BARISAN TAK HINGGAΒ Β· Konvergensi Barisan Monoton Teorema 3 Jika π’1 Qπ’2 Qπ’3 Qβ― Qπ’π...
Transcript of BARISAN TAK HINGGAΒ Β· Konvergensi Barisan Monoton Teorema 3 Jika π’1 Qπ’2 Qπ’3 Qβ― Qπ’π...
Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan
terurut dari bilangan-bilangan real:
π’1, π’2, π’3, β¦
Barisan tak hingga merupakan suatu fungsi dengan domain berupa
himpunan bilangan bulat positif dan range berupa himpunan
bilangan real.
Barisan tak hingga juga dapat dituliskan dalam bentuk π’π π=1+β
atau cukup dengan menuliskan π’π
Representasi dari suatu barisan dapat disajikan sebagai fungsi eksplisit
Perhatikan barisan bilangan ganjil berikut:
1, 3, 5, 7, β¦ , 2π β 1,β¦
Doman dari fungsi tersebut adalah bilangan bulat positif, sehingga suatu
barisan dapat dipandang sebagai suatu daftar dari nilai-nilai fungsi
π π , π π , π π ,β¦ , π π ,β¦
Pandang barisan Fibonacci berikut ini:
1, 1, 2, 3, 5, 8,β¦
Barisan di atas dapat dinyatakan secara rekursif dengan,
π’1 = 1, π’2= 1
π’π = π’πβ1 + π’πβ2, π > 2
Tuliskan 5 suku pertama dari barisan berikut:
a)π’π = 3π
b)π’1 = 3, π’π+1= 3(π’π β 1)
Contoh 1
Penyelesaian:
a) Substitusi π = 1, 2, 3, 4, 5 ke dalam rumus 3π menghasilkan barisan berikut
ini,
31, 32, 33, 34, 35
Atau ekivalen dengan
3, 9, 27, 81, 243
π = 1, π’2 = 3 π’1 β 1 = 3 3 β 1 = 6
π = 2, π’3 = 3 π’2 β 1 = 3 6 β 1 = 15
π = 3, π’4 = 3 π’3 β 1 = 3 15 β 1 = 42
π = 4, π’5 = 3 π’4 β 1 = 3 42 β 1 = 123
Penyelesaian:
b) Diketahui nilai awal yaitu π’1 = 3, disubstitusikan )π’π+1= 3(π’π β 1
Jadi, didapatkan barisan 5 suku pertama yaitu:
3,6, 15, 42, 123
Nyatakan barisan berikut ini ke dalam bentuk notasi kurung.
a)1
3,1
9,1
27,1
81, β¦
b)1
2,2
3,3
4,4
5, β¦
Contoh 2
c) 1,1
2,1
4,1
8, β¦
d) 2, 4, 6, 8,β¦
e) -1, 2, -3, 4, β¦
Penyelesaian:
Konvergensi Barisan
Jika π semakin bertambah besar, maka masing-masing barisan tersebut akan menuju ke suatu nilai
tertentu atau berosilasi di sekitar nilai tertentu.
π + 1 π=1+β
1
π π=1
+β
β1 π+1π=1+β π
π + 1 π=1
+β
a)b)
c)d)
1 + β1
2
π
π=1
+β
e)
Definisi 1 Konvergensi Barisan
Suatu barisan π’π dikatakan konvergen ke limit π³, ditulis sebagai
limπβ+β
π’π = πΏ
jika dan hanya jika untuk sebarang π > 0, terdapat suatu bilangan bulat positif πsedemikian hingga
π’π β πΏ < π untuk π β₯ π.
Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu limit berhingga disebut barisan divergen.
