Contoh Persediaan Mengajar Yang Menggunakan Model Penyelesaian Masalah
Eksistensi dan Ketunggalan penyelesaian model
-
Upload
petrus-fendiyanto -
Category
Education
-
view
368 -
download
3
Transcript of Eksistensi dan Ketunggalan penyelesaian model
Petrus Fendiyanto/1213201002 1
EVALUASI TENGAH SEMESTER DAN EVALUASI AKHIR SEMESTER
S2 MATEMATIKA-INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER (ITS)
MATAKULIAH : TOPIK ANALISIS TERAPAN
Untuk Mahasiswa : Petrus Fendiyanto, 1213201002
Model Subsistem pada Lokasi 1.
Model matematika berikut ini merupakan bagian dari model system yang dikembangkan
dari model yang dibuat oleh Blyuss yaitu penyebaran virus yang mempunyai massa
inkubasi dan berada pada subpopulasi Exposed, fungsi transmisi dinyatakan
SIISf ),( dengan parameter sbg rate transmisi, bd , sbg rate kematian dan
kelahiran, sbg rate kesembuhan alamiah, sbg rate transisi dari ekspose menjadi Infeksi
dan ),( txK sebagai fungsi densitas Kernel.
2 1
1211112
1
2
11 )()(
1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS
x
SSDt
S
2 1
112111112
1
2
1
1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx
EEDt
E
12
1111112
1
2
11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE
x
ID
t
I I
11112
1
2
1
1 RRdEIx
RRDt
R
Kondisi awal
),0()0,( 1101 SSxS ),0()0,( 1101 IIxI
).0()0,( 1101 EExE ),0()0,( 1101 RRxR
Kondisi batas
)0(1
x
S,0)(1
L
x
S
)0(1
x
E
)(1 L
x
E0,
)0(1
x
I0)(1
L
x
I
)0(1
x
R,0)(1
L
x
R
Petrus Fendiyanto/1213201002 2
Model matematika tersebut menunjukkan penyebaran penyakit dengan Recovered yang
tidak tetap artinya setiap individual yang sembuh setelah diobati dapat terinfeksi kembali.
Tugas yang harus diselesaikan adalah
1. Lakukan analisa tentang eksistensi dan ketunggalan penyelesaian model,
Petunjuk.
1. Bentuk integral yang menyatakan diffusi global dapat direduksi seperti pada model
yang dibuat oleh Blyuss dan ),( txK dapat diasumsikan sebagai fungsi densitas
uniform atau rumpun eksponensial.
2. Kumpulkan informasi pendukung dalam bentuk jurnal.
3. Reduksi model dengan menggunakan bentuk
dxtxStS ),()( atau
dx
t
txS
dt
tdS ),()(
Penyelesaian :
Model di bawah ini merupakan pengembangan dari model (Blyuss, 2005) yaitu penyebaran
virus yang mempunyai massa inkubasi dan berada pada subpopulasi Ekspose. Model
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk kompartemen sebagai berikut.
Berdasarkan kompartemen di atas, populasi dibagi menjadi 4 subpopulasi yaitu Suspectible
(individu yang rentan terinfeksi), Ekspose (massa inkubasi infeksi, individu yang tertular
tetapi belum bias menularkan ke individu yang lain), Infected (terinfeksi dan menularkan
ke individu yang lain), dan Recovery (individu yang sembuh). Model subsistem ini hanya
S1 E1 I1 R1
πΏ
πΌ
π½ β πΎ πΏ πΏ π
π π π π π π
Petrus Fendiyanto/1213201002 3
pada lokasi 1 yaitu Ξ©1 dengan ukuran πΏ1 dan lebih menekankan pada pergerakan spasial
individu interlokasi atau antarlokasi.
Fungsi densitas spasial dapat dinyatakan sebagai S1(x,t), E1(x,t), I1(x,t), R1(x,t).
Sedangkan densitas populasi dapat dinyatakan sebagai N1(x,t). Adapun parameter yang
terlibat dalam model ini adalah
π½β : rate transmisi
d : rate kematian
b : rate kelahiran
πΏ : rate kesembuhan alamiah
πΎ : rate transisi dari ekspose menjadi terinfeksi
),( txK sebagai fungsi densitas Kernel.
S1 : Manusia yang rentan terhadap virus
E1 : Manusia yang telah terinfeksi virus namun belum menunjukkan gejala dan tidak
menularkan penyakit (dalam masa inkubasi).
