0

DINAMIKA SISTEM S-I-R PADA PENYEBARAN PENYAKIT

TUBERCULOSIS DI PROVINSI LAMPUNG PERIODE 2016-2017

(Skripsi)

Oleh

Nurul Rahayu

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

ABSTRACT

DYNAMICAL SYSTEMS OF S-I-R TO TUBERCULOSIS DISEASE

TRANSMISSION IN LAMPUNG PROVINCE PERIOD 2016-2017

By

Nurul Rahayu

Epidemi SIR modelling is a dynamic system that can be found in a various

natural phenomenon, tuberculosis disease transmission for example. In this

research, numerical solution and dynamic stability analysis of Epidemi SIR

modelling of a population in Lampung Province periode 2016-2017 is discussed.

Based on the numerical solution and stability analysis system closed fixed point,

there are three main results. The first one is the new model of TBC, the second is

if , the disease will be an epidemic, and the third if , the disease

won’t be an epidemic.

Keywords: Epidemi SIR modelling, tuberculosis in Lampung Province periode

2016-2017, fixed points, stability.

ABSTRAK

DINAMIKA SISTEM SIR PADA PENYEBARAN PENYAKIT

TUBERCULOSIS DI PROVINSI LAMPUNG PERIODE 2016-2017

Oleh

Nurul Rahayu

Model Epidemi SIR merupakan sebuah sistem dinamik yang dapat ditemui dalam

berbagai kasus pada fenomena alam, misalnya penyebaran penyakit tuberculosis.

Dalam skripsi ini dibahas solusi numerik dan analisis dinamika kestabilan model

Epidemi SIR dari populasi tuberculosis yang ada di Provinsi Lampung pada

periode 2016-2017. Berdasarkan solusi numeric dan analisis kestabilan sisten,

terdapat tiga hasil utama. Pertama adalah model baru dari TBC, yang kedua jika

maka penyakit akan menjadi wabah, dan yang ketiga jika maka

penyakit tidak akan menjadi wabah.

Kata kunci: model Epidemi SIR, Tuberculosis di Provinsi Lampung periode

2016-2017, titik tetap, kestabilan

DINAMIKA SISTEM SIR PADA PENYEBARAN PENYAKIT

TUBERCULOSIS DI PROVINSI LAMPUNG PERIODE 2016-2017

Oleh

Nurul Rahayu

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Nurul Rahayu, anak kedua dari tiga bersaudara yang

dilahirkan di Tanjung Karang pada tanggal 7 November 1997 oleh pasangan

Bapak Wahyudiarto dan Ibu Ema Masliha. Penulis memiliki satu orang kakak

perempuan bernama Oktaria Iswarini dan satu orang adik lelaki bernama Akbar

Triharto Wahyudi.

Penulis menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK Sandhy Putra

Telkom Bandar Lampung pada tahun 2003. Pendidikan sekolah dasar di SD

Negeri 2 Kedamaian pada tahun 2009. Pendidikan sekolah menengah pertama di

SMP Negeri 25 Bandar Lampung pada tahun 2012. Pendidikan sekolah menengah

atas di SMA Negeri 9 Bandar Lampung pada tahun 2015.

Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai

mahasiswi S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung pada tahun 2015 melalui jalur SNMPTN. Pada

periode 2015/2016 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA Himpunan

Mahasiswa Matematika FMIPA Unila. Penulis pernah menjadi anggota biro

kesekretariatan Himpunan Mahasiswa Matematika Tahun 2016 dan 2017.

Sebagai bentuk penerapan ilmu perkuliahan, penulis telah melaksanakan Kerja

Praktik (KP) selama 40 hari di Perum BULOG Divisi Regional Lampung pada

tahun 2018. Dan pada tahun yang sama, sebagai bentuk pengabdian kepada

masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32

hari di Desa Labuhan Ratu IX, Kecamatan Labuhan Ratu, Kabupaten Lampung

Timur.

