BAB 1 Logika matematika

Kunci Penyelesaian Matematika SMA 1B – Sukino Bab 1 | page 1

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. a. kalimat deklaratifb. kalimat deklaratifc. kalimat non deklaratifd. kalimat non deklaratife. kalimat non deklaratif

2. a. Pontianak tidak terletak di pulau Sulawesib. 12:14443 c. 1072 x

3. kalimat adalah suatu rangkaian bunyi( bahasa ) yang tersusun secara baik danbermakna utuh.

4. Ada dua jenis kalimat dalam matematika,yaitu :- kalimat deklaratif- kalimat non deklaratif

5. a. Variabel adalah faktor penentu suatukalimat terbuka bernilai benar atau salah.Konstanta adalah nilai pengganti varibelyang menentukan suatu kalimat benaratau salah.Kalimat terbuka adalah jenis kalimat yangnilai kebenarannya belum dapatdipastikan karena masih mengandungvariabel.

6. a. Pernyataan salahb. Bukan pernyataanc. Bukan pernyataand. Bukan pernyataane. Pernyataan benarf. Pernyataan benar

7. Jika p benar maka ~ p salah,Jika p salah maka ~ p benar.

8. a. 6,3,2,1xb. yx atau yx c. 553 xx

533 xx22 x1x

d. 43 xx

0432

xx

014 xx

4x atau 1x16x atau 1x

e. 0322 xx 013 xx

3x atau 1xf. 0523 yx

523 yx

Ryy

x

,3

52

g. 0166 36 yy

0166 323 yy 028 33 yy

83 y atau 23 y

2y atau 3 2yh. 10xy

Ryy

x ,10

i. 12 xy12 yx

Ryy

x

,2

1

j. yx 27

Ryy

x

,7

2

9. a. 2 adalah bilangan yang harus dibagi 3b. Negara Australia berpenduduk kurang

dari 400 juta jiwa.c. 032 xd. 1072 e. 35 tidak mempunyai kebalikanf. tidak semua siswa SMA pada hari Senin

berseragam putih – putih.g. Beberapa siswa paling sedikit 100 orangh. Tidak banyak buruh pabrik yang mogok

bekerja.

L K S 1

BAB 1LOGIKA


j. Jumlah sudut dalam segitiga bukan 180

10. a. 213 x123 x

1xPernyataan salah karena 213 xx~

b. 013 x013 x

31

x

Pernyataan salahc. Pernyataan benard. 1012 x

211x

Pernyataan benare. 0342 xx 013 xx

3x 1x

31 xPernyataan benar

f. 43 yxRyyx ,34

43 yxxy 43

Ryxy ,3

4

Pernyataan salahg. Pernyataan salahh. 42 yx

yx 42

Ryyx ,4

42 yxRxxy ,42

Pernyataan salahi. xxx 532

Pernyataan benar

j. 8102 x0192 x

01818 xx

1818 xPernyataan salah

11. a. 63x36x

2x2,1x

Pernyataan salahb. Pernyataan benarc. 8102 x

( lihat nomor 10 j )

1818 x2,42,4 x

4,3,2,1xPernyataan benar

d. 152 2 xx0152 2 xx

0352 xx052 x atau 3x

25x

Pernyataan salahe. 822 yx

yx 2102 81 2 xy

8,2x2,1x

62 2 xy4,3,2,1x

43 2 xy3,2,1x

24 2 xy1x

1022 yx

210 2x

y

29

1 yx

4,3,2,1y


32 yx2,1y

21

3 yx

4,3,2,1y34 yx

4,3,2,1yPernyataan salah, karena untuk

3x dan 4x maka 4,3,2,1yf. xy yang memenuhi 1022 yx

pernyataan benarg. untuk 3x dan 4x tidak ada

4,3,2,1y yang memenuhi

1022 yxPernyataan salah

h. Pernyataan benar

12. a. Setiap siswa memakai seragam sekolahb. Kuadrat beberapa bilangan real tidak

selalu tak negatif.

13. a. 012 xRx~b. 02 xRx

c. 0,,,, qqp

xzqpRx~

d. Rnzyxcba ,,,,,, nzcnybnxa

2221

32223212zyx

scba

s

zsysxsscsbsass

e. 0 yxRyRxf. yxRyRx 2

14. a. 1415 x

35

15 x

Pernyataan salah

b.21

sin x

30xPernyataan benar

c.xxx

cossintg

Pernyataan benard. xx cos180cos

Pernyataan salah

e. 042 m 022 mm

22 mPernyataan benar

f. Pernyataan benarg. 22 yxyxyx

32223 yxyxyyxx 3223 22 yxyyxx

33 yx Pernyataan salah

h. yyx 0x

Pernyataan salahi. Rxy ,3

Pernyataan salahj. yyx

0xPernyataan benar

15. a. 22 xyyxxyyx~b. xyyxxyyx~ coscos

c. 222 2 yxyxyxyx d. 100 xyyxe. 1 xyyx

B.