I1 : Manusia yang terinfeksi virus (sudah menunjukkan gejala dan dapat menularkan
penyakit).
R1 : Manusia yang telah sembuh dari infeksi
Pada penelitian yang telah dilakukan oleh (Hariyanto, 2013) mengasumsikan bahwa
transimis virus dapat terjadi setelah terjadinya interaksi atau kontak langsung dengan
individu terinfeksi dan pergerakan spasial di dalam suatu lokasi dapat dilakukan oleh setiap
individual pada subpopulasi sedangkan pergerakan diantara lokasi hanya dilakukan oleh
individu subpopulasi Suspectible dan Ekspose. Pada tugas ini, perpindahan atau pergerakan
antar lokasi tidak hanya dilakukan oleh individu subpopulasi Suspectible dan Ekspose saja,
tetapi individual yang berada pada subpopulasi Infected dan Recovery juga bergerak atau
berpindah dari lokasi 1 menuju 2 atau sebaliknya.
1) Penyelesaian Positif Dari Model Subsistem Pada Lokasi 1
Berdasarkan model subsistem pada lokasi 1 di atas, akan dianalisa bahwa subsistem
tersebut mempunyai penyelesaian positif, yang berarti akan ditunjukkan bahwa π1 >
0, πΈ1 > 0, πΌ1 > 0, dan π 1 > 0. Untuk menunjukkan bahwa model tersebut mempunyai
penyelesaian positif, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Petrus Fendiyanto/1213201002 4
a. Mereduksi integral yang menyatakan difusi global
b. Menyajikan model subsistem lokasi 1 dalam bentuk persamaan yang telah direduksi
c. Mereduksi suku pada persamaan hasil langkah 2 dengan parameter yang sesuai
d. Menyubstitusikan persamaan hasil langkah 3 ke dalam persamaan laju perubahan
populasi total pada lokasi 1, yaitu π1(π₯1, π‘) = π1(π₯1, π‘) + πΈ1(π₯1, π‘) + πΌ1(π₯1, π‘) +
π 1(π₯1, π‘)
e. Menganalisa parameter-parameter yang ada dalam persamaan dan menafsirkannya
sehingga diperoleh penyelesaian positif
Model Penyebaran Virus
Model matematika berikut merupakan model sistem yang merupakan pengembangan
dari model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005).
2 1
1211112
1
2
11 )()(
1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS
x
SSDt
S (1)
2 1
112111112
1
2
1
1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx
EEDt
E (2)
12
1211112
1
2
11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE
x
ID
t
I I (3)
11112
1
2
1
1 RRdEIx
RRDt
R
(4)
Kondisi awal
),0()0,( 1101 SSxS ),0()0,( 1101 IIxI
).0()0,( 1101 EExE ),0()0,( 1101 RRxR (5)
Kondisi batas
)0(1
x
S,0)(1
L
x
S
)0(1
x
E
)(1 L
x
E0,
)0(1
x
I0)(1
L
x
I
)0(1
x
R,0)(1
L
x
R (6)
Petrus Fendiyanto/1213201002 5
Total Populasi :
Jumlah populasi (π1(π‘) atau π1(π₯1, π‘)) di lokasi 1 merupakan hasil kumulatif dari
subpopulasi Supspectible, subpopulasi Ekspose, subpopulasi Infected, dan subpopulasi
Recovery, sehingga dapat ditulis sebagai:
π1(π‘) = π1(π‘) + πΈ1(π‘) + πΌ1(π‘) + π 1(π‘) (7)
atau
π1(π₯1, π‘) = π1(π₯1, π‘) + πΈ1(π₯1, π‘) + πΌ1(π₯1, π‘) + π 1(π₯1, π‘) (8)
a. Mereduksi integral yang menyatakan difusi global
Dari persamaan (1), (2), (3), dan (4), tampak bahwa difusi lokal (perpindahan dalam
satu lokasi) pada subpopulasi Supspectible dinyatakan dalam π·1π π
2π1
ππ₯2, difusi lokal pada
subpopulasi Exposed dinyatakan dalam π·1πΈ π
2πΈ1
ππ₯2, sedangkan difusi local pada subpopulasi
Infected dinyatakan dalam π·1πΌ π
2πΌ1
ππ₯2, dan difusi lokal pada subpopulasi Recovery dinyatakan
dalam π·1π π
2π 1
ππ₯2. Sedangkan difusi global atau perpindahan individu dari lokasi 1 ke lokasi
2, atau sebaliknya (perpindahan antar lokasi) dinyatakan sebagai berikut:
β« π2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β π1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1 (9)
β« πΈ2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β πΈ1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1 (10)
β« πΌ2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β πΌ1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1 (11)