Berdasarkan Definisi 1 di atas, dapat ditunjukkan bahwa
limπβ+β
1
π π=1
+β= 0 dan lim
πβ+β
π
π+1 π=1
+β= 1
a) limπβ+β
π = π
b) limπβ+β
π π’π = π limπβ+β
π’π = π πΏ1
c) limπβ+β
π’π Β± π¦π = limπβ+β
π’π Β± limπβ+β
π¦π = πΏ1 Β± πΏ2
d) limπβ+β
π’π π¦π = limπβ+β
π’π . limπβ+β
π¦π = πΏ1πΏ2
e) limπβ+β
π’π
π¦π=
limπβ+β
π’π
limπβ+β
π¦π=
πΏ1
πΏ2, jika πΏ2 β 0
Teorema 1
Jika diberikan barisan π’π dan π¦π masing-masing konvergen ke L1 dan L2, dan π
adalah suatu konstanta, maka berlaku:
Contoh 3
Tentukan apakah barisan-barisan berikut ini konvergen atau divergen. Jika konvergen,
dapatkan limitnya.
a) (β1)π+1π
3π+1 π=1
+β
b) 1 +1
π
π
π=1
+β
c)π
ππ π=1
+β
d) π π π=1+β
e)π2
2πβ1 π=1
+β
Penyelesaian:
a) β1 π+1π
3π + 1 π=1
+β
β1 π+1 β1, π πππππ1, π ππππππ
limπβ+β
π
3π + 1= lim
πβ+β
π π
3 π π + 1 π= lim
πβ+β
1
3 +1π
=lim
πβ+β1
limπβ+β
3 +1π
=Limπβ+β
1
limπβ+β
3 + limπβ+β
1π
=1
3 + 0=
1
3
suku-suku bernomor ganjil pada barisan ini dekat ke1
3
suku-suku bernomor genap dekat ke β1
3
barisan ini tidak mempunyai nilai limit, sehingga dapat disimpulkan bahwa barisan
ini divergen
Penyelesaian:
b) 1 +1
π
π
π=1
+β
Definisi dari bilangan π adalah π = limπ₯β+β
1 +1
π₯
π₯
Sehingga, dapat disimpulkan bahwa untuk π₯ bilangan bulat positif, π₯ = π,
diperoleh
limπβ+β
1 +1
π
π
= π
Jadi,barisan tersebut konvergen ke π
Penyelesaian:
c) π
ππ π=1
+β
limπβ+β
π
ππmempunyai bentuk tak tentu bertipe
β
β.
aturan LβHΓ΄pital
limπ₯β+β
π₯
ππ₯= lim
π₯β+β
1
ππ₯= 0
maka limπβ+β
π
ππ= 0
Jadi, barisanπ
ππ π=1
+βkonvergen ke 0
Penyelesaian:
d) π π π=1+β
Dengan menerapkan aturan LβHopital, diperoleh
limπβ+β
π π = limπβ+β
π1/π = limπβ+β
π1π ln π
= π0 = 1
Dengan demikian, barisan π π π=1+β kovergen ke 1.
e)π2
2π β 1π=1
+βDengan menggunakan aturan LβHopital, diperoleh
limπ₯β+β
π2
2π β 1= lim
π₯β+β
2π
(ln 2)2π= lim
π₯β+β
2
(ln 2)22π= 0
Jadi, barisan tersebut konvergen ke 0.
Teorema 2
Jika π’π dan π§π masing-masing konvergen ke L, dan π’π β€ π¦π β€ π§π
untuk π β₯ πΎ, dengan πΎ adalah suatu bilangan bulat tertentu, maka π¦π
juga konvergen ke πΏ.
Tunjukkan bahwa limπββ
sin3 π
π= 0.
Penyelesaian:
Untuk n β₯ 1,β1
πβ€
sin3 π
πβ€
1
π. Karena lim
πβββ
1
π= 0 dan lim
πββ
1
π= 0, maka
menurut Teorema 2 limπββ
sin3 π
π= 0.
Contoh 4
Definisi 2
Suatu barisan π’π dikatakan
ππππ ππππ π’1 < π’2 < π’3 < β― < π’π < β―
πππ ππ πππππ ππππ π’1 β€ π’2 β€ π’3 β€ β― β€ π’π β€ β―
πππππ ππππ π’1 > π’2 > π’3 > β― > π’π > β―
πππ ππ ππππ ππππ π’1 β₯ π’2 β₯ π’3 β₯ β― β₯ π’π β₯ β―
a)1
3,1
9,1
27,1
81, β¦ ,
1
3π, β¦ adalah barisan turun.
b)1
2,2
3,3
4,4
5, β¦ ,
π
π+1, β¦ adalah barisan naik.