1. a. untuk 1x maka 1x1x

Pernyataan salahb. untuk 1x maka 22 1x

1x

Pernyataan benarc. xx 1

1xx10

Pernyataan benard. xx 2

2xx20

Pernyataan salah


e. 0x maka 0x0

Pernyataan benar

2. a. 12 yx21 2 xy

22 x1x

32 2 xy

33 x1x

43 2 xy22 x

1x 1,13,2,1 2 yxxy

Pernyataan benarb. 1222 yx

012 22 xy0111 2 yx

1111 y 3,2,1y

082 2 yx88 y

2,1y033 2 yx

33 y1y

Pernyataan benar karena 3,2,1x1222 yxy

c. 1222 yx 012 22 yx

3,2,11 xy 2,12 xy13 xy

Pernyataan salahd. 222 2zyx

02 222 yzx011,1 2 xzy

11 x 3,2,1x

072 2 xz77 x

2,1x0173 2 xz1717 x

3,2,1x021,2 2 xzy

22 x 3,2,1x

042 2 xz22 x

1x0143 2 xz1414 x

3,2,1x071,3 2 xzy

3,2,1x012 2 xz

3,2,1x093 2 xz

33 x 3,2,1x

Pernyataan benar karena ,xzy 222 2zyx

e. 222 2zyx 02 222 yzx

3,2,11,1 xyz 3,2,12 xy 3,2,13 xy 2,11,2 xyz12 xy 3,2,13 xy 3,2,11,3 xyz 3,2,12 xy 2,13 xy

3. a. xxx

b. xxx 2

c. xxx 1d. xxx 2e. 0 xx


4. 103x4311 x5322 x6333 x7344 x8355 x

Tidak terdapat 103 xAxPernyataan salahb. 103, xAx

Pernyataan benarc. 3131 xx

45

Pernyataan benard. 3535 xx

87

Pernyataan salah

5. a. ,yx yx~p ,b. ,yx yx~p ,c. ,zxy yx~p ,

6. a. yxxyyx b. 0 xxyyxc. 1 xyyx

d.

0,0 y

yx

yx

7. a.p ~p ~p~B S BS B S

p~p~ b.

p ~p ~p~ ~p~~B S B SS B S B

~p~p~


1. C. “ada murid yang menganggapmatematika tidak sukar”

2. D. Sp ~p p~pp B S SS B S

3. D. Sp SBp B SS S

4. E. qBrSqBP ,,

BSBrqp SB

Sq

5. A. ~qp~ ~qDpNNqDpN ~qpN ~qp~

6. B. NppqDND~ qp ~ p ~ NppqD

NppqND pqNpDND

7. B. qBrBqSp ,,

DpNNqDpN (~ q )N [ p (~q )]

~ [ p (~ q )]

~ [ p (~ q )]~ SS ~ S

Bq atau r

8. E. 32

L K S 2


9. A. pBp dan Sq

~(~ qp )~( SS )~ S

Bp

10. B. SMisalkan : 42: 2 p

9:q habis dibagi 2Bp dan Sq

SBqp S

B. Evaluasi Pemahaman danPenguasaah Materi

1. a. 723: p Sp 844: q Bq

BSqp S

b. 1046: p Bp 321: q Sq

SBqp S

2. a. ~ p : Harti gadis yang tidak lincahb. ~ q : Harti gadis yang tidak pandaic. qp : Harti gadis yang lincah dan

pandaid. ~ qp : Harti gadis yang tidak lincah

tetapi pandaie. p ~ q : Harti gadis yang lincah tetapi

tidak pandaif. ~ p ~q : Harti gadis yang tidak lincah

dan tidak pandai

3. a. 13:p bukan bilangan prima124: xq untuk x Himpunan

Bilangan asliBSqp

Sb. 23:p adalah bilangan ganjil

23:q bukan bilangan primaSBqp

Sc. p : ada bilangan bulat yang habis dibagi

3 dan 5Bp

d. p : kedua akar persamaan 012 xmerupakan bilangan real

q : kedua akar persamaan 012 xTidak berlawanan

SBqp S

e. p : Diagonal suatu persegi panjangberpotongan di tengah – tengah

q : Diagonal suatu persegi panjangSaling tegak lurus

SBqp S

4. a. 823 b. 1624 c. 3225

5. a.p ~p ~pp B S SS B S

b.p Sp B SS S

c.p BpB BS S

d.p q r rqp B B B BB B S SB S B SB S S SS B B SS B S SS S B SS S S S

e.p r q qrp B B B BB B S SB S B SB S S SS B B SS B S SS S B SS S S S


f.p q ~p q~p B B S SB S S SS B B BS S B S

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. a. ~q~p p q ~p ~q ~q~p B B S S SB S S B SS B B S SS S B B B

b. r~qp p q r ~q r~qp B B B S SB B S S SB S B B BB S S B SS B B S SS B S S SS S B B SS S S B S

c. ~rq~p p q r ~P ~rq ~rq~p

B B B S S SB B S S B SB S B S S SB S S S S SS B B B S SS B S B B BS S B B S SS S S B S S

d. rqp~ p q r rqp rqp~ B B B B SB B S S BB S B S BB S S S BS B B S BS B S S BS S B S BS S S S B

