PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan NasionalMATEMATIKAuntuk SMA/ MA Kelas XII Program BahasaSri LestariDiah Ayu KurniasihEditor : DwiSusantiPenataletak : RiaNitaFatimahPerwajahan : CahyoMuryonoIlustrasi isi : BayuAryoDewanthoPenatasampul : HarySuyadiUkuranBuku : 17,6x25cmHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Putra Nugraha,CVDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun2009Diperbanyakoleh ....HakCipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undang510.07SRI SRI Lestarim Matematika 3 : untuk SMA / MA Program Studi BahasaKelas XII/ Sri Lestari, Diah Ayu Kurniasih; editor, Dwi Susanti; ilustrasi, Budi Aryo Dewantho. Jakarta : Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2009. vii, 120 hlm, : ilus. ; 25 cmBibliografi : hlm. 115IndeksISBN 978-979-068-846-9 (no. jilid lengkap)ISBN 978-979-068-852-0 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. JudulII.Diah Ayu Kurniasih III. Dwi SusantiIV. Budi Aryo Dewanthohttp://belajaronlinegratis.combukubse@belajaronlinegratis.comKata SambutanPujisyukurkamipanjatkankehadiratAllahSWT,berkatrahmatdankarunia-Nya,Pemerintah,dalamhalini,DepartemenPendidikanNasional,pada tahun 2009, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbituntukdisebarluaskankepadamasyarakatmelaluisitusinternet(website)JaringanPendidikanNasional.BukutekspelajaraninitelahdinilaiolehBadanStandarNasionalPendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhisyaratkelayakanuntukdigunakandalamprosespembelajaranmelaluiPeraturanMenteriPendidikanNasionalNomor81tahun2008.Kamimenyampaikanpenghargaanyangsetinggi-tingginyakepadaparapenulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswadangurudiseluruhIndonesia.Buku-bukutekspelajaranyangtelahdialihkanhakciptanyakepadaDepartemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan,dicetak,dialihmediakan,ataudifotokopiolehmasyarakat.Namun,untukpenggandaanyangbersifatkomersialhargapenjualannyaharusmemenuhiketentuanyangditetapkanolehPemerintah.DiharapkanbahwabukutekspelajaraniniakanlebihmudahdiaksessehinggasiswadangurudiseluruhIndonesiamaupunsekolahIndonesiayangberadadiluarnegeridapatmemanfaatkansumberbelajarini.Kamiberharap,semuapihakdapatmendukungkebijakanini.Kepadapara siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya.Olehkarenaitu,sarandankritiksangatkamiharapkan.Jakarta,Juni2009KepalaPusatPerbukuanMatematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaivPujisyukursenantiasakamipanjatkankehadiratTuhanyangMahaEsa,karenadenganrahmatdankarunia-NyakamidapatmenyelesaikanbukuMatematika untuk SMA/ MA dengan lancar dan baik. Buku ini disusun sesuaidenganstandarisikurikulum2006.Bukuinidisajikandenganpendekatanpemecahanmasalah.Denganpendekatan ini, diharapkan siswa dapat aktif dan memiliki ketrampilan dalammemahamimasalah,membuatmodelmatematika,menyelesaikanmasalah,dan menafsirkan solusinya. Selain itu, buku ini juga disajikan dengan bahasayangsederhanasehinggamudahdipahamiolehparasiswa.Telahkitaketahuibahwauntukmenguasaidanmenciptakanteknologidimasadepandiperlukanpenguasaanmatematikayangkuatsejakdini.Denganpolapenyajianbukuini,diharapkandapatmembantudanmempermudahpemahamanmatematikasiswa.Denganmemahamimatematika secara komprehensif, siswa akan memiliki sikap ulet dan percayadiridalammemecahkanmasalahdalamkehidupansehari-hari.Akhirnya kami menyadari bahwa buku ini tidaklah sempurna. Segala kritikdansaranmembangununtukmenyempurnakanbukuinisangatkaminantikan.Kepadasemuapihakyangmembantuterselesainyabukuini,kamiucapkan terima kasih. Semoga buku ini bermanfaat bagi semua pihak. Selamatbelajardansemogasukses!Surakarta,Mei2008PenulisKata PengantarMatematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa vDaftar IsiHalKataSambutan.................................................................................................. iiiKataPengantar .................................................................................................. ivDaftarIsi ............................................................................................................. vDaftarNotasi ..................................................................................................... viBab1 ProgramLinear .................................................................................. 1A. SistemPertidaksamaanLinear ................................................. 2B. Nilai Optimum Fungsi Objektif ................................................ 16UjiKompetensi ................................................................................... 23Bab2 Matriks................................................................................................. 27A. Pengertian,Notasi,danOrdoSuatuMatriks........................ 28B. OperasiAljabarMatriks ............................................................ 38C. DeterminandanInversMatriks ............................................... 51D. InversMatriksOrdo3(pengayaan) ........................................ 58UjiKompetensi ................................................................................... 70UjiSemesterGasal .......................................................................................... 73Bab3 BarisandanDeret ............................................................................. 79A. BarisandanDeretBilangan...................................................... 80B. BarisandanDeretAritmetika .................................................. 84C. BarisandanDeretGeometri ..................................................... 94D. PenerapanDeretAritmetikadanDeretGeometri ............... 105UjiKompetensi ................................................................................... 109UjiSemesterGenap ........................................................................................ 111DaftarPustaka .................................................................................................. 115Indeks ................................................................................................................ 116Glosarium........................................................................................................... 117KunciJawaban.................................................................................................. 118Catatan ................................................................................................................ 121Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaviDaftar NotasiNotasi KeteranganadjA adjoinmatriksA anggota: bagi......bagin banyaknyasukub bedaN bilanganasliC bilangancacahR bilanganrealdeterminanmatriks,hargamutlakdet A determinanmatriksAamnelemen matriks baris ke-m kolom ke-nz fungsiobjektifA-1invers matriks ASjumlahderetgeometritakhinggaSnjumlahnsukupertama kalicijkofaktordariaijk konstanta< kurangdari kurangdariatausamadengan kurang,minus,negatifA lawanmatriksA> lebih dari lebihdariatausamadengan lebih kuranglim limitlog logaritmaAm nmatriks A yang berordo m nO matriks nolI matriksidentitasMatematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa viiNotasi KeteranganijM minoraijnotasimatriksnotasimatriksr rasio= samadenganUnsuku kena sukupertamaU1sukupertamaVtsukutengah takterhingga+ tambah,plus,positif tidaksamadenganAttransposematriksAA' transposematriksAProgramLinear1Bab 1Program LinearPeta KonsepMenyelesaikanmasalahprogramlinearG MenyelesaikansistempetidaksamaanlinearduavariabelG MerancangmodelmatematikadarimasalahprogramlinearG MenyelesaikanmodelmatematikadarimasalahprogramlineardanmenafsirkansolusinyaStandar KompetensiKompetensi DasarSistemPertidaksamaanLinear (SPL)MenentukanNilaiOptimumFungsiObjektifSistemPertidaksamaanLinearDuaVariabel(SPLDV)MenentukanHimpunanPenyelesaianSPLDVModelMatematikaProgramLinearMetodeUjiTitikUjung MetodeGarisSelidik2MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaSumber: blognya-rita.blogspot.comGambar 1.1Setiaporangatauperusahaanpastimenginginkankeuntunganataulabasebesarbesarnyadenganalokasisumberyangterbatas.Sebagaicontoh,sebuahperusahaanmemproduksiduamodelkapalpesiar.ModelImembutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam untukmenyelesaikannya.Model2membutuhkan45jamuntukmemotongdanmerakitserta30jamuntukmenyelesaikannya.Waktuyangtersedia360jamuntukmemotongdanmerakitserta300jamuntukmenyelesaikannya.Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar Rp4.500.000,00 dan modelIIsebesarRp6.000.000,00.ApakahAndadapatmenentukanberapabanyakkapalpesiarmodelIdanmodelIIyangharusdiproduksiagardiperolehkeuntunganmaksimum?Kasusdiatasadalahsalahsatucontohpermasalahanprogramlinear.Masalah semacam itu sering kita jumpai dalam dunia usaha, ekonomi, ilmiah,dansebagainya.Masalahprogramlinearadalahmasalahyangberhubungandenganpenentuanmaksimumatauminimumsuatufungsilineardengankendalakendalaberupasistempertidaksamaanlinear.Sebelummempelajariprogramlinear,kitaakanmengingatkembalitentangsistempertidaksamaanlinear.Materisistempertidaksamaanlinearyangakankitabahasadalahsistempertidaksamaanlinearduavariabeldanmenentukanhimpunanpenyelesaiandarisuatusistempertidaksamaanlinear.A. Sistem Pertidaksamaan Linear1. SistemPertidaksamaanLinearDuaVariabelContoh1.1a. 2x+y> 4b. x 3y 5c. 5x+y),lebihdarisamadenganatautidakkurangdari(),kurangdari( cax + by cax + by< cax + by s cdenganx,yvariabeldana,b,ckonstanta.Sekarang,cobaperhatikancontoh1.2berikut!Contoh1.2a. x + y > 5 dan 2x y 4b. 2x + ys 4,x 2y s 6, danx + y < 2Padacontoh1.2terdapatlebihdarisatupertidaksamaanlinearduavariabel.Hubungansepertiitudisebutsistempertidaksamaanlinearduavariabel.Sehinggadapatdidefinisikan:Sistempertidaksamaanlinearduavariabeladalahhubunganyangmemuat dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel denganvariabelvariabelyangsama.KerjakandengankelompokAnda!Apakahpertidaksamaanpertidaksamaanlineardibawahinimembentuksistempertidaksamaanlinearduavariabel?Jelaskanalasannya!1. x + 2y < 10, 2x ys 8,x s 0, dan y s 02. a + b 2 dan 2a b 43. 2x +y s 6, 2a + b s 4, dan 4p q s 84.4x + 2y > 8dan 1x + 2y > 4TugasKelompokTugas Kelompok4MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaKerjakandibukutugasAnda!1. Manakahdiantarapertidaksamaanpertidaksamaandibawahiniyangmerupakanpertidaksamaanlinearduavariabel?a. x + 2y z < 4b. x2 +2y8c. x + x(y 2) s 6d. 3x s 2 ye.4x 2y > 12. Manakahdiantarapertidaksamaanpertidaksamaandibawahiniyangmembentuksistempertidaksamaanlinearduavariabel?a. 3x 4 s 6 dan x yb. x(x +2)+ys 4 dan 4x 2ys 6c.2x + 5y s 8 dan 23x 2y < 53. Ubahlahkalimatdibawahinimenjadibentukpertidaksamaanlinear!a. HargabukutulisperbuahRp2.000,0danhargapensilperbuahRp500,00.UangyangtersediaRp9.400,00.b. Untuk menyelesaikan soal A, dibutuhkan 2 menit per itemnya.SedangkanuntukmenyelesaikansoalBdibutuhkanwaktu5menitperitemnya.Waktuyangtersedia1,5jam.2. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear DuaVariabelBagaimanacaramenentukanhimpunanpenyelesaiansistempertidaksamaanlinearduavariabel?SebelumnyaAndaharusmengingatkembalicaramenentukanhimpunanpenyelesaiansuatupertidaksamaan.Perhatikancontoh1.3berikut!Contoh1.3Tentukandaerahhimpunanpenyelesaian2xys6denganx,y=R!Latihan1ProgramLinear5Penyelesaian:Langkahpertamaadalahmenggambargrafik2xy=6padabidangCartesius.Untukmenggambargrafiktersebut,agarlebihmudah,kitaharusmenentukantitikpotongdengansumbuXdansumbuY.a. MenentukantitikpotongdengansumbuX,berartiy=02xy =62x0 =62x =6x = 62x =3Jadi,titikpotongdengansumbuXadalah(3,0).b. MenentukantitikpotongdengansumbuY,berartix=02xy =62(0)y =6y =6y = 6Jadi,titikpotongdengansumbuYadalah(0,6).Jikadibuatdalamtabelsepertiberikutini.Tabel 1.1x 0 3y 6 0(x,y) (0,6) (3,0)Gambargrafiknyasebagaiberikut.Gambar 1.236XYO(3,0)(0,6)2x y = 66MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaLangkahberikutnyaadalahmengambilsembarangtitikujiyangterletak di luar garis 2x y = 6, misalnya titik O(0, 0). Titik uji tersebut kitasubstitusikankedalampertidaksamaan2xys6.Sehinggadiperoleh:2xy s 62(0)0 s 6 0s6(merupakanpernyataanyangbenar)Karena2(0)0s6,makabagianbelahanbidangyangmemuattitik(0,0)merupakandaerahhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan2xys6.Langkahterakhiradalahmenandaidaerahhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan2xys6.Daricontoh1.3,diperolehlangkahlangkahuntukmenentukanhimpunanpenyelesaiansuatupertidaksamaansebagaiberikut.a. Menggambargrafikax+by=cpadabidangCartesius.b. Mengambil sembarang titik uji (x1,y1) yang terletak di luar garis ax + by = cdanmensubstitusikantitikujitersebutkedalampertidaksamaannya.Apabiladiperolehpernyataanyangbenar,makabagianbelahanbidangyangmemuattitikuji(x1,y1)merupakandaerahhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan.Sebaliknya,apabiladiperolehpernyataanyangsalah,makabagianbelahanbidangyangtidakmemuat titik uji (x1, y1) merupakan daerah himpunan penyelesaiannya.c. Menandai daerah himpunan dengan menggunakan raster atau arsiran.Sekarang,kitaakanmempelajaricaramenentukanhimpunanpenyelesaiansuatusistempertidaksamaanlinearduavariabel.Perhatikancontoh1.4berikut!YX36O(3, 0)(0, 6)Gambar 1.3daerahhimpunanpenyelesaianCatatanDalambukuini, daerahhimpunanpenyel esai andarisuatu pertidaksamaanditandai dengan menggunakanrast er.ProgramLinear7Contoh1.4Tentukandaerahhimpunanpenyelesaiansistempertidaksamaanlinearduavariabelberikutini:3x + 2y s 12, x y s 3,x 0, dan y 0 untuk x, y =R!Penyelesaian:Langkahpertamaadalahmenggambarmasingmasinggrafikhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaanpertidaksamaanyangmembentuksistempertidaksamaanlinearduavariabeltersebut.a. Menentukan titik potong 3x + 2y = 12 dan x y = 3 dengan sumbu X dansumbuY.Tabel 1.23x+2y=12 x y = 3x 0 4 x 0 3y 6 0 y 3 0(x,y) (0,6) (4,0) (x,y) (0,3) (3,0)(a) (b)b. Mengambilsembarangtitikuji,misalnya(0,0),untukdisubstitusikankedalampertidaksamaannya.3x+2y s12 x ys 33(0)+2(0) s12 0 0s 30 s12(benar) 0s3(benar)c. Menggambardaerahhimpunanpenyelesaiaankeempatpertidaksamaan.1) 3x+2ys12 2) x y s 33) x 0 4) y 06O 4XY3O 3XYGambar 1.3OXYOXY8MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaLangkahberikutnyaadalahmenentukanirisanatauinterseksidarikeempat grafik pada gambar 1.3. Irisan atau interseksi tersebut merupakandaerahhimpunanpenyelesaiandarisistempertidaksamaanlinearduavariabel 3x + 2y s 12,x y s 3,x 0, dany 0 untukx,y =R.Kitatelahdapatmenggambardaerahhimpunanpenyelesaiansuatusistempertidaksamaanlinearduavariabel.Sekarang,dapatkahAndamelakukanproseskebalikannya?DapatkahAndamenentukanbentuksistempertidaksamaanlineardenganduavariabeljikagambardaerahhimpunanpenyelesaianyatelahdiketahui?Perhatikancontoh1.5berikut!Contoh1.5Tentukansistempertidaksamaanlinearduavariabelyangdaerahhimpunanpenyelesaiannyaditunjukkanpadagambarberikut!YX3 436x y = 3Gambar 1.4YOdaerahhimpunanpenyelesaian3x + 2y = 12XY42O4 5Gambar 1.5daerahhimpunanpenyelesaianProgramLinear9Penyelesaian:1. Persamaangarisyangmelalui(0,4)dan(5,0)12 1y yy y--= 12 1x xx x--40 4y --= 05 0x --44y --= 5x5(y4) =4x5y20 =4x4x+5y =20AmbiltitikO(0,0)sebagaititikuji,kemudiansubstitusikanpadapersamaangarisyangtelahdiketahui.4(0)+5(0)s20 (benar)Jadi,diperolehpertidaksamaan4x+5ys20.2. Persamaangarisyangmelalui(0,2)dan(4,0)12 1y yy y--=12 1x xx x--20 2y --=04 0x -- -22y --=4x-4(y2) = 2x4y+8 = 2x2x4y = 4x2y = 2AmbiltitikO(0,0)sebagaititikuji,kemudiansubstitusikanpadapersamaangarisyangtelahdiketahui.0 2(0) 2 (benar)Sehinggadiperolehpertidaksamaanx2y23. Garis x = 0Karenadaerahhimpunanpenyelesaianberadadisebelahkanangarisx=0,makadiperolehpertidaksamaanx0.4. Garis y = 0Karenadaerahhimpunanpenyelesaianberadadisebelahatasgarisy=0,makadiperolehpertidaksamaany0.Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah 4x + 5y s 20, x 2y 2, x 0,dany0denganx,y=R.10MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaDiskusikandengankelompokAnda!Suatusistempertidaksamaanlinearduavariabelterdiriataspertidaksamaan3x+2ys6dan3x+2y12denganx,y=R.Apakahsistempertidaksamaantersebutmempunyaidaerahhimpunanpenyelesaian?Jelaskanalasannya!KerjakandibukutugasAnda!1. Gambarlahdaerahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaanberikutdenganx,y=R!a. 3 < x < 2b. 4 y > 1c. 5x+2ys10d. 3x+4y122. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaanberikutdenganx,y=R!a. 4x + 7ys 28, 5x 3ys15, x0,dan0sys 8b. 3x 4ys 16, 3x + 2ys46,x0,dan0sys 83. Tentukansistempertidaksamaanlinearduavariabelyangdaerahhimpunanpenyelesaiannyaditunjukkanolehgambarberikut.a.b.TugasKelompokTugas KelompokLatihan2YX(6, 8)(6, 2)6 22(2, 2)8daerahhimpunanpenyelesaianO(2, 3)(6, 3)4 OXY3daerah himpunanpenyelesaianProgramLinear114. Diketahui sistem pertidaksamaan 5x + 7y s 35, 2 s x s 7, dan y 0denganx,y=R.a. Tentukan titiktitik (x, y) pada daerah himpunan penyelesaiantersebutuntukx,y=N(Nadalahhimpunanbilanganasli).b. Tentukannilai2xyuntuksetiaptitikyangdiperolehpadasoala.c. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum pada soal b sertauntuktitiktitikmananilainilaiitudiperoleh.3. ProgramLineardanModelMatematikaDidalammasalahyangberkaitandenganprogramlinear,kitaakanmenghadapipersoalanpengoptimuman(optimasi)suatufungsilinear.Pengoptimumaninidapatberupapemaksimumanataupeminimuman.Artinya, kita akan mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsitujuanyangberupafungsilineartersebut.Untukmemecahkanmasalahprogramlinear,kitasebelumnyaharusdapat menerjemahkan bahasa permasalahan ke dalam bahasa matematika.Bahasaataurumusanmatematikainidisebutmodelmatematika.Dalammenyusunataumerumuskanmodelmatematika,kitaharusdapatmenyatakanbesaranbesaranmasalahsebagaivariabelvariabel.Selanjutnyaadalahmerumuskanhubunganmatematikasesuaidenganketentuandalammasalahtersebut.Perhatikancontoh1.6berikut!Contoh1.6Ibu membeli 3 kg jeruk dan 5 kg apel seharga Rp72.500,00. SedangkanIhsan hanya membayar Rp17.500,00 untuk 1 kg jeruk dan 1 kg apel. Buatlahmodelmatematikadaripermasalahantersebut!Penyelesaian:Langkahpertamaadalahmenyatakanbesaranbesarandalampermasalahansebagaivariabelvariabel.Misalkanuntukharga1kgjerukdinyatakan dengan x rupiah, sedangkan untuk harga 1 kg apel dinyatakandenganyrupiah.Langkah berikutnya adalah merumuskan hubungan matematika sesuaiketentuandalampermasalahan.Berdasarkanpermasalahanpadacontoh1.6diperolehhubungan:3x+5y = 72.500 x + y = 17.500Jadi,modelmatematikanyaadalah3x+5y=72.500danx+y=17.500denganx,y=C.12MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaPadaprinsipnya,menyusunataumerumuskanmodelmatematikadalamsuatumasalahprogramlinearadalahmenentukanfungsitujuan,fungsiobjektif,ataufungsisasaranbesertakendalayangharusdipenuhidalammasalahprogramlineartersebut.Perhatikancontoh1.7berikut!Contoh1.7Kakakakanmembuatduajenisroti,yaiturotiAdanrotiB.RotiAmembutuhkan1kgtepungterigudan0,5kgtelur.SedangkanrotiBmembutuhkan1,5kgtepungterigudan1kgtelur.Kakakhanyamempunyai15kgtepungterigudan40kgtelur.JikabanyaknyarotiAyang akan dibuat adalah x dan banyaknya roti B yang akan dibuat adalahy,makatentukanmodelmatematikanya!Penyelesaian:Agarlebihmudahdalammembuatmodelmatematikanya,persoalantersebutdisajikandalamtabelterlebihdahulu.Tabel 1.3RotiA(x) Roti B (y) PersediaanbahanTepungterigu x 1,5y 15Telur 0,5x y 10Banyaknya tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua rotiadalah (x + 1,5y)kg.Karenapersediaantepungteriguadalah15kg,makadiperolehhubungan:x+1,5ys15atau2x+3ys30Sedangkanbanyaknyateluryangdibutuhkanuntukmembuatkeduarotiadalah(0,5x+y)kg.Karenapersediaanteluradalah10kg,makadiperolehhubungan:0,5x+ys10ataux+2ys20xdanyadalahbanyaknyarotiAdanrotiBsehinggaxdanytidakmungkinnegatif.Olehkarenaitu,xdanyharusmemenuhihubungan:x0dany0,denganx,y=C.Jadi, model matematikanya adalah 2x + 3y s 30,x + 2y s 20, x 0 dan y 0,denganx,y=C.Contoh1.8Seorangpenjahitmembuatduajenispakaian,yaitupakaiananakanakdanpakaiandewasa.Satupakaiananakanakmemerlukanwaktu1jamuntuktahappemotongan,0,5jamuntuktahappengobrasan,dan1,5jamuntuktahappenjahitan.Sedangkansatupakaiandewasamemerlukanwaktu1,5jamuntuktahappemotongan,1jamntukpengobrasan,dan2,5jamuntuktahappenjahitan.Penjahittersebutmemilikiwaktuuntukmengerjakanpesananselama20jamuntuktahappemotongan,15jamuntuktahappengobrasan,dan40jamuntuktahapProgramLinear13penjahitan.KeuntunganbersihpakaiananakanakdanpakaiandewasaadalahRp15.000,00danRp30.000,00.Buatlahmodelmatematikadarimasalahprogramlineartersebutagardiperolehkeuntungansebesarbesarnya!Penyelesaian:Misalkanbanyaknyapakaiananakanak=xdanbanyaknyapakaiandewasa=y.Agarlebihmudah,persoalandiatasdisajikandalambentuktabelsebagaiberikut!Tabel 1.4Pakaian Pakaian Waktuanakanak dewasa(x) (y)Pemotongan 1x 1,5x 20Pengobrasan 0,5x 1y 15Penjahitan 1,5x 2,5y 40Keuntungan 15.000x 30.000yWaktu yang digunakan untuk tahap pemotongan kedua jenis pakaianadalah(x+1,5y)jamdenganwaktuyangtersedia20jam.Sehinggadiperolehhubungan:x+1,5ys20atau2x+3ys40Waktu yang digunakan untuk tahap pengobrasan kedua jenis pakaianadalah(0,5x+y)jamdenganwaktuyangtersedia15jam.Sehinggadiperolehhubungan:0,5x+ys15ataux+2ys30Waktuyangdigunakanuntuktahappenjahitankeduajenispakaianadalah(1,5x+2,5y)jamdenganwaktuyangtersedia40jam.Sehinggadiperolehhubungan:1,5x+2,5ys40atau3x+5ys80xdanymenyatakanbanyaknyapakaiananakanakdanpakaiandewasadanharusmerupakanbilangancacah,sehinggax0dany0denganx,y=C.Keuntunganyangdiperolehdarikeduajenispakaianadalah:z=15.000x+30.000yJadi,modelmatematikadarimasalahdiatasadalah:G 2x + 3y s 40, x + 2y s 30, 3x + 5y s 80, x 0, dan y 0, dengan x dan y = C.Bagianiniadalahsistempertidaksamaanlinearduavariabelyangmerupakankendala.14MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaG z=15.000x+30.000yBagianiniadalahfungsilinearduavariabelyangmerupakanfungsitujuan,fungsiobjektif,ataufungsisasaranyangakanditentukannilaimaksimumnya.Kitatelahmempelajaricaramembuatmodelmatematikamasalahprogramlinearyangberhubungandenganpemaksimumansuatufungsilinear.Sekarang,perhatikancontoh1.9berikut!Contoh1.9Seorangpraktikanmembutuhkanduajenislarutan,yaitularutanAdan larutan B untuk eksperimennya. Larutan A mengandung 10 ml bahanIdan20mlbahanII.SedangkanlarutanBmengandung15mlbahanIdan30mlbahanII.LarutanAdanlarutanBtersebutakandigunakanuntukmembuatlarutanCyangmengandungbahanIsedikitnya40mldanbahanIIsedikitnya75ml.HargatiapmllarutanAadalahRp5.000,00dantiapmllarutanBadalahRp8.000,00.BuatlahmodelmatematikanyaagabiayauntukmembuatlarutanCdapatditekansekecilkecilnya!Penyelesaian:MisalkanbanyaknyalarutanAadalahxdanbanyaknyalarutanBadalahy.Agarlebihmudah,persoalanprogramlineartersebutdisajikandalamtabelsepertiberikutini.Tabel 1.5LarutanA(x) LarutanB(y) LarutanCBahanI 10x 15y 40BahanII 20x 30y 75Biaya 5.000x 8.000yBahanIyangterkandungdalamlaruanCsebanyak(10x+15y)ml,padahallarutanCmengandungbahanIsedikitnya40ml.Sehinggadiperolehhubungan:10x+15y40atau2x+3y8BahanIIyangterkandungdalamlarutanCsebanyak(20x+30y)ml,padahallarutanCmengandungbahanIIsedikitnya75ml.Sehinggadiperolehhubungan:20x+30y75atau4x+6y15xdanymenyatakanbanyaknyalarutansehinggatidakmungkinnegatifdanharusmerupakanbilanganreal.Sehinggadiperolehhubungan:x0dany0denganx,y=R.BiayauntukmembuatlarutanCadalah:z=5.000x+8.000yProgramLinear15Jadi,modelmatematikadarimasalahdiatasadalah:G 