Kata Inspirasi

“Katakanlah: “Wahai Tuhan yang mempunyai kerajaan, Engkau berikan kerajaan kepada orang yang Engkau kehendaki dan Engkau cabut

kerajaan dari orang yang Engkau kehendaki. Engkau muliakan orang yang Engkau kehendaki dan Engkau hinakan orang yang Engkau kehendaki. Di tangan Engkaulah segala kebajikan. Sesungguhnya

Engkau Maha Kuasa atas segala sesuatu (Quran 3:26)

“Engkau masukkan malam ke dalam siang dan Engkau masukkan siang ke dalam malam. Engkau keluarkan yang hidup dari yang mati, dan

Engkau keluarkan yang mati dari yang hidup. Dan Engkau beri rezeki siapa yang Engkau kehendaki tanpa hisab (batas)”

(Quran 3:27)

“Happiness and sorrow is only just a wind that come and eventually passing by”

(Kang yeseo)

“Someone who can’t clap for his friend’s success, and someone who can’t truly be happy for his friend’s happiness, his heart is already in hell”

(Dream High)

“Be like the flower that gives its fragrance even to the hand that crushes it”

(HR. Ali bin Abi Thalib)

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah Wasyukurillah

Puji dan syukur tiada hentinya kepada Allah Subhanahu Wata’ala atas segala nikmat

dan karunia-Nya, dan suri tauladan Nabi Muhammad Shallallahu ‘Alaihi Wasallam

yang menjadi contoh dan panutan untuk kita semua.

Penulis persembahkan sebuah karya sederhana ini untuk:

Ayahanda Wahyudiarto dan Ibunda Ema Masliha

Terimakasih atas limpahan kasih sayang, pengorbanan, doa, dan seluruh motivasi di

setiap langkah penulis. Karena atas doa dan ridho kalian, Allah memudahkan setiap

perjalanan hidup ini.

Kakak Oktaria Iswarini & Adik Akbar Triharto Wahyudi

Terimakasih telah menjadi pendengar selama penulis mencurahkan keluh kesah dan

mendoakan setiap waktu untuk keberhasilan penulis.

Almamater Tercinta Universitas Lampung

SANWACANA

Alhamdulillahirabbil’alaamiin, puji dan syukur penulis kepada Allah Subhanahu

Wata’ala atas izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Dinamika Sistem S-I-R Pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis Di Provinsi

Lampung Periode 2016-2017”. Shalawat serta salam tak lupa kepada Nabi

Muhammad Shallallahu ‘Alaihi Wasallam yang telah menjadi suri tauladan yang

baik sepanjang masa.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari

bimbingan, bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada

kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc. selaku Dosen Pembimbing I, yang

senantiasa selalu membimbing dan memberikan arahan, ide, kritik, dan

saran serta semangat kepada penulis selama proses pembuatan skripsi ini.

2. Bapak Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Pembimbing II,

yang telah membimbing, memberi masukan, dan mengarahkan penulis

selama proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dra Dorrah Aziz, M.Si. selaku Dosen Pembahas, yang telah

memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis selama

proses penyelesaian skripsi ini.

4. Ibu Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si.. selaku Pembimbing Akademik.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku Sekretaris Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Lampung

7. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

8. Seluruh dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA

yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan

kepada penulis.

9. Ayahanda Wahyudiarto, Ibunda Ema Masliha, Mbak Rini, Kak Rendi,

Adik Akbar, Ezel dan keluarga yang tak pernah berhenti memberi

semangat, doa, dorongan, kasih sayang, dan nasihat untuk selalu berjuang

setiap harinya.

10. Erfian Aulia Rasyid yang selalu memberi motivasi, semangat dan doa.

11. Sahabat-sahabat penulis Rani, Thalia, Anggun, Ceni, Atuy, dan Tata yang

senantiasa menemani suka duka penulis.

12. Teman-teman penulis Natasha, Anita, Moni, Intan, Cintya, Pipin, Resti,

Dinda, Rahma, Sekar, dan Indraswari yang telah memberikan warna dan

keceriaan di masa perkuliahan penulis.

13. Teman seperjuangan pembimbing 1, Thalia, Salma, dan Rizca yang telah

memberikan bantuan dan dukungan selama masa bimbingan berlangsung.

14. Teman-teman seperjuangan angkatan 2015 yang telah banyak membantu

dan memberikan semangat kepada penulis selama proses penyelesaian

skripsi ini.

15. Teman-teman KKN 2018 Desa Labuhan Ratu IX.

16. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan

satu persatu atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.

Tentunya, Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan

tetapi besar harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Sekian

dan terimakasih.