e. qpqp )( p ~ q )p q qp~ ~qp ~qpqp~

B B S S SB S B B BS B B S SS S B S S

f. ~( qp )~ (~ p ~ q )p q qp~ ~q~p~ ~q~p~qp~

B B S B SB S B B BS B B B BS S B S S

g. [ p ~( p ~ q )]~( qp )p q ~qp~ ~qp~p qp~ B B B B SB S S S BS B B S BS S B S B

qp~~qp~p SSSS

h. (~ p )(~ rq )p q r ~P r~q r~q~p

B B B S S S

B B S S S S

B S B S B S

B S S S S S

S B B B S S

S B S B S B

S S B B B S

S S S B S S

2. a. ~ DNpqqNprp b. p ~ pqp ~ Dpq

NDpqpNDpqDp

c. q~~ pqp NqDpNDpq

DPNqDNDpqd. ~q~p~qp~

NqNp~NDpq NqNp~NDpq NqNDNpNDpq

NqNDNpDNDpq


e. qp~qp~p NDpqNqp~p NDpqNqDp~p

NDpqNqDpND NDpqNqDpDpN

NDpqNqDpDDpN

3. a. ~qNDpNqNDp ~qpN ~qp~

b. NpqpDNNpDNDpq ~pqp~D

~pqp~ c. ~pqNrDDpNpDqNrDDp

~pq~rpD ~pq~rp

d. NpDNpqDNDq Npq~pDDNDNq

Npq~pDNDNq Npq~p~qDND

Npq~p~qDN Npq~p~q~ ~pq~p~q~

e. DDNqrpDqpDNDp pDNqrpDDqDNDp prNqpDDqDNDp pr~qpDDqDNDp

pr~qpDqDNDp pr~qpqDNDp

pr~qpqpDN pr~qpqp~D

pr~qpqp~

A.

1. B. Benarp q qp B B BB S BS B BS S S

2. C. ~qp~ qp~q~p

3. A. ~qp ~qpq~p~

4. B. q~pp~p q~pp~pqp~p

5. A. qpKalimat ~q~p Lingkaran qp~q~p~

6. A. Saya tidak hadir dan anda tidak pergi

Kalimat ~q~pqp~ Saya tidak hadir dan anda tidak pergi

7. C. 9,...,7,6,5,2,104: 2 xxp

09: 2 xqPernyataan qp: salah, jika p salahq salah

042 xx 04 xx

0x atau 4xp salah, jika 0x atau 4x

092 x 033 xx

3x atau 3xq salah, jika 3x

qp salah jika 0x , 3x , dan 4x 9,...,7,6,5,2,1x

8. B. 50103: 2 xxp

025: 2 xqqp benar jika p benar dan q benar

01032 xx 025 xx

5x atau 2x0252 x

055 xx5x atau 5x

qp benar jika 5x

L K S 3


9. B. 30 x09: 2 xp

033 xx3x atau 3x

05: 2 xxq 05 xx

0x atau 5xqp salah jika p salah dan q salah

p salah untuk 33 xq salah untuk 50 x

30 x

10. C. 31 x atau 02 x06: 2 xxp

032 xx32 x

0: 2 xxq 01 xx

0x atau 1x

qp benar, jika 02 x atau31 x

B.

1. a. :p Ani gadis yang cantik.:q Ani gadis yang lembut.

b. :p Ia ingin belajar menari.:q Ia ingin belajar menyanyi.

c. :p Bintang film itu sangat terkenal.:q Bintang film itu sangat rendah hati.

d. :p Setiap segitiga sama kaki mempunyaidua sisi yang sama panjang.

:q Setiap segitiga sama kaki mempunyaidua sudut yang sama besar.

e. :p Sumbu x dan sumbu y pada sistemkoordinat Carksius salingberpotongan di 0,0 .

:q Sumbu x dan sumbu y pada sistemkoordinat Carksius saling tegak lurus.

f. :p Setiap bilangan prima habis bibagioleh 1.

:q Setiap bilangan prima habis dibagidirinya sendiri.

g. :p Ia mempunyai rambut pirang.:q Ia mempunyai mata biru.

2. a. Ia kaya atau bahagiab. Ia kaya dan bahagiac. Ia tidak kayad. Ia tidak bahagiae. Ia tidak kaya dan tidak bahagiaf. Ia kaya dan tidak bahagiag. Ia tidak kaya dan bahagiah. Ia kaya atau tidak bahagiai. Ia tidak kaya atau bahagiaj. Ia tidak kaya atau tidak bahagiak. q~pqp~

Tidak benar ia kaya dan bahagial. ~qpq~p~

Tidak benar ia tidak kaya dan bahagia

3. a. qp b. q~p c. ~qpd. qp~ e. ~q~p f. ~q~p~ g. q~p~

4. a. 422: p benar

653: q salahp q qp q~p~ B S B S

b. :p Paris ibukota Perancis benar:q London ibukota Inggris benar

qp bernilai benarc. :p 50 habis dibagi 5 benar

:q 50 habis dibagi 6 salahd. :p Panjang diagonal – diagonal suatu

persegi panjang saling tegak lurusp salah maka ~p benar


e. 044: 2 xxp adalah bentukkuadrat sempurna

0442 xx 02 2 x

p benar044: 2 xxq mempunyai

akar – akar kembarq benar

qp benarf. 1sincos: 22 xxp salah

xx

xqsincos

tan: salah

qp salahg. :p 5 adalah bilangan prima benar

:q 5 habis dibagi 2 salahh. 53: p benar

53: q salahqp salah

5. a. :p Ia tidak kaya:q Ia bahagia

~q~pqp~ Ia kaya atau tidak bahagia

b. :p Mark pandai:q Erik pandai:r Audrey cantik ~r~q~prqp~

Mark dan Erik tidak pandai atau Audreytidak cantik.

c. :p Ia tinggi:q Ia tampan

~q~pqp~ Ia tidak tinggi atau tidak tampan

d. 523: p p~p~

523 e. :p mawar berwarna merah

:q melati berwarna putih

~q~pqp~ mawar tidak berwarna merah atau melatitidak berwarna putih.