2x+3y8,4x+6y15,x0,dany0denganx,y=R.Bagianiniadalahsistempertidaksamaanlinearduavariabelyangmerupakankendala.G z=5.000x+8.000yBagianiniadalahfungsilinearduavariabelyangmerupakanfungsitujuan,fungsiobjektif,ataufungsisasaranyangakanditentukannilaiminimumnya.KerjakandibukutugasAnda!1. Irfanmembeli3kaosolahragadan4raketbulutangkisdenganhargakeseluruhanRp335.000,00.SedangkanIndraharusmembayarRp375.000,00untuk5kaosolahragadan3raketbulutangkisyangsama.Buatlahmodelmatematikadarimasalahtersebut!2. Anisainginmembuatduamacamboneka,yaitubonekaAdanboneka B. untuk membuat boneka A diperlukan 1 m kain dan 1 kgdakron. Sedangkan untuk membuat boneka B diperlukan 2 m kaindan1,5kgdakron.Anisahanyamempunyai7mkaindan12kgdakron.Buatlahmodelmatematikadarimasalahtersebut!3. DidalamsuatuujianBahasaIndonesiaadaduapilihantipesoal.TipeIterdiriatas40soalyangmasingmasingdapatdiselesaikandalamwakturatarata2menit.TipeIIterdiriatas15soalyangmasingmasing dapat diselesaikan dalam waktu ratarata 5 menit.SetiapjawabanyangbenardarisoaltipeIakanmemperolehskor2,sedangkansetiapjawabanyangbenardarisoaltipeIIakanmemperoleh skor tiga kali lipatnya. Jika waktu yang tersedia untukujiantersebut2jam,buatlahmodelmatematikanyaagarpesertaujiandapatmemperolehskorsetinggitingginya!4. Fitridiharuskanmakanduatabletvitaminsetiaphari.Tabletpertamamengandung3unitvitaminBdan2unitvitaminC,sedangkantabletkeduamengandung2unitvitaminBdan3unitvitaminC.DalamsehariFitrimemerlukanmaksimal18unitvitaminBdan15unitvitaminC.JikahargatabletpertamaRp800,00 per biji dan tablet kedua Rp700,00 per biji, buatlah modelmatematikadarimasalahtersebutagarpengeluaranFitriuntukmembelitabletperharidapatditekanserendahrendahnya!Latihan316MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaB. Nilai Optimum Fungsi ObjektifSetelahmenyusunmodelmatematikasuatuprogramlinear,langkahselanjutnyaadalahmenentukanjawabanataupenyelesaianbagimasalahtersebut.Kitasudahmengetahuibahwatujuanprogramlinearadalahmenentukanpenyelesaianoptimum. Dari segi matematika, penyelesaianiniberupatitikpadahimpunanpenyelesaianyangakanmembuatfungsiobjektifataufungsitujuanbernilaimaksimumatauminimum.PermasalahannyaadalahbagaimanaAndadapatmencarisatudiantarasekianbanyaktitikyangakanmembuatfungsiobjektiftersebutbernilaioptimum?Untukmenentukannilaioptimumsuatufungsiobjektif,kitadapatmenggunakanduametode,yaitu:1. MetodesimpleksMetode simpleks pertama kali dikembangkan oleh George Dantzig padatahun 1947. Metode ini membutuhkan langkahlangkah perhitungan yangagakrumitdanbiasanyadigunakanuntukmenyelesaikanmasalahprogramlinearyangmelibatkanbanyakvariabel.2. MetodegrafikMetodegrafikbiasanyadigunakanuntukmenyelesaikanmasalahprogramlinearyangsederhana,misalnyaprogramlinearyanghanyamelibatkanduavariabelsaja.Metodeiniterdiriatasduamacam,yaitumetodeujititikujungdanmetodegarisselidik.Selanjutnya,kitaakanmembahaskeduamacammetodetersebut.1. MetodeUjiTitikUjungAndasudahmempelajaribahwamodelmatematikaprogramlinearmemuatfungsiobjektifdankendalakendalayangharusdipenuhi.Selainitu,Andajugatelahbelajarmenggambargrafikhimpunanpenyelesaiansistempertidaksamaanlinearduavariabel.Selanjutnya,kitaakanmenentukannilaioptimumdarisuatufungsiobjektifdenganmetodeujititikujung.Perhatikancontohberikut!InfoMatematikaProgramlinearmerupakansalahsatu bahasan dalam optimasi yangberkembang cukup pesat. Perumusanmasalahprogramlineardanpemecahannyasecarasistematisbarudimulaipadatahun1947ketika George B. Dantzig merancangsebuahmetodeyangdikenaldengannamaMetodeSimpleksuntukkeperluanangkatanudaraAS. Apa yang dirintis oleh Dantziginimerupakanlangkahyangpentinguntukmengembangkanpemrogramanlinearkepadapenggunaanyanglebihluas.ProgramLinear17Contoh1.10Sebuahperusahaanmemproduksisepedadanskuterdenganmenggunakan dua mesin. Untuk memproduksi sepeda dibutuhkan waktu5jamdenganmenggunakanmesinpertamadan2jamdenganmenggunakanmesinkedua.Untukmemproduksiskuterdibutuhkanwaktu3jamdenganmenggunakanmesinpertamadan6jamdenganmenggunakan mesin kedua. Kapasitas maksimum mesin pertama 150 jam,sedangkan kapasitas maksimum mesin kedua 180 jam. Keuntungan bersihyangdiperolehdaritiapsatuunitsepedaadalahRp480.000,00dansatuunit skuter adalah Rp560.000,00. Tentukan jumlah sepeda dan skuter yangharusdiproduksiagardiperolehkeuntunganmaksimum!Penyelesaian:1. Langkahpertamaadalahmembuatmodelmatematikadarimasalahdiatas.Misalkanbanyaknyasepedadinyatakandenganxdanbanyaknyaskuterdinyatakandengany.Tabel 1.6Sepeda(x) Skuter(y) KapasitasmaksimumMesin I 5x 3y 150Mesin II 2x 6y 180Keuntungan 480.000x 560.000yBerdasarkantabel1.6diperoleh:G Fungsiobjektifyangakandimaksimumkan:z=480.000x+560.000yG Kendalakendalayangharusdipenuhi:5x+3ys1502x+6ys180 x 0 y 0denganx,y=C.2. Langkahkeduaadalahmenggambargrafikhimpunanpenyelesaiandarisistempertidaksamaanlinearduavariabeltersebut.Agarlebihmudah,kitaperlumenentukantitikpotonggaris5x+3y=150dan2x+6y=180dengansumbuXdansumbuY.18MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa305030 90XY(30, 0)(15, 25)(0, 30)Gambar 1.6OTabel 1.75x+3y=150 2x+6y=180x 0 30 x 0 90y 50 0 y 30 0(x,y) (0,50) (30,0) (x,y) (0,30) (90,0)(a) (b)Diperolehgrafiksebagaiberikut.Titiktitikujungyangterletakpadadaerahhimpunanpenyelesaianadalahtitiktitik(0,0),(30,0),(15,25),dan(0,30).3. Langkah ketiga adalah menghitung nilai fungsi objektif z = 480.000x + 560.000yuntuktitiktitikujungpadadaerahhimpunanpenyelesaian.Perhatikantabel1.8berikut!Tabel 1.8Titikujung z=480.000x+560.000y(0,0) 0(30,0) 14.400.000(15,25) 21.200.000(0,30) 16.800.000Berdasarkantabel1.8di atas diketahuibahwafungsiobjektifz =480. 000 x+560. 000 ymencapainilaimaksimumsebesar21.200.000 pada titik potong garis 5x + 3y = 150 dengan 2x + 6y = 180,yaitu(15,25).4. Langkahterakhiradalahmenafsirkannilaimaksimumfungsiobjektifsebagai penyelesaian dari masalah program linear di atas. Karena nilaimaksimumdicapaipadatitik(15,25),makaperusahaanakanmemperoleh keuntungan maksimum jika memproduksi 15 unit sepedadan25unitskuter.ProgramLinear19KerjakandibukutugasAnda!Selesaikanpermasalahanberikutini!Seorangpeternaklelesetiapharimembutuhkanduajenismakanan.MakananjenisImengandung200grambahanA,300grambahanB,dan600grambahanC,sedangkanmakananjenisIImengandung300grambahanA,600grambahanB,dan900grambahanC.Setiapharipeternakleletersebutmembutuhkansedikitnya1.200grambahanA,1.800grambahanB,dan2.700grambahanC.Jumlahmakananyangdibutuhkansetiapharinyasedikitnya6kg.HargatiapkgmakananjenisIadalahRp3.000,00danmakananjenisIIadalahRp6.000,00.TentukanbanyaknyamakananjenisIdanmakananjenisIIagarbiayamakananlelesetiapharinyadapatseminimalmungkin!2. MetodeGarisSelidikMenentukannilaioptimumsuatufungsiobjektifdenganmetodeujititikujungmembutuhkanketelitiandanwaktuyangagaklama.Caralainyang lebih cepat dan sederhana adalah menggunakan metode garis selidik.Apadanbagaimanametodegarisselidiktersebut?Ikutipembahasanberikut!Apabila diketahui fungsi objektif suatu program linear adalah z = ax + by,makaambilnilainilaikuntukmenggantinilaiz,yaituk1,k2,k3,...,kn.Karenaz=ax+by,maka:k1= ax+byk2= ax+by.kn= ax+by,dengank=R.Garisgaristersebutmerupakangarisgarisyangsejajarpadadaerahhimpunanpenyelesaiankendalanya.MasihingatkahAndasyaratduabuahgarisdikatakansalingsejajar?Garisselidikax+by=k(k=R)merupakanhimpunangarisgarisyang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar jika memiliki gradienyangsama.Sekarangperhatikancontoh1.11berikut!Contoh1.11Sebuahperusahaanmemproduksiduamodelkapalpesiar.ModelImembutuhkanwaktu30jamuntukmemotongdanmerakitserta40jamTugasIndividu20MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasauntuk menyelesaikannya. Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotongdanmerakitserta30jamuntukmenyelesaikannya.Waktuyangtersedia360jam untuk memotong dan merakit serta 300 jam untuk menyelesaikannya.KeuntunganbersihuntuksetiapunitmodelIsebesarRp4.500.000,00danmodelIIsebesarRp6.000.000,00.TentukanbanyaknyakapalpesiarmodelIdanmodelIIyangharusdiproduksiagardiperolehkeuntunganmaksimum!Penyelesaian:MisalkanxadalahbanyaknyakapalpesiarmodelIdanyadalahbanyaknyakapalpesiarmodelII.Sebelumnya,kitasajikandulumasalahdiatasdalamtabel1.9berikutini.Tabel 1.9Model I Model IIWaktuyangtersedia(x) (y)Memotongdanmerakit 30x 45y 360Menyelesaikan 40x 30y 300Keuntunganbersih 4.500.000x 6.000.000yBerdasarkantabel1.9diperoleh:a. Fungsiobjektifyangakandimaksimumkan:z=4.500.000x+6.000.000yb. Kendalakendalayangharusdipenuhi:30x+45ys36040x+30ys300x 0y 0denganx,y=C.Langkahberikutnyaadalahmenggambardaerahhimpunanpenyelesaian.Titikpotonggaris30x+45y=360dan40x+30y=300dengansumbuXdansumbuYdisajikandalamtabel1.10berikutini.Tabel 1.1030x+45y=360 40x+30y=300x 0 12 x 0 7,5y 8 0 y 10 0(x,y) (0,8) (12,0) (x,y) (0,10) (7,5,0)(a) (b)ProgramLinear21Diperolehgrafikhimpunanpenyelesaiansebagaiberikut.Karenafungsiobjektifberbentukz= 4.500.000x + 6.000.000y, makapersamaangarisselidiknyaadalah4.500.000x+6.000.000y=k(k=R).Misalnya,kitaambilnilaik=18.000.000,sehinggagaristersebutmempunyaipersamaan4 . 5 0 0 . 0 0 0 x +6. 000. 000y=18.000.000ataudisederhanakanmenjadi45x+60y=180.Garisyangsejajardengan45x+60y=180danterletakpalingjauhdarititikO(0,0)adalahgarisyangmelaluititik(3,6).Dengandemikian,t i t i k( 3, 6) merupakant i t i kopt i mum, yai t uni l ai maksi mumz=4. 500.000x+6.000.000y.(3,6) z = 4.500.000x+6.000.000y= 4.500.000(3)+6.000.000(6)= 13.500.000+36.000.000= 49.500.000Jadi,perusahaanakanmemperolehkeuntunganmaksimum,yaitusebesarRp49.500.000,00jikamemproduksi3unitkapalpesiarmodelAdan6unitkapalpesiarmodelB.KerjakandibukutugasAnda!1. Tentukannilaimaksimumfungsiobjektifz=10x+25ydengankendalakendalaxs12,2sys7,2x+ys8!2. Tentukannilaiminimumfungsiobjektifz=15x+8ydengankendalakendala8x-7ys48,x10ys6,3xys11!Latihan4X12 8 44810O(0, 10)(0, 8)(3, 6)(7,5, 0)(12, 0)30x + 45y = 36040x + 30y = 30045x + 60y = 180daerahhimpunanpenyelesaianYGambar 1.7CatatanG Jikagarisselidikterletakpalingjauh dari titik O(0, 0) dan melewatititik(x,y)yangterletakpadadaerahhimpunanpenyelesaian,makatitik(x,y)tersebutyangakanmembuatfungsiobjektifbernilaimaksimum.G Jikagarisselidikterletakpalingdekat dari titik O(0, 0) dan melaluititik(x,y)yangterletakpadadaerahhimpunanpenyelesaian,makatitik(x,y)tersebutyangakanmembuatfungsiobjektifbernilaiminimum.22MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaRangkuman3. SeorangpedagangmembelipakaiananakanaksehargaRp30.000,00danpakaiandewasasehargaRp50.000,00.Taspedagang hanya dapat dimuati tidak lebih dari 60 pakaian. ModalpedagangRp3.000.000,00.JikakeuntunganpakaiananakanakRp6.000,00danpakaiandewasaRp10.000,00,makatentukankeuntunganmaksimumyangdapatdiperolehpedagangtersebut!4. Seorangtukangkebunmembutuhkanduajenispupuk.Dalamsetiapkantong,pupukjenisImengandung300gramzatkimiaAdan 600 gram zat kimia B. sedangkan pupuk jenis II mengandung400gramzatkimiaAdan300gramzatkimiaB.Tukangkebuntersebutmembutuhkansedikitnya12kgzatkimiaAdan15kgzatkimiaB.JikahargasatukantongpupukjenisIRp10.000,00danpupukjenisIIRp12.000,00,tentukanbanyaknyapupukjenisI dan pupuk jenis II agar biaya dapat ditekan seminimum mungkin!5. Luaslahanparkir176m2,sedangkanluasrataratatiapmobildanbusmasingmasing4m2dan20m2.Lahanparkirtersebuthanyamampumenampung20mobildanbus.JikabiayaparkiruntukmobilRp1.000,00perjamdanuntukbusduakalilipatnya,berapakahbesarpendapatanmaksimumyangdapatdiperolehdarilahanparkirtersebut?1. Programlinearadalahmetodeuntukmenyelesaikanmasalahoptimasi,yaitumasalahyangberhubungandenganpenentuanmaksimumatauminimumsuatufungsilineardengankendalakendalaberupasistempertidaksamaanlinear.2. Langkahlangkahuntukmenentukandaerahhimpunanpenyelesaiansuatumasalahprogramlinearsebagaiberikut.a. Membuatmodelmatematikanya.b. Menggambargrafik,yaitugarisax+by=cpadabidangCartesius.c. Mengambilsembarangtitikujiyangterletakdiluargarisax + by = cdan mensubstitusikan ke dalam pertidaksamaannya.d. Apabilatitikujimenyebabkanpertidaksamaanbernilaibenar,makabagianbelahanbidangyangmemuattitikujiadalahdaerahhimpunanpenyelesaian.ProgramLinear23e. Menentukaninterseksiatauirisandariberbagaigrafikpenyelesaian.3. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif z = ax + by dapatmenggunakanmetodesebagaiberikut.a. UjititikujungTitiktitikdisetiapujungdaerahhimpunanpenyelesaiandisubstitusikan ke fungsi z untuk menentukan titik mana yangakanmengoptimumkanfungsiz.b. Garis selidikMembuat garis selidik ax + by = k (k = R), kemudian membuatgarisgaris yang sejajar dengan garis selidik. Titik pada daerahhimpunan penyelesaian yang dilalui garis selidik yang terletakpalingjauhataupalingdekatdengantitikO(0,0)akanmengoptimumkanfungsiz.Kerjakansoalsoaldibawahinidenganbenar!1. Manakah di antara pertidaksamaan di bawah ini yang merupakanpertidaksamaanlinearduavariabel?a.2x + 1y 4 dan 1x 1y 2b.2x + 3y s 6 dan 3x 2y s 12c. x(x + 2) + y 2d. 10+2x 1Contoh2.5A13=(2 7)B1 4 = (9 0 1 5)b. MatriksKolomMatriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom ataumatriksyangberordom1denganm>1Contoh2.6A3 1 = 704 ( ( ( ,B4 1 = 5018 ( ( (- ( ( ,c. MatriksPersegiatauMatriksKuadratMatrikspersegiataumatrikskuadratadalahmatriksyangbanyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Matriks Am n disebutmatriks persegi jika m = n, sehingga sering ditulis Am n = An.Padamatrikspersegi,elemenelemena11,a22,a33,...,anndisebutelemenelemendiagonalutama.am1,...,a1ndisebutelemenelemendiagonal kedua. Hasil penjumlahan dari elemenelemen pada diagonalutamamatrikspersegidisebuttraceA.TraceA=a11+a22+...+annContoh2.7A3 3 = A3 = 1 9 25 4 63 8 1- (- ( (- - ,Elemendiagonalutamanyaadalah1,4,dan1.Elemendiagonalkeduaadalah3,4,dan2.TraceA= 1+(4)+(1)= 4Matriks33d. MatriksDiagonalMatriksdiagonaladalahmatrikspersegiyangsemuaelemennyabernilainol,kecualielemendiagonalutama.Contoh2.8A2 = 7 00 9- ( ,B3 = 8 0 00 0 00 0 3 ( ( ( ,C4 = 3 0 0 00 3 0 00 0 3 00 0 0 3 ( ( ( ( ( ,e. MatriksSegitigaAtasMatrikssegitigaatasadalahmatrikspersegiyangelemenelemendibawahdiagonalutamanyaadalahnol.Contoh2.9A2= 1 30 6 (- ,B3= 7 2 90 1 30 0 7- (- ( ( ,f. MatriksSegitigaBawahMatrikssegitigabawahadalahmatrikspersegiyangelemenelemendiatasdiagonalutamanyaadalahnol.Contoh2.10C2= 8 05 4 ( ,D3= 5 0 01 7 04 5 9- (- ( ( ,g. MatriksIdentitasMatriks identitas adalah matriks diagonal yang semua nilai elemenpada diagonal utamanya sama dengan positif satu, sedangkan elemenlainnyanol.MatriksidentitasdisebutjugamatrikssatuanyangdilambangkandenganI.Contoh2.11I22=1 00 1 ( ,I33=1 0 00 1 00 0 1 ( ( ( ,h. Matriks NolMatriksnoladalahmatriksyangseluruhelemennyabernilainol.MatriksnoldinyatakandenganlambangO.34MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaContoh2.12O2 2 = 0 00 0 ( ,O2 3 = 0 0 00 0 0 ( ,O3 2 = 0 00 00 0 ( ( ( ,i. LawanSuatuMatriksLawansuatumatriksadalahmatriksyangelemenelemennyamerupakanlawandarielemenelemenmatrikstersebut.LawanmatriksAdinotasikandenganA.Contoh2.13LawanmatriksA= 2 97 0- ( ,adalahA= 2 97 0- (- ,KerjakandibukutugasAnda!1. DiketahuimatriksB= 1 4 3 45 2 7 60 7 8 1- - (- ( ( ,.Tentukan:a. ordomatriksB;b. elemenelemenpadakolomke3;c. a13,a22,a34!2. Tentukanbanyakelemendarimatriksmatriksberikut:a. A24b. B15c. C533. PadabulanJanuari,Luthfimembeli4bukutulisdan5pensil,sedangkanTonihanyamembeli2bukutulisdan1pensil.Padabulanberikutnya,Luthfimembelilagi3bukutulisdan2pensil,sedangkanTonimembeli6bukutulisdan4pensil.Nyatakanpernyataantersebutdalambentukmatriks!4. Tentukanmatriksmatrikskoefisienuntuktiapsistempersamaanlinearberikut:a. 2x+5y =84xy = 6Latihan1Matriks35b. 5x3y =113x2y =6c. 3x y + z =72x5y3z =9x + 4y z =195. Tentukanlawanmatriksberikut:a.4 50 3- ( ,c.1 7 65 4 2- (- - ,b.1420 8152 ( ( ( ( ( - - ( ,d.1 2102122 ( - ( ( ( ( ( - - ( ,3. KesamaanMatriksDuabuahmatriksAdanBdikatakansamadanditulisA=Bapabilakeduanyaberordosamadansemuaunsurunsuryangterkandungdidalamnyabernilaisama.Contoh2.14A = 2 31 14 0 ( ( ( ,B =4321 ( 1)4 0 ( (- -( ( ( ( ,C = 22 3log10 12 0 ( ( ( ,Jadi, A = B = C.Contoh2.15Diketahui A = 2 22 4x yx y- (- , dan B = 2 45 4 ( ,.TentukannilaixdanyapabilaA=B!36MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaJawab:A=B,maka 2x+y =4 1 2x + y = 4x+2y =5 2 2x + 4y = 103y = 6y = 22x+y =42x+2 =42x =2x =1Jadi,nilaix=1dany=2.4. TransposeMatriksTranspose matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan caramengubahsetiapelemenbarismatriksAmenjadielemenkolommatrikstransposenya, atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan denganAt atau A'. Penggunaan transpose sebuah matriks mempermudah berbagaianalisismatriks.Contoh2.16A =2 41 5- (- ,, maka A' = At = 2 14 5- (- ,B =5 10 73 5- ( ( (- ,, maka B' = Bt = 5 0 31 7 5- (- ,KerjakandibukutugasAnda!1. Diantaramatriksmatriksberikutini,manakahyangsama?A = 1 36 2- (- ,B =3 24 5- ( ,C = 91236 4 - ( ( (- ,D = 9 416 25 - ( ( ,E = (91570) F = 91570 (- ( ( ( ( ( ,Latihan2CatatanTranpose matriks diagonaladalahmatriksdiagonalitusendiri.+Matriks372. Tentukantransposedarimatriksmatriksberikutini!a. A = 4 5 61 7 9 (- ,b. B = 9 0 17 4 310 0 5- (- ( (- ,3. Tentukannilaixdanydaripersamaanberikut:a.23xy (- , = 146 (- ,b.1070xy - - ( ( ( , = 7 50 3- ( ,c.12 5 xy - ( , =( )4 5 2 -d.25 212 4x - ( ( , = 5 812 2y- ( ,4. TentukannilaixdanyjikaAt=B!a. A = 2 28 9x y - ( (- , dan B = 6 84 3- ( (- ,b. A = 23142xy ( ( ( , dan B = 9 25 16 ( ( ,5. DiketahuimatriksA= 3 22a a bb c c d- ( (- - ,dan B = 6 32 5- - ( ,.a. TentukanAt!b. Tentukannilai2a+bdan3c+bdjikaAt=B!38MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaB. Operasi Aljabar MatriksPadapembahasandidepan,kitatelahmempelajaripengertianmatriks,notasi,ordomatriks,jenisjenismatriks,kesamaanmatriks,dantransposematriks.Selanjutnya,kitaakanmembahasoperasi(pengerjaan)antarmatriks,di antaranya adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriksdenganbilanganreal(skalar),danperkalianmatriksdenganmatriks.1. PenjumlahanMatriksUntukmemahamipenjumlahanmatriks,perhatikantabel2.2berikut.Tabel 2.2Bulan1 Bulan2 JumlahAyam Bebek Ayam Bebek Ayam BebekPakHasan 20 15 40 20 60 35PakAhmad 50 20 75 30 125 50Tabel2.2menunjukkandatajumlahteloryangdihasilkanolehayamdanbebekmilikPakHasandanPakAhmadselama2bulanberturutturut.Jikadatadiatasdisajikandalambentukmatriks,makadiperoleh:A +B =C20 1550 20 ( ,+ 40 2075 30 ( ,=60 35125 50 ( ,Perhatikan bahwa matriks A dan B adalah matriks yang berordo sama.ElemenelemenmatriksdariAdanByangdijumlahkanadalahyangseletak.Sehinggadiperolehkesimpulansebagaiberikut.JikaAdanBadalahduabuahmatriksyangberordosama,makahasilpenjumlahanmatriksAdenganmatriksBadalahsebuahmatriksbaruyangdiperolehdengancaramenjumlahkanelemenelemenmatriksAdenganelemenelemenmatriksByangseletak.Jadi, jika diketahuiA23 = 11 12 1321 22 23a a aa a a ( , danB23 = 11 12 1321 22 23b b bb b b ( ,,maka: (A +B)23 =11 11 12 12 13 1321 21 22 22 23 23a b a b a ba b a b a b- - - (- - - ,Matriks39Contoh2.17Diketahui A = 2 15 3- ( ,, B = 4 20 3- (- ,, dan C = 1 67 4- ( ,.Tentukan: a) A + B c) (A + B) + Cb) B + A d) A + (B + C)Jawab:a) A + B =2 15 3- ( , + 4 20 3- (- ,=2 4 1 ( 2)5 0 3 ( 3)- - -- (- -- ,=6 35 0- ( ,b) B + A =4 20 3- (- , + 2 15 3- ( ,=6 35 0- ( ,c) (A + B) + C =2 1 4 25 3 0 3- - - ( (( (- , , , + 1 67 4- ( ,=6 35 0- ( , + 1 67 4- ( ,=5 312 4 ( ,d) A + (B + C) =2 15 3- ( , + 4 2 1 60 3 7 4- - - ( (( (- , , ,=2 15 3- ( , + 3 47 1 ( ,=5 312 4 ( ,40MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaDaricontohdiatas,dapatdisimpulkanbahwasifatsifatpenjumlahanmatriksadalah:1. Sifat komutatif: A + B = B +A2. Sifatasosiatif:(A + B) + C = A + (B + C)A,B,Cadalahmatriksberordosama.2. PenguranganMatriksPenguranganmatriksdapatdinyatakandalampenjumlahanmatriks,berdasarkanpadapemahamantentanglawansuatumatriks.JikaAdanBadalahduamatriksyangberordosama,makapenguranganmatriksAdenganBdapatdinyatakansebagaiberikut:A B = A + (B)Jadi,jikadiketahui:A2 3 = 11 12 1321 22 23a a aa a a ( , dan B2 3= 11 12 1321 22 23b b bb b b ( ,,maka: A B = A + B = 11 11 12 12 13 1321 21 22 22 23 23a b a b a ba b a b a b- - - (- - - ,Contoh2.18JikaA = 6 8 54 2 7- (- , dan B = 1 2 30 5 3- (- ,, tentukan A B!Jawab:A B =6 8 54 2 7- (- , 1 2 30 5 3- (- ,=6 ( 1) 8 2 5 34 0 2 5 7 ( 3)-- - - - (- - - -- ,=7 6 84 7 10- (- ,Matriks41KerjakandibukutugasAnda!1. Diketahui:A =2 47 5 ( ,, B = 3 01 4 (- ,, dan C = 4 52 2 (- ,Tentukan:a. A + B d. B Cb. A B e. A + B + Cc. B + C f. A B C2. Diketahui:A = 4 5 23 6 7 (- ,, B = 3 50 61 4 ( ( ( ,, dan C = 4 16 53 7- ( ( (- ,Tentukan:a. A + Bt + Ctc. B At + Cb. B C + Atd. A Bt + Ct3. Tentukannilaixdanydari:a.3 45 3x ( , = 9 86 5 ( , 3 21 2y ( ,b.3 44 3xy ( , + 3 55 2yx- ( , + 4 99 18- (- - , = I4. TentukanmatriksAjika:a.3 41 8 (- , + A = 4 20 7- (- ,b.3 58 4 (- , A = 1 52 7 ( ,c. A + 4 5 28 0 7- ( , = 7 5 73 4 6 ( ,d. A 2 05 4- ( , + I = 4 15 3- (- ,Latihan342MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa5. Tentukannilaix,y,danzdaripersamaanberikutini!a.4 5z x ( , + 32xy ( , = 86 3z ( ,b.2 1x y- ( , + 5z yx ( , = 34 7x y - ( ,3. PerkalianMatriksdenganBilanganJikakadalahbilanganrealdanAadalahsebuahmatriks,makakAadalahsebuahmatriksbaruyangdiperolehdarihasilperkaliankdenganelemenelemenmatriksA.Misalnya:A =11 12 13 121 22 23 21 2 3......... ... ......nnm m m mna a a aa a a aa a a a ( ( ( ( ( ,, makakA = 11 12 13 121 22 23 21 2 3......... ... ......nnm m m mnka ka ka kaka ka ka kaka ka ka ka ( ( ( ( ( ,Contoh2.19A= 3 97 21 5 (- ( ( ,,maka2A = 2(3) 2(9)2( 7) 2(2)2(1) 2(5) (- ( ( ,= 6 1814 42 10 (- ( ( ,Dalamaljabarmatriks,bilanganrealkseringdisebutskalar.Sehinggaoperasi perkalian bilangan real k dengan matriks A disebut perkalian skalar.Perkalian matriks dengan skalar k berarti melakukan penjumlahan matrikssejenissebanyakkkali.Matriks43TugasIndividuSifatperkalianmatriksdenganskalar:JikamatriksAdanBberordosamadank,l=R(bilanganreal),maka:a. (k + l)A = kA+lAb. k(A+B) = kA+kBc. k(lA) = (kl)Ad. 1 A = A 1 = Ae. (1)A = A(1)=AKerjakandengankelompokAnda!BuktikanbahwajikaAdanBmatriksberordosamadank,l=====R,makaberlaku:a. (k + l)A = kA +lAb. k(A+B) = kA+kBc. k(lA) = (kl)Ad. 1xA = A x 1 = Ae. (1)A = A(1)=AContoh2.20Diketahuimatriksmatriks:A =2 40 6 ( ,dan B = 3 69 0 ( ,Tentukan matriks C berordo 2 2 yang memenuhi persamaan 3C + 13B = 2A!Jawab:2A = 22 40 6 ( , = 4 80 12 ( ,13B = 133 69 0 ( , = 1 23 0 ( ,44MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaDaripersamaan3C+ 13B=2Adiperoleh3C=2A 13B3C =4 80 12 ( , 1 23 0 ( ,=3 63 12 (- ,Jadi,C = 13(3C)= 133 63 12 (- ,= 1 21 4 (- ,KerjakandibukutugasAnda!1. DiketahuiA= 8 24 6- (- ,,tentukanhasildari:a. 2A d. 3Atb. 4A e.12Ac.12Atf. 2(A+At)2. Tentukannilaia,b,c,danddaripersamaanberikutini:a.3 912 6- (- , = 3a bc d ( ,b.13a bc d ( , = 2 34 1- (- ,Latihan4Matriks45c.932364 - ( ( (- ( , = 12a bc d ( , + 2a bc d ( ,d. 4a bc d ( , + 21 85 1 (- , = 6 2414 8- (- ,3. DiketahuimatriksA= 