Bandar Lampung, Maret 2019

Penulis

Nurul Rahayu

i

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI .............................................................................................. i

DAFTAR TABEL ..................................................................................... iii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................. iv

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ......................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian .......................................................................... 3

1.3 Manfaat Penelitian ........................................................................ 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Epidemi SIR (S-I-R) .......................................................... 4

2.2 Titik Tetap ..................................................................................... 5

2.3 Linearisasi ..................................................................................... 5

2.4 Bilangan Reproduksi Dasar ( ) .................................................. 7

2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ....................................................... 11

2.6 Kriteria Kestabilan Titik Ekuilibrium ........................................... 12

2.7 Wolfram Mathematica .................................................................. 13

2.8 Metode Runge Kutta Orde 4 ......................................................... 13

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ....................................................... 17

3.2 Metode Penelitian ......................................................................... 17

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pembentukan Model SIR untuk Penyakit Tuberculosis ............... 19

ii

4.2 Titik Tetap ..................................................................................... 22

4.3 Bilangan Reproduksi Dasar ( ................................................. 23

4.4 Kestabilan ..................................................................................... 24

4.5 Solusi Numerik ............................................................................. 28

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan ................................................................................... 39

5.2 Saran ............................................................................................. 40

DAFTAR PUSTAKA

iii

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Kriteria kestabilan Titik Ekuilibrium ................................................... 12

iv

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Skema Pembentukan Model SIR sederhana ........................................ 4

2. Skema Pembentukan Model SIR dengan Asumsi Horizontal dan

Vertikal................................................................................................. 20

3. Dinamika populasi susceptible, infected dan recovered pada

, , , dan .................. 29

4. Kestabilan titik tetap epidemi susceptible dan infected pada

, , , dan .................. 30

5. Kestabilan titik tetap epidemi susceptible dan recovered pada

, , , dan .................. 31

6. Kestabilan titik tetap epidemi infected dan recovered pada

, , , dan .................. 32

7. Dinamika populasi susceptible, infected dan recovered pada

, , , dan ................... 34

8. Kestabilan titik tetap epidemi susceptible dan infected pada

, , , dan ................... 35

9. Kestabilan titik tetap epidemi susceptible dan recovered pada

, , , dan ................... 36

10. Kestabilan titik tetap epidemi infected dan recovered pada

, , , dan ................... 37

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Dalam matematika terdapat beberapa jenis model matematika dalam bidang

kesehatan, dan salah satunya adalah model Epidemik S-I-R. Model Epidemik S-I-

R ini digunakan untuk model matematika dalam bidang kesehatan untuk penyakit

menular seperti rabies, HIV AIDS, dan Tuberculosis (TBC). Dalam pembuatan

model matematika untuk penyakit TBC ini adalah, S untuk individu susceptible

(individu yang sehat tetapi rentan tertular penyakit), I untuk individu infected

(individu pengidap penyakit yang dapat menularkan penyakit dan R untuk

recovered (individu yang telah sembuh atau kebal dalam kehidupannya).

Tuberkulosis masih merupakan masalah kesehatan di dunia oleh karena mortilitas

dan mobiltasnya yang sangat tinggi terutama di negara-negara berkembang. Hal

ini disebabkan lingkungan yang tidak sehat, semakin meningkatnya gizi buruk di

sebagian negara berkembang serta munculnya epidemik HIV/AIDS di dunia Pada

tahun 2000 masalah tuberkulosis lebih tinggi dibanding tahun 1995. Berdasarkan

data di World Health Organization (WHO) pada tahun (2007), penderita

tuberkulosis di indonesia berada pada angka 528 ribu, yang merupakan

penyumbang ketiga terbanyak setelah India dan Cina.

2

Di Provinsi Lampung Kepala Seksi Kesehatan dan Pemberdayaan Masyarakat

Dinas Kesehatan Provinsi Lampung, Asih Hendrastuti mengatakan kepada

lampost.co bahwa dari estimasi 33 ribu penduduk terduga Tb di Lampung yang

baru ditemukan 20% atau sekitar 6600 penduduk. Jumlah ini membuat Provinsi

Lampung menduduki peringkat kedua terbanyak terduga Tb di seluruh Provinsi

Indonesia.