6.p q r rp rqp B B B B BB B S B BS S S S SS B S S S

C.

1. a.p q r rq qp rp A BB B B B B B B BB B S S B B B BB S B S B B B BB S S S B B B BS B B B B B B BS B S S B S S SS S B S S B S SS S S S S S S S

rqpA : rpqpB :

rpqprqp b.p q ~p q~p q~pp qp B B S B B BB S S S S SS B B B S SS S B B S S

qpq~pp c.p q ~qp q~qp qp

B B S B BB S S B BS B B B BS S B S S qpq~qp

d.p q q~p q~pp qp B B S B BB S S B BS B B B BS S S S S

qpq~pp

2. a. q~qpq~pp ~q~qqpqp~pp

SqpqpS qpqp

b. rqp~rqp~ ~rqp~

~r~q~p

……

… …

………

…


c. ~r~qp~r~qp~ ~rq~p

3. a.p ~p p~p B S BS B B

b.p q qp q~p q~pqp

B B B B B

B S S S S

S B S B B

S S S B B

c.p q ~qp q~p q~p~qp

B B B B B

B S B S S

S B S B S

S S B B B

d.p q ~qp q~p q~p~qp

B B S S S

B S B S B

S B S B BS S S S S

e.p q qp q~p q~pqp

B B B B B

B S B S S

S B B B B

S S S B S

f.p q qp ~q~p ~q~pqp

B B B S B

B S S B B

S B S B B

S S S B B

g.p q qp q~p q~pqp

B B B B B

B S S S S

S B S B BS S S B B

h.p q r qp q~p q~pqp

B B B B S S

B B S B S S

B S B B S S

B S S B S SS B B B B B

S B S B S S

S S B S B S

S S S S S S

4. a. ~pq~pp~pqp ~pqS

~pq b. qpppqpp

qpp c. q~p~q~pq~pqp~


1. D. 26: 2 xxp062 xx

023 xx3x atau 2x

93: 2 xxq0932 xx

Agar qp bernilai salah maka Bp dan Sq untuk 2x 0192322

2. C. p benar, q salah, dan r salah

SSBrqp SS

S

3. 12 x02: 2 xxp

012 xx2x atau 1x

117:q adalah bilangan prima ; Sq agar qp bernilai benar maka Sp dan Sq .agar Sp maka 12 x

4. D. q~p agar B~qp maka :

BpSqB~q

Pernyataan yang benar adalah :SSq~p

B

L K S 4


5. E. q~p ,Bp Sq

Pernyataan yang benar adalah :SSq~p

B

6. C. ~q~p ,Sp Bq

Pernyataan yang benar adalah :SB~q~p

S

7. B. ~p~q bernilai benar,Sp Bq

BS~p~q B

8. C. ~qSS

agar Sr bernilai salah S makaBr

agar rq bernilai salah S makaSq

agar qp bernilai salah S makaBp

9. E. qp qp~pqpp

q~pp~p q~pB q~p qp

10. C. rqp p q r rpqp rqp B B B B B

B B S S S

B S B S S

B S S S S

S B B B BS B S B B

S S B B BS S S B B

rqprpqp

B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri

1. a. BDACp :ABCDq : persegi panjang

Sqp b. 7:p bukan bilangan prima

7:q bilangan ganjilBSqp

Bc. :p nilai matematika saya 10

933: qBqp

Karena 933 maka beberapa punnilai matematika saya, nilai kebenaranimplikasi tersebut adalah benar B

d. :p segitiga ABC sama sisi:q segitiga ABC sama kaki

Bqp e. ABCDp : belah ketupat

BCACq :Bqp

2. a. 522: p1044: q

SSqp B

b. :p suatu bilangan habis dibagi 2:q Bilangan itu adalah bilangan genap

Bqp c. :p Besar sudut – sudut suatu segitiga

adalah sama.:q Panjang sisi – sisi segitiga itu adalah

sama.Bqp

d. :p Panjang sisi – sisi suatu segi empatadalah sama.

:q segi empat itu adalah persegiBqp

e. 1073: p10:q Bilangan genap

BSqp S


f. :p suatu segitiga adalah segitigasiku – siku.

:q segitiga itu memenuhi rumusPythagoras

Bqp g. :p Indonesia merdeka.

:q Jepang menang dalam PerangDunia II

Sqp h. xp : adalah bilangan prima.

xq : habis dibagi oleh 1 dan dirinyasendiri.