7 5 31 2 4 (- - - ,danB= 2 6 810 8 4- - ( ,.Tentukanlah:a. 2A + 12Bb.12(4A+B)c. Bagaimanahasilpadasoaladanb?4. Nyatakanhasilnyadalammatrikstunggal!a. 33 57 6 (- , + 122 04 6- (- ,b.1312 93 15 (- - , 2132362 - ( ( (- ( ,c. 24 3 52 5 7 (- , 12 6 57 9 2- (- , + 31 3 42 5 2 (- ,5. JikaXadalahmatriks23,tentukanXdaripersamaanberikutini:a.2 8 1012 6 14- (- , = 12Xb. 3X = 12 6 18118 24 30 2- (- ,46MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa4. PerkalianMatriksdenganMatriksPerhatikantabel3.3berikut!Tabel3.3(a)berisidatamengenaibanyaknyabajudancelanayangdibeliIndradanIrfan.Sedangkantabel3.3(b)berisidatamengenaihargabajudancelanaperpotongnya.Tabel 3.3Baju Celana HargaperpotongIndra 2 2 Baju Rp50.000,00Irfan 3 1 Celana Rp40.000,00(a) (b)BerapakahjumlahuangyangharusdibayarkanolehIndradanIrfan?Penyelesaian:G UangyangharusdibayarkanIndra:2Rp50.000,00+2Rp40.000,00=Rp180.000,00G UangyangharusdibayarkanIrfan:3Rp50.000,00+1Rp40.000,00=Rp190.000,00Selainmenggunakancaradiatas,kitajugadapatmenyelesaikanpermasalahantersebutdenganmenggunakanmatrikssebagaiberikut:2 23 1 ( ,50.00040.000 ( , = 2 50.000 2 40.0003 50.000 1 40.000 ( , = 180.000190.000 ( ,Operasidiatasdinamakanperkalianmatriks,yaitudenganmengalikantiapelemenpadabarismatrikspertamadenganelemenpadakolommatrikskedua,kemudianhasilnyadijumlahkan.Perhatikanbahwabanyak baris matriks pertama sama dengan banyak kolom matriks kedua.Jadi,diperoleh:Duabuahmatrikshanyadapatdikalikanapabilajumlahkolommatriksyangdikalikansamadenganjumlahbarisdarimatrikspengalinya.HasilkaliduabuahmatriksAmndenganBnpadalahsebuahmatriksbaruCmp.Am n Bn p = Cm nMisalkanA = a bc d ( , dan B = p qr s ( ,, maka:AB = a bc d ( ,p qr s ( , = ap br aq bscp dr cq ds- - (- - ,Matriks47Contoh2.21Tentukanhasilperkalianmatriksberikutini:A = 3 4 21 0 5 (- , dan B = 3 12 45 2 ( ( (- ,Jawab:A2 3 . B3 2 = C2 2A . B =3 4 21 0 5 (- ,3 12 45 2 ( ( (- ,=3(3) 4(2) 2(5) 3(1) 4(4) (2( 2)(3) 0(2) 5(5) (1) 0(4) 5( 2)- - - - - (- - - - - - - ,=27 1522 11 (- ,Contoh2.22DiketahuimatriksA= 3 21 5 ( ,.Tentukanlah:1) a) A2b) A32) A3+2A23AJawab:1) a) A2= A . A=3 21 5 ( ,3 21 5 ( ,=11 168 27 ( ,b) A3=3 21 5 ( ,11 168 27 ( , = 49 10251 151 ( ,CatatanJikaAsuatumatrikspersegiataumatrikskuadrat,maka:A . A = A2A . A = A . A2 = A3A= A . A3 = A4...A . A . A. ... . A = A . An-1 = An48MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa2) A3+2A23A = 49 10251 151 ( ,+ 211 168 27 ( , 33 21 5 ( ,= 49 10251 151 ( ,+ 22 3216 54 ( , 9 63 15 ( ,= 62 12864 190 ( ,Contoh2.23Jika A = 1 00 2 ( ,, B = 2 01 1 (- ,, dan C = 3 21 3 (- ,.Tentukanlah:a) (AB)CdanA(BC)b) A(B + C) dan AB + ACc) (B + C)A dan BA + CAJawab:a) (AB)C = 1 0 2 00 2 1 1 ( (( (- , , 3 21 3 (- ,= 2 02 2 (- ,3 21 3 (- ,= 6 44 10 ( ,A(BC) = 1 00 2 ( , 2 0 3 21 1 1 3 ( (( (- - , , = 1 00 2 ( ,6 42 5 ( ,= 6 44 10 ( ,Jadi,(AB)C=A(BC)Matriks49b) A(B + C) = 1 00 2 ( ,2 0 3 21 1 1 3 ( - (((- - , , = 1 00 2 ( ,5 22 4 (- ,= 5 24 8 (- ,AB+AC = 1 00 2 ( ,2 01 1 (- , + 1 00 2 ( ,3 21 3 (- ,= 2 02 2 (- , + 3 22 6 (- ,= 5 24 8 (- ,Jadi, A(B + C) =AB + AC3) (B + C)A = 2 0 3 21 1 1 3 ( - (((- - , , 1 00 2 ( ,= 5 22 4 (- ,1 00 2 ( ,= 5 42 8 (- ,BA + CA = 2 01 1 (- , 1 00 2 ( ,+ 3 21 3 (- ,1 00 2 ( ,= 2 01 2 (- ,+ 3 41 6 (- ,= 5 42 8 (- ,Jadi, (B + C)A = BA + CA50MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaUntuksetiapmatriksA,B,danC(yangdapatdijumlahkan/dikalikan)dipenuhi:1. (AB)C=A(BC) SifatAsosiatif2. A(B + C) = AB + AC SifatDistributifKiri3. (B + C)A = BA + CA SifatDistributifKanan4. k(AB)=(kA)B=A(kB) PerkalianSkalar5. AI = IA = A SifatIdentitas6. AO=OA=O SifatMatriksNol7. ABBA TidakBerlakuSifatKumutatifKerjakandengankelompokAnda!Buktikanbahwa:1. k(AB)=(kA)B=A(kB)2. AI = IA = A3. AO=OA=O4. ABBADiskusikandengankelompokAnda!KerjakandibukutugasAnda!1. Tentukanhasilperkalianmatriksberikutini:a.( )42 1 3 03 ( ( ( ,b.( )2 4 1xyz (- ( ( ,c.( )7 5 6xyz (- - ( ( ,Tugas KelompokLatihan5Matriks512. DiketahuimatriksA= 3 21 3 (- ,.TentukanmatriksA3!3. Tentukannilaiab+2cdjika 3 4 10 15 1 11 13a bc d ( (( , , ,!4. Diketahuimatriks:A = 1 02 2 (- ,, B = 2 34 1- ( ,, dan C = 2 5 33 1 4- (- ,.Tentukan:a. AB d. At.Cb. AC e. Bt. Cc. BC f. Ct.A5. Diketahuimatriks:A = 1 42 2 (- ,, B = 1 34 5 ( ,, dan C = 2 31 4 (- ,Tentukan:a. A(B + C)b. AB+ ACc. (B + C)Ad. BA+ CAC. Determinan dan Invers MatriksPadapembahasanberikutini,kitaakanmempelajaricaramenentukandeterminandaninversmatriks,khususnyamatriksberordo22,danpenggunaannyauntukmenyelesaikansistempersamaanlinear.1. DeterminanMatriksJikadiketahuimatriksA= 4 21 3 ( ,,makahasilkaliantara4dan3dikurangihasilkali1dan2,yaitu122=10dinamakandeterminan.Determinansebuahmatriksadalahsebuahangkaatauskalaryangdiperolehdarielemenelemenmatrikstersebutdenganoperasitertentu.52MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaPenulisandeterminanadalahdengangarislurus.A= 11 12 13 121 22 23 21 2 3......... ... ... ... .......nnm m m mna a a aa a a aa a a a ( ( ( ( ( ,,makadeterminanmatriksA:det A =A =11 12 13 121 22 23 21 2 3......... ... ... ... ......nnm m m mna a a aa a a aa a a aa. Memahamideterminanmatriksordo22Khusus untuk matriks ordo 2 2, nilai determinannya merupakanhasilkalielemenelemenpadadiagonalutamadikurangihasilkalielemenelemenpadadiagonalsamping.JikaA= a bc d ( ,,makadeterminanmatriksAdidefinisikan:det A = A = a bc d=adbcContoh2.251) DiketahuimatriksA= 5 32 4- (- ,.HitunglahdeterminanmatriksA!Jawab:det A = A=5 32 4--=(5)(4)(2)(3)=20+6=14b. Memahamideterminanmatriksordo33(pengayaan)Untukmenentukandeterminanmatriksordo33,yaitudenganmeletakkanlagielemenelemenkolompertamadankeduadisebelahkanankolomketiga.Jika A = 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a ( ( ( ,,makadeterminanmatriksA:Matriks53det A = A=11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a = 11 12 13 11 1221 22 23 21 2231 32 33 31 32a a a a aa a a a aa a a a a() ()() (+) (+)(+)= a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32a13.a22.a31a11.a23.a32a12.a21.a33Contoh2.26DiketahuimatriksA= 3 4 22 1 05 2 7 (- ( ( ,.HitunglahdeterminanmatriksA!Jawab:det A =A =3 4 2 3 42 1 0 2 15 2 7 5 2- -() () ()(+) (+) (+)= (3)(1)(7)+(4)(0)(5)+(2)(2)(2)(2)(1)(5)(3)(0)(2)(4)(2)(7)= 21 + 0 8 10 0 + 56= 59KerjakandibukutugasAnda!1. Tentukandeterminandarimatriksberikut:a. A = 6 23 5 (- ,b. B = 1 73 0 ( ,c. C = 4 33 2- (- - ,CatatanG Matriksyangdeterminannyanol (0) disebut matriks singulardantidakmempunyaiinvers.G Matriks yang determinannyatidaknol(0)disebutmatrikstaksingular atau nonsingulardan selalu mempunyai invers.Latihan654MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa2. DiketahuideterminanmatriksA= 2 4 22 4x x - - ( ,bernilai0.Hitunglahnilaix!3. Tentukan nilai a yang mungkin jika persamaannya seperti berikut:a.3 33aa--=3b.5 2 12a aa a-=0dengana04. DiketahuiA= 7 76 3 1 x (- ,danB= 2 47 5x ( ,.BilaA =7 B ,tentukannilaix!2. InversMatriksDalam perkalian bilangan real, a 1 = 1 a= a, a =R. Dalam hal ini,1adalah elemen identitas. Selain itu, juga diketahui bahwa ab ba = 1 dengana,b=Rdan badikatakansalinginvers.a. DuaMatriksSalingInversInverssuatumatriksdapatdigunakanuntukmemecahkansistempersamaan linear yang sederhana atau rumit. Jika A dan B merupakanmatriks persegi berordo sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalahinversA(B=A1)atauAadalahinversB(A=B1).BerartiAdanBsalinginvers.Contoh2.27Jika diketahui A = 3 42 3 ( , dan B = 3 42 3- (- ,ApakahAdanBsalinginvers?Matriks55Jawab:AB = 3 42 3 ( ,3 42 3- (- , = 9 8 12 126 6 8 9- - - (- - - , = 1 00 1 ( , = IBA = 3 42 3- (- ,3 42 3 ( , = 9 8 12 126 6 8 9- - (- - - - , = 1 00 1 ( , = IJadi,AB=BA=I,sehinggaAmerupakaninversBatauBmerupakaninversA(Adan Bsalinginvers).b. Menentukaninversmatrikspersegiordo22Misalkanmatrikspersegiberordo2yangakankitacariinversnyaadalah:A= a bc d ( ,daninversnyaA1= p qr s ( ,,maka:A.A1= Ia bc d ( ,p qr s ( ,=1 00 1 ( ,ap br aq bscp dr cq ds- - (- - ,=1 00 1 ( ,Diperolehsistempersamaanlinearduavariabelsebagaiberikut:1)10ap brcp dr- `- ' diperoleh p = dad bc - r = cad bc--2) 01aq bscq ds- `- ' diperolehq = bad bc--s = aad bc -Sehingga:A1= p qr s ( ,56MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa= d bad bc ad bcc aad bc ad bc- (- - (- ( (- - ,= 1ad bc -d bc a- (- ,Dengandemikiandiperoleh:Jika A = a bc d ( ,, maka A1=1ad bc - d bc a- (- ,=1det Ad bc a- (- ,denganadbc0Contoh2.28TentukaninversdarimatriksA= 3 41 2 ( ,!Jawab:A1=1(3)(2) (4)(1) - 2 41 3- (- ,=122 41 3- (- ,A1=1 21 32 2- ( (- ( ,Contoh2.29Jika X matriks berordo 2 2, tentukanlah X dari persamaan berikut ini!X2 11 2 ( , = 4 510 11 ( ,Matriks57Jawab:UntukmencariX,keduaruasdikalikandenganinvers 2 11 2 ( ,disebelahkanan.Sehingga: X2 11 2 ( , = 4 510 11 ( ,X2 11 2 ( , . 13 2 -1-1 2 ( , = 4 510 11 ( ,. 132 -1-1 2 ( , X2 11 2 ( ,2 13 31 23 3 - ( ( (- ( ,= 4 510 11 ( , 2 13 31 23 3 - ( ( (- ( , X1 00 1 ( ,=1 23 4 ( , X = 1 23 4 ( ,KerjakandengankelompokAnda!1. Tunjukkanbahwasistempersamaanlinear 10ap brcp dr- `- 'mempunyaipenyelesaian:p = dad bc - dan r = cad bc--2. Tunjukkanbahwasistempersamaanlinear 01aq bscq ds- `- 'mempunyaipenyelesaian:q = bad bc-- dan s = aad bc -TugasKelompokTugas Kelompok58MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaD. Invers Matriks Ordo 3 (pengayaan)Sebelummempelajariinversordo3,Andaharuspahamterlebihdulumengenaiminor,kofaktor,danadjoin.1. PengertianMinorMisalkanmatriksA = 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a ( ( ( ,.Jika elemenelemen pada baris kei, kolom kej dari matriks A dihapus,makaakandiperolehmatrikspersegiberordo2.Determinandarimatrikspersegiordo2itumerupakanminormatriksAdanditulisdenganlambang ijM disebutminoraij.Matriksordo3memilikiminorsebanyak9buah.a) Jikabarispertamadankolompertamadihapus,maka:11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a ( ( ( , diperoleh 22 2332 33a aa a ( ,Sehinggaminora11adalah 11M = 22 2332 33a aa ab) Jikabarispertamakolomkeduadihapus,maka:11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a ( ( ( , diperoleh 21 2331 33a aa a ( ,Sehinggaminora12adalah 12M = 21 2331 33a aa ac) Jikabarispertamakolomketigadihapus,maka:11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a ( ( ( , diperoleh 21 2231 32a aa a ( ,Sehinggaminora13adalah 13M = 21 2231 32a aa aDemikianseterusnyasampaiminorke9atau 33M .Matriks592. PengertianKofaktorJika ijMadalahminoraijdarimatriksA,makabentuk(1)i+jijMdisebutkofaktordariaij,sehingga:Kofaktora11adalahc11= (1)1+1 11M = +11MKofaktora12 adalahc12= (1)1+2 12M = 12MKofaktora13 adalahc13= (1)1+3 13M = +13MKofaktora21adalahc21= (1)2+1 21M = 21MKofaktora22adalahc22= (1)2+2 22M = +22MKofaktora23adalahc23= (1)2+3 23M = 23MKofaktora31adalahc31= (1)3+1 31M = +31MKofaktora32adalahc32= (1)3+2 32M = 32MKofaktora33adalahc33= (1)3+3 33M = +33M3. PengertianAdjoinJika cij adalah kofaktor dari aij pada matriks A, maka adjoin matriksA(disingkatadjA)ditentukanoleh:adjA =11 21 3112 22 3213 23 33 ( ( ( ,c c cc c cc c cAtauadjA=22 23 21 23 21 2232 33 31 33 31 3212 13 11 13 11 1232 33 31 33 31 3212 13 11 13 11 1222 23 21 23 21 22 - - - ( ( ( (- - - ( ( (- - - (( ,a a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a60MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaContoh2.30Tentukanminor,kofaktor,danadjoindarimatriksA= 2 3 10 3 25 1 4 (- - ( (- ,!Jawab:1. Minor:Minora11= 11M = 3 21 4- --=(3)(4)(2)(1)=122=14Minora12= 12M = 0 25 4- = 0 (10) = 10Minora13= 13M = 0 35 1-- = 0 (15) = 15Minora21= 21M = 3 11 4 - = 