Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda
-
Upload
afrinal-pilly -
Category
Documents
-
view
552 -
download
3
Transcript of Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 1/14
REGRESI DAN KORELASI
BERGANDA
3.1. PENDAHULUAN
Metode ini merupakan perluasan dari metode regresi sederhana. Tujuan dari mempelajari
regresi dan korelasi berganda (Multiple Regression and Correlation) adalah untuk mencari
hubungan antara variabel dependen Y dengan dua atau lebih variabel independen (Xl; X2
;
... ; X,).
3.2. PERSAMAAN GARIS LINEAR REGRESI
Untuk garis linear terhadap rata-rata Y terhadap Xl; X; ...;XII dari populasi dijabarkan
dalam persamaan garis linear regresi berganda :
dan penduga garis regresi rata-rata Y terhadap beberapa X variabel bebas, dapat diduga
dengan garis regresi sampel seperti dalam persamaan sebagai berikut :
60
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 2/14
3.3. COEFFIC IENTS E ST IMATE
Untuk mencari nilai-nilai a, b., dan b, dalam linear regresi berganda untuk dua variabel
independen X I dan X2
, dapat kita gunakan kuadrat minimum (by least squares). Karena
persamaan garis regresi berganda seperti di atas, tidaklah sesederhana itu. Setiap observasi
dari beberapa variabel selalu mengandung random error atau selisih antara nilai observasi
dengan nilai penduganya. Atau dengan kata lain, dengan model kuadrat minimum, kitaduga
nilai a, b., dan b, dengan meminimumkan nilai :
n n /I
SSE = Ie 2 = I(Y - YY~I
1=1 1=1
Lalu kita substitusikan nilai ~ ke dalam persamaan di atas, menjadi :
nSSE = I( - a - b X - b X ) 2
1= 1 I 1 11 1 21
Pada keadaan ekstrim - dimana kondisi minimum adalah salah satu keadaannya -
turunan pertama dari SSE berturut-turut terhadap a, b., dan b, bemilai nol. sehingga diperoleh
tiga persamaan berikut:
~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~nIY = nai=1 1
n
+ b I X Ii=1 1
n+ bI X
2i=1 I
n n n
IX I Y = a I X I + b l IX \i=l 1 1 i=l 1 i=l 1
Dari tiga persamaan di atas, bisa kita mencari nilai b, dan br
Untuk nilai a bisa dicari dengan rumus :
a=y-bx-bx
61
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 3/14
Tabel 3.1. Data dari IRS Auditing Records selama 10 bulan terakhir
Contoh 3.1. :
Internal Revenue Service meneoba menduga pajak aktual yang tertunda setiap bulan dari
divisi auditingnya. Diduga dua faktor yang mempengaruhi adalah jumlah jam kerja pegawai
dan jumlah jam kerja mesin (komputer). Untuk menganalisis seberapa besar kedua faktor
tersebut mempengaruhi besamya pajak aktual yang tertunda (yang tidak dibayar) setiap bulan.
dieatat pajak setiap variabel selama 10 bulan. Hasilnya terlampir pada Tabel 3.1.
X l X2
Y(Rp. 10(0)
Bulan Jam kerja Pegawai Komputer Pajak Aktual(jam) yang tidak dibayar
Januari 45 16 29Februari 42 14 24
Maret 44 15 27
April 45 13 25
Mei 43 13 26
Juni 46 14 28
Juli 44 16 30
Agustus 45 16 28
September 44 15 28
Oktober 43 15 27
Penyelesaian :
1) Kita susun Tabel 3.1. berdasarkan kuadrat minimum dengan n = 10 seperti pada
Tabe13.2.
