 1cos−=
y
x
121 x−
xy 1cos−=
x
xy
xy
2
2
1tan
1sin
−=
−=
yx cos=
84
7/23/2013
22
Tangent Inversi xy 1tan−=
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1,5π
-π
-0,5π
0
0,5π
π
1,5πy
x
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-10 -5 0 5 10x
y
2tan
21 π<<π− − xKurva lengkap
Kurva nilai utama
yx tan=
yx
1
21 x+
xy 1tan−=
2
2
1
1cos
1sin
xy
x
xy
+=
+=
85
Cotangent inversi
xy 1cot−=
dengan nilai utama
π<< − x1cot0
0
0,5π
1π
-10 -5 0 5 10
y
x
π<< − x1cot0
Kurva nilai utama
yx cot=
y
x
121 x+
xy 1tan−=
2
2
1cos
1
1sin
x
xy
xy
+=
+=
86
Secan Inversi
xxy
1cossec 11 −− ==
dengan nilai utama
π≤≤ − x1sec0
0
0,25π
0,5π
0,75π
π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
y
π<< − x1sec0
Kurva nilai utama
yx sec=
y
x
1
21 x+
xy 1sec−=
2
2
1tan
1cos
1sin
xy
xy
x
xy
+=
=
+=
87
Cosecan Inversi
xxy
1sincsc 11 −− ==
2csc
21 π≤≤π− − x
y
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
Kurva nilai utama
dengan nilai utama
2csc
21 π≤≤π− − x
yx csc=
y
x1
21 x+
xy 1csc−=
2
2
1
1tan
1cos
1sin
xy
x
xy
xy
+=
+=
=
88
7/23/2013
23
89
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio
pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb
Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas
Tiga besaran karakteristik fungsi sinus
)2sin(
)sin(
0 θ+π=θ+=tfA
xAy
sudut fasa
frekuensi siklusamplitudo
Selain frekuensi siklus, f0, kitamengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan
2 00 fπ=ω
90
Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:
00
1
Tf =
Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik makagabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi
periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
T0
-A
0
A
0 t
y
Ts
T0
-A
0
A
0 t
y
Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan
)()( 0 tfTtf =−
perioda
91
Contoh:
y
y = 3 cos 2f0t-4
0
4
-5 15 t
y
y = 1 + 3 cos 2f0t-4
0
4
-5 15 t
))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====
y
t
-4
0
4
-5 15
)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy
-4
1
-5 15
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan olehbesaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya
Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasamenentukan bentuk gelombang gabungan
92
7/23/2013
24
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukanjuga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat
Komponen-komponen sinus yang terlibat dalampembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa
Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental
Di atas komponen fundamental adalah
Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.
Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsitetapan yang disebut komponen searah
93
sinus dasar(fundamental).
Contoh:Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi
hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21.
harmonisa-3 dan
sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan
sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.
harmonisa-7 dan
sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.
94
SpektrumJika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik
yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombangnon-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus
Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.
Ada dua spektrum yaituSpektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa
Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.
Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan.
Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah
Lebar Pita
Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensiyang merupakan selisih fmaks dan fmin
95
Contoh:
)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy
Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0
Amplitudo 10 30 15 7,5
Sudut fasa − 0 −π/2 π
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5Frekuensi [×f0]
Am
plitu
do
0
π/2
2π
0 1 2 3 4 5
Sud
ut F
asa
Frekuensi [×f0]
−π/2
−2π
Spektrum Sudut-fasaSpektrum Amplitudo
Suatu persamaan gelombang:
96
7/23/2013
25
Deret Fourier
Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier
[ ]∑ π+π+= )2sin()2cos()( 000 tnfbtnfaatf nn
fungsi periodik
Koefisien Fourier
Contoh:
1 0 ; 2/
ganjil 0 genap; 1
/2
/
1
2
0
≠==
=−
π=
π=
nbAb
nann
Aa
Aa
n
nn
T0
t
y
97
Contoh:
Contoh:
T0
A
t
y
nb
nann
Aa
Aa
n
nn
semuauntuk 0
ganjil 0 genap; 1
/4
/2
2
0
=
=−
π=
π=
nn
Ab
na
Aa
n
n
semuauntuk
semuauntuk 0
2/0
π−=
==
T0
A
t
y
98
99
Bilangan Natural
Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e
Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyatadengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakangkoma, nilainya adalah
e = 2,7182818284
1ln =e
aeaea == lnln
100
7/23/2013
26
Kurva y = ln x
Fungsi Logaritma Natural
Definisi ln x
x
ln x
t0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
y
1/t
luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-xyang dibatasi oleh t = 1 dan t = x
∫=x
dtt
x1
1ln
1 2 3 4x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0
yy = ln x
1ln =e
e = 2,7182818284…..