12 (1) = 13Minora22= 22M = 2 15 4 =8 5 = 3Minora23= 23M = 2 35 1 -= 2 15 = 17Minora31= 31M = 3 13 2 - - = 6 (3) = 3Minora32= 32M = 2 10 2 -= 4 0 = 4Minora33= 33M = 2 30 3 - = 6 0 = 62. Kofaktor:c11=(1)1+1 11M =+11M =14c12=(1)1+212M = 12M= 10c13=(1)1+313M = +13M= 15Matriks61c 21= (1)2+1 21M = 21M= 13c 22= (1)2+2 22M = +22M= 3c 23= (1)2+3 23M= 23M= 17c 31= (1)3+131M= +31M= 3c 32=(1)3+232M= 32M =4c 33= (1)3+333M = +33M= 63. AdjoinadjA =11 21 3112 22 3213 23 33c c cc c cc c c ( ( ( , = 14 13 310 3 415 17 6- - - (- ( (- ,4. Invers Matriks Ordo 3 3JikaA= 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a ( ( ( ,dandetA0,makainversAadalah:A1=1det A.adjAContoh2.31CarilahinversmatriksA= 2 3 10 3 25 1 4 (- - ( (- ,!Jawab:detA =2 3 1 2 30 3 2 0 35 1 4 5 1- - -- -= (2)(3)(4)+(3)(2)(5)+(1)(0)(1)(1)(3)(5)(2)(2)(1)(3)(0)(4)= 24 30 0 + 15 4 0= 4362MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaA1= 1det A.adjA= 14314 13 310 3 415 17 6- - - (- ( (- ,= 14 13 343 43 4310 3 443 43 4315 17 643 43 43 ( ( (- - ( ( (- - ( ,KerjakandibukutugasAnda!1. Tentukaninversdarimatriksdibawahini!a. A = 3 56 7- ( ,b. B =4 93 5 (- - ,c. C =2 14 3- (- ,2. JikaXadalahmatriksordo22,tentukanlahmatriksXberikut:a.1 22 3 ( ,X = 2 55 10 ( ,b.1 21 2- (- ,X = 7 27 2 (- - ,c. X1 62 3 ( , = 10 330 9 (- ,d. X1 03 2 ( , = 11 420 14 ( ,Latihan7Matriks633. DiketahuimatriksC= 5 32 4 ( ,danD= 8 22 1- ( ,.Tentukan:a. CD c. C1e. C1D1g. (CD)1b. DC d. D1f. D1C1h. (DC)14. DiketahuimatriksA= 3 0 12 5 11 0 2 ( ( (- - ,.Tentukan:a.13M c.32M e. c23b.22M d. c11f. c315. Tentukanlahadjoindaninversdarimatriksmatriksberikut.a. A =6 0 23 4 15 7 1 (- - ( ( ,b. B =2 5 41 6 08 9 3 (- ( ( ,4. PenggunaanMatriksuntukMenyelesaikanSistemPersamaanLinearKitatelahmengetahuibahwauntukmenyelesaikansistempersamaanlinear dapat digunakan metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi,maupunmetodecampuran.Padasubbabini,kitaakanmempelajaricaralainuntukmenyelesaikansistempersamaanlinearduavariabel,yaitudenganmenggunakanmatriks.Bentukumumsistempersamaanlinearduavariabel.a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2Jikadiubahkedalammatriksmenjadi:1 12 2a ba b ( ,xy ( , = 12cc ( ,a. Menyelesaikansistempersamaanlinearduavariabeldenganinversmatriks1 12 2a ba b ( ,xy ( , = 12cc ( ,64MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaJika A =1 12 2a ba b ( ,,maka:Axy ( ,=12cc ( ,A1.Axy ( ,= A112cc ( ,Ixy ( ,= A112cc ( ,Jadi,diperoleh:xy ( ,= A112cc ( ,b. Menyelesaikansistempersamaanlinearduavariabeldengandeterminan1 12 2a ba b ( ,xy ( ,=12cc ( ,Penyelesaianuntuknilaixdanydapatdinyatakandengannotasideterminan,yaitu:x = 1 12 21 12 2c bc ba ba bdan y = 1 12 21 12 2a ca ca ba batauxDxD dan yDyD; D 0denganketentuansebagaiberikut:1 12 2a bDa badalahdeterminandarikoefisienkoefisienvariabelxdany.1 12 2xc bDc badalahdeterminanDdenganbagiankolompertamanyadigantiolehkonstantac1danc2.Matriks651 12 2ya cDa c adalah determinan D dengan bagian kolom keduanya digantiolehkonstantac1danc2.Contoh2.2Tentukanhimpunanpenyelesaiandari:2 4 143 11x yx y- '- 'a. denganinversmatriks;b. dengandeterminan!Jawab:Persamaanmatriksnyaadalah:1 12 2a ba b ( ,xy ( , = 12cc ( , = 2 43 1 ( ,xy ( , = 1411 ( ,a. DenganinversmatriksMisal A =2 43 1 ( ,,maka:A1=1 413 2 2.1 4.3- (- - ,=1 413 2 10- (- - ,=1 210 53 110 5 - ( ( (- ( ,Sehingga:1 210 53 110 5 - ( ( (- ( ,2 43 1 ( ,xy ( ,= 1 210 53 110 5 - ( ( (- ( ,1411 ( ,66MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa1 00 1 ( ,xy ( ,= 32 ( , xy ( ,= 32 ( ,Jadi,himpunanpenyelesaiannyaadalah{3,2}.b. Dengandeterminanx =xDD=1 12 21 12 2c bc ba ba b=14 411 12 43 1=14 442 12--=3010--= 3y =yDD=1 12 21 12 2a ca ca ba b=2 143 112 43 1InfoMatematikaArthurCayley(1821-1895)merupakanorangyangpertamakalimemperkenalkanmatriksdalamsebuahstuditentangsistem persamaan linear dan transformasilineardiInggrispadatahun1859.Matrikssempattidakdianggapkarenatidakdapatdiaplikasikan.Akhirnya,pada tahun 1925, yaitu 30 tahun setelahCayley wafat, matriks diakui memegangperananpentingdalamperkembanganmekanikakuantum.Matriks67=22 422 12--=2010--= 2Jadi,himpunanpenyelesaiannyaadalah{3,2}.Sekarang,Andatentudapatmenyelesaikanpermasalahandidepan,bukan?Cobaperhatikanuraianberikutini.Fitamembeli3kgjerukdan4kgmanggisdenganhargakeseluruhanRp38.000,00.Ratnamembeli2kgjerukdan3kgmanggisdenganhargakeseluruhanRp27.000,00.Untukmenentukanhargajerukdanmanggistiapkgnya,kitadapatmembuatmodelmatematikanyadalambentukmatrikssebagaiberikut:3 42 3 ( ,xy ( , = 38.00027.000 ( ,denganx=hargajeruktiapkgdany=hargamanggistiapkg.MisalA= 3 42 3 ( ,makaA1=3 412 3 9 8- (- - ,=3 42 3- (- ,Sehingga xy ( ,= 3 42 3- (- ,38.00027.000 ( ,= ( ) ( )( )( ) ( )3 38.000 4 27.0002 38.000 3 27.000- - (- - ,= 114.000 108.00076.000 81.000- (- - ,= 6.0005.000 ( ,Jadi,hargajerukadalahRp6.000,00perkgdanhargamanggisRp5.000,00per kg.Penyelesaianpermasalahandiatasdenganmenggunakaninversmatriks.DapatkahAndamenemukanpenyelesaiannyadenganmenggunakandeterminan?Apakahhasilnyasama?68MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaKerjakandengankelompokAnda!Carilahartikeldikoran,majalah,internet,dansebagainyamengenaipermasalahandalamkehidupanseharihariyangberbentuksistempersamaanlinearduavariabel.Buatlahmodelmatematikanyadantemukanpenyelesaiannyadenganmenggunakaninversmatriksdandeterminan.DiskusikanhasilnyadenganguruAnda.KerjakandibukutugasAnda!1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan invers matriks.a.3 2 144 8x yx y- '- 'b.2 17 4 2x yx y- '- 'c.2 3 4 04 5 14 0x yx y- - '- - '2. Tentukanpenyelesaiansistempersamaanberikutdengandeterminan.a.2 34 21x yx y- '- 'b.7 4 176 5 23x yx y- '- 'c.4 5 8 05 11 0x yx y- - '- - '3. Tentukanhimpunanpenyelesaiandarisistempersamaanberikut:a.1 144 31 282 3x yx y- '- 'Latihan8TugasKelompokTugas KelompokMatriks69Rangkumanb.1 133 52 343 5p qp q- '- -'4. Perhatikantabeldibawahini!Tabel 3.3Iwan Irfan HonorlemburHaribiasa 10jam 6jam Iwan Rp146.000,00Hari libur 3 jam 4jam Irfan Rp78.000,00(a) (b)Kedua tabel tersebut menunjukkan banyak jam dan honor lembur duakaryawansuatuperusahaandalamsatuminggu.Tentukanhonorlemburtiapjamnyapadaharibiasadanharilibur!5. Pada ujian Bahasa Inggris ada dua tipe soal yang harus dikerjakan.UntukmengerjakansoalA,Dewimembutuhkanwakturatarata3menitpernomornyadanwakturatarata2kalilipatnyauntuksoalBpernomornya.SedangkanWahyuhanyamembutuhkanwakturatarata2menitpernomoruntuksoalAdan5menitpernomoruntuksoalB.BilaDewimampumenyelesaikanujiantersebutdalamwaktu2jam,sedangkanWahyuhanya1,5jam,tentukanjumlahsoalpadakeduatipesoalujianBahasaInggristersebut!1. JikaA= a bc d ( ,,makatransposematriksAadalahAt= a cb d ( ,.2. Duabuahmatriksdikatakansamajikaordokeduamatrikssamadanelemenelemenyangseletakbernilaisama.3. Duabuahmatriksdapatdijumlahkanataudikurangkanjikaordokeduamatrikstersebutsama.Caramenjumlahkanadalahdenganmenjumlahkanelemenelemenyangseletak.70MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaUji Kompetensi4. Perkalianmatriksdenganbilanganadalahdengancaramengalikanbilangantersebutdenganelemenelemenmatriks.5. Duabuahmatriksdapatdikalikanjikabanyaknyakolommatrikspertamasamadenganbanyaknyabarismatrikskedua.Misalnya:a bc d ( ,p qr s ( , = ap br aq bscp dr cq ds- - (- - ,6. Determinan ordo 2: det A =A= a bc d =ad bc.7. Inversmatriksordo2:A1= 1ad bc -d bc a- (- ,.Kerjakansoal-soaldibawahinidenganbenar!1. Jika 6 1622 12 ( ,= 2 14 p- ( ,4 32 4q (- ,,makatentukannilai3p+2q!2. Jika 3 75 1 ( ,2 04 3a ( ,=65 62 1 ( ,+ 4 62 0 ( ,,tentukannilai2a!3. Diketahui matriks A = 5 22 3 x ( ,, B = 1 42 2 (- ,, dan C = 13 68 14 (- ,.JikaABt=C,tentukannilai3x!4. Diketahui matriks A = 1 23 1- (- ,, B = 1 00 3 ( ,, dan C = 4 62 3- (- ,.Tentukan:a. 2A'+BCb. 3C' (AB)'Matriks715. Jikadiketahui 2 00 2 ( ,.X= 2 46 8 ( ,,makatentukanmatriksX!6. DiketahuimatriksC= 4 11 5 ( ,.TentukanmatriksDyangmemenuhiDC=I!7. Jika 2 31 5 (- ,xy ( ,= 111 ( ,,makatentukannilaixdany!8. Diketahuimatriks:A = 1 2112 ( (- ( , dan B = 12112a ( ( (- ( ,ApabilaA=2Bt,makatentukannilai3a!9. TentukaninversdarimatriksA= 3 46 9 ( ,!10. Tentukanpenyelesaiandarisistempersamaanlinearberikut:2 3 14 04 2 12x yx y- - '- 'a. denganinversmatriks;b. dengandeterminanmatriks!11. DiketahuimatriksC= 97 4x - ( ,danD= 55 3x xx- ( ,.ApabilaC D ,makatentukannilaixyangmemenuhi!12. TentukaninversdarimatriksP= 3 1 34 2 13 3 4 (- - ( (- ,!13. Diketahui: 1 2 13 1 32 3 2 ( ( ( ,abc ( ( ( , = 81414 ( ( ( ,, maka tentukan nilai a, b, dan c!72MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaPengayaan14. Indramembeli3topidan2kaosolahragadenganhargatotalRp145.000,00,sedangkanIrfanharusmembayarRp180.000,00untuk2topidan3kaosolahraga.a. Buatlahmatriksberordo23yangmungkin!b. Berapaharga4topidan2kaosolahraga?15. Nitamembeli3kgrambutandan3kgdukudenganhargatotalRp39.000,00,sedangkanDewimembayarRp47.000,00untuk2kgrambutandan4kgduku.Denganmenggunakaninversmatriks,tentukanhargarambutandandukutiap1kg!KerjakandibukutugasAnda!1.32 31 loglog logxyz y ( ( , = 241 24 log z ( ( ,Tentukannilai2x+y+3z!2. Sebuah perusahaan memproduksi 2 tipe sepeda. Pembuatan keduatipesepedatersebutmenggunakanmesinAdanmesinB.WaktuyangdiperlukanuntukmemproduksisepedatipeIadalah2jamdimesinAdan3jamdimesinB,sedangkanuntuksepedatipeIImembutuhkanwaktu3jamdimesinAdan2jamdimesinB.Keduamesinbekerjaselama18jamtiaphari.MisalkanxadalahbanyaknyasepedatipeIdanyadalahbanyaknyasepedatipeII.a. Buatlahmodelmatematikanya!b. Tentukan banyaknya sepeda tipe I dan tipe II yang diproduksidalamseminggu(7hari)!UjiSemesterGasal73I. Pilihlahjawabanyangbenar!1. Daerah yang memenuhi penyelesaian dari 2x y s 3, 5x + 7y 35,3x4y12denganx,y=Rditunjukkanoleh....a. Ib. IIc. IIId. IVe. V2. Gambardibawahinimenunjukkandaerahhimpunanpenyelesaiandarisistempertidaksamaan....a. 4x + 9ys36,8x + 7ys56,x0, y 0b. 4x + 9y36,8x+7y56,x0,y 0c. 9x + 4ys56,7x + 8ys36,x0,y 0d. 9x + 4ys36,7x + 8ys56,x0,y 0e. 9x + 4y36,7x + 8y56,x0,y 0Uji Semester Gasal753O 4 3 5 7XY3IVVIIIIIIXY97O4 8daerahhimpunanpenyelesaian74MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa3. Kapasitasmaksimumsebuahpesawatpenumpangadalah120kursi.Setiappenumpangkelasutamabolehmembawabagasi60kg, sedangkan kelas ekonomi 30 kg. Pesawat hanya dapat mebawabagasi1.500kg.Modelmatematikayangsesuaipernyataantersebutadalah....a. 2x + ys 50,x +y s120,x 0,y 0b. 2x +y 50,x +ys 120,x 0,y 0c. 2x + y s 50, x + y 120, x 0, y 0d. 60x+30y1.500,x+y120,x0,y0e. 60x+30y1.500,x+ys120,x0,y04. Nilaiyangmemaksimumkanfungsiz=3x+5ydengankendalax+2ys10,3x+ys10,x0,y0denganx,y= Radalah....a. (1,3) d.b. (2,4) e. (4,5)c. (2,5)5. Diketahui sistem pertidaksamaan x + y 5, 3x + 8y 24, x 0, y 0dengan x, y = N (N himpunan bilangan asli). Nilai minimum fungsiz=2x+ydicapaipadatitik....a. (0,3) d. (2,3)b. (0,5) e. (8,0)c. (1,4)6. Diketahui sistem pertidaksamaan 3x + 5y s 15, 6x + 3y s 18, x > 0,dany>0denganx,y=N.Nilai2x+yuntuksetiaptitikpadadaerahhimpunanpenyelesaianadalah....a. 3dan4 d. 2,3,4,dan5b. 2,3,dan4 e. 2,3,4,5,dan6c. 3,4,dan57. SeorangpedagangmembelipakaiandewasasehargaRp30.000,00danpakaiananak-anaksehargaRp10.000,00.Kiospedaganghanyamampumenampungtidaklebihdari60potongpakaian.ModalpedagangRp1.500.000,00.JikalabapakaiandewasaRp20.000,00perpotongdanpakaiananak-anakRp10.000,00perpotong,makajumlahlabamaksimumyangdapatdiperolehpedagangtersebutsebesar....a. Rp600.000,00 d. Rp1.050.000,00b. Rp750.000,00 e. Rp1.200.000,00c. Rp900.000,00UjiSemesterGasal758. Diketahui A = 4 6x y (- ,, B = 1 23 4 ( ,, dan