Dari persamaan (9), (10), (11), dan (12) diketahui bahwa suku-suku yang bernilai
positif masing-masing menunjukkan adanya perpindahan individu dari lokasi 2 masuk ke
lokasi 1, sehingga terjadi penambahan pada lokasi 1. Sedangkan suku-suku yang bernilai
negatif masing-masing menunjukkan adanya perpindahan individu dari lokasi 1 keluar ke
lokasi 2, sehingga terjadi pengurangan pada lokasi 1. Diasumsikan bahwa setiap individual
pada subpopulasi Suspectible, subpopulasi Exposed, subpopulasi Infected, dan subpopulasi
Petrus Fendiyanto/1213201002 6
Recovery melakukan perpindahan antar lokasi sehingga dapat ditunjukkan dalam bentuk
berikut:
1. Suspectible
β« π2(π¦, π‘) πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦
Menunjukkan subpopulasi Suspectible yang bergerak dari posisi π¦ β Ξ©2 menuju
posisi π₯ β Ξ©1. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi
2 menuju ke lokasi 1 sehingga menambah jumlah populasi π1.
π1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯Ξ©1
Menunjukkan subpopulasi Suspectible yang bergerak dari posisi π₯ β Ξ©1 menuju
posisi π¦ β Ξ©2. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi
1 menuju ke lokasi 2 sehingga mengurangi jumlah populasi π1.
2. Exposed
β« πΈ2(π¦, π‘) πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦
Menunjukkan subpopulasi Exposed yang bergerak dari posisi π¦ β Ξ©2 menuju posisi
π₯ β Ξ©1. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 2
menuju ke lokasi 1 sehingga menambah jumlah populasi πΈ1.
πΈ1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯Ξ©1
Menunjukkan subpopulasi Exposed yang bergerak dari posisi π₯ β Ξ©1 menuju posisi
π¦ β Ξ©2. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 1
menuju ke lokasi 2 sehingga mengurangi jumlah populasi πΈ1.
3. Infected
β« πΌ2(π¦, π‘) πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦
Menunjukkan subpopulasi Infected yang bergerak dari posisi π¦ β Ξ©2 menuju posisi
π₯ β Ξ©1. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 2
menuju ke lokasi 1 sehingga menambah jumlah populasi πΌ1.
πΌ1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯Ξ©1
Petrus Fendiyanto/1213201002 7
Menunjukkan subpopulasi Infected yang bergerak dari posisi π₯ β Ξ©1 menuju posisi
π¦ β Ξ©2. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 1
menuju ke lokasi 2 sehingga mengurangi jumlah populasi πΌ1.
Dalam hal ini (Blyuss, 2005) menyatakan bahwa lokasi Ξ©1 dan Ξ©2 merupakan
domain yang terbatas pada [0,L], sehingga pergerakan subpopulasi baik bergerak pada
lokasi sendiri ataupun antar lokasi bergantung pada status subpopulasi tersebut.
Selanjutnya akan direduksi integral dari difusi global di atas, yaitu
β« π2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β π1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1> 0 (12)
β« πΈ2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β πΈ1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯ > 0
Ξ©1 (13)
β« πΌ2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β πΌ1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1> 0 (14)
Untuk mereduksi difusi global dari persamaan (12), (13), dan (14), diasumsikan
bahwa perpindahan dari lokasi satu ke lokasi yang lain terjadi sedemikian sehingga
populasi pada suatu lokasi yang berpindah ke lokasi yang lain mempunyai proporsi yang
sama. Misalkan konstanta proporsi perpindahan individu dinyatakan sebagai π baik pada
lokasi 1 maupun lokasi 2. Diasumsikan pula bahwa gejala infeksi dapat menghambat
mobilitas individu terinfeksi sebesar 0 β€ π β€ 1. Sedangkan individu sehat (Recovery)
dan Ekspose dapat berpindah ke lokasi yang lain dengan tingkat mobilitas yang sama.