e
101
Sifat-Sifat
1 untuk negatif bernilai ln
ln
1ln
lnln
;lnlnln
lnlnln
<=
==
−=
+=
xx
xe
e
xnx
axa
x
xaax
x
n
102
103
Fungsi Eksponensial
Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma
yx ln=
Fungsi Eksponensialxey =
Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsieksponensial dengan eksponen negatif
0 ; )( ≥= − xxuey ax
Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0
Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskandengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetapmuncul pada t = 0
104
7/23/2013
27
Kurva Fungsi Eksponensial
x0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
ye− x
e−2x
Makin negatif eksponen fungsiini, makin cepat ia menurun
mendekati sumbu-x
axey −=
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a
Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya
Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a
105
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo Adengan waktu sebagai peubah bebas adalah
)()( / tuAetuAey tat τ−− ==
yang dituliskan dengan singkat τ−− == /tat AeAey
τ = 1/a disebut konstanta waktu
makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun
Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A
fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ
106
Gabungan Fungsi Eksponensial
1/1
τtAey −−−−====2/
2τtAey −−−−====
(((( ))))21 // ττ tt eeAy −−−−−−−− −−−−====
t/τ
A
0 1 2 3 4 5
107108
7/23/2013
28
Fungsi Hiperbolik
DefinisiKombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk
fungsi hiperbolik, seperti
cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
2sinh ;
2cosh
xxxx eex
eex
−− −=+=
Fungsi hiperbolik yang lain
xx
xx
xx
xx
ee
ee
x
xx
ee
ee
x
xx −
−
−
−
−+==
+−==
sinh
coshcoth ;
cosh
sinhtanh
xxxx eexx
eexx −− −
==+
== 2
sinh
1csch ;
2
cosh
1sech
109
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik
xey2
11 =
xey −−=2
12
x
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
2sinh
xx eexy
−−==
110
xy sinh=
y
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
2cosh
xx eex
−+=
xey2
11 =
111
xy cosh=
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
y
x
xxy
cosh
1sech ==
112
7/23/2013
29
xy sinh=
x
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
xy csch =
xxy
sinh
1csch ==
113
xy coth=
x
y
0
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2 -1 1 2
x
xxy
cosh
sinhtanh ==
x
xxy
sinh
coshcoth ==
114
untuk sinhx dan coshx terdapat hubungan
14
4
4
2
4
2 sinhcosh
222222 ==+−−++=−
−− xxxx eeeexx
1sincos 22 =+ xx
Jika untuk sin x dan cosx kita kenal hubungan:
Identitas
Beberapa Identitas: 1sinhcosh 22 =− vv
vv 22 sechtanh1 =−
vv 22 csch1coth =−
vevv =+ sinhcosh
vevv −=− sinhcosh
115116
7/23/2013
30
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku
θ= sinP ry
θ= cosP rx
P[r,θ]
[0,0] x
y
θ
r
xP
yPP(xP ,yP)•
117
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
222 cyx =+
[0,0] x
y
Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi
222 )sin()cos( crr =θ+θ
θr
118
a
[0,0] x
y
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
222)( cyax =+−
θr
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
222 )sin()cos( crar =θ+−θ
119
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah
222 )()( cbyax =−+−
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
222 )sin()cos( cbrar =−θ+−θ
b
a
[0,0] x
y
θ
r
120
7/23/2013
31
Contoh:
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1
y
x
r
θ
P[r,θ]
Bentuk ini disebut cardioid
)cos1(2 θ−=r
121
Contoh:
θ
y
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1 3 5
r
P[r,θ]
θ= cos162r
122
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1 0 1 2 3x
y
θ = π θ = 2πθ = 3π θ = 4π
r
θ
P[r,θ]y = 2
2=θr
Contoh:
123
Persamaan Garis Lurus
O
y
x
l1
a
r
θ
P[r,θ]
arl =θcos :1
124
7/23/2013
32
O
y
x
b
l2
brl =θsin :2
r
θ
P[r,θ]
125
α
l3
O
y
x
β
a
A
r
θ
P[r,θ]
arl =θ−β )cos( :3
126
l4
O
y
x
β
a
r
θ
P[r,θ] arl =β−θ )cos( :4
127
Parabola, Elips, Hiperbola
θ−=
cos1
krParabola:
Eksentrisitas
θ+==
cosPD
PF
rk
resEksentrisitas:
D
B
θr
P[r,θ]
F
titik fokusDengan pengertian eksentrisitas ini
kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola.
Elips:
1=se
θ−=
cos1 s
s
e
ker
θ+=θ+= cos)cos( rekerker sss
1<seθ−
=θ−
×=cos2cos5,01
5,0 kkr (misal es = 0,5)
Hiperbola: 1>seθ−
×=cos21
2 kr (misal es = 2)
x
y
A
direktriks
k
128
7/23/2013
33
Lemniskat dan Oval Cassini
F1[a,π] F2[a,0]
P[r,θ]
rθ θ = 0θ = π
θ = π/2
Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan
( ) ( ) ( )θ++=
θ++θ=
cos2
cossinPF22
2221
arar
rar ( ) ( ) ( )θ−+=
θ−+θ=
cos2
cossinPF22
2222
arar
rar
221 PFPF b=×Misalkan
( ) ( ))cos21(2
cos2cos222244
22224
θ−++=
θ−+×θ++=
raar
ararararb
θ−+= 2cos2 2244 raar
)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=
Buatb dana berrelasib = ka θ−+= 2cos2 224444 raarak )1(2cos20 44224 karar −+θ−=
129
Lemniskat )1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=
Kondisi khusus: k = 1
θ= 2cos2 22 ar
θ = 0θ = π
θ = π/2
-0,6
-0,2
0
0,2
0,6
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1
θ = 0θ = π
θ = π/2
-1
-0,5
0
0,5
1
-2 -1 0 1 2
Kurva dengan a = 1
130
Oval Cassini
Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8
θ = 0θ = π
θ = π/2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-2 -1 0 1 2
)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=
131
Fungsi dan Grafik
Sudaryatno Sudirham
132