Lebih cepatnya penyebaran TBC juga mengakibatkan cukup tingginya jumlah

individu latenly infected (individu-individu pengidap penyakit tetapi belum

menularkan penyakit) dan jumlah individu actively infected (individu-individu

pengidap penyakit dan dapat menularkan penyakit). Hal ini membuat negara-

negara berkembang mengadakan strategi pemberantasan yakni dengan pemberian

vaksin pencegah anti TBC untuk individu susceptible.

Solusi pencegahan, pemberantasan, dan penyebaran penyakit TBC telah banyak

dilakukan dan dikaji dari sisi kesehatan. Salah satu disiplin ilmu yang dapat

membantu mengatasi permasalahan tersebut adalah matematika. Pemodelan

matematika dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah penyebaran

penyakit TBC dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu yang solusinya

diperoleh baik secara analisis maupun numerik.

Ilmiyati Sari dan Hengki Tasman (2014) telah melakukan penelitian analisis

kestabilan model Epidemik S-I-R terhadap penyebaran penyakit Tuberculosi,

didalam jurnalnya beliau memperhatikan adanya penularan secara horizontal

3

maupun vertikal. Pada penelitian ini akan dibahas dinamika yang terjadi pada

model S-I-R khususnya model penyebaran penyakit TBC. Dinamika yang maksud

meliputi penentuan titik kesetimbangan dan analisisnya serta analisis kestabilan.

1.2 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan informasi dinamika yang terjadi pada

model matematika untuk penyebaran penyakit TBC umumnya dan diaplikasikan

pada kasus penyebaran penyakit TBC di propinsi Lampung pada periode 2016-

2017.

1.3. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Sebagai indikator untuk mengetahui perilaku penyebaran penyakit TBC di

Propinsi lampung.

2. Dapat dijadikan sebagai referensi/rujukan dalam penelitian lanjutan tentang

penyebaran penyakit TBC di propinsi Lampung.

4

αsi

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Model Epidemi SIR (S-I-R)

Model Epidemi SIR umumnya ditulis dalam bentuk persamaan differensial biasa

(ODE), yang merupakan salah satu bagian model deterministik, dengan waktu

kontinu. Analoginya hampir sama dengan reaksi kinetik, dimana didapat

mengasumsikan perubahan individu terinfeksi dan susceptable terjadi dengan laju

proporsional terhadap jumlah populasi. Laju perubahan individu terinfeksi baru

didefinisikan sebagai dengan merupakan nilai transmisivitas

sedangkan merupakan nilai laju penyembuhan. Individu yang terinfeksi

diasumsikan dapat kembali sembuh dengan probabilitas konstan sepanjang waktu,

yang kemudian berubag secara konstan dengan laju penyembuhan perkapita yang

dinotasikan sebagai dan keseluruhannya disimbolkan sebagai . Berdasarkan

asumsi ini, maka dapat dibentuk skema model menjadi sebagai berikut.

Gambar 1. Skema Pembentukan Model SIR sederhana

Gambar 1 dapat dibentuk dalam persamaan differensial sebagai berikut.

S I βi R

5

}

(2.1)

Persamaan (2.1) ini menggambarkan mengenai transisi masing-masing individu

dari S ke I lalu ke R. Dengan menambahkan ketiga persamaan tersebut kita dapat

menunjukkan dengan mudah bahwa total populasi adalah konstan (Iswanto,

2012).

2.2. Titik Tetap

Misalkan diberikan suatu sistem persamaan differensial yang berbentuk

} (2.4)

Sebuah titik dapat dikatakan sebagai titik tetap dari sistem (2.4) apabila

dipenuhi syarat dan . Karena turunan suatu konstanta

sama dengan nol maka sepasang fungsi konstanta dan merupakan

penyelesaian titik tetap dari sistem (2.4) (Campbell dan Haberman, 2008).

2.3. Linearisasi

Sebuah titik tetap dari sistem non-linear , dikatakan

sederhana jika sistem linearnya sederhana. Definisi ini menjelaskan

kesederhanaan untuk titik tetap sistem non-linear. Misal sistem non-linear:

6

(2.5)

Mempunyai titik tetap sederhana di . Maka, persekitaran daerah asal fase

portrait dari suatu sistem dan linearisasinya secara kualitativ equivalen asalkan

sistem linearisasinya bukan sebuah pusat (Arrowsmith dan Place, 1992).

