5 Sistem pernomboranShortcuts

Export Content

Topik 1 Sistem Pernomboran

 1.0 Sinopsis    

Tajuk ini merangkumi perkembangan sistem pernomboran yang pelbagai bermula  dari sistem

pernomboran awal hingga ke sistem pernomboran Hindu-Arab sekarang. Sistem pernomboran awal

yang dibincangkan termasuk Sistem pernomboran Gundalan(Tally), Sistem pernomboran Roman,

Sistem pernomboran Mesir, Sistem pernomboran Mayan dan sistem pernomboran Babylonian. Di

bawah sistem pernomboran Hindu-Arab, bilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas di

titikberatkan. Anda juga akan mempelajari bagaimana untuk menukar dari satu asas kepada asas

sepuluh dan sebaliknya.  

 1.1 Hasil Pembelajaran

 1.      Membandingkan perkembangan Sistem Pernomboran yang pelbagai.

2.      Menukarkan asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.

 1.2 Kerangka konsep

 1.3  Sistem pernomboran Awal

Pada masa lampau,manusia menggunakan pelbagai cara untuk merekod nombor yang diperlukan.

Sebagai contoh untuk mewakilkan bilangan kambing biri-biri dalam kumpulan, pengembala kambing

mengumpul batu-batu kecil. Dengan memadankan batu-batu kecil dengan kumpulan kambing,

pengembala boleh mengetahui jika ada kambingnya yang hilang. Ahli Matematik pada masa ini

menamakan cara padanan ini sebagai padanan satu dengan satu.

Kebelakangan ini , manusia menggunakan cara lain untuk merekod barang kepunyaan mereka.

Mereka mengikat tali pada kulit kayu atau melukis tanda gundalan pada batu untuk memadankan tali

dengan tanda gundalan. Sebenarnya, kayu gundalan dan batu-batu kecil adalah perkembangan

penting ke arah penciptaan sistem pernomboran.

 

 

 

 

Kayu Gundalan

Kemudian manusia mula menggunakan simbol untuk mewakili nombor. Sebagai contoh, gambar

“sayap” digunakan untuk mewakili dua objek. Pada kebanyakan sistem penomboran awal, manusia

membentuk nombor dengan cara  mengulangi simbol asas dan menambah nilai untuk mendapat 

nombor yang mereka kehendaki. Orang-orang Egypt, Greek dan Roman menggunakan sistem

pernomboran seperti ini. Gambarajah di bawah memaparkan Sistem Pernomboran Greek..

 Pernomboran Greek

Orang Hindu menggunakan sistem pernomboran yang lebih tinggi dari yang lain. Ia mengikut prinsip

nilai tempat dan menggunakan sepuluh nombor. Sistem ini berkebang secara beransur-ansur ke

dalam Sistem Hindu-Arab kita sekarang (juga dikenali sebagai sistem nombor perpuluhan) dan

digunakan sekarang di seluruh dunia.

Perkembangan pelbagai Sistem Pernomboran awal ditunjukkan di bawah.

 1.3.1 Sistem Pernomboran Gundalan (The Tally Numeration System)

 Sistem pernomboran ini adalah yang paling mudah di antara semua sistem pernomboran. Ia terdiri

daripada satu garisan tunggal ,mewakili setiap objek yang dikira. Walau bagaimanapun terdapat dua

kelemahan menggunakan sistem ini iaitu (1) nombor yang  besar memerlukan simbol individu yang

banyak, (2) sangat sukar untuk membaca nombor  yang terdiri daripada nombor yang besar. Contoh;

bolehkah anda dengan cepat memberitahu apakah nombor yang diwakili oleh tanda gundalan di

bawah? Tidak mudahkan ?

                IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

 Sistem Gundalan di tambahbaik dengan cara “pengumpulan” , di mana  gundalan yang kelima

ditandakan dengan          dan diletakkan melintang di setiap empat gundalan supaya menjadi satu

kumpulan terdiri daripada lima seperti di bawah:

IIII

Mengumpul adalah cara paling mudah untuk mengenal nombor yang diwakilkan. Dengan

menggunakan teknik pengumpulan, bolehkah anda sekarang beritahu apakah nombor yang di

wakilkan oleh gundalan dalam contoh di atas.

 

1.3.2 Sistem Pernomboran Mesir ( Around 3400 BC)

  Sistem hieroglifik Mesir (The Egyptian hieroglyphic system ) adalah contoh Sistem Pengumpulan

Pernomboran mudah. Nombor-nombor dibentuk dengan menggabungkan simbol hieroglifik yang

ditiru yang mewakili kuasa sepuluh.

 Sistem pernomboran ini adalah berasaskan tanda gundalan, iaitu

            I            II            III          IIII          IIIII         IIIIII         IIIIIII        IIIIIIII         IIIIIIIII         

            1           2             3            4           5             6              7             8               9 

 Bagaimanapun, selepas 9, mereka memerlukan satu simbol baharu yang memerlukan

“pengumpulan” untuk mewakili set nombor tertentu. Nilai berikutnya ialah ∩ (tulang tumit) yang

mewakili 10.

 Angka Mesir menggunakan cara untuk merekod kuantiti adalah berdasarkan asas 10 dengan simbol

satu,sepuluh dan kuasa sepuluh berturut-turut. Suatu hieroglifik khusus digunakan untuk setiap

nombor yang berkuasa sepuluh. Bagaimanapun tidak ada simbol untuk sifar. Oleh itu suatu simbol

tertentu dihapuskan di dalam angka bila gandaan sepuluh bukan sebahagian dari nombor tersebut.