Misalkan, fungsi densitas kernel dinyatakan sebagai fungsi Laplace, yaitu
πΎ(π₯, π‘) = πβπ½βπ₯ (15)
πΎ(π¦, π‘) = πβπ½βπ¦ (16)
sehingga persamaan (13) dapat direduksi menjadi:
β« π2 (π¦, π‘)πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2ππ¦ β π1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1= β« π2(π¦, π‘)π
βπ½βπ¦ππ¦ βΞ©2
π1(π₯, π‘) β« πβπ½βπ₯ππ₯
Ξ©1
= β1
π½β(πβπ½
βπ¦π2(π¦, π‘)) |0πΏ2 β β« πβπ½
βπ¦ ππ2(π¦,π‘)
ππ‘Ξ©2ππ¦ +
1
π½β π1(π₯, π‘)[π
βπ½βπ₯]0
πΏ1
Petrus Fendiyanto/1213201002 8
= β1
π½β(πβπ½
βπ¦π2(π¦, π‘)) |0πΏ2 β (πβπ½
βπ¦π2β(π‘) β β« π2
β(π‘)(βπ½β)Ξ©2
πβπ½βπ¦ππ¦) +
1
π½βπ1(π₯, π‘)(π
βπ½βπΏ1 β 1)
= β1
π½β(πβπ½
βπΏ2π2(πΏ2, π‘) β πβπ½β(0)π2(0, π‘)) β (π
βπ½βπ¦π2β(π‘) β πβπ½
βπ¦π2β(π‘)) +
1
π½βπ1(π₯, π‘)(π
βπ½βπΏ1 β 1)
= β1
π½β(πβπ½
βπΏ2π2(πΏ2, π‘) β πβπ½β(0)π2(0, π‘)) +
1
π½βπ1(π₯, π‘)(π
βπ½βπΏ1 β 1)
= β1
π½β(πβπ½
βπΏ2π2(πΏ2, π‘) β π2(0, π‘) β πβπ½βπΏ1π1(π₯, π‘) + π1(π₯, π‘))
= β1
π½β (πβπ½
βπΏ2π2(πΏ2, π‘) β πβπ½βπΏ1π1(π₯, π‘) β π2(0, π‘) + π1(π₯, π‘))
Dengan domain Ξ© = [0, πΏ] dan π₯, π¦ β Ξ© = [0, πΏ], dimana πΏ = πΏ1 = πΏ2 maka
β« π2(π¦, π‘)πΎ(π₯ β π¦)ππ¦ β π1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯ = β1
π½βΞ©1Ξ©2(πβπ½
βπΏ2π2(πΏ2, π‘) β
πβπ½βπΏ1π1(π₯, π‘) β π2(0, π‘) + π1(π₯, π‘))
= β1
π½β (πβπ½
βπΏ2(π2(πΏ2, π‘) β π1(π₯, π‘)) β π2(0, π‘) β π1(π₯, π‘))
Agar β1
π½β (πβπ½
βπΏ2(π2(πΏ2, π‘) β π1(π₯, π‘)) β π2(0, π‘) + π1(π₯, π‘)) > 0, maka haruslah
πβπ½βπΏ2(π2(πΏ2, π‘) β π1(π₯, π‘)) β π2(0, π‘) β π1(π₯, π‘) < 0, sehingga diperoleh
πβπ½βπΏ2(π2(πΏ2, π‘) β π1(π₯, π‘)) < π2(0, π‘) β π1(π₯, π‘) < 0
πβπ½βπΏ2 <
π2(0, π‘) β π1(π₯, π‘)
π2(πΏ2, π‘) β π1(π₯, π‘)
Misalkan π2(0,π‘)βπ1(π₯,π‘)
π2(πΏ2,π‘)βπ1(π₯,π‘)= π, π bilangan pecahan rasional maka πβπ½
βπΏ2 < π yang berarti
bahwa fungsi densitas kernel sebagai fungsi bobot dari pergerakan antara lokasi yang dapat
dinyatakan dalam bentuk proporsi yang mempunyai nilai 0 < πΎ(π¦, π‘) < 1, β π¦ β Ξ© dan
β π‘ β [0,β). Sehingga diperoleh
Petrus Fendiyanto/1213201002 9
β« π2(π¦, π‘)πΎ(π₯ β π¦)ππ¦ β π1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯ = β1
π½βΞ©1Ξ©2(πβπ½
βπΏ2π2(πΏ2, π‘) β
πβπ½βπΏ1π1(π₯, π‘) β π2(0, π‘) + π1(π₯, π‘))
=1
π½β(πβπ½
βπΏ2(π2(πΏ, π‘) β π1(π₯, π‘)) β π(π2(πΏ, π‘) β π1(π₯, π‘))
=1
π½β((πβπ½
βπΏ2 β π)(π2(πΏ, π‘) β π1(π₯, π‘))
Dimana β1
π½β(πβπ½
βπΏ β π) menyatakan konstanta proporsi perpindahan individu π2 dari
lokasi 2 menuju ke lokasi 1 dan perpindahan individu π1 dari lokasi 1 menuju 2. Oleh
karena telah diasumsikan bahwa konstanta proporsi perpindahan individu dinyatakan