C = 9 143 14 ( ,. Nilai 2x + yyangmemenuhipersamaanAB+2A=2Cadalah....a. 5 d. 9b. 6 e. 10c. 89. JikaA= 2 34 5 ( ,danB= 2 54 3 ( ,,makaA'.Badalah....a.20 2226 30 ( ,d.30 2026 22 ( ,b.20 2630 22 ( ,e.22 3020 26 ( ,c.26 2030 22 ( ,10. DiketahuiA= 8 24 5x ( ,danB= 27 3 1xx (- ,.JikadetA=detBsama,makanilaixyangmemenuhiadalah....a. 6dan3b. 3dan3c. 6dan3d. 3dan6e. 3dan611. Diketahui A = 2 33 5xx- (- ,dan B = 37 5x - ( ,. Agar det A sama dengan2kalidetB,makanilai2xadalah....a. 1b. 2c. 3d. 476MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa12. DiketahuimatriksA= 4 36 5 ( ,danB= 1 23 1- ( ,.NilaiA1+2Badalah....a.2 314 5 3 ( ,d.5 2110 8 2 ( ,b.2 516 8 3 ( ,e.1 522 3 ( ,c.4 113 5 2- (- ,13. DeterminanmatriksAyangmemenuhipersamaan:4 72 5 ( ,A=225 1617 11 ( ,adalah....a. 1b. 2c. 3d. 4e. 514. DiketahuimatriksA= 6 57 6 ( ,.Nilai2A1adalah....a.10 1212 14 ( ,d.12 1014 12- (- ,b.12 1014 12- (- ,e.12 1014 12- - (- - ,c.10 1212 14- (- ,UjiSemesterGasal7715. Persamaan 5 13 4- (- ,xy ( , = 1422- ( , mempunyai penyelesaian xy ( , = ....a.12- ( ,e.44 (- ,b.23 (- ,d.34 (- ,c.24- ( ,II. Kerjakandenganbenar!1. Gambarlahdaerahpenyelesaiandarisistempertidaksamaanberikut:2x +y s10, 2x + 3ys12,x 0, y 0 denganx,y=R2. Tentukansistempertidaksamaanlinearyangdaerahhimpunanpenyelesaiannyaditunjukkanpadagambarberikut:a. b.3. Sebuahareaparkirdenganluas200mdapatmenampungmaksimal50kendaraan.Luasrata-ratauntukparkirmobil5mdanbus20m.Buatlahmodelmatematikanya!4. Untukmenambahpenghasilan,setiaphariBuSarimembuatduajenisgorenganuntukdijual.SetiapgorenganAmembutuhkanmodalRp300,00dengankeuntungan30%,sedangkansetiapgorenganBmembutuhkanmodalRp200,00dengankeuntungan40%.ModalyangtersediasetiaphariRp100.000,00danpalingbanyakBuSarihanyamampumembuat200gorengan.BerapapersenkeuntunganmaksimumyangdapatdiperolehBuSarisetiapharinya?5. Tentukannilaimaksimumfungsiobjektifz=7x+9ydengankendalakendala x + y s 6, 2x + 3y s 15, x 0, y 0 dengan x, y = R!YX3 1 O12daerah himpunanpenyelesaianYX426 O 2daerah himpunanpenyelesaian78MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa6. DiketahuiA= 34 10x ( ,danB= 5 38 7x - ( ,.Apabila3 A =2 B ,tentukannilai:a. xb. x57. DiketahuimatriksA= 2 43 5 ( ,danB= 1 35 7 ( ,.Tentukanhasildari(AB)1!8. Tentukanhimpunanpenyelesaiansistempersamaanberikutdenganmenggunakandeterminanmatriks!a.16 23 2 17y xx y- '- 'b.3 5 5 04 6 4 0x yx y- - '- - '9. Tentukanhimpunanpenyelesaiansistempersamaanberikutdenganmenggunakaninversmatriks!a.2 3 113 11x yx y- '- -'b.3 11 52 6 24y xx y -' -'10. Perhatikantabelhargaberikut!HargaperpotongKue Rp2.000,00Coklat Rp3.000,00Purbomembeli12potongkuedancoklat.IaharusmembayarsebesarRp32.000,00.a. Nyatakandalambentukoperasialjabarmatriks!b. TentukanbanyaknyakuedancoklatyangdibeliPurbo!BarisandanDeret79Bab 3Barisan dan DeretPeta KonsepMenggunakankonsepbarisandanderetdalampemecahanmasalahG Menggunakansifat-sifatdanoperasimatriksuntukmenunjukkanbahwasuatumatrikspersegimerupakaninversdarimatrikspersegilainG Menentukandeterminandaninversmatriks2x2G MenggunakandeterminandaninversdalampenyelesaiansistempersamaanlinearduavariabelStandar KompetensiKompetensi DasarBarisandanDeretAritmetikaBarisanAritmetikaDeretAritmetikaBarisandanDeretBarisanGeometriDeretGeometriDeretGeometriTakHinggaSukuke-nSuku TengahSisipan80MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaSumber:balivetman.files.wordpress.comGambar 3.1PakDanangmerupakanseorangpeternakayamdiIndonesia.Akibatseranganwabahpenyakitfluburung,populasiayamyangdimilikinyaberkurangsepersepuluhsetiap10harisekali.Padaharike40,populasiayamnyatinggal32.805ekor.DapatkahAndamenghitungberapapopulasiayampeliharaanPakDanangsemula?Populasi ayam Pak Danang yang berkurang setiap kurun waktu tertentumembentuksuatupolabilangan.Contohlaindalamkehidupanseharihari,antaralain,jumlahtabungandibankyangbertambahsetiaphari,jumlahpendudukyangbertambahsetiaptahun,dansebagainya.Polapolasepertiinimembentuksuatubarisanbilangan.A. Barisan dan Deret Bilangan1. BarisanBilanganPernahkahAndamemperhatikanseoranganakkecilyangmulaibelajarmenyebutkanbilangan1sampaidengan10?BilaAndaperhatikan,susunanbilangantersebutmembentuksuatubarisanyangmemilikipolaatauaturantertentu,yaitumenambahkanbilangansebelumnyadenganbilangansatu.CobaAndaperhatikansusunanbilanganberikut:1) 1,2,3,4,5,....merupakanbarisanbilanganasli2) 1,3,5,7,9,....merupakanbarisanbilanganasliganjilInfoMatematikaLeonardoFibonacciadalahputraseorangsaudagarItalia.DalamperjalanannyakeEropadanAfrikaUtara,iamengembangkankegemarannyaakanbilangan.Dalamkaryaterbesarnya,LinerAbaci,iamenjelaskansuatuteka-tekiyangmembawanyakepadaapayangkitakenalsebagaibarisanbilanganFibonacciataudisebut juga The Golden Number ofHumanLife.Barisannyaadalah1,1, 2, 3, 4, 8, 13, 21, .... Setiap bilangandalambarisaninimerupakanjumlah dari 2 bilangan sebelumnya.BarisanbilanganFibonaccidapatkita teliti dalam susunan daun padabunga atau segmen-segmen dalambuahnanasataubijicemara.BarisandanDeret813) 2,4,6,8,10,....merupakanbarisanbilanganasligenap4) 1,3,6,10,15,....merupakanbarisanbilangansegitiga5) 1,6,4,5,7,....bukanmerupakanbarisanJadi, barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki polaatauaturantertentu.Secaraumumsuatubarisanyangterdiridarinsuku,dinyatakanU1,U2,U3,...,Undengan:U1=sukupertamaU2= suku keduaUn= suku kenContoh3.1Tentukan4sukuberikutnyapadabarisan:1) 1,3,5,7,....2) 2,3,5,8,....Jawab:1) 1,3,5,7,....Denganmemperhatikanbarisantersebut,kitadapatmengetahuibahwaantarsukumempunyaiselisih2.Jadi,barisanbilangantersebutadalah:1,3,5,7,9,11,13,15.2) 2,3,5,8,....SelisihU1danU2adalah1.SelisihU2danU3adalah2.SelisihU3danU4adalah3.Kitadapatmengetahuibahwaselisihberikutnyaadalah4,5,danseterusnya.Jadi,barisanbilangantersebutadalah:2,3,5,8,12,17,23,30.Contoh3.2SuatubarisanbilanganmempunyaiaturanUn=3n+7.1) Tentukansukuke4!2) Sukukeberapakahyangnilainya52?82MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaJawab:a. U4=3(4)+7=12+7=19Jadi,sukukeempatnyaadalah19.b. 52 = 3n + 73n =45 n = 453=15Jadi,sukuyangnilainya52adalahsukuke15.Contoh3.3Tentukanrumussukukendaribarisan4,7,10,13,....Jawab:n =1 U1=4=3.1+1n =2 U2=7=3.2+1n =3 U2=10=3.3+1n =4 U4=13=3.4+1Un= 3n + 1Jadi,rumussukukenadalahUn=3n+1.2. DeretBilanganPerhatikanbarisanyangterdiridari10bilangancacahgenapberikut:0,2,4,6,8,10,12,14,16,18Jikasukusukutersebutkitajumlahkan,makaakandiperolehbentuksebagaiberikut:0+2+4+6+8+10+12+14+16+18Penjumlahansukusukubarisantersebutdinamakanderetbilangan.MisalkanU1,U2,U3,...,Unmerupakansukusukusuatubarisan.Penjumlahansukusukubarisantersebutdinamakanderetdandituliskan:U1+U2+U3+...+Un.BarisandanDeret83KerjakandibukutugasAnda!1. Tentukanempatsukuberikutnyadaribarisanbilangan:a. 9,7,5,3,....b. 2,5,10,17,....c. 1, 13, 15, 17,....d. 9,3,1, 13,....2. Tentukanrumussukukendaribarisanbarisanberikut:a. 2,4,6,8,....b. 9,3,1, 13,....c. 8,11,14,17,....d. 7,4,1,2,....3. Tentukanempatsukupertamadaribarisanyangmempunyaiaturanberikut:a. U n = 3n 5b. Un = 12n2 + 3c. Un=4n2d. Un = n(n2 + 1)4. Suatubarisanbilanganmempunyairumussukukensebagaiberikut:Un=3(2n2+5).Tentukan:a. U2+U3;b. nilainuntukUn=165!5. Tulislahderetderetberikutdanhitungjumlahnya!a. deret10bilanganasliyangpertama;b. deret9bilangansegitigayangpertama;c. deret10bilanganpersegiyangpertama;d. deret9bilanganFibonacciyangpertama!Latihan184MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaKerjakandengankelompokAnda!Ada beberapa tokoh ilmuwan yang berjasa besar dalam perkembangankonsepbarisandanderet,diantaranya,Fibonacci,Gauss,Pascal,deMorgan, dan masih banyak lagi. Tugas Anda adalah membuat makalahtentangsalahseorangdaritokohtokohtersebut.Andadapatmencariinformasidiperpustakaan,internet,dansebagainya.Presentasikanhasilnyadidepankelas.B. Barisan dan Deret Aritmetika1. BarisanAritmetikaPerhatikanbarisanbarisanbilanganberikutini.a. 1,2,3,4,....b. 2,4,6,8,....c. 9,6,3,0,....Ketiga barisan tersebut mempunyai karakteristik tertentu, yaitu selisihduasukuberurutanselalubernilaitetap.Selisihtersebutdinamakanbedadandinotasikandenganhurufb.a. Untukbarisan1,2,3,4,... ; b = 4 3 = 3 2 = 2 1 = 1b. Untukbarisan2,4,6,8,... ; b = 8 6 = 6 4 = 4 2 = 2c. Untukbarisan9,6,3,0,... ; b = 0 (3) = 3 (6) = 6 (9) = 3Ketigabarisantersebutdinamakanbarisanaritmetika.a. SukukenSuatuBarisanAritmetikaMisalkanU1,U2...,Unadalahbarisanaritmetikadenganselisihbdansukupertamaa,maka:U1=aU2= U1 + b = a + b = a + (2 1)bU3= U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 1)bUn= Un 1 + b= [a + (n 2)b] + b= a + (n 1)bSehinggadiperoleh:Bentukumumbarisanaritmetika:a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n 1)bdengan:a=U1(sukupertama) b = Un Un 1TugasKelompokTugas KelompokBarisandanDeret85Jadi,rumusumumsukukenbarisanaritmetikaadalah:Un = a + (n 1)bContoh3.4Diketahuisuatuderetaritmetika2,4,6,8,....Tentukansukuke10!Jawab:a =2b = 4 2 = 2n =10Un= a + (n 1)bU15=2+(101)2=2+9(2)=2+18=20Contoh3.5Suatu barisan aritmetika mempunyai suku ke2 = 14 dan suku ke4 = 24.Tentukan:a. suku ken;b. sukuke25!Jawab:a. U2= a + b =14U4= a + 3b=242b =10b = 5a + b = 14a + 5 = 14a = 9Un= a + (n 1)b= 9 + (n 1)5= 9 + 5n 5= 5n + 4b. Un= 5n + 4U25=5(25)+4=125+4=129Contoh3.6DiketahuibarisanaritmetikaU2+U4=40danU3+U5=46.Tentukan:a. sukupertamadanbedanya;b. U2+ 12U3+U6!86MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaJawab:a. U2+U4= 40(a + b) + (a + 3b) = 402a+4b = 40a+2b = 20 . . . . (1)U3+U5= 46(a + 2b) + (a + 4b) = 462a+6b = 46a+3b = 23 . . . . (2)Dari(1)dan(2)diperoleh:a+2b =20a+3b =23b = 3b =3Nilaibdisubstitusikankedalampersamaan(1)a+2b =20a+2(3) =20 a + 6 =20 a =14Jadi,a=14danb=3.b. Un= a + (n 1)bU2=14+(21)3=14+3=17U3=14+(31)3=14+2(3)=14+6=20U6=14+(61)3=14+5(3)=14+15=29U2+ 12U3+U6=17+ 12(20)+29=17+10+29=56Jadi,nilaiU2+ 12U3+U6=56.b. SukuTengahBarisanAritmetikaBarisanaritmetikayangjumlahsukunyaganjildanminimalterdiridari3sukumemilikisukutengah(Ut).BarisandanDeret87 " #" !U2t1U1,U2,U3 sukutengahnyaU2U1,U2,U3,U4,U5 sukutengahnyaU3U1,U2,U3,U4,U5,U6,U7 sukutengahnyaU4MisalnyadiberikanbarisanaritmetikaU1,U2,...,Ut,Ut+1,...,U2t1dengan suku tengah Ut dan banyaknya suku 2t 1, maka berdasarkanrumusUndiperoleh:Ut= a + (t 1)b=12.2a+ 12.2(t1)b=12[2a+2(t1)b]=12[a + a + (2t 2)b]=12(a+U2t1)=12(U1+U2t1)Jadi,besarnyasukutengahdihitungdenganrumus:Ut=12(U1+U2t1) atau Ut=12(U1+Un)dengan:t =12(n+1)untuknganjilUt= sukutengaha = U1=sukupertamab = selisihUn= U2t1=sukuken(sukuterakhir)Contoh3.7Ditentukanbarisanaritmetika5,9,13,...,125.Tentukansukutengahnyadanmerupakansukukeberapa?Jawab:5,9,13,...,125a =5b =4Un=125Ut= 12nU U - = 5 1252- = 1302 = 6588MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaJadi,sukutengahnyaUt=65Ut= a + (t 1)b65 = 5 + (t 1)465 = 5 + 4t 465 = 1 + 4t4t =64t =16Jadi,sukutengahnyamerupakansukuke16.Contoh3.8Sukutengahsuatubarisanaritmetikasamadengan247,sukuketujuhnya32,dansukuterakhirnya492.Tentukan:a. sukupertamadanbedanya;b. banyaknyasukupadabarisanaritmetikatersebut!Jawab:a. Ut=247Un=492Ut= 12nU U -247= 4922a -494 =a+492a =2U7=32a+6b =322+6b =326b =30b =5Jadi,sukupertama=2danbedanya=5.b. Un= 492a + (n 1)b =4922 + (n 1)5 =492(n 1)5 =490n 1 = 4905=98 n =99Jadi,barisantersebutmempunyai99suku.BarisandanDeret89c. SisipanpadaBarisanAritmetikaPerhatikanbarisan1,9,17.Jikadiantaraduasukuyangberurutan disisipkan 3 bilangan, maka diperoleh barisan yangbaru,yaitu1,3,5,7,9,11,13,15,17.Bedabarisansemulaadalah8,sedangkanbedabarisanyangbaruadalah2.Sehingga:2 = 83 1 -Banyaknyasukubarisanyangbaruadalah9,diperolehdari:9=3+(31)3(denganbanyaksukuyangdisisipkan3danbanyaksukusemula3).Jikasetiapduasukuberurutanpadabarisanaritmetikadisisipkanksuku,makabarisanaritmetikayangbarumempunyai:b' = 1bk -n' = n + (n 1)kdengan:b' = beda setelah disisipin' =banyaknyasukusetelahdisisipib = beda sebelum disisipin =banyaknyasukusebelumdisisipiContoh3.9Diantarabilangan2danbilangan50disisipkan5bilangansehinggamembentukbarisanaritmetika.Hitunglahbedadaribarisantersebut!Jawab:k =5b =502=48b' = 1bk - = 485 1 - = 486 = 8Jadi,bedabarisanyangbaru(b')adalah8.KerjakandibukutugasAnda!1. Tentukannilaisukuke25jikadiketahui:a. U1=5danb = 4b. U2=10danb=5c. U3=6danU11=18Latihan190MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa2. Tentukannilaia,b,danUndaribarisanaritmetikadibawahinijika:a. U2=17danU5=35b. U9= 12danU15=312c. U3=11danU10=103. PadabarisanaritmetikadiketahuiU5=7danU3+U10=8.Tentukan:a. sukupertamadanbeda;b. U2+U20!4. Diketahuibarisanaritmetika512,5,412,4,....Tentukan:a. rumussukuken;b. U5+U10!5. Diketahuibilanganasliantara100dan400.Tentukanbanyaknyasukuyang:a. habisdibagi2;b. habisdibagi5;c. habisdibagi2tetapitidakhabisdibagi5!6. Jikasukuterakhirsuatubarisanaritmetikaadalah492,sukupertamanyaadalah3,dansukukeempatnyaadalah12,tentukanbanyaksukubarisantersebut!7. Ditentukanbarisanaritmetika11,15,19,,307.Tentukansukutengahnyadanmerupakansukukeberapakah?8. Suku tengah dan suku terakhir suatu barisan aritmetika berturutturutadalah171dan341.Jikasukuke2adalah11,makatentukan:a. sukupertamadanbedabarisantersebut;b. banyaksukupadabarisantersebut!9. Diantarabilangan20danbilangan35disisipkanempatbilangansehinggamembentukbarisanaritmetika.Tentukan:a. bedasetelahdisisipi;b. barisanbilangantersebut!10. Diantaraduasukuberurutanpadabarisanbilangan15,31,47,...disisipi3buahbilangansehinggamembentukbarisanaritmetikayangbaru.Tentukan:a. bedasetelahdisisipi;b. sukuke15daribarisanaritmetikayangbaru!BarisandanDeret91

"

"!+""""""""""""""""""""""""""!2. Deret AritmetikaPerhatikanbarisanaritmetikaberikut:a. 1,4,7,...,58b. 2,6,10,...,38Jikabarisanaritmetikatersebutdijumlahkanberuntun,makaakandiperolehbentuksebagaiberikut:a. 1+4+7+...+58b. 2+6+10+...+38Bentukpenjumlahanaritmetikatersebutdinamakanderetaritmetika.Jadi,deretaritmetikadaribarisanaritmetikaU1,U2,U3,,Unadalah:U1+U2+U3+...+Un.JikaSnmenyatakanjumlahnsukupertama,maka:S1= U1U2= S2 S1S2= U1+U2U3= S3 S2S3= U1+U2+U3.. Un= Sn Sn 1Sn= U1+U2+U3+...+UnU1= a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, ..., Un 2 = a + (n 3)b = Un 2b, Un 1 = Un b,maka:Sn= a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (Un 2b) + (Un b) + UnSn= Un + (Un b) + (Un 2b) + ... + (a + 2b) + (a + b) + a2Sn= (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + ... + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)sebanyak n sukuSehingga: 2Sn= n(a + Un)Sn= 2n(a +Un)Sn= 12n(a + Un)KarenaUn= a + (n 1)b,maka:Sn=12n[a + a(n 1)b]Jadi, Sn = 12n[2a + (n 1)b]CatatanDeretharmonisadalahbarisanbilangan-bilanganya ngke ba l i ka nnyamembentuksebuahderetaritmetika.Contoh:1 + 12+ 13+ 14+ ....120 + 115 + 110 + 15 + ....92MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaContoh3.10Hitunglahjumlah15sukupertamadarideretaritmetika2+5+8+...!Jawab:a = 2, b = 3, n = 15Sn= 12n[2a + (n 1)b]S15= 12.15[2(2)+(151)3]= 152[4+14(3)]= 152(4+42)= 152.46=345Contoh3.11Tentukanjumlahbilanganasliantara10dan100yanghabisdibagi2tetapitidakhabisdibagi5!Jawab:a. Bilanganyanghabisdibagi2adalah:12+14+16+...+98=Sna = 12, b = 2 ,Un = 98Un= a + (n 1)b98 = 12 + (n 1)298 = 12 + 2n 298 = 2n+102n =88n =44Sn= 12n(a + Un)= 12.44(12+98)=22(110)=2.420InfoMatematikaSalahsatutokohajaibdalamMatematikaadalahCarlFriedrichGauss.Padasaatusianyabelummenginjak3tahun,Gaussbatitatelah mengoreksi daftar gaji tukangbatuayahnya.Kejeniusannyajugatampakketikaiaberusia10tahun.Ketikagurunyamemintamurid-muriduntukmenjumlahkanangkadari1sampai100,Gausssegeramencoretkan5.050diatasbatutulisnya.MatematikawanJermankelahiran tahun 1777 ini juga berjasabesardalambidanganalisis,geometri,elektrik,relativitas,danenergiatom.Padausia19tahun,GausstelahmulaimenuliskanMatematika dalam lambang ciptaannyasendiri.BarisandanDeret93b. Bilanganyanghabisdibagi2danhabisdibagi5adalah:20+30+...+90=Sna=20,b=10,danUn=90Un = a + (n 1)b90 = 20 + (n 1)10 1090 =20+10n10n=80n =8Sn= 12n(a + Un)= 12.8(20+90)=4(110)=440Jadi,jumlahbilanganasliantara10dan100yanghabisdibagi2,tetapitidakhabisdibagi5adalah2.420440=1.980.KerjakandibukutugasAnda!1. Hitunglahjumlah20sukupertamadarideretaritmetikaberikutini:a. 2+5+8+....b. 23+43+63+....c. 1009794d. 72 52 32 ....2. Hitunglahjumlahdarideretaritmetikaberikutini:a. 1+3+5+...+51b.5+25 +35+...+1005c.13 + 1 + 53 + ... + 7d. 3 6 9 ... 30Latihan394MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa3. Diketahuijumlahderetaritmetika2+5+8+...adalah610.Tentukan:a. banyaknyasukuderettersebut;b. sukuterakhirnya!4. Hitunglah jumlah bilangan asli kurang dari 300 yang habis dibagi 4,tetapitidakhabisdibagi8!5. Tentukanrumussukukenpadaderetaritmetikajikadiketahuijumlahnsukupertamasebagaiberikut:a. 2n27n;b. n214n!KerjakandengankelompokAnda!1. Diketahuideretaritmetikasebagaiberikut:log a + log ab + log (ab)2 + log (ab)3 + ....Tentukanjumlah10sukupertamanya!2. DarisebuahderetaritmetikadiketahuiU3+U5+U7+U9=132.Tentukanjumlah11sukupertamanya!C. Barisan dan Deret Geometri1. BarisanGeometriUntukmemahamibarisangeometri,perhatikanbarisanbarisanbilanganberikutini.a. 1,3,9,27,....b. 8,4,2,1,....c. 1,2,22,23,....Barisanbarisantersebutmempunyaikarakteristiktertentu,yaituperbandingan2sukuyangberurutanselalubernilaitetap.Perbandingantersebutdinamakanrasiodandinotasikandenganhurufr.a. Untukbarisan1,3,9,27,....r = 31 = 93 = 279 = 3TugasKelompok TugasKelompokBarisandanDeret95b. Untukbarisan8,4,2,1,....r = 48-- = 24-- = 12-- = 12c. Untukbarisan1,2,22,23,....r = 21 = 222 = 3222 = 2Ketigabarisantersebutdinamakanbarisangeometri.a. SukukenBarisanGeometriMisalkandiketahuisuatubarisangeometriU1,U2,U3,...,UndenganrasiordanU1=a,maka:U1=a = ar0 = ar11U2=ar= ar1 = ar21U3=ar2=ar2=ar31...Un=arn1Sehinggasukukenbarisangeometriadalah:Un = arn1 denganr = 1nnUU-Contoh3.12Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ketujuh pada barisanbarisangeometriberikut:1) 1,2,4,8,....2) 200,100,50,25,....Jawab:1) 1,2,4,8,...a = 1, r = 21- = 2U7=ar6=1(2)6=642) 200,100,50,25,.... a = 200, r = 100200 = 12U7=ar6=200612 ( ,= 258Contoh3.13Dalam suatu barisan geometri diketahui U1 = 27 dan U4 = 1. Tentukan4sukupertamabarisangeometritersebut!96MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaJawab:U1=a=27danU4=1Un=arn1U4=ar41 1 =27r3r3= 127= 313 ( ,r = 13Jadi,barisangeometritersebutadalah27,9,3,1,.b. SukuTengahBarisanGeometriSukutengahdarisuatubarisangeometriadalahsuatusukuyangletaknyaditengahtengahbarisangeometritersebut,apabilabanyaknyasukuganjil.Misalkanbarisangeometritersebut:U1,U2,...,Ut,...,U2t1Karena Un=arn1,maka:Ut=art1=( )21 tar-= 2 2.ta ar-= 2 1.ta U-=.na UUt = naUdengan:t =12(n+1)untuknganjil a = sukupertamaUn= U2t1=sukuken(sukuterakhir)Contoh3.14Diketahuisuatubarisangeometriadalah 127, 19, 13,...,243.Jikabanyaknyasukupadabarisangeometritersebutadalahganjil,tentukan:CatatanJika ada tiga suku geometriU1,U2,U3membentukbarisangeometri,makaberlaku:Ut= 1 3. U UUt2= U1. U3!U2t1BarisandanDeret971) sukutengahnyadanpadasukukeberapa;2) banyaknyasukupadabarisangeometritersebut!Jawab:1) Barisangeometri 127, 19, 13,...,243.a = U1 = 127r = 19127 = 3Un=U2t1=243Ut=.na U= 1.24327= 9=3Jadi,sukutengahnyaadalah3.Ut=art13 = 127. 3t 181 = 3t1(3)4= 3t14 = t 1t =5Jadi,sukutengahnyamerupakansukuke5.2) t = ( 1)2n -5 = ( 1)2n -10 = n + 1n =9Jadi,banyaknyasukubarisangeometritersebutadalah9suku.c. SisipanpadaBarisanGeometriDiantaraduabilanganrealxdanyuntukxydapatdisisipkanbilangansebanyakk,dengank=himpunanbilanganasli,sehinggax,y,dan bilangan yang disisipkan tersebut membentuk suatu barisan geometri.98MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa""""""""!sisipanx,xr,xr2,xr3,...,xrk,yDaribarisantersebutdiperoleh:kyxr = ryx = r. rkyx = rk + 1 r= 1 kyx-dengan:r = rasiok = banyaknyabilanganyangdisisipkanx = a=U1=sukupertamay = Un=sukuterakhirRumussukukenpadabarisanyangbaruadalah:Un'=arn'1dengan:n' = n + (n 1)kn' = banyaknyasukubarisanyangbarun = banyaknyasukubarisansemulaContoh3.15Tentukanbarisangeometriyangterbentukpadasoalsoalberikutini:a. diantarabilangan160dan5disisipkan4buahbilangan;b. diantara 15dan125disisipkan3buahbilangan!Jawab:a. x=160,y=5,dank=4(genap)r = 1 kyx- = 55160= 5132= 12Jadi,barisangeometriyangbaruadalah160,80,40,20,10,5.b. x= 15,y=125,dank=3(ganjil)CatatanUntuk k genap, maka r = 1 kyx-Untuk k ganjil, maka r = 1 kyx-BarisandanDeret99r = 1 kyx -= 12515= 4625 = 5Jadi,rasiodaribarisangeometriyangbaruadalahr=5ataur=5.Untukr=5,barisangeometriyangbaruadalah 15,1,5,25,125.Untukr=5,barisangeometriyangbaruadalah 15,1,5,25,125.KerjakandibukutugasAnda!1. Diantarabarisanbarisanbilangandibawahini,manakahyangmerupakanbarisangeometri:a. 1,4,9,....b.12, 13, 29,....c. a, 3ab, 52ab,....d. 2p, 1p,312p,....2. Padasuatubarisangeometridiketahuisukuketiganyaadalah4dansukukelimanyaadalah16.Tentukan:a. rasiodansukupertama;b. sukuke8;c. sukutengahjikabanyaknyasukuadalah11!3. DaribarisangeometridiketahuiU2=27danU6= 13.Tentukan4sukupertamabarisangeometritersebut!4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiganyaadalah65danhasilkalinyaadalah3.375.Tentukanbarisangeometritersebut!5. Diantarabilangan6dan96disisipkan3bilangansehinggamembentukbarisangeometri.Tentukanbarisangeometriyangterbentuk!Latihan4100MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasa2. DeretGeometriPerhatikanbarisangeometriberikut!a. 1,2,4,...,64b. 81,27,9,..., 127Jikabarisangeometritersebutdijumlahkanberuntun,makaakandiperolehbentuksebagaiberikut:a. 1+2+4+...+64b. 81+27+9+...+ 127Bentukpenjumlahanbarisangeometritersebutdinamakanderetgeometri.Bentukumumderetgeometri:a +ar+ar2+ ar3+...+arn1Untuk menemukan rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri(Sn),perhatikanrumusanberikutini:Sn=a+ar2+ar3+...+arn1r.Sn = ar+ar2+ar3+...+arn1+arnSn rSn = a arnSn (1 r) = a arnSn = 1na arr--Sn = ( )11na rr--Sehinggajumlahnsukupertamaderetgeometridirumuskan:Sn= ( )11na rr-- untuk r < 1, r 1Sn= ( )11na rr-- untuk r > 1, r 1dengan n =banyaknyasukua =sukupertamar =rasioBarisandanDeret101Contoh3.16Hitunglahjumlahlimasukupertamaderetgeometriberikutini:a. 1+4+16+....b. 48+24+12+....Jawab:a. 1+4+16+....a = 1, r = 4Karenar>1,maka: Sn= ( )11na rr--S5= ( )51 4 14 1--= 1.024 13 -= 1.0233=341b. 48+24+12+....Karenar1ataur1),makalimnrn=( ) .Sehinggadiperoleh:limnSn = 1ar - 1ar -( ) limnSn = Deret geometri tak hingga tersebut tidak mempunyai limit jumlah ataudisebutdivergen.Contoh3.17Hitunglahjumlahderettakhinggaberikutini:25 + 5 + 15 + ....104MatematikaSMA/MAKelasXIIProgramBahasaJawab:a. a = 25, r = 15Sn= 1ar -= 25115-= 2545= 1254=3114Jadi,jumlahderet25+5+ 15+...adalah3114.KerjakandibukutugasAnda!1. Hitunglahjumlahderetgeometritakhinggaberikut:a. 4+2+1+....b. 6 2 + 23 ....c. 1+0,1+0,01+....d. 1 12 + 14 ....2. Suku ken suatu deret geometri ditentukan dengan rumus Un = 3n.Tentukanjumlahderetgeometritakhinggatersebut!3. Diketahuideretgeometritakhinggadengansukupertama2konvergendenganlimitjumlah3.a. Tentukanrasionya;b. Tuliskanderetnya!Latihan6BarisandanDeret1054. Limitjumlahsuatuderetgeometritakhinggaadalah 92danrasionyaadalah 13.Tentukan:a. sukupertama;b. jumlah4