Bqp

4. a. Hasil kali gradient dua garis adalah 1jika dan hanya jika dua garis itu salingtegak lurus.

b. segitiga ABC siku – siku di A jika danhanya jika 222 cba

c. Bx adalah bilangan ganjil jika danhanya jika 2x bilangan ganjil.

d. tidak bisa diubah menjadi biimplikasie. yx jika dan hanya jika 22 yx

5. a. 4: xp16: 2 xqBqp

b. 0: xp

01: x

q

Bqp c. 16: 2 xp

4: xq atau 4xBqp

d. 1: xp33: xq

Bqp e. 3275: xp

255 x5x

25: 2 xp5xSqp

f. 642: xp 6: xq622 x

6xBqp

6. a. ~q~p p q ~p ~q ~q~p B B S S SB S S B SS B B S SS S B B B

b. q~p~ p q ~p q~p q~p~ B B S S BB S S B SS B B B SS S B S B

c. q~pp p q ~p q~p q~pp B B S B BB S S S SS B B B BS S B B B

d. q~p~qp p q ~p ~q ~qp q~p q~p~qp

B B S S S B BB S S B B S SS B B S S B BS S B B S B B

e. q~pqp p q qp q~p q~pp B B B B BB S S S BS B B B BS S B B B

7. a. q~p : Jika ia tidak rajin belajar makaia lulus ujian

b. ~qp : Jika ia rajin belajar maka iatidak lulus ujian

c. qp~q~p~ ~q~p

Ia tidak rajin belajar dan tidak lulus ujiand. ~q~p : Jika ia tidak rajin belajar

maka ia tidak lulus ujiane. q~p : Jika ia tidak rajin belajar maka

ia lulus ujian dan jika ia lulusujian maka ia rajin belajar.

f. ~qp : Jika ia rajin belajar makaia tidak lulus ujian dan jika iatidak lulus ujian maka ia rajinbelajar.

g. qp : Ia rajin belajar jika dan hanyajika ia lulus ujian.


h. ~q~p : Jika ia tidak rajin belajarmaka ia tidak lulus ujian danjika ia tidak lulus ujian makaia tidak rajin belajar.

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. a. ~qpqp~ p q qp~ ~qpB B S SB S B BS B S SS S S S

b. q~p~qpqp~ p q qp~ ~qp q~p

B B S S SB S B B BS B B B BS S S S S

c. qp~~qp p q ~qp qp~ B B S SB S B BS B B BS S B B

2. a. pq~q~p~~qp~ pq~~q~p~

~p~qqp b. p~qq~p~~qp~

p~q~q~p~ ~pq~qp

c. ~pq~qp~~q~p~ ~pq~~qp~

p~qq~p

3. a. qp~qp p q qp q~p B B B BB S S SS B B BS S B B

b. ~pq~qp~p~qp p q p~qp ~qp~ ~pq B B B B BB S B S SS B S S BS S S B B

~pq~qp~p~qp BSBB

c. rqp p q r rq rqp B B B B BB S S S SB S B S SB S S S SS B B B BS B S S BS S B S BS S S S B

4. a. ~rqprqp~ p q r rqp~ ~rqp B B B S SB S S B BB S B S SB S S S SS B B S SS B S S SS S B S SS S S S S

b. ~r~qqprqqp~ p q r qp rq rqqp~ B B B B B SB S S B B SB S B B B SB S S B S BS B B B B SS B S B B SS S B S B SS S S S S S

~r~q ~r~qqp S SS SS SB BS SS SS SB S


5. a. pqqp p q qp pq pqqp B B B B BB S S B SS B S S BS S B B B

b. qp~p p q ~p qp qp~p B B S B SB S S S BS B B B BS S B B B

c. pqpq p q qp pqp pqpq B B B B BB S S S BS B S B BS S S B B

A.

1. D. p~q Invers dari Sq~p~qp :dari ,, SpB~p dan Sq

qp B p~q Spq B ~q~p B~pq B

2. C. ~rqp rqp~~rqp~

~rqp

3. B. ~qpr qp~r~rqp

~q~pr ~qpr

4. D. ~rqp rq~p~rqp~

rq~p r~q~p

~rqp

5. B. q~p pqp~~pqp~

~pqp ~pq~qp

~pqS ~pq

6. B. pqp Konvers dari pqpqpp :

7. B. p~q Kontraposisi dari p~qq~p :

8. D. p~q Kontraposisi ~p~qqp : ~pq~~p~q~

p~q

9. D. “jika q benar p salah” SqBp S SqBp B BpSq B BqSp B SpBq S BpBq B

10. E. qp~ p q ~qp qp ~q~p ~pq

B B S B B SB S B S B BS B S B S BS S S B B B

p q ~qp qp~ B B S SB S B BS B B SS S B S

qp~~qp

11. C. “jika ia tidak berhasil maka ia tidakberusaha:p ia berusaha:q ia berhasil

Kontraposisi ~p~qqp :Jika tidak berhasil maka ia tidak berusaha

L K S 5


12. D. guru tidak hadir dan ada beberapa muridtidak bersuka ria.:p guru tidak hadir:q semua murid bersuka ria

q~p~qp~ ~qp

Guru tidak hadir dan ada beberapa muridtidak bersuka ria

13. D. “semua grafik fungsi kuadrat memotongsumbu x ”

14 . A. qp qpq~p

15. A. qp q~ppqpp

qp~pp qpS

qp

B.