sebagai π, baik pada lokasi 1 maupun lokasi 2,maka β1
π½β(πβπ½
βπΏ β π) = π. Dengan
demikian
β« π2(π¦, π‘)πΎ(π₯ β π¦)ππ¦ β π1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯ = 1
π½β((πβπ½
βπΏ2 β π)(π2(πΏ, π‘) βΞ©1Ξ©2
π1(π₯, π‘))
= π (π2(πΏ, π‘) β π1(π₯, π‘)
= ππ2(πΏ, π‘) β ππ1(π₯, π‘) (17)
Oleh karena π₯, π¦ β Ξ© = [0, πΏ], maka persamaan (19) menjadi
β« π2(π¦, π‘)πΎ(π₯ β π¦)ππ¦ β π1(π₯, π‘) β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯ = Ξ©1Ξ©2
ππ2(π¦, π‘) β ππ1(π₯, π‘) (18)
Untuk mereduksi persamaan (14), (15), dan (16) dapat dilakukan dengan cara yang sama.
Sehingga hasil reduksi persamaan (13), (14), (15), dan (16) adalah sebagai berikut:
β« π2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β π1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1= ππ2 β ππ1 (19)
β« πΈ2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β πΈ1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯ = ππΈ2 β ππΈ1Ξ©1
(20)
β« πΌ2 πΎ(π₯ β π¦)Ξ©2 ππ¦ β πΌ1 β« πΎ(π¦ β π₯)ππ₯
Ξ©1= πππΌ2 β πππΌ1 (21)
Petrus Fendiyanto/1213201002 10
Untuk persamaan (21) pada populasi Individu Infected (πΌ1 dan πΌ2) telah diasumsikan bahwa
gejala infeksi dapat menghambat mobilitas individu terinfeksi sebesar 0 β€ π β€ 1.
Dengan demikian, selain dipengaruhi oleh konstanta proporsi π, perpindahan individu
Infected dari lokasi 1 menuju lokasi 2 atau sebaliknya juga dipengaruhi oleh π.
b. Menyajikan model subsistem lokasi 1 dalam bentuk persamaan yang direduksi
Dengan mensubstitusikan persamaan (19), (20), dan (21) ke dalam persamaan (1),
(2), (3), dan (4), maka model subsistem pada lokasi 1 menjadi
ππ1
ππ‘= π·1
π π2π1
ππ₯2β π½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏπ 1 + ππ2 β ππ1 (22)
ππΈ1
ππ‘= π·1
πΈ π2πΈ1
ππ₯2+ π½βπΈ1πΌ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + ππΈ2 β ππΈ1 + πΌπ 1 (23)
ππΌ1
ππ‘= π·1
πΌ π2πΌ1
ππ₯2+ πΎπΈ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏπΌ1 + πππΌ2 β πππΌ1 (24)
ππ 1
ππ‘= π·1
π π2π 1
ππ₯2+ πΏπΌ1 β ππΈ1 β πΌπ 1 β πΏπ 1 (25)
c. Mereduksi hasil langkah 2 dengan parameter yang sesuai
Dengan memperhatikan suku-suku yang terdapat pada persamaan (22), (23), (24),
dan (25) maka dapat ditafsirkan sebagai berikut:
i. Persamaan (22)
ππ1ππ‘= π·1
ππ2π1ππ₯2
β π½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏπ 1 + ππ2 β ππ1
π½βπ1πΌ1 mengartikan individu Suspectible dari populasi π1 melakukan kontak
dengan individu Infected dari populasi πΌ1 dengan rate transmisi sebesar π½β.