Sebahagian simbol yang digunakan di dalam angka Mesir ditunjukkan di bawah:

 Sistem Mesir adalah mengikut sifat penambahan. (additive property); iaitu nilai sesuatu nombor

Sebagai contoh:

               Apakah nombor yang diwakili oleh heiroglifik berikut?

 

Tepat! heiroglifik di atas mewakili nilai 21,346.

 Cuba tuliskan 465,123 menggunakan Sistem Pernomboran Mesir.  Semoga Berjaya!

 

 

 

1.3.3 Sistem pernomboran  Roman (Antara 500 B.C. dan A.D. 100)

 Sistem pernomboran Roman adalah lebih canggih berbanding dengan sistem Pernomboran Mesir.

Kelebihannya berbanding Sistem Mesir termasuklah penggunaan: 

“Prinsip penolakan”(“subtractive principle”) yang membolehkan nombor diwakili secara

lebih ringkas dan

“Prinsip pendaraban (“multiplicative principle”) yang memudahkan untuk menulis

nombor yang bernilai besar.

Jadual berikut menujukkan lapan abjad yang digunakan untuk mewakili nilai berbeza di dalam sistem

Pernomboran Roman dan nilai sepadannya di dalam Sistem Pernomboran Hindu-Arab. 

Angka Roman Angka Hindu-Arab

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Jadual 1

Peraturan tertentu mesti dipatuhi bila menggunakan Sistem Pernomboran Roman, iaitu:

Hanya simbol I, X, C, dan M boleh diulang, tetapi tidak boleh menulis simbol lebih daripada

3 kali secara berturut-turut. Jika simbol keempat diperlukan, gunakan prinsip penolakan.

Bila menggunakan prinsip penolakan, kita hanya boleh menolak I, X, C, dan M (tidak V, L,

atau D – tanpa dengan “5”)

Kita hanya boleh menolak angka daripada 2 angka bersebelahan yang paling tinggi.

(contoh. kita boleh ada IV dan IX, tetapi kita tidak boleh ada IL, IC, ID, IM)

Gunakan palang di atas simbol atau beberapa simbol untuk menandakan pendaraban

dengan 1000  contoh;

                         V bermakna 5 x 1000 = 5000;    IX  bermakna 9 x 1000 = 9000

Gunakan palang menegak untuk menandakan pendaraban dengan 100 contoh;

                     | V | bermakna 5 x 100 = 500 ;    | L | bermakna 50 x 1000 x 100 = 5,000,000

 Contoh contol lain diberi di bawah:

¶ Jika angka Roman disenaraikan sedemikian hingga setiap angka mempunyai nilai lebih besar dari

angka di sebelah kanannya, maka nilai angka boleh didapati menggunakan sifat penambahan.

Setiap angka I, X, C dan M boleh diulang sebanyak tiga kali. Angka-angka V, L, dan D tidak diulang,

contoh:

                                            XVI = ?

                                           CCCVI = ?

                                           MMCCCLXII = ?

 ¶ Jika angka yang disenarai sedemikian hingga setiap angka TIDAK mempunyai nilai yang besar

daripada angka disebelah kanannya, maka nilai angka tersebut didapati menggunakan sifat

penambahan dan sifat penolakan. Hanya angka I, X, dan C,

yang boleh ditolak daripada angka lain. Contoh:

      IV =   ? ;   IX =  ? ;   XL = ? ;   XC = ?;  CD = ?;  CM = ?;   CXLIV = ?;    MCDLXXI = ?

 ¶ Selanjutnya penolakan nilai  dibenarkan jika nilai bagi angka di sebelah kanan berada pada baris

pertama dan kedua selepas angka sebelah kiri seperti dalam jadual 1.

Sebagai contoh:

                    XL =  ?  ;                        XC = ?

tetapi XD tidak sama dengan 490 kerana X terletak pada baris  3 daripada D di dalam Jadual di atas.

          Apakah  490 menggunakan simbol Roman?       

490 = ___________________

 Tahniah! Anda berjaya!

¶ Sistem Roman ialah sistem kedudukan ( positional system) kerana kedudukan suatu nombor

boleh memberi kesan  pada nilai nombor yang diwakili. Sebagai contoh:

                                  XI  ialah sebelas manakala  IX ialah sembilan.

 ¶ Bila menulis nombor besar, Sistem Pernomboran Roman juga menggunakan sifat pendaraban.

Contoh                 

                         IX   = 9 x 1000 = 9000 ;                                

                        IDICCLXII = 500 x 100 + 100 + 100 + 50 +10 + 2 = 50,262       

Cuba ini:

      Tulis menggunakan angka Roman:

579 4,709    =     ___________________________

304,536 8,070 =  ___________________________

 1.3.4 Sistem Pernomboran Mayan. ( Antara A.D. 300 dan A.D. 900)

 Sistem Pernomboran Mayan berasaskan sistem 20 (vigesimal) yang menggunakan hanya tiga

simbol terdiri dari sistem cengkerang, palang dan titik di dalam sistem nilai menegak.Suatu titik

mewakili  satu, palang mewakili lima dan cengkerang mewakili sifar.  Carta di bawah menunjukkan

kitaran pertama yang lengkap bagi nombor Mayan.

Angka  Mayan

Seperti sistem nombor sekarang, nilai tempat digunakan untuk mengembangkan sistem Mayan bagi

mendapatkan nilai yang besar.  Bagaimanapun, sistem ini mempunyai dua perbezaan yang

signifikan berbanding sistem kita gunakan sekarang ; iaitu  1) nilai tempat disusun secara menegak.

dan 2) mereka menggunakan asas 20, atau sistem vigesimal.