1. a. konvers : jika 6252 x maka 5xInvers : jika 5x maka 6252 xKontraposisi : jika 6252 x maka

5xb. konvers : jika ABCD layang – layang

maka AC tegak lurus BDInvers : jika AC tidak tegak lurus

BD maka ABCD bukanlayang – layang

kontraposisi : jika ABCD bukanlayang – layang makaAC tidak tegak lurus BD

c. konvers : jika 42 x maka x bilanganreal dengan 2x

Invers : jika x bukan bilangan realdengan 2x maka 42 x

kontraposisi : 42 x maka x bukanbilangan real dengan 2x

d. konvers : jika 32x maka 5log2 xInvers : jika 5log2 x maka 32xkontraposisi : jika 32x maka

5log2 x

e. konvers : jika xx cossin maka1tan x

Invers : jika 1tan x makaxx cossin

Kontraposisi : jika xx cossin maka1tan x

f. konvers : jika persamaan itumempunyai dua akan positifberbeda maka diskriminanpersamaan kuadrat non negatif

invers : jika diskriminan persamaankuadrat tidak non negaif makapersamaan itu tidak mempunyaidua akar poiti berbeda

kontraposisi : jika persamaan itu tidakmempunyai dua akarpositif berbeda makadiskriminan persamaankuadrat tidak tidak nonnegatif

2. a. 5x B

222

xx

225

225625 B

BqBp (pernyataan benar)

b. AC tegak lurus BD BABCD layang – layang B BqBp (pernyataan benar)

c. x bilangan real dengan 2x B22 2x

42 x B BqBp (pernyataan benar)

d. 5log2 x B52x

32x B BqBp (pernyataan benar)

e. 1tan x Bxx cossin S

SqBp (pernyataan benar)f. diskriminan persamaan kuadrat non

negatif Bpersamaan itu mempunyai dua akarpositif berbeda S SqBp (pernyataan salah)


3. a. konvers – invers q~p kontraposisi q~p

p~q b. konvers – invers ~qp~qp c. invers – invers

pqppqp

4. a. invers – konvers – invers ~q~p konvers ~q~p

~p~q b. kontraposisi – invers

~pq konvers ~pq q~p

c. kontrposisi – konvers p~q invers p~q

~pq

5. a. negasi invers q~p~~qp qp~

~q~p b. negasi konvers ~pq~q~p

pq~ pq

c. negasi kontraposisi p~q~q~p

pq~ ~p~q

A.

1. A.

pqp

q

2. A.

rqqp

~rrp

~p

3. B.

~rrqqp

~p

4. C.

pqp

q

5. B.

rs~rq~qp

~sp

6. D.

prqqp

r

7. A.

~qqp

~p

8. C.Sqp Sqr

B S B SS B

Ssrs~r B S

Oleh karena s bernilai salah S , maka rbernilai benar, q bernilai salah, dan pbernilai benar.

9. E.p bernilai salah Sq bernilai benar BYang bernilai salah : pq

~s~r~rq~

~qp

L K S 6


10. C rq~p benar B , jika

BBB Karena ~p benar maka p salah, q benardan r benar.

B.

1. a.p q qp qpp B B B BB S B BS B B BS S S B

b.p q qp qp qpqp B B B B BB S S S BS B S S BS S S B B

c.p q ~q~p qp~ qp~~q~p B B S S BB S B B BS B B B BS S B B B

d.p q qp ~pqp q~pqp B B B S BB S B S BS B B B BS S B S B

2. a.

sahb.

tidak sahc.

tidak sah

d.

dari kedua kesimpulan diatas, jika digabungmenjadi :

~pr~p

r ( seharusnya ~r ) tidak sahe.

sahf.

sah

3. a.p q qp ~qqp p~qqp B B B B BB S B B BS B B B SS S S B S

Argumentasi tidak sahb.

p q qp ~pqp q~pqp

B B B S BB S B S BS B B B BS S S S B

Argumentasi sah

rpqp

~p~rrp

qrqp

pr

~rrp

q~p~p

~pq

q

( karena q~pqp )

trr~p

~p~qt~p

tqt~q

( karena r~prp )

( karena ~p~qqp )

~rqqp

~t~r~rp

~tp ( karena ~t~rrt )

( karena ~rq~r~q )

~qq~p

~rqqp

~p ~pr~rp


c.p q r s qp rq sr p~q srrqqp p~qsrrqqp

B B B B B B B B B BB B B S B B S B S BB B S B B S B B S BB B S S B S B B S BB S B B S B B B S BB S B S S B S B S BB S S B S B B B S BB S S S S B B B S BS B B B B B B B B BS B B S B B S B S BS B S B B S B B S BS B S S B S B B S BS S B B B B B S B SS S B S B B S S S BS S S B B B B S B SS S S S B B B S B S

Argumentasi tidak sahd.

p q r t qp tr pr tq prtrqp tqprtrqp

B B B B B B B B B BB B B S B B S B B BB B S B B B B B B BB B S S B S B B S BB S B B S B B B S BB S B S S B S S S BB S S B S B B B S BB S S S S S B S S BS B B B B B B B S BS B B S B B S B S BS B S B B B B B B BS B S S B S B B S BS S B B B B B B S BS S B S B B S S S BS S S B B B B B B BS S S S B S B B S B

Argumentasi sah


1. a. 3: xp9: 2 xq

harus dibuktikan qp benar3x

22 3x92 x ( terbukti )

b. np : bilangan real

nnq 2:harus dibuktikan qpRn , benar

2n22 2n

42 nnn 2 ( terbukti )

c. xp : bilangan real

xxq 22 cossin1: harus dibuktikan qpRx , benarambil sembarang Rx

xxxx 2222 sincossinsin1 x2cos ( terbukti )

d. xp : bilangan real0sin1: xq

harus dibuktikan qpRx , benarambil sembarang Rxkarena 1sin1 x maka

011sin1 x ( terbukti )e. ap : genap

2: ap genapharus dibuktikan qpZa , benarambil sembarang Za yang genap

Znna ,2

22 2na 222 n

222 n ( terbukti )f. harus dibuktikan

152152 33 benar

g. ...747474: p

:q suku ke-n -nya adalah n15,55,1 harus dibuktikan qpNn , benarambil sembarang Nn