Dengan demikian, individu Suspectible π1 dapat menjadi Exposed πΈ1
(misalkan π‘ β π‘2), sehingga mengurangi jumlah populasi π1. Misalkan rate
Petrus Fendiyanto/1213201002 11
berkurangnya jumlah populasi π1 yang disebabkan oleh individu π1 menjadi
bagian πΈ1 adalah π1, maka π½βπ1πΌ1 = π1π1.
πΏπ 1 mengartikan individu Recovery (π 1) yang sembuh dari penyakit sehingga
menjadi sehat (Suspectible) dengan rate kesembuhan alami sebesar πΏ. Dengan
demikian, individu π 1 dapat menjadi bagian π1, sehingga menambah jumlah
populasi π1. Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi π1 yang sebanding
dan disebabkan individu π 1 menjadi bagian π1 adalah π2, maka πΏπ 1 = π1π1.
ππ2 mengartikan pergerakan individu π2 yang berpindah dari lokasi 2 menuju
ke lokasi 1 dengan proporsi perpindahan sebesar π. Maka individu π2 akan
menjadi bagian π1, sehingga menambah jumlah populasi π1. Misalkan rate
bertambahnya jumlah populasi π1 yang sebanding dan disebabkan individu π2
menjadi bagian π1 adalah π3, maka ππ2 = π3π1.
Sehingga persamaan (22) dapat dinyatakan dalam bentuk
ππ1
ππ‘= π·1
π π2π1
ππ₯2β π1π1 β ππ1 + ππ1 + π2π1 + π3π1 β ππ1 (26)
ii. Persamaan (23)
ππΈ1ππ‘
= π·1πΈπ2πΈ1ππ₯2
+ π½βπΈ1πΌ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + ππΈ2 β ππΈ1 + πΌπ 1
π½βπ1πΌ1 mengartikan individu Suspectible dari populasi π1 melakukan kontak
dengan individu Infected dari populasi πΌ1 dengan rate transmisi sebesar π½β.
Misalkan, individu Suspectible π1 tidak langsung menjadi Infected πΌ1 (misal
π‘ β π‘2), melainkan masih dalam masa inkubasi, maka individu Suspectible
π1 menjadi individu Exposed πΈ1 sehingga menambah jumlah populasi πΈ1.
Misalkan rate berkurangnya jumlah populasi πΈ1 yang sebanding dan
Petrus Fendiyanto/1213201002 12
disebabkan oleh individu π1 menjadi bagian dari πΈ1 adalah π4, maka π½βπ1πΌ1 =
π4πΈ1.
ππΈ2 mengartikan pergerakan individu π2 yang berpindah dari lokasi 2 menuju
ke lokasi 1 dengan proporsi perpindahan sebesar π. Maka individu πΈ2 akan
menjadi bagian πΈ1, sehingga menambah jumlah populasi πΈ1. Misalkan rate
bertambahnya jumlah populasi πΈ1 yang sebanding dan disebabkan individu πΈ2
menjadi bagian πΈ1 adalah π5, maka ππΈ2 = π5πΈ1.
πΌπ 1 mengartikan individu Recovery π 1 yang terjangkit penyakit kembali
tetapi belum menunjukkan gejala atau masih dalam masa inkubasi dengan
rate sebesar πΌ. Dengan demikian menambah jumlah populasi πΈ1. Misalkan
rate bertambahnya jumlah populasi πΈ1 yang sebanding dan disebabkan
individu π 1 menjadi bagian πΈ1 adalah π6, maka πΌπ 1 = π6πΈ1.
Sehingga persamaan (23) dapat dinyatakan dalam bentuk
ππΈ1
ππ‘= π·1
πΈ π2πΈ1
ππ₯2+ π4πΈ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + π5πΈ1 β ππΈ1 + π6πΈ1 (27)
iii. Persamaan (24)
ππΌ1ππ‘= π·1
πΌπ2πΌ1ππ₯2
+ πΎπΈ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏπΌ1 + πππΌ2 β πππΌ1
πΎπΈ1 mengartikan pergerakan individu Exposed πΈ1 yang menjadi terinfeksi πΌ1
dengan rate transmisi Exposed menjadi Infected sebesar πΎ, sehingga
menambah jumlah populasi πΌ1. Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi
πΌ1 yang disebabkan oleh transisi individu πΈ1 menjadi πΌ1 adalah π7, maka
πΎπΈ1 = π7πΌ1.