Baca dan cari maklumat tentang nilai tempat dalam Sistem Mayan berbanding sistem kita yang

menggunakan asas 10. Untuk mendapatkan semua nombor yang lain, Mayan hanya menggunakan

20 simbol daripada nombor 0 hingga 19 seperti mana  kita gunakan simbol 0 hingga 9.  Sistem asas

10 mempunyai nilai tempat berikut:  1’s ,10’s, 100’s, 1000’s d.l.l.  Bila ditulis sebagai eksponen ia

menjadi:  1, 101, 102, 103, d.l.l.  Maka, sistem asas 20 mempunyai nilai tempat seperti berikut: 1, 201,

202, 203, d.l.l.  Walau bagaimanapun Mayan mempunyai satu penyimpangan daripada asas 20.  Nilai

tempat adalah:

                       1,  20,  20∙18,  202∙18,  203∙18 etc.

Oleh kerana orang Mayan lebih berminat dalam mengira hari dan kalendar tahunan mereka

mempunyai 360 hari, maka adalah lebih sesuai untuk nilai digit ketiga  terkecil menjadi 20∙18 = 360

dan bukan  20∙20 = 400.  Orang Mayan menyusun nombor mereka untuk menandakan nilai tempat

berbeza. Prinsipal berkenaa ditunjukkan di dalam carta di bawah.

Jumlah di bawah, 31,781,148 ialah versi ringkas untuk nilai di dalam sisitem asas 10 kita.

Nombor yang ditulis dengan ringkas di dalam sistem Mayan ialah:  11.0.14.0.17.8  di mana

nombor yang ditulis antara masa ialah nombor untuk nilai tempat.

Ada dua kelebihan bila menggunakan sistem ini  iaitu: 1) Nombor yang besar lebih senang untuk

dinyatakan dan 2) aritmetik mudah  untuk diselesaikan oleh pengguna.

 Proses penambahan mudah boleh dilakukan dengan hanya menggabungkan dua atau lebih set

simbol ( set yang sama) seperti di bawah:

 Untuk aritmetik yang lebih rumit, kita boleh meminjam bila mencapai nilai 20 dan bukan 10. Seperti

yang ditunjukkan di bawah.

 Kita lihat contoh di bawah:

Contoh:

                        Tulis       sebagai angka Hindu-Arab.

    Mayan number chart from:

http://en.wikipedia.org/wiki/Maya_numerals  

Penyelesaian:

Angka Mayan yang diberi mempunyai empat tempat. dari atas ke bawah, nilai tempatnya ialah 7200,

360, 20, dan 1.

Mula dengan mewakilkan setiap angka pada setiap baris sebagai angka Hindu-Arab seperti di

bawah:

 

 

 

Sekarang, nyatakan angka Hindu-Arab berikut menggunkan angka  Mayan .

 

489

1813

 

 

 

Darabkan setiap angka Hindu-Arab dengan nilai tempat yang berikutnya.

 Carikan jumlah hasil

pendaraban ini.

 

1.3.5 Sistem Pernomboran Babylonian  (Antara 3000 dan 2000 B.C.)

 Sistem ini menggunakan dua angka, iaitu satu dan sepuluh seperti ditunjukkan di bawah.

 Gambarajah di bawah menunjukkan Sistem  Babylonian iaitu sistem kedudukan asas-60

(sexagesimal) system. Perhatikan bahawa dari nombor 1 hingga 59 ,sistem ini adalah berulang, iaitu

sistem ini adalah sistem penambahan ( additive system).

 Angka Babylonian

 Walaupun sistem pernomboran  Babylonian berkembang pada masa yang sama  seperti sistem

Mesir, namun Sistem  Babylonian dalah lebih canggih dalam penggunaan nilai tempat, di mana

simbol digunakan untuk mewakili nilai berbeza bergantung kepada tempat yang ditulis. Kedudukan

setiap angka membrti kesan kepada nilainya. 

 Orang  Babylonian meletakkan ruang untuk membezakan nilai tempat dalam angka. Namun

begitu ,ia menyebabkan kekeliruan kerana nilai boleh di salah tafsirkan. Sebagai contoh dua nilai

sepuluh dalam Babylonian yang ditulis bersebelahan boleh ditafsirkan sebagai 20, atau 610 atau

mungkin 3060.  Dari  tahun 300 B.C. berikutnya suatu simbol berasingan terdiri dari dua segitiga kecil

disusun di atas satu sama lain bertindak sebagai penentu tempat (placeholder) untuk menandakan

ruang kosong bagi mengelak kekeliruan. Walaupun penetu tempat bertindak  seolah-olah nombor

sifar, orang  Babylonian tidak menganggap sifar sebagai suatu nombor.

 Cuba lihat contoh di bawah.

 Contoh:  Tuliskan           sebagai angka Hindu-Arab.

 Penyelesaian:

Dari kiri ke kanan, nilai tempat ialah 602, 601, and 1.

 

Darabkan setiap angka Hindu-Arab dengan nilai tempat yg sepatutnya.Wakilkan setiap angka  sebagai

angka Hindu-Arab.

 

 

 

 

 

 

Cuba ini.

 Tuliskan 4, 571 sebagai angka Babylonian .

 

 1.4 Sistem Pernomboran Hindu-Arab (Sekitar A.D. 800)

 Sistem Pernomboran Hindu-Arab yang digunakan hari ini dikembangkan sekitar tahun A.D. 800.