62
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 4/14
Tabel 32. Hasil kesesuaian kuadrat minimum dengan n = 10
Y Xl X2 XlV X
2Y X
1Y2
Xl y2 y21 1
(1) (2) (3) (2)x(1) (3)x(l) (2)x(3) (2)2 (3)2 (1)2
29 45 16 1.305 464 720 2.025 256 841
24 42 14 1.008 336 588 1.764 196 576
27 44 15 1.188 405 660 1.936 225 729
25 45 13 1.125 325 585 2.025 169 625
26 43 13 1.118 338 559 1.849 169 676
28 46 14 1.288 392 644 2.116 196 784
30 44 16 1.320 480 704 1.936 256 900
28 45 16 1.260 448 720 2.025 256 784
28 44 15 1.232 420 660 1.936 225 784
27 43 15 1.161 405 645 1.849 225 729
272 441 147 12.005 4.013 6.485 19.461 2.173 7.483
-X = 27,2
-
XI = 44,1-X , = 14,7
1) Dalam 3 persamaan norm al :272 = 10 a + 441 b, + 147 b,
12.005 = 441 a + 19.461 b. + 6.485 b2
4.013 = 147 a + 6.485 b, + 2.173 b,
.................(1)
.................(2)
................. (3)
2) Menghilangkan nilai a dengan menjumlahkan persamaan (1) dengan
(2). Persamaan (1) x -441 dan persamaan (2) x 10 :
(1) x (-441) : -119.952 = -4410 a - 194.481 b, - 64.827 b,
(2) x ( 10 ) 120.050 = 4410 a + 194.610 bl + 64.850 b2
(4) 98 = 129 bl+ 23 bz
3) Persamaan (1) kalikan dengan -147 dan persamaan (3) dengan 10. Jum1ahkan persamaan
(1) dan (3) :
(1) x (-147)
(3) x ( 10 )
: -39.984 = -1470 a - 64.827 b. - 21.609 b,
40.130 = 1470 a + 64.850 b, + 21.730 b,
(5) 146 =
63
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 5/14
4) Kalikan persamaan (4) dengan -23 dan (5) dengan 129. Jumlahkan
(4) dan (5) untuk menduga nilai b :
(4) x (-23) - 2.254 = - 2.967 b,
(5) X (129) 18.834 = 2.967 b. +
(6) 16.580 = 15.080 bl
Maka, b, = 1,099
5) Cari nilai penduga b, dari persamaan (4) :
(4) : 98 = 129 b. + 23 bI
98 = 129 b, + (23) (1,099)
98 = 129 b, + 25,277
Maka, b2
= 0,564
7) Cari nilai a dari persamaan :- - -
a = Y - b.X. - blX
2
= 27,2 - (0,564) (44.1) - (1,099) (14,7)
= 27,2 - (24,8724) - (16,1553)
= -13,8277 -13,828
Maka, persamaan garis regresi berganda :A
Y = a + b. XI+ b, X
2
= -13.828 + 0,564 X, + 1.099h
8) Jika Xl = 43 (4300 jam pegawai)
Jika X2= 16 (1600) jam dari waktu komputerA
Maka : Y = -13.828 + 0,564 XI + 1,099 X c
= -13,828 + (0,564)(43) + (1,099) (16)
13.828 + 24,252 + 17584
•p "")~ atau Rp. 28.008
Tiga persamaan linear tersebut sebelup1llyadapat pula disederhanakan. Jika deviasi antara
'1dan Xi dinyatakan sebagai Xl = Xl - Xl atau deviasi antara Y dan Y dinyatakan sebagai
y = Y - y, maka ketiga persamaan linear r!a!'~t rji<'"rjprh'lnakanmenjadi :
64
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 6/14
L X2 = L X2
- n X, , i
L y2 = L y2_ n Y
L yx, = L YXj
- n xSL XjX2 = L XjX2 - n XjX2
I 0 = 0
II L yXj = b. L X\ + b2 L Xj X2
III L yX2 = b, L XjX] + b L X22
dimana :
Maka, berdasarkan contoh 3.1. bisa dicari nilai koefisien korelasi dengan cara lain :
L x \ = L X2j - n x, = 19.461 - (0)(44.1)2 = 12,9
L x C2 = L X\· - n X 2 = 2.173 - (0)04,7)2 = 12.1
L y2 = L Y' - n Y = 7.483 - (10)(27,2)2 = 84,6
L yXj = L YXj - n xS = 12.005 - (10)(44.1)(27,2) = 9,8
L XjX2 = L XjX2 - n X)(2 = 6.485 - (10)(44,1)(14,7) = 2,3
L yX2 = L YX2
- n xS = 4.013 - (10)(14,7)(27,2) = 14,6
Sete1ah itu dimasukkan ke dalam dua persamaan yang telah disederhanakan.