Petrus Fendiyanto/1213201002 13
πππΌ2 mengartikan pergerakan individu πΌ2 yang berpindah dari lokasi 2 menuju
ke lokasi 1 dengan proporsi perpindahan sebesar π dan mobilitas sebesar π.
Maka individu πΌ2 akan menjadi bagian πΌ1, sehingga menambah jumlah populasi
πΌ1. Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi πΌ1 yang disebabkan oleh
individu πΌ2 menjadi bagian πΌ1 adalah π8, maka πππΌ2 = π8ππΌ1.
Sehingga persamaan (24) dapat dinyatakan dalam bentuk
ππΌ1
ππ‘= π·1
πΌ π2πΌ1
ππ₯2+ π7πΌ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏπΌ1 + π8ππΌ1 β πππΌ1 (28)
iv. Persamaan (25)
ππ 1ππ‘
= π·1π π2π 1ππ₯2
+ πΏπΌ1 β ππΈ1 β πΌπ 1 β πΏπ 1
πΏπΌ1 mengartikan individu Infected πΌ1 yang sembuh menjadi Recovery dengan
rate kesembuhan alami sebesar πΏ, sehingga menambah jumlah populasi π 1.
Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi π 1 yang disebabkan individu
Infected πΌ1 yang sembuh menjadi Recovery adalah π9 maka πΏπΌ1 = π9π 1.
ππΈ1 mengartikan individu Exposed πΈ1 yang mati dengan rate kematian sebesar
π, sehingga akan mengurangi jumlah populasi Recovery. Misalkan rate
berkurangnya jumlah populasi π 1 yang sebanding dan disebabkan oleh
kematian individu πΈ1 adalah π10, maka ππΈ1 = π10π 1.
Sehingga persamaan (25) dapat dinyatakan dalam bentuk
ππ 1
ππ‘= π·1
π π2π 1
ππ₯2+ π9π 1 β π10π 1 β πΌπ 1 β πΏπ 1 (29)
Dengan menulis kembali hasil reduksi dengan parameter yang sesuai pada persamaan (26),
(27), (28), dan (29) sehingga diperoleh
ππ1
ππ‘= π·1
π π2π1
ππ₯2β π1π1 β ππ1 + ππ1 + π2π1 + π3π1 β ππ1 (30)
Petrus Fendiyanto/1213201002 14
ππΈ1
ππ‘= π·1
πΈ π2πΈ1
ππ₯2+ π4πΈ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + π5πΈ1 β ππΈ1 + π6πΈ1 (31)
ππΌ1
ππ‘= π·1
πΌ π2πΌ1
ππ₯2+ π7πΌ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏπΌ1 + π8ππΌ1 β πππΌ1 (32)
ππ 1
ππ‘= π·1
π π2π 1
ππ₯2+ π9π 1 β π10π 1 β πΌπ 1 β πΏπ 1 (33)
d. Menyubstitusikan persamaan hasil langkah 3 ke dalam persamaan laju
perubahan populasi total pada lokasi 1, yaitu π΅π(ππ, π) = πΊπ(ππ, π) + π¬π(ππ, π) +
π°π(ππ, π) + πΉπ(ππ, π)
Misalkan total populasi di lokasi 1 adalah π1(π₯, π‘) dan total populasi di lokasi
2 adalah π2(π₯, π‘) maka total populasi dalam sistem (lokasi 1 dan lokasi 2) adalah
ππ(π‘) = β« π1(π₯, π‘) ππ₯ +
Ξ©1
β« π2(π₯, π‘)ππ₯
Ξ©2
= π1β(π‘) + π2
β(π‘) (34)
Karena total subsistem dilokasi 1 saja sehingga π1β(π‘) = β« π1(π₯, π‘) ππ₯Ξ©1
, dengan
π1(π₯, π‘) = π1(π₯, π‘) + πΈ1(π₯, π‘) + πΌ1(π₯, π‘) + π 1(π₯, π‘), sehingga
π1β(π‘) = β« π1(π₯, π‘) ππ₯Ξ©1