Linearisasi adalah proses hampiran persamaan differensial tak linier dengan

persamaan differensial linier. Dengan bentuk umum dari sistem persamaan

differensial non linier sebagai berikut:

(2.6)

dan adalah variabel bergantung pada t. Persamaan (2.6) memiliki titik

kesetimbangan pada ( . Karena persamaan di atas merupakan sistem

persamaan differensial non linear, maka diperlukan linierisasi sistem dengan

menggunakan matriks Jacobian. Bentuk matriks Jacobian adalah sebagai berikut :

[

] (2.7)

Proses linierisasi dari suatu sistem persamaan differensial non linier memerlukan

titik kesetimbangan dari sistem itu sendiri, sehingga dari matriks Jacobian pada

persamaan di atas menjadi sebagai berikut:

[

] (2.8)

(Farlow, et al., 2002).

7

2.4. Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar ( adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang

terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi, dan masuk ke

dalam populasi yang seluruhnya masih rentan (Giesecke, 2002).

Bilangan Reproduksi dasar dapat digunakan sebagai indikator kestabilan sistem

SIR. Teorema berikut ini menjamin bilangan reproduksi dasar sebagai indikator

kestabilan menurut (Rost dan Wu, 2008).

Teorema 1. Titik tetap bebas penyakit stabil asimtotik lokal jika dan

tidak stabil jika .

Bukti :

Misal . Linearisasikan sistem tentang

yang diberikan, menggunakan ,

∫

∫

8

Mensubstitusikan hukum Ansatz , dimana , mengarah

kepada hubungan

∫

∫

Tanpa mengurangi keumuman, bisa diasumsikan . Disederhanakan dengan

, diperoleh:

∫

Dimana λ adalah akar dari fungsi karakteristik

∫

(2.9)

Jelas bahwa, adalah fungsi kontinu menurun yang monoton untuk bilangan

real negative dan . Kita mempunyai

∫

.

Jika , maka terdapat akar bilangan real positif, dan titik tetap bebas

penyakitnya adalah tidak stabil. Misal, adalah akar dari dengan

. Maka | | untuk setiap , dan

9

|

∫

|

| | | |

Karenanya, jika , maka semua bagian akar bilangan real negatif dan titik

tetap bebas penyakitnya adalah stabil asimtotik lokal.

Teorema 2. Titik tetap endemik ada jika dan hanya jika . Dan jika titik

tetap endemik itu ada adalah khas dan stabil asimtotik lokal.

Bukti:

Titik tetap endemik harus memenuhi persamaan aljabar

∫

(2.10)

∫

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Karena persamaan (2.11) menjadi

atau

(2.14)

Perhitungan sederhana di (2.10) menunjukkan bahwa

sehingga

(

)

10

Jadi, bisa disimpulkan bahwa , jika dan hanya jika . Di kasus ini,

dua koordinat lainnya diberikan sebagai berikut:

Sekarang, ditunjukkan bahwa titik tetap endemik stabil asimtotik lokal. Misal

terdapat variabel baru dan

∫

∫

Mensubstitusikan eksponensial hukum Ansatz, setelah beberapa perhitungan

dasar, dapat didapatkan persamaan karakteristik:

,

dimana, untuk menyederhanakan, digunakan notasi:

∫

Maka dan . Misal adalah akar dari

dan Re , yang memungkinkan | | untuk setiap . Maka

pertidaksamaannya:

11

| | | |

dan

| | | |

Tetapi ekuivalen dengan

kontradiksi. Karenanya, setiap akar mempunyai bagian bilangan real negatif dan

titik tetap endemik stabil asimtotik lokal jika .

2.5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misal A adalah matriks , maka vektor tak nol pada disebut vektor Eigen

dari A jika adalah kelipatan skalar dari x yaitu, untuk suatu skalar .

Skalar disebut nilai Eigen dari A dan x dikatakan vektor Eigen yang bersesuaian

dengan .

Untuk mencari nilai Eigen matriks A yang berukuran maka

(2.15)

ditulis sebagai berikut atau secara ekuivalen

(2.16)

dengan I adalah matriks identitas.

Agar menjadi nilai Eigen, maka harus ada solusi nontrivial dari persamaan

(2.16). Persamaan (2.16) akan mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika

12

(2.17)

persamaan (2.17) disebut persamaan karakteristik dari A (Anton, 2004).