L yXj = b. L x \ + b. L Xj x 2 (1)
L yX2 = b. L XjX2 + b L X22 (2)
Maka:
9,8 = 12,9 b, + 2,3 b2
14.6 = 2,3 b, + 12,1 b,
(1)
(2)
(1) Persmaan pertama kita kalikan dengan 2,3 dan persamaan ketlua kita kalikan dengan
12,9 untuk menghilangkan faktor b.
22,54=
29,67 b. + 5,29 b2
188,34 = 29,67 b, + 156,09 b.
--------------------(-)
165,8 = -150,8 b,
maka nilai b, = 1,099
65
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 7/14
, _
b=L yX2 . L X\ - L yXI . L XIXz
L Xlt . L X l 2 - ( L XtX/
(2) Dengan begitu kita bisa mencari nilai b, dengan mensubstitusikan nilai b, ke dalam salah
satu persamaan di atas.
22,5 = 29,67 b , + 5,29 (1,099)
22,5 = 29,67 b , + 5,81371
maka :bi = 0,564
Atau bisa dicari nilai koefisien regresi dengan rumus sebagai berikut :
L yXI . L x\ - L Y X z . L xhb = --~----=------~
3.4. STANDART DEVIASI GARIS REGRESI BERGANDA
Seperti halnya pada regresi sederhana, kalau sampel memiliki jumlah n yang cukup besar,
pengukuran dispersi titik-titik koordinat dari garis regresi berganda dapat dicari dari :
SSE
n-k-l
dimana : - k = banyaknya parameter dalam model (variabel bebas)
Ingat bahwa untuk model linear sederhana (yang mengandung satu parameter bebas (b),
standard erromya adalah SSE dibagi dengan (n - 1 - 1). Dalam kasus umum S 2 sama dengan
SSE dibagi dengan n, yaitu banyaknya titik data, dikurangi satu derajat kebebasan untuk
setiap parameter yang muncul dalam model
Rumus Menghitung SSE
SSETotal= SS - SSRdimana:n
SSR = l ( y - y)2 = jumlah kuadrat akibat regresi1=1
n [L y FSS = ~ (y _ y)2 = L y 2 _ 1
Total 1=1 1 n
66
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 8/14
n-k-1
Standart deviasi regresi berganda :
Contoh 3.2. :
Untuk data pacta Tabel 3.1. hitung dan taksirlah standard error populasinya.
Penyelesaian :
Dalam contoh 3.1. telah kita peroleh nilai Syx.
=9,8; LY X
2 =14,6 y2
=84,6 ; b,
=0,564
; b, = 1,099 ; n = 10 ; dan m = jurnlah parameter (b} dan b) = 3. Maka bisa kita langsung
menghitung varians sesuai dengan rumus :
S 2 =Lyl - (b}L yx
l) + (b
2L yXz )
n-k-l
84.6 - i(0.564)(9,8) + 0,099)04,6);'
10
84,6 - (5,4978 + 16,0454)
7
S 2 - _
S 2 = 9.0081
Maka, standard error untuk regresi berganda adalah :
s=W
~ = V 9,0081 = 3,001
3.5. K OEFISIEN KORELASI BERGANDA LINEAR
Seperti halnya pada regresi sederhana, koefisien korelasi digunakan untuk melihat tinggi
rendahnya derajat hubungan antara dua atau lebih variabel. Koefisien korelasi dapat dicari
dari koefisien determinasi yang merupakan variasi yang dapat dijelaskan oleh garis regresi
berganda linear. yaitu :
67
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 9/14
J.l = S S R / S S T o ta l
(blI Y X1) + (b, I Y X z )
J.l =I 2
Dari sini bisa kita hitung nilai koefisien korelasi berganda linear sebagai berikut :
Rumus Koefisien Korelasi :
r = ~ S S R / S S T o t . l l
atau:r = ~ (biI yxl) + (b2I Y X z )
Ii
Contoh 3.3. :
Kita lihat kembali kelanjutan dari contoh 3.1. dan 3.2. Carilah koefisien korelasi berganda
lineamya!