Contoh 5
Barisan Monoton
c) 1,1,1
2,1
2,1
3,1
3, β¦ adalah barisan tidak naik.
d) 1, 1, 2, 2, 3, 3, β¦ adlah barisan tidak turun.
e) 1,β1
2,1
3, β
1
4, β¦ , β1 π+1 1
π, β¦ adalah barisan yang tidak naik dan
tidak turun
Uji Kemonotonan
Klasifikasi Barisan Selisih Dua Suku Berurutan
Naik π’π+1 β π’π > 0
Turun π’π+1 β π’π < 0
Tidak Turun π’π+1 β π’π β₯ 0
Tidak Naik π’π+1 β π’π β€ 0
Tunjukkan bahwa barisan1
2,2
3,3
4,4
5, β¦ ,
π
π+1, β¦ adalah barisan naik.
Penyelesaian:
Contoh 6
dengan mengganti π dengan π + 1, diperoleh
Dengan demikian, untuk π β₯ 1
π’π+1 =(π + 1)
(π + 1) + 1=
π + 1
π + 2
π’π =π
π + 1
π’π+1 β π’π =π + 1
π + 2β
π
π + 1=
(π + 1)2βπ(π + 2)
(π + 1)(π + 2)
=π2 + 2π + 1 β π2 β 2π
(π + 1)(π + 2)=
1
(π + 1)(π + 2)> 0
Karena π’π+1 β π’π > 0, maka terbukti bahwa barisan tersebut naik
Klasifikasi
Barisan
Selisih Dua Suku
Berurutan
Naik π’π+1π’π
> 1
Turun π’π+1π’π
< 1
Tidak Turun π’π+1π’π
β₯ 1
Tidak Naik π’π+1π’π
β€ 1
Secara umum, barisan monoton dengan suku-suku positif dapat
diklasifikasikan sebagai berikut:
Penyelesaian:
π’π+1π’π
=(π + 1)(π + 2)
π/(π + 1)=
π + 1
π + 2
π + 1
π=
π2 + 2π + 1
π2 + 2π
Terlihat bahwa π2 + 2π + 1 > π2 + 2π, sehingga rasio dariπ’π+1
π’π> 1, untuk
π β₯ 1, dengan demikian, terbukti bahwa π’π merupakan barisan monoton
naik.
Contoh 7 π’π =π
π + 1
Konvergensi Barisan Monoton
Teorema 3
Jika π’1 β€ π’2 β€ π’3 β€ β― β€ π’π β€ β― suatu barisan tidak turun, maka terdapat
dua kemungkinan, antara lain:
a) Terdapat konstanta π yang disebut batas atas barisan, sedemikian
hingga π’π β€ π untuk semua π, dan dalam batas ini barisan tersebut
konvergen ke suatu limit πΏ β€ π.
b) Tidak terdapat batas atas, dan dalam kasus ini limπββ
π’π = +β.
Teorema 4
Jika π¦1 β₯ π¦2 β₯ π¦3 β₯ β― β₯ π¦π β₯ β― suatu barisan tidak naik, maka terdapat
dua kemungkinan, antara lain:
a) Terdapat konstanta π, yang disebut batas bawah barisan, sedemikian
hingga π¦π β₯ π untuk semua π, dan dalam batas ini barisan tersebut
konvergen ke suatu limit πΏ β₯ π.
b) Tidak terdapat batas bawah, dan dalam kasus ini limπββ
π’π = ββ.
Latihan Soal
1. Nyatakan barisan-barisan berikut dengan menggunakan notasi π’π π=1+β .
Kemudian tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau tidak. Jika
konvergen, dapatkan limitnya.
a)2
3,4
6,6
9,8
12, β¦
b)1,1
4,1
16,1
64, β¦
c) ,1
53,1
54,1
55,1
56,1
57, β¦
d)4, β5, 6,β7, 8,β9,β¦
e) ln 1 , ln1
4, ln
1
9, ln
1
16, β¦
f)1
π,4
π2,9
π3,16
π4, β¦
2. Tuliskan 10 suku pertama dari masing-masing barisan berikut. Kemudian
tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau tidak. Jika konvergen, dapatkan
limitnya.
a)(π+1)2
3π π=1
+β
b)ln(π+2)
2π π=1
+β
c)sin π/2π
π π=1
+β
d) (β1)π+1cos2
3π π=1
+β
e) π₯2π β 3π π=1+β