2.6. Kriteria Kestabilan Titik Ekuilibrium

Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan pada titik

ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai Eigen dari masing-masing

matriks Jacobi. Nilai Eigen dapat dicari ketika memenuhi persamaan

, dimana merupakan nilai Eigen dari matriks Jacobi. Adapun kriteria

kestabilan terdapat pada tabel 1 sebagai berikut:

Tabel 1. Kriteria kestabilan Titik Ekuilibrium

No Nilai Eigen Jenis Titik Kritis Kestabilan

1 Simpul Stabil asimtotik

2 Simpul Tak stabil

3 Titik Sadel Tak stabil

4

Titik spiral Stabil Asimtotik

5

Titik spiral Tak stabil

6 Pusat Stabil

7 Simpul sejati atau simpul tak

sejati

Tak stabil

8 Simpul sejati atau simpul tak

sejati

Stabil asimtotik

Dengan demikian kestabilan dari interaksi populasi tersebut dapat dicari dengan

mensubstitusi titik ekuilibrium ke dalam matriks Jacobi berdasarkan kriteria di

atas (Boyce and DiPrima, 2012).

13

2.7. Wolfram Mathematica

Wolfram Mathematica atau yang sering disebut dengan Mathematica merupakan

suatu sistem aljabar komputer (CAS, Computer Algebra System) yang

mengintegrasikan kemampuan komputasi simbolik, numerik, visualisasi (grafik),

bahasa pemrograman dan pengolahan kata (Word Processing) ke dalam suatu

lingkungan yang sudah digunakan. Mathematica adalah salah satu program

perangkat lunak komputasi yang dipakai dalam bidang sains, teknik, dan

matematika, serta bidang komputasi teknis lainnya.

Program ini diciptakan oleh Stephen Wolfram dan dikembangkan oleh Wolfram

Research di Champaign, Illinois. Mathematica dapat melakukan berbagai macam

perhitungan mulai dari perhitungan fungsi-fungsi sederhana hingga algoritma

pemrograman yang kompleks dengan pemodelan 2D, proyeksi 3D hingga image

recognition bisa dihasilkan dengan aplikasi ini. Tidak hanya hasil akhir, dengan

fitur step-by-step solution juga dapat digunakan untuk mempelajari sendiri

tahapan kalkulasi dalam matematika (Nafisah, 2014).

2.8. Metode Runge Kutta Orde 4

Metode Runge Kutta merupakan metode yang memberikan ketelitian hasil yang

lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi. Bentuk umum dari runge

kutta adalah:

(2.18)

14

Dengan adalah fungsi pertambahan yan merupakan kemiringan

rerata pada interval dan digunakan untuk mengekstrapolasi dari nilai lama ke

nilai baru sepanjang interval (Triatmodjo, 2002).

Metode Runge Kutta yang sering digunakan untuk menyelesaikan suatu

persamaan differensial adalah metode Runge Kutta orde 4. Metode Runge Kutta

orde 4 merupakan metode yang paling teliti dibandingkan metode Runge Kutta

yang ada dibawahnya.

Metode Runge Kutta orde 4 mempunyai bentuk sebagai berikut:

(2.19)

Dengan

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Adapun koefisien yang termuat dalam (2.20) sampai dengan (2.23) ditentukan

sesuai deret Taylor orde 4 sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut:

15

(2.24)

Sistem persamaan (2.24) mempunyai 11 persamaan dan 13 variabel yang tidak

diketahui. Digunakan dua kondisi tambahan agar sitem tersebut dapat

diselesaikan yaitu:

(2.25)

Diperoleh solusi dari sistem persamaan (2.24) adalah sebagai berikut:

(2.26)

Nilai pada persamaan (2.25) dan (2.26) disubstitusikan pada persamaan (2.20)

sampai dengan (2.23) sehingga diperoleh formula standart metode Runge Kutta

orde 4 sebagai berikut:

(2.27)

dimana,

(2.28)

16

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(Matthews, 1999).

17

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2018/2019,

bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis

yang diperoleh dari mempelajari buku-buku teks yang terdapat di perpustakaan

jurusan matematika dan jurnal online matematika yang terkait dengan materi

penelitian ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian adalah

sebagai berikut:

1. Mengkaji model epidemik SIR untuk pernyakit Tuberculosis (TBC) dan

memodifikasi dengan menambahkan asumsi-asumsi horizontal dan vertikal.