...747474 artinya suku ke- 4n atau 7 ( p benar)

akan dibuktikan 415,55,1 natau

7 , karena jika q benar makaqp benar

415,55,1 n untuk n ganjil41.5,55,1 45,55,1 44 (benar)

715,55,1 n untuk n genap71.5,55,1 75,55,1

77 (benar)( terbukti )

2. a. 2: np genapnq : genap

akan dibuktikan qpZn , benardengan cara membutuhkan ~p~q benar

n~q : ganjil2: n~p ganjil

ambil sembarang nZaan ,12

22 12 an144 2 aa

144 2 aa ( terbukti )b. nmp : ganjil

nq : dan m keduanya ganjilakan dibuktikan qpZmn ,,benardengan cara membuktikan ~p~q benar

n~q : dan m keduanya genapnm~p : genap

ambil sembarang Zmn ,an 2 dan Zbabm ,,2

banm 2.2 ab22 ( terbukti )

L K S 7


c. :a dua garis n dan m sejajar, dipotongoleh garis ketiga yaitu p

:b sudut – sudut dalam bersebrangansama besar

akan dibuktikan ba benar dengancara membuktikan ~a~b benar

:~b sudut – sudut dalam berseberangantidak sama besar

:~a dua garis n dan m sejajar, tidakdipotong oleh garis ketiga yaitu p

andaikan ~a~b benar~a salah maka ~b harus salahJadi, sudut dalam beseberangan harussama besar

12 180 AA

1180 B (sehadap)

4B

43 180 AA

4180 B (sehadap)

1B ( terbukti )

3. a. abp : genapaq : atau b genap

akan dibuktikan~q~pZba ,, benar~p~qZba ,, benar

a~q dan b ganjilab~q ganjil

ambil sembarang Zba ,Znmnbna ,,12,12

1212 mnab 1224 mnnm ( terbukti )

b. 0.: bap0: aq atau 0b

akan dibuktikan qpRba ,, benardengan ~p~qRba ,, benar

0: a~q dan 0b ganjil0.: ba~p ganjil

ambil sembarang Rba ,0a dan 0b

ba. 0b 0b0a 0ab 0ab0a 0ab 0ab

dari table dapat dilihat bahwa 0ab( terbukti )

c. cbap ,,: bilangan asli berturut – turutdengan cba

333: bacq akan dibuktikan

qpNcba ,,, benar qpN~cbaqpNcba~ ,,,,, q~pN~cba ,,

~qpNcba ,,,akan dibuktikan ~qp benarambil sembarang Ncba ,, , dengan

cba 1ab

21 abc ( p benar)333: bac~q

333 12 aaa 1338126 23323 aaaaaaa

13328126 3323 aaaaaa( terbukti )

1. 121...4321 nnn

1111.2111 Pni

1P benar

kkPknii ...4321

121 kk

(asumsikan kP benar)

11 kPkniii

21211...321 kkkk

212111

21 kkkkk

212121

21 kkkk

( terbukti )

/

L K S 8


2. 12123112...531 2222 nnnn

112121.31

11 Pni

1P (benar)

222 12...531 kkPknii

121231 kkk

(asumsikan kP benar) 11 kPkniii

1121121312112212...252321 kkkkk

321213

1142412123

1

kkkkkkkk

3212131121231212

31 kkkkkkkk

3212131362212

31

kkkkkkk

3212131352212

31

kkkkkk

321213132112

31 kkkkkk

321213132121

31 kkkkkk

( terbukti )

3. 2233333 241

...4321 nnn

1111.41

11 22 Pni

1P (benar)

223333 141

...324 kkkkPknii


2233333 11141

1...321 kkkk

22322 2141

1141

kkkkk

2222 2141

2141

kkkk

( terbukti )

4. 122...8421 1 nn

11211 1 Pni1P (benar)

122...421 1 kkkPknii(asumsikan kP benar)

11 kPkniii

1222...421 11 kkk

12212 1 kkk

1212.2 1 kk

1212 11 kk

( terbukti )

5. 111

...32

121

1

n

nnn

21

121

111

11

Pni

1P (benar)

11

...3.2

12.1

1

kk

kPknii

1

kk


111

111

11

...3.2

12.1

1

kk

kkkk

21

211

1

k

kkkk

k

2

12111

kk

kkkk

21

21

kk

kk

( terbukti )

6. 121212

1...5.3

13.1

1

nn

nn

3.1

131

11.2111

Pni

1P (benar)

121212

1...

5.31

3.11

kk

kkkPknii

(asumsikan kP benar) 32

1

3212

1

1212

1...