Nama ini diperolehi atas sumbangan dari  kedua dua orang Hindu dan Arab kepada sistem ini. Orang

Hindu memperkembangkan abjad dan menggunakan huruf untuk mewakilkan digit dalam sistem

pernomboran ini. 

 Ciri penting dalam sistem ini ialah kita boleh menulis angka bagi sebarang nombor, sama ada besar

atau kecil,menggunakan hanya sepuluh simbol yang disebut digit, 

                                        0,   1,    2,     3,    4,    5,    6,    7,    8,    9

 Perkataan  digit bermaksud “jari tangan” atau  “jari kaki”.  Disebabkan hanya sepuluh simbol asas

yang digunakan,sistem Pernomboran Hindu-Arab dipanggil Sistem Pernomboran Perpuluhan.

 Satu lagi prinsip dalam sistem ini ialah “Pengumpulan sepuluh-sepuluh” (sistem perpuluhan) dimans

sepuluh satu di ganti dengan satu sepuluh, dan sepuluh-sepuluh diganti dengan satu ratus. seratus

sepuluh diganti dengan satu ribu dan seterusnya. Bilangan objek yang dikumpulkan sedemikian

dipanggil asas bagi sistem itu. Oleh itu, sisitem Hindu-Arab ialah sistem asas sepuluh.

 Angka Hindu-Arab boleh ditulis dalam bentuk cerakin ( expanded form),  di mana nilai bagi setiap

digit dalam setiap kedudukan adalah jelas. Sebagai contoh, kita menulis  663 dalam bentuk cerakin

sebagai:

 663 = (6 x 100) + (6 x 10) + (3 x 1)

         = (6 x 102) + (6 x 101) + (3 x 1)

Carikan jumlah hasildarab ini.

 

 

 Sistem Pernomboran Hindu-Arab ialah sistem nilai kedudukan atau sistem nilai tempat. Nilai

kedudukan dalam sistem ini berasaskan kuasa 10, seperti ditunjukkan di bawah:

                                   …,   105,   104,    103,    102,    101,      10

 

Untuk memahami dan menghargai mengapa sistem Hindu-Arab lebih superior berbanding yang lain

dan digunakan di seluruh dunia, baca lebih mengenai sumbangan berikut kepada sistem ini:

Digits

Pengumpulan sepuluh-sepuluh

Nilai tempat

Penambahan dan pendaraban.

 Contoh 1:

Tuliskan 3407 dalam bentuk cerakin.

Penyelesaian:         

                         3407 = (3 x 103) + (4 x 102) + (0 x 101) + (7 x 1)   , atau

                                  = (3 x 1000) + (4 x 100) + (0 x 10) + (7 x 1)

Contoh 2:

Nyatakan bentuk cerakin berikut sebagai angka Hindu-Arab.l: (7 x 103) + (5 x 101) + (4 x 1).

Penyelesaian:   

                (7 x 103) + (5 x 101) + (4 x 1) = (7 x 103) + (0 x 102) + (5 x 101) + (4 x 1)

                                                               = 7054

Cuba ini.

Tuliskan setiap berikut dalam bentu cerakin.

728,407

60,006,060

 Untuk membandingkan perkembangan sistem pernomboran awal, anda perlu mencari maklumat

tentang sistem pernomboran lain. Baca dengan lebih lanjut dan teroka dalam sesawang untuk

mendapat lebih maklumat tentang ini.

 Selamat Membaca!  Selamat Meneroka!

 

1.5 Sistem pernomboran Lain.

 Pengumpulan sepuluh-sepuluh adalah ciri penting dalam sistem

pernomboran Hindu-Arab dan kita panggil sistem ini sistem asas

sepuluh. Asas bagi sitem penomboran mewakili bilangan simbol

 1.5.1    Bilangan  simbol  dan  kumpulan dalam pelbagai asas

Bilangan simbol yang digunakan dalam asas tertentu bergantung

kepada cara asas itu dikumpulkan. Selain pengumpulan sepuluh-

sepuluh, kita ada pengumpulan dud-dua, lima-lima,dua belas-dua

belas atau nombor lain. Untuk asas lebih daripada sepuluh, simbol

lain boleh diperkenalkan. Pengumpulan sebelas-sebelas, atau dua

belas-dua belas, simbol lain seperti huruf T, E dan  U mungkin

 

 

Asas Simbol Cara Pengumpulan Notasi

 

dua

 

0,1

 

 

 

 

1011dua

atau

10112

 

tiga

 

0, 1, 2

 

 

 

 

102tiga

atau1023

 

 

empat

 

0, 1, 2, 3

 

 

 

 

23empat

atau 234

sepuluh 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7,

8, 9

   

11sepuluh

atau 1110

sebelas 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7,

8, 9, T

   

10sebelas

atau 1011

dua

belas

0,1, 2, 3,

4, 5, 6, 7,

8, 9, T, E

   

Eduabelas

atau E12

 

tiga

belas

0,1, 2, 3,

4, 5, 6, 7,

8, 9, T,

E, U

   

Utigabelas

atau U13

 

Pengumpulan asas lain

 Pengumpulan dud-dua,lapan-lapan dan enam belas-enam belas memberi kita gambaran tentang

sistem pernomboran yang di gunakan dalam komputer.

Binary-Quartet/Hexadecimal Conversion

Binary 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Hexadecima

l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

 

Hubungan antara asas 2, 8 dan 16

 Untuk merumuskan sistem pernomboran dengan asas selain daripada sepuluh, kita perlu

mempelajari lebih tentang nombor dan jenis simbol yang digunakan selain mengetahui cara menukar

daripada satu asas (katakan asas b) ke asas 10 dan sebaliknya.

