44

BAB 5

TEORI INTEGRAL

Konsep Integral Tak Tentu

Definisi:

Misalkan fungsi f(x) terdefinisi pada selang terbuka I dan fungsi F(x) adalah suatu anti turunan dari

fungsii f(x) pada I. Proses untuk menentukan anti diferensial dari fungsi f(x) pada selang I dinamakan

integral tak tentu dari fungsi f(x) pada selang I, ditulis dengan lambang:

dan dibaca integral tak tentu dari fungsi f(x) terhadap peubah x.

Ilustrasi:

Rumus-rumus integral tak tentu:

A. Rumus Teknis

Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar:

Rumus integral tak tentu yang berkaitan dengan fungsi trigonometri:

45

B. Rumus Dasar

C. Rumus Itegral dengan Penggantian (Substitusi)

Misalkan fungsi y = g(x) terdiferensialkan pada Dg dan , I suatu selang. Jika fungsi

y = f(x) terdiferensialkan pd I sehingga F’(x) = f(x), maka dengan penggantian u = g(x) diperoleh;

D. Rumus Integral Parsial

Jika fungsi u(x) dan v(x) terdiferensialkan pada selang terbuka I, maka:

SOAL LATIHAN.

INTEGRAL TENTU

Integral tentu akan didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann yang konstruksinya didasarkan konsep

luas daerah di bidang datar.

Daerah ini dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f(x) pada selang [a,b], f(x) 0 pada [a,b], garis x = a,

garis x = b dan sumbu X . Untuk menghitung luas daerah dengan proses limit jumlah Riemann

diperlukan konsep tentang penjumlahan berhingga serta berbagai sifatnya.

Definisi:

Jumlah berhingga bilangan n real

Teorema:

Jika

46

LUAS DAERAH DI BIDANG DATAR

Y

f(x)

D

. . . f(c

0 a=xo x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b X

c1 c2 ci cn

Langkah konstruksi dari perhitungan luas daerah D pada gambar di atas dengan proses limit jumlah

Riemann dalah sebagai berikut:

1. Selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang sehingga diperoleh titik

pembagian:

47

Selang bagian ke-i dari partisi adalah dan panjang selang bagiannya :

2. Pilihlah

3. Buatlah persegi panjang dengan ukkuran:

Perhatikan gambar di atas yang memperlihatkan daerah D yg luasnya dihampiri oleh n buah

persegi panjang dengan luas persegi panjang ke-I adalah:

4. Luas daerah D dihampiri oleh jumlah luas n buah persegi panjang pada gambar di atas yaitu:

5. Nilai eksak luas daerah D tercapai bila . Karena pembagian selang [a,b] dibuat sama

panjang,maka

sama artinya dengan

Perhatikan bentuk limit jumlah Riemann:

Jika limit ini ada, maka fungsi f(x) ini dikatakan terintegralkan Riemann pada [a,b] dan ditulis:

Definisi Integral Tentu

Integral tentu dari fungsi f(x) pada selang tertutup [a,b] ditulis dengan lambang

dan didefinisikan sebagi

Jika fungsi f(x) dan g(x) terintegralkan Riemann pada selang [a,b], maka fungsi f(x) + g(x) dan cf(x), c

konstanta real juga terintegralkan Riemann pada [a,b] dan

48

INTEGRAL TENTU

Jika f(x) kontinu dalam interval dan jika F(x) adalah integral tak tentu dari f(x), maka:

CONTOH SOAL

1. Dengan menggunakan limit jumlah Riemann , hitunglah:

a. Luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh parabol ,

garis x = 1 dan sumbu X .

b. Luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh grafik fungsi ,

garis x = 1, garis x = 2 dan sumbu X

c. Luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh grafik fungsi dan garis y = x+2

2. Luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh grafik fungsi

a. , garis x = 4 dan sumbu x

b. ,garis x = – 2, garis x = 2 dan garis y = – x

c.

d.

e.

f.