5.3

1

3.1

111

k

k

kkkkkPkn

32

1

3212

1

12

k

k

kkk

k

32

1

3212

132 2

k

k

kk

kk

32

1

3212

112

k

k

kk

kk

32

1

32

1

k

k

k

k

( terbukti )

7. 1,011 2 nPnPP

PPPni .11111 2

PP 11 2

1P (benar)

kPkkPknii 11 2

(asumsikan kP (benar)

PkkkPkniii 111111 2

PkPk 12 2

( terbukti )


8. yxyx akan dibuktikan

nn PPPPPP ...... 2121

1111 PPPni

1P benar kPPPkPPPkPknii ...21...21

(asumsikan kP benar) 1...211...2111 kPkPPPkPkPPPkPkniii

oleh karena ,yxyx maka berlaku

1...211...21 kPkPPPkPPP

1...21 kPkPPP

( terbukti )

9. nn 33 131.311 Pni

331P benar

kkkPknii 33 (asumsikan kP benar)

131311 kkkPkniiikk 3.333

Berdasarkan kPkkk 3.33333 kk 3.333

( terbukti )

10. nn nn 2.112....2.32.21 121

12.11111 1 Pni1P benar

kk kkkPknii 2.112....2.32.21 121

kP benar 111 2.12..12....2.2111 kkk kkkkPkniii

kkk kkk 2.212.12.11

kk kkk 2.212111

kk kk 2.212.21

( terbukti )

1. B. qp

2. D. ada ikan yang bernapas idak denganinsangxp ikan bernapas dengan insang

x~pxxpx~ ,, ada ikan yang bernapas dengan insang

3. B. semua sarjana berumur tidak kurang dari22 tahun:xp sarjana berumur kurang dari

22 tahun x~pxxpx~ ,,

semua sarjana berumur tidak kurang dari22 tahun

4. D. biimplikasi

5. A. 111 bukan bilangan prima

6. A. beberapa bilangan pecahan merupakanbilangan bulat:xp bilangan pecahan merupakan

bilangan bulat x~px~xpx~~ ,,

xpx,

7. C. pq ~qpq~p~

~q~p pq

8. C. ~p~q ~p~q~pq

9. E. qp ~q~pqp~qpq~p

pqqp qp

10. E. 012 xRx1x

0111 22 x

U K A B 1


11. B. r~p p q r A ~rp r~p r~p r~p p~r

B B B B S B S B SB B S B B B S S BB S B S S B S B SB S S S B B S S BS B B B B B B B SS B S S B S S B SS S B S B B B B SS S S S B S S B S

rqqpA :p q r qp rq B B B B BB B S B SB S B S SB S S S SS B B S BS B S S SS S B S SS S S S S

12. C. pq bernilai benarp q p~q pq B B B BB S B BS B S SS S B B

13. A. 04Real 2 xx

14. B. semua perampok tidak memakaiPistol

15. E. qr~qp

16. B. pq~pqp

~r~p~rq

pr

17. C. p~q p q q~p q~p p~q qp qp

B S S S B S S

18. B. pq p q ~qpB B SB S BS B SS S S

~qp benar jikap (benar) dan q (salah)

19. A. qp p q qp qqp B B B BB S B SS B B BS S S B

qqp salah jika Bp dan Sq

20. B. 11 x2:p bilangan prima genap

1: 2 xqqp salah jika Bp dan Sq

q salah 12 x012 x11 x

21. B. 11 x~q~p salah jika B~p dan S~q ,

dengan kata lain B~q012 x11 x

22. C. Rini gadis jelek atau pandai q~p~qp~

23. B. ada bilangan real yang kuadratnyanegatif 0,0, 22 xRxxRx~

24. B. burung tidak berkicau dan hari msukPagi ~qp~~q~p~

q~p

25. E. 1x atau 4xqp salah jika Sp Bq atau

Bp SqSq jika 0432 xx

041 xx


1x atau 4x

B.

1. a.p q qp qpp B B B BB S S BS B S SS S S S

qppp b.

p q qp qpp B B B BB S B BS B B SS S S S

qppp c.

p q qp q~p ~qp AB B B B B BB S S S B SS B S B S SS S B B B B ~qpq~pA :

~qpq~pqp d.

p q qp ~p~q B B B BB S S SS B B BS S B B

~p~qqp

2. akan dibuktikan 5 merupakan bilangan

irasional. Andaikan 5 merupakanbilangan rasional.

,5qp

Zqp ,

qp 5

22 5qp 52

2

qp

Faktor dari 5 adalah 1 dan 5 dan tidak adadua bilangan bulat sedemikian sehinggapembagian kedua bilangan itu samadengan 5 .

Jadi, 5 bukan bilangan rasional jadi, 5merupakan bilangan irasional

3. misalkan nnnnp 632: langkah dasar : 111 6321 p (benar)langkah induksi :

kp : benar kkk 632 111 632,1:1 nnnNnnp

kesimpulanakan dibuktikan 1np benar

kkkk 3.32.232 11

kk 3.2.3.2kk 3.2.6

k6.616 k ( terbukti )

Jadi, nnn 632 ( terbukti )

4. a. 04: 2 xp1553: q

qp benar, q benar maka p harusbenar

042 x22 x

b. 06: 2 xxp42: 3 q

qp salah, q salah maka p harusbenar

062 xx 032 xx

2x atau 3xc. 023: 2 xxp

2464: qqp benar, q salah maka p harus

salah0232 xx

012 xx2x atau 1x

5. a. konvers – invers – kontraposisi dari ~qpqp~qpqp

b. invers – konvers – kontraposisi dari ~pq~p~pq~p

BAB 1 Logika matematika

Documents

Transcript of BAB 1 Logika matematika