 1.5.2 Menukar  asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.

 Untuk menukar asas  b kepada asas sepuluh, kita perlu menulis angka dalam bentuk cerakin.

Nombor yang dihasilkan ialah dalam asas sepuluh. Lihat contoh di bawah.

 Contoh :

Tukarkan 1011dua kepada asas sepuluh.

 Penyelesaian:

   1011dua = (1 x 23 )+ (0 x 22)+ (1 x 21) + (1 x 20)  = 8 + 0 + 2 + 1 + 0 = 11

 Sekarang cuba buat sendiri.

 

Tukarkan kepada asas sepuluh.

1110012

12345  

307628

 

54297

652349

 Menukar asas 10 kepada asas b :

Untuk menukar asas 10 kepada sebarang asas, kita perlu lihat pada suatu pola, sebagai contoh:

Untuk menukar asas 10 kepada asas 2, kumpulkan dua-dua.

 Untuk menukar asas 10 kepada asas 3, kumpulkan tiga-tiga.

 Untuk menukar asas 10 kepada asas 4, kumpulkan empat-empat.

Untuk menukar asas 10 kepada asas 5, kumpulkan lima-lima.

 

Pengumpulan bagi pola di atas dirumuskan dalam jadual di bawah. 

Asas Nilai Tempat

2 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1

3 35 = 243 34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1

4 45 = 1,024 44 = 256 43 = 64 42 = 16 41 = 4 40 = 1

5 55 = 3,125 54 = 625 53 = 125 52 = 25 51 = 5 50 = 1

8 85 = 32,768 84 =4,096 83 = 512 82 = 64 81 = 6 80 = 1

12 125 =248,832 124 = 20,736 123 = 1,728 122 = 144 121 = 12 120= 1

Carta Nilai tempat

Proses pengumpulan di atas boleh diterjemahkan menggunakan pembahagian mudah. Berikut

adalah contoh untuk menjelaskan proses ini.

 Contoh: Tukarkan  53 kepada asas 2

Gunakan proses berikut untuk menukar nombor perpuluhan kepada bentuk binari.

Bahagikan nombor perpuluhan dengan 2 dan ambil bakinya.Ulang proses ini  sehingga

mendapat hasil 0.

Nombor binari dibentuk dengan mengambil baki dari bawah ke atas.

             5310 =>   53 ÷ 2 = 26 baki 1

                              26 ÷ 2 = 13 baki 0                                        

                              13 ÷ 2 =   6 baki 1                           

                                6 ÷ 2 =    3 baki 0                                                     

                                3 ÷ 2 =    1 baki 1 

                                1 ÷ 2 =    0 baki 1

Baca dari bawah ke atas ,kita akan dapat 1101012 .

 

Sekarang, cuba sendiri .  Selamat Mencuba!

Tukarkan   678 kepada asas 2

Tukarkan  2345 kepada asas 5

 Perkara perlu di buat:

   

Sub-topik 1.3 dan 1.4 

1. Cari maklumat tambahan mengenai tajuk di atas dari sumber berlainan. Anda di galakkan

untuk meneroka sesawang “Numeration Systems”.

2. Tuliskan nota ringkas

Sub-topik 1.5

1.Rujuk pada ‘Resource Materials’ dan baca Smith, K. J. (2001). “The Nature of Mathematics”.

Pacific Grove CA: Brooks and Cole : muka surat. 129 -140 

1. Buat latihan tentang cara menukar asas b kepada asas 10 dan sebaliknya. Anda boleh pilih

soalan yang relevan dari muka surat. 78 – 79 dan muka surat.139 – 140 . 

 

 Peringatan : Simpan nota dan bahan yang dicetak termasuk penyelesaiannya di dalam

portfolia masing-masing

Musser, G. L., et al.(2006). Mathematics for Elementary Teachers. 7th ed. USA: John  Wiley  Smith, K.J. (2001). The Nature of Mathematics.  9th ed. Pacific Grove CA: Brooks /Cole Thomson Learning

PENGENALAN

Perkembangan matematik sentiasa selari dengan perkembangan tamadun manusia itu sendiri. Matematik bukan sahaja penting dalam kehidupan seharian, malah ia sering dihayati sebagai satu kesenian dan keindahan serta sebagai alat komunikasi. Dalam matematik, perhubungan idea-idea adalah melalui bahasa istimewa dan khusus. Kebanyakan orang beranggapan bahawa matematik itu terdiri daripada nombor, tanda dan simbol sahaja, yang disusun dalam bentuk persamaan. Mereka juga beranggapan bahawa matematik bersifat kuantitatif yang tiada unsur-unsur kualitatif dan bahasa dalamnya (Sufean, 1992). Bidang matematik mempunyai bahasanya tersendiri yang perlu dikembangkan dan diberi perhatian, khususnya oleh pendidik matematik.

Suatu sifat istimewa yang terdapat dalam matematik ialah dari aspek bahasa yang unik dan tersendiri. Bahasa matematik yang dicipta oleh pakar-pakar matematik (BODMAS) dari zaman kezaman telah menjadi lambang dan hukum yang universal dan dengannya ilmu matematik terus bekembang dan dikenali oleh hampir setiap manusia. Simbol dan istilah matematik yang dicipta menjadikan operasi matematik lebih ringkas, cepat dan tepat. Proses untuk memahami dan menggunakan matematik menjadi lebih mudah.