2. Menentukan titik tetap dari model epidemik SIR tersebut.

3. Menentukan bilangan reproduksi dasar ( dari titik tetap yang sudah ada.

18

4. Melinearisasikan model epidemik SIR tersebut untuk memperoleh matriks

Jacobian.

5. Menentukan nilai Eigen sebagai nilai karakteristik model SIR.

6. Mensimulasikan data TBC pada model epidemi SIR untuk melihat kestabilan

sistem epidemik SIR TBC periode tahun 2016-2017.

39

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari bagian hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa:

1. Model epidemi SIR untuk penyakit tuberculosis Provinsi Lampung tahun

2016-2017 diberikan dalam persamaan

( )

untuk kasus epidemi dan memiliki titik tetap epidemi (

). Titik tetap ini adalah stabil asimtotis dengan

.

2. Model epidemi SIR untuk penyakit tuberculosis Provinsi Lampung tahun

2016-2017 untuk kasus bebas penyakit ditetapkan dalam persamaan

( )

dan memiliki titik tetap bebas penyakit ( ). Titik tetap ini adalah

stabil asimtotis dengan stabil asimtotis jika .

40

3. Pada simulasi numerik yang dilakukan penyakit tuberculosis tidak akan

menjadi epidemik (tanpa melakukan pemberian vaksinasi) dari suatu populasi

di Provinsi Lampung jika bilangan reproduksi dasarnya kurang dari satu.

4. Jika semakin besar peluang terjadinya kontak antara individu rentan dengan

individu terinfeksi maka memungkinkan penderita untuk menyebarkan

penyakit kepada lebih dari 1 penderita baru.

5.2 Saran

Hasil-hasil penelitian yang telah dicapai pada prinsipnya dapat ditindaklanjuti dan

dikembangkan. Oleh karena itu, modifikasi model epidemi SIR dengan

menambahkan faktor vaksinasi dapat dilanjutkan pada penelitian selanjutnya.

19

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. dan Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi.

Terjemahan oleh Refina Indriasari dan Irzam Harmein. Erlangga, Jakarta.

Arrowsmith, D. K. and Place, C. M. 1992. Dynamical Systems: Differential

Equations, Maps And Chaotic Behaviour. Chapman and Hall, London.

Boyce, W. E. and Diprima, R.C. 2012. Elementary Differential Equations And

Boundary Value Problems. 10th

Edition. John Wiley & Sons, Newyork.

Campbell, S. L., & Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equations

with dynamical systems. New Jersey: Princeton University Press.

Farlow, J., Hall, E.J., and Mcdill, J.M. 2002. Differential Equations and Linear

Algebra. International Edition. Prentice-Hall, New Jersey.

Nafisah, S. 2014. Mengenal Wolfram Mathematica. http://coretan-

nafis.blogspot.com/2014/11/mengenal-wolfram-mathematica.html. Diakses

pada 9 Februari pada pukul 14.02 WIB.

Iswanto, Ripno J. 2012. Pemodelan matematika; aplikasi dan terapannya. Edisi

pertama. Graha ilmu, Yogyakarta.

Kementrian Kesehatan Indonesia. 2017. Data dan Informasi Profil Kesehatan

Indonesia 2016. Kemenkes Indonesia.

Kementrian Kesehatan Indonesia. 2018. Data dan Informasi Profil Kesehatan

Indonesia 2017. Kemenkes Indonesia.

20

Matthews, J.H. and Kurtis, D.F. 1999. Numerical Methods using Matlab. 3rd

Edition. Prentice Hall, New Jersey.

Rost, G., and Wu, J. 2008. SEIR Epidemiological Model With Varying

Infectivity and Infinite Delay. Mathematical Biosciences and Engineering.

5(2): 389-402.

Sari, I. dan Tasman, H. 2014. Model Epidemik SIR Untuk Penyakit Yang

Menular Secara Horizontal dan Vertikal, hlm. 757-766. Prosiding

Konferensi Nasional Matematika XVII, Surabaya.

Triatmodjo, B. 2002. Metode Numerik Dilengkapi dengan Program Komputer.

Beta Offset, Yogyakarta.