Penyelesaian :
(biI yx) + (b2 I y x z >
Iyl
r =5,4978 + 16,0454
84,6= 0,2546
Maka:
r = Pi,2546 = 0,5046
3.5. PENDUGA PARAMETER KOEFISIEN REGRESI BERGANDA
Pendugaan parameter koefisien regresi berganda BI dan B2 membutuhkan hasil ukuran
kesalahan duga standard bagi penduga bldan b
z. Kesalahan duga standard demikian dapat
diartikan sebagai :
s1. s I = ~===;;:=-r:=:==;r====-
b ~I x21 ~(l - r\ (X2)
s2. s 0 = ~::::::r---;:;:=i==:::::;:=;::::::::C=c
1 Y ' ~ ~(1 - r2x J (X2) )
68
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 10/14
'XC' XC~ 1 ~ 1
dimana:
"Xj(X1) = koefisien korelasi antara X, dan X2
IXI ~)2
=
masing-masing dengan derajat bebas (n - k - 1). Maka, interval keyakinan bagi pendugaan
parameter B , di atas dapat diberikan sebagai :
Contoh 3.4.:
Dugalah parameter B. dan Bc dalam contoh data Tabel 3.2. dengan interval keyakinan
0.95. .
Dati hasil pernitungan contoh-contoh yang lalu, kita peroleh :
n = 10 Ixll = 12.9 Ix\ = 12.1
IXI x2 = 2.3 r = 0.5046 s = 3.001
Penyelesaian :
Terlebih dahulu kita cari koefisien korelasi antara XI dan xl"
I(xi x)"
(2.3)2 5.29= - - - - = - - - - = 0,0334
(21.9)(12,1) 156.09
Kemudian kita carl masing-masing kesalahan untuk penduga b. dan b,
S
3.001
Shl = ------;==--;::=====-i 1 2 9 \j(l-0.00112)
0.836
dan:
69
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 11/14
3,001Sb2 = -;::=::=---;::::==== = 0.863
~ '\j(l - 0,00112)
Interval keyakinan bagi penduga BI adalah :
b. - t (et/2Jl-k-I)' Sbi < BI < b, + t(et/2Jl-k-l) . Sbi
0,564 - (2,365)(0,836) < B, < 0,564 + (2,365)(0,836)
- 141314 < B, < 2,54114
Interval keyakinan bagi penduga B 2 adalah :
b, - t(et/1Jl-k-l) ,Sbl < B2 < b, + t(et/2Jl-k-I)' Sb2
1,099 - (2,365)(0,863) < Be < 1,099 + (2,365)(0,863)
- 0,9419 < BI < 3,1399
3.6. PENGUJIAN PARAMETER KOEFISIEN REGRESI
BERGANDA
Umumnya, untuk menguji koefisien regresi berganda populasi digunakan dengan statistik
uji t :
t=----
b-BI I
dengan deraiat bebas sebesar n - k - 1 .
Contoh 3.5. :
Cobalah uji secara 2 arab parameter B) dan B 2 dengan menggunakan taraf nyata sebesar
a = 0,05 dari hasil data Tabel 3.2. Proses pengujian parameter B) dan B2 dapat dilakukan
dengan bertahap ataupun langsung.
Penyelesaian :Pertama kita tentukan dulu bentuk uji hipotesisnya :
1. Ho: BI = 0 HI : B) t: . 0
dan
H : B, = 0_ H : B, t:.0I "
2. (J. = 0,05
70
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 12/14
0,564
3.b, - B,
Statistik uji t = dengan derajat bebas = 10-3 = 7
~I
danb, - B,
t = - - dengan dejarat bebas = 10-3 = 7
Sh Z
Daerah kritis ialah :
t > t\O.025:7)
atau
> 2,365 dan t < -2,365
4. Maka untuk uji B"tn = - - - = 0,6746~ "lu mg
0,836
1,099
5. Maka untuk uji B" t = - - - = 1.2735• _ rutting
0,803
Karena 0,6746 dan 1,2735 < 2,365, maka kita harusmenerima hipotesis nol Ho : Bl = °maupun H : B, = 0. Hal tersebut berarti bahwa tidak ada hubungan berganda linear antara_
variabel x, dan X l"
Demikianlah pembahasan mengenai regresi berganda linear dengan 2 variabel bebas.