Bahasa mempunyai sombol-simbol dan sistem yang menghubunginya. Asas sistem bahasa ini ialah tatabahasa. Dalam bahasa matematik, tatabahasa terdiri daripada hukum-hukum, teorem-teorem dan rumus-rumus matematik yang menghubungi simbol-simbolnya. Tidak dapat dinafikan bahawa bahasa matematik memainkan peranan penting dalam pembelajaran matematik kerana kerana semua fakta, konsep,operasi dan hukum matematik adalah diwakili oleh bahasa matematik. Kefahaman konsep dan penyelesaian masaalah matematik adalah dipermudahkan dengan penggunaan bahasa matematik. Sebagai contoh, operasi seperti "empat tambah dengan lapan dapat dua belas" dapat dipermudahkan sebagai " 4 + 8 = 12 ".

SEJARAH PERKEMBANGAN BAHASA MATEMATIK

Perbincangan tentang matematik banyak merujuk kepada nombor dan angka. Nombor ialah simbol yang digunakan untuk menyatakan bilangan atau kuantiti. Nombor berada dalam bentuk yang abstrak. Nombor tidak boleh dilihat dan dipegang. Nombor ditulis dengan menggunakan simbol atau lambang yang dinamakan angka. Mengikut sejarah, manusia zaman purbakala menggunakan batu-batu kecil, garisan-garisan yang dilukis diatas dinding, gua atau batang kayu atau membuat simpulan pada utas tali dan sebagainya untuk melambangkan bilangan harta mereka. Peringkat ini dikenali sebagai peringkat pra sejarah nombor. Manusia mula menggunakan simbol untuk mewakili nombor kira-kira 5000 tahun yang lalu. Dengan berlalunya zaman demi zaman, manusia ditempat-tempat tamadun kuno seperti Mesir, Babilon, Yunani, Rom, Maya, Cina, India, dan Timur Tengah, telah mencipta berbaga-bagai sistem pernomboran. Sistem nombor yang digunakan pada masa kini adalah berdasarkan dan dikembangkan daripada sistem pernomboran hindu-Arab (Land, 1975). Sistem ini mula diperkenalkan oleh orang Arab ke Sepanyol pada pertwngahan abad serupa dengan sistem pernomboran masa kini. Penciptaan simbnol ‘0’ seterusnya memberikan suatu sumbangan yang besar kepada perkembangan nombor dan matematik itu sendiri. Simbol ‘ = ‘ mula diperkenalkan oleh Robert Record pada tahun 1557 dan akhirnya menjadi simbol yang paling terkenal. Kita tidak boleh membicarakan tentang matematik tanpanya (Light, 1989).

Sejarah penggunaan simbol dan istilah dalam ukuran dan sukatan (ukuran panjang, timbang berat, isipadu dan masa) juga bermula di tempat-tempat kuno seperti Mesir dan Cina. Istilah untuk unit ukuran panjang pada ketika itu dicipta berdasarkan unit anatomi manusia atau benda-benda yang mempunyai bentuk lulus seperti cubit (hasta), uncia (lebar kuku), langkah ( = 5 kaki ) dan sebagainya. Unit ukuran berat adalah diukur dengan menggunakan berbagai-bagai jenis bahan yang terdapat dalam tanah atau barang dagangan seperti beras dan kerbau. Unit ukuran dan sukatan berbeza antara satu tempat yang lain dan sentiasa mengalami perubahan. Pada tahun 1670, Gabriel Mouton dari Perancis mencadangkan istilah meter sebagai unit ukuran panjang yang Piawai. Pada tahun 1889, istilah kilogram digunakan untuk timbangan berat ( Land, 1975 ).

BAHASA MATEMATIK DALAM PENGAJARAN PEMBELAJARAN

Para pendidik matematik mempunyai tanggungjawab untuk membentuk dan memperkembangkan perbendaharaan kata teknikal dan am dalam matematik. Penguasaan berbahasa termasuklah kemahiran menulis dan membaca. Bahasa pengantar yang digunakan di sekolah akan mempengaruhi suasana pembelajaran bahasa matematik. Perkembangan bahasa dan perbendaharaan kata matematik merupakan faktor utama yang dapat memberi kesan terhadap mutu keseluruhan hasil pembelajaran matematik ( Austin & Howson, 1979 ). Pendidik matematik di sekolah rendah perlu menyedari bahawa;

1. kebolehan membaca dalam matematik ialah satu masalah besar, 2. perkembangan bahasa ialah satu perkembangan yang asli, 3. perkembangan perbendaharaan kata yang bererti dalam matematik boleh dijadikan alat pengukur

kemahiran guru mengajar kemahiran ini, 4. murid seringkali menggunakan istilah atau sebutan matematik yang tidak sesuai, tanpa

mengetahui makna tersebut, 5. kadar mengajar matematik biasanya cepat dan aspek bahasa biasanya tidak diberikan perhatian. 6. kriteria, matlamat dan fungsi mengajar matematik mestilah dirancang dengan teliti.

Perbendaharaan matematik boleh diperkembangkan melalui penggunaan alat pandang dengar, pengalaman konkrit, membaca buku cerita berunsur matematik, buku nota perbendaharaan kata, sinonim dan antonim, analisa fonetik, penambahan kata awalan dan akhiran, kamus, gambarajah dan sebagainya. Dalam pengajaran perbendaharaan kata matematik, guru harus menerangkan perkataan teknikal yang terdapat dalam bidang algebra, geometri, set, penomboran dan istilah dalam matematik merupakan bahan penting untuk rujukan murid.

Ayat matematik boleh dituturkan dengan mengaitkan fonemgrafem seperti dalam bahasa biasa, tetapi tidak sesuatu berkenaan dengan sintaksis, tanda dan format yang membezakan ayat-ayat matematik daripada ayat biasa. Tanda atau simbol yang berangkai boleh membentuk ayat matematik yang lengkap. Contohnya seperti; x > y,

( 2a + b ), ax2 + bx + c.

Perkataan matematik terdiri daripada simbol dan istilah. Contoh istilah matematik ialah seperti ‘tambah’, ‘ tolak `, ‘ ganda dua `, ‘ punca kuasa dua ` dan sebagainya. Manakala contoh simbol matematik ialah seperti ‘ + `, ‘ x `, ‘ - `, ‘ / ` ‘ 2 `, ‘ 34 `, ‘ = ` dan lain-lain lagi. Ayat matematik biasa terdiri daripada gabungan beberapa simbol matematik yang memenuhi sesuatu hukum atau peraturan tertentu yang kadang-kadang melibat satu atau lebih pembolehubah. Contoh ayat matematik:

 ( a ) 4 > 3

( b ) 324 = 300 + 20 + 4

( c ) 3 x 4 = 12

( d ) 3a + 4 = 8 ( a ialah pembolehubah )

Perkembangan perbendaharaan kata matematik berlaku serentak dengan proses penguasaan konsep dan kemahiran sesuatu tajuk ( Austin & Howson, 1979 ). Murid yang mahir membaca ayat matematik akan lebih mudah mempelajari isi kandungan matematik. Terdapat beberapa kemahiran dalam bahasa matematik, antaranya:

1.Kemahiran membaca

Membaca bahan bermatematik berbeza dengan membaca bahan lain kerana pembacaan dalam matematik memerlukan tumpuan dan penelitian halus untuk memahami kandungan atau isi utama sesuatu persoalan. Ulangan pembacaan biasanya diperlukan.

Contoh:

Diberi 2x + 2/3 = 3/5 , apakah penyelesaian bagi x

Semasa membaca, tumpuan akan diberikan kepada setiap nombor dan simbol yang terdapat dalam soalan tersebut. Setiap bentuk nombor dan simbol mesti difahami terlebih dahulu sebelum penyelesaian diperolehi.

 2.Kemahiran menyusun simbol.

3.Kemahiran membaca jadual , graf dan rajah.

4.Kemahiran mendapatkan idea utama.

5.Kemahiran menggunakan perkataan matematik.

6.Kemahiran melihat dan memahami simbol.

7.Kemahiran membuat perkatitan antara objek, idea, perkataan dan simbol.

8.Kemahiran mencari makna

Penguasaan bahasa matematik tidak boleh dipandang ringan oleh guru kerana banyak masalah harian yang melibatkan pengiraan atau berupa masalah kuantitatif. Pengajaran matematik walaubagaimanapun bukan hanya tertumpu terhadap aspek pengiraan, tetapi juga meliputi aspek kemahiran bahasa bagi tujuan perhubungan idea-idea utama sama ada dalam bentuk nyata atau abstrak, lisan atau tulisan.

BAGAIMANA MEMPERKEMBANGKAN BAHASA MATEMATIK

Bahasa matematik adalah sesuatu yang unik dan universal sifatnya. Ia digunakan oleh seluruh umat manusia di dunia. Dalam matematik, mereka menggunakan bahasa yang sama. Oleh itu para pendidik matematik mempunyai peranan yang besar dalam proses perkembangan bahasa matematik. Beberapa perkara penting perlu diberi perhatian khususnya dalam konteks kurikulum matematik yang menyeluruh dan bersepadu, antaranya:-

1.Soalan Penyelesaian Masalah

 Kandungan kurikulum matematik serta aktiviti pengajaran dan pembelajaran dalam / luar bilik darjah haruslah menekankan kepada soalan dan strategi penyelesaian masalah. Seperti mana yang telah dijelaskan bahawa, penyelesaian masalah melibatkan kemahiran menggunakan bahasa matematik. Tanpa penguasaan sepenuhnya dalam bahasa matematik, seseorang itu tidak akan dapat menyelesaikan sesuatu masalah dengan berkesan, terutama masalah yang lebih kompleks. Dalam penyelesaian masalah, seseorang pelajar mesti :-

Memahami masalah; termasuklah mengetahui dengan tepat, maksud semua istilah dan simbol yang digunakan.

i. Dapat menterjemahkan ayat biasa kepada ayat matematik. ii. Dapat melaksanakan langkah-langkah penyelesaian yang melibatkan operasi dan rumus-rumus

tertentu.

Ringkasnya, apabila penekanan diberikan kepada penyelesaian masalah, maka dengan secara tidak langsung para pelajar akan berusaha memahami dan menguasai bahasa matematik.