Untuk lebih dari 2 variabel bebas, perhitungannya lebih kompleks, sehingga lebih dianjurkan
untuk menggunakan paket-paket program statistik
71
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 13/14
LATIHAN SOAL
1. Apa yang dimaksud dengan regresi ?
2. Apa yang saudara ketahui tentang korelasi ?3. Apakah perbedaan antara regresi sederhana dan regresi berganda?
4. Perhatikan data di bawah ini :
y X l X2
25 3.5 5.0
30 6.7 4.2
11 1.5 8.5
22 0,3 1,4
27 4.6 3.6
19 2.0 1.3
a. Carilah persamaan garis regresi
b. Dugalah nilai Y bila X, = 3.0 dan nilai X l = 2,7
4. Direktur pemasaran minuman dingin SHYCOLA ingin mengetahui apakah ada hubungan
antara VOLUME PENJUALAN per tahun (Y) dalam jutaan ribu rupiah, dengan dua
variabel bebas, yaitu HARGA PENY ALUR (Xl) dalam ratusan rupiah, dan
PENDAPATAN PER KAPITA (~) dalam ribuan rupiah. Perkiraan direktur tersebut
adalah Xl mempunyai hubungan negatif dengan Y sedangkan X l mempunyai hubungan
yang positif dengan Y. Dari 20 wilayah pemasaran diperoleh data statistik sebagai
berikut :
Iy = 721 Ix, = 1356
Iyl = 948.95 IX\ = 3643.2
IXl = 64,15 Ix, X2
= -136,67
I,X2] = 15.4976374 Ix, Y = -86,307498
Ix, Y = 1710.2
a. Berdasarkan data statistik di atas, ujilah perkiraan direktur di atas (lakukan t-test)
pada level of significance 1%. Tentukan persamaan regresinya. Kemudian interpretasi
saudara terhadap koefisien regresi tersebut.
b. Tentukan berapa besar variasi Y yang dapat diterangkan oleh persamaan regresi.
Tentukan dan interpretasikan koefisien detenninasi.
c. Dengan menggunakan garis regresi yang telah saudara peroleh, tentukan prediksirata-
rata Y pada saat X, = 3.6 (Rp 3(0) dan X, = 100 (Rp 100.000).
72
5/11/2018 Bab3-Regresi Dan Korelasi Berganda - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab3-regresi-dan-korelasi-berganda-55a0cab4add34 14/14
b . d. -1
MULTIPLE CHOICE
1. Variabel Y akan bebas bila Xl dan Xc bemilai masing-masing adalah :
a. 0 c . 0: 1
2. Bila ada 20 elemen dalam sampel dan 4 variabel bebas digunakan dalam regresi berganda,
sebaiknya digunakan derajat bebas untuk mencari nilai t table :
a. 16 c . 15
b. 17 d. tidak ada yang benar
3. Untuk menguji bahwa Y benar-benar tergantung pada hasil Xl' maka uji hipotesis yang
paling tepat digunakan :
a. B2 = 0
b. B,=-1
C. B2 = 1
d. tidak ada yang benar
4.A
Pada persamaan Y = 5,6 + 2,8 Xl - 3,9 x, + 5,6 X3, kalau Xl' x, dan X3 adalah nol,
maka penduga nilai Y adalah :
a. 10.1 c . - 5,6
b. 5,6 d. - 10,1
5. Penduga standard error mempunyai derajat bebas n - k - 1.
Disini k menunjukkan :
a. jumlah elemen dalam sampel
b. jumlah variabel independen
c. Titik tengah dari variabel dependen
d. tidak ada satupun yang benar
A
6. Persamaan garis regresi berganda Y = a + b , XI + b, X2digunakan untuk menduga Y
= A + BI XI + Bc X2
' interval keyakinan untuk B adalah :
a. BI - tsbl : B , + tsbl
b. BI - t,. : BI + t,e
c. bl - tSbl : b, + t"bl
d. b , - t,e : b. + t,e
7. Dari suatu data diperoleh nilai-nilai sebagai berikut :
Y = 10 XI = 23 X, = 12,6 b, = 0.4 b, = -1.5
Maka persamaan garis regresi berganda yang dapat dibentuk :A A
a. Y = 10 * 0,4 Xl + 1.5 Xc c . Y = 10 + 0,4 XI - 1.5 X2
b. Y = 19,7+ 04 XI + 1.5 X2
b. Y = 19,7+ 04 Xl - 1.5 X2
73