2.Penggunaan Bahasa Matematik Yang Betul

Para pendidik, khususnya pendidik matematik mestilah berusaha menggunakan bahasa matematik dengan tepat dan betul. Dengan lain perkataan, pendidik mesti mengelak daripada menggunakan istilah dan simbol yang berbagai dan tidak tepat serta ungkapan yang salah,. Keadaan ini akan mengelirukan para pelajar yang kadang-kadang akan menyebabkan berlaku salah pengkonsepsian. Beberapa contoh simbol matematik yang sering disebut secara tidak tepat oleh guru :-

 " + " - disebut sebagai campur ( betulnya "tambah" )

" 0 " - disebut sebagai kosong ( betulnya "sifar" )

"3² " - disebut sebagai tiga ganda dua ( betulnya "tiga kuasa dua" )

"0.25" - disebut kosong perpuluhan dua puluh lima

( betulnya "sifar perpuluhan dua lima " )

"456" - disebut nombor empat lima enam

( betulnya "empat ratus lima puluh enam" )

3.Penyelarasan simbol

Ketidakselarasan dalam penyataan simbol menyebabkan kesukaran dan kekeliruan dalam mempelajari matematik. Malah ada orang yang membuat anggapan bahawa matematik adalah himpunan simbol-simbol yang kompleks (Harkin & Rising , 1974; Ngean, 1982). Ada lima jenis maslah berkaitan dengan simbol dalam matematik (Harkin & Rising, 1974) :-

 ( a ).Ambiguous Symbols

Masalah ini berkaitan dengan satu simbol yang mempunyai berbagai makna khususnya bila digunakan dalam situasi yang berlainan. Contohnya simbol " -" :-

Pertama; ia digunakan untuk operasi tolah antara dua nombor, seperti 6 - 4

Kedua; untuk mewakili integer negatif seperti - 5 < - 4

Ketiga; untuk menunjukkan "additive inverse" seperti :-

- ( 3 ) = - 3 [ pantulan titik 3 pada asalan ]

Masalah di atas boleh di batasi dengan menyelaraskan simbol.

Cadangan: - tanda ` ^’ mewakili negatif

Contoh: negatif tiga = 3

- tanda ‘ - ’ mewakili additive inverse

- contoh: -(3) = -3

o (-3) -2 = -3 -2

( b )Synonymous Symbols

Masalah ini berkaitan dengan beberapa simbol mewakili satu konsep. Contihnya; satu garisan yang berkecerunan dua dan melalui titik (0,3), boleh ditulis dalam beberapa bentuk:

y = 2x + 3 ,

f(x) = 2x +3 , atau

f: x ---> 2x + 3 .

Dalam contoh lain yang melibatkan pendaraban dua nombor nyata:

a x b ,

a . b ,

a ( b ) , atau

a b .

Semua bentuk di atas menunjukkan a darab b . Namun perlu diingat bahawa:

a.b + c a ( b + c )

Oleh yang demikian, guru perlu memberi penjelasan yang secukupnya disamping penggunaan yang menyeluruh dalam latihan.

( c )Archaic Symbols

Sebagai contoh simbol aritmeeetik yang agak kuno ialah simbol / . Pada peringkat awal , punca kuasa dua dirumuskan keseluruhannya secara lisan ( ‘Radix two’ atau ‘ the root two’ ). Simbol yang mula ditemui ialah / 2 (punca kuasa dua) . Kemudian bertukar kepada / . dan seterusnya kepada / sehinggalah sekarang. Simbol ini adalah sebahagian daripada budaya intelektual semasa zaman kebangkitan yang tentunya tidak sesuai dengan budaya intelektual hari ini. Oleh itu, dengan mengambil kira keberkesanan pedagogi dan psikologi, ia sesuai ditukar kepada bentuk indeks:

x 1/2

( d )Inappropriate Symbols

Simbol yang tidak tepat di sini bermaksud simbol spesifik yang boleh menyebabkan salah pengkonsepsian di kalangan pelajar sekolah rendah khususnya. Ada kanak-kanak yang mengalami ‘retinal inversion’ , di mana sering menulis secara terbalik . Mereka menulis ‘ dola’ untuk bola. Begitu juga dalam penulisan angka. Oleh yang demikian, simbol seperti ‘ < ’ agak kurang sesuai kepada golongan pelajar tersebut. Mereka berfikir tentang ‘ < ’ , tapi menulis ‘ > ’ . Bagi mengatasi masalah ini, guru perlu mengenalpasti simbol-simbol yang sesuai dikemukakan kepada pelajarnya.

( e )Inconsistent Symbols

Sebahagian simbol digunakan dalam bentuk dan di tempat yang berbeza. Contohnya dalam operasi penambahan dan pendaraban berikut:

a + a + a = 3a manakala a. a. a = a 3

Kenapa tidak dalam urutan yang lebih konsisten seperti:

a3 dan a 3 atau 3a dan a3

Situasi diatas perlu diperjelaskan dengan sebaik mungkin oleh guru.

PENUTUP

Bahasa matematik sssudah menjadi bahasa dunia yang mampu dikuasai oleh semua manusia. Jika Bahasa Malaysia diperlukan untuk berkomunikasi dalam kehidupan seharian, maka Bahasa Matematik amat diperlukan untuk memahami dan menguasai konsep dan kemahiran dalam matematik ( Dutton, Petrie & Adams, 1989). Pembelajaran bahasa matematik perlu ditekan pada setiap aras pembelajaran (learning level). Istilah dan simbol baru perlu disebut dan diulang dari masa ke semasa supaya ianya sentiasa berada dalam ingatan pelajar. Para pendidik matematik mestilah berusaha menceriakan kelas dengan pelbagai aktiviti konkrit supaya pembelajaran konsep dan bahasa matematik menjadi lebih bermakna.

 Sesawang yang berguna.

1.  The Development of Ancient Numeration Systems:      http://mtl.math.uiuc.edu/projects/2/Wood/frame.htm 2.  Mayan Numeration:      http://www.hanksville.org/yucatan/mayamath.html       http://72.40.235.132/search?q=cache:uuG7HTn90kJ:lacosta.cs.txstate.edu/Mmathlessons/Year3Fall/MayanNumberingsystem. 3.   Number bases:      http://www.macdonald.egate.net/CompSci/Pascal/hnumeration.html