π1β(π‘) = β« (π1(π₯, π‘) + πΈ1(π₯, π‘) + πΌ1(π₯, π‘) + π 1(π₯, π‘)) ππ₯Ξ©1
ππ1β(π‘)
ππ‘=
π
ππ‘(β« (π1(π₯, π‘) + πΈ1(π₯, π‘) + πΌ1(π₯, π‘) + π 1(π₯, π‘)) ππ₯Ξ©1
)
= β« (ππ1(π₯,π‘)
ππ‘+ππΈ1(π₯,π‘)
ππ‘+ππΌ1(π₯,π‘)
ππ‘+ππ 1(π₯,π‘)
ππ‘) ππ₯
Ξ©1
= β«ππ1(π₯,π‘)
ππ‘ ππ₯ + β«
ππΈ1(π₯,π‘)
ππ‘ ππ₯
Ξ© 1Ξ©1+ β«
ππΌ1(π₯,π‘)
ππ‘ ππ₯ + β«
ππ 1(π₯,π‘)
ππ‘ ππ₯
Ξ© 1Ξ© 1
= β« (π·1π π
2π1
ππ₯2β π1π1 β ππ1 + ππ1 + π2π1 + π3π1 β ππ1)Ξ©1
dx
Petrus Fendiyanto/1213201002 15
+ β« (π·1πΈ π
2πΈ1
ππ₯2+ π4πΈ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + π5πΈ1 β ππΈ1 + π6πΈ1) ππ₯Ξ©1
+β« (π·1πΌ π
2πΌ1
ππ₯2+ π7πΌ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏπΌ1 + π8πΌ1 β πππΌ1) ππ₯Ξ©1
+β« (π·1π π
2π 1
ππ₯2+ π9π 1 β π10π 1 β πΌπ 1 β πΏπ 1) ππ₯Ξ©1
= π·1π π
2π1
ππ₯2+ π·1
πΈ π2πΈ1
ππ₯2+ π·1
πΌ π2πΌ1
ππ₯2+ π·1
π π2π 1
ππ₯2+ β« (βπ1 β π + π + π2 + π3 βΞ©1
π)π1 ππ₯ + β« (π4 β πΎ β π β π + π5 β π + π6) πΈ1 ππ₯Ξ©1 + β« (π7 β π β π β πΏ +Ξ©1
π8π β ππ) πΌ1ππ₯ + β« (π9 β π10 β πΌ β πΏ) π 1ππ₯Ξ©1 (35)
Dengan menggunakan kondisi batas pada persamaan (6) sehingga diperoleh:
ππ1β(π‘)
ππ‘= β« (βπ1 β π + π + π2 + π3 β π)π1 ππ₯ + β« (π4 β πΎ β π β π + π5 β π +Ξ©1Ξ©1
π6) πΈ1 ππ₯ + β« (π7 β π β π β πΏ + π8π β ππ) πΌ1ππ₯Ξ©1+ β« (π9 β π10 β πΌ βΞ©1
πΏ) π 1ππ₯ (36)
e. Menganalisa Parameter Yang Ada Dalam Persamaan
Suku-suku yang terdapat dalam persamaan (36) dianalisa dan menafsirkannya
sehingga diperoleh penyelesaian positif.
Suspectible
i. Parameter π1 menunjukkan rate berkurangnya populasi π1 menjadi bagian πΈ1
dikarenakan π1 melakukan kontak dengan πΌ1. Oleh karena βπ1π1 menunjukkan
berkurangnya jumlah populasi π1, maka wajar jika keadaan akhir diinginkan
jumlah individu dalam populasi semuanya sehat (suspectible), yaitu pada π‘ =
[0,β), sehingga di keadaan akhir diharapkan besarnya π1 akan semakin kecil
dan mendekati nol. Dengan demikian, diasumsikan limπ‘ ββ
π1(π‘)π1 β 0.
Petrus Fendiyanto/1213201002 16
ii. Suku (βπ + π)π1 mempresentasikan jumlah populasi alami π1. Diasumsikan
rate kelahiran (π) lebih besar dari pada rate kematian (π) dan diinginkan
kelahiran meningkat dan kematian menurun mendekati nol. Dengan demikian,
dikeadaan akhir limπ‘ ββ
(βπ(π‘) + π(π‘))π1 = π1π1 > 0.
iii. Parameter π2 menunjukkan rate bertambahnya jumlah populasi π1 yang
sebanding dan disebabkan oleh bertambahnya jumlah individu sembuh π 1,
sehingga π 1 menjadi bagian π1. Di keadaan akhir diharapkan semua individu
sakit menjadi sembuh semuanya sehingga menambah jumlah populasi π1.
Dengan demikian, limπ‘ ββ
( π2(π‘))π1 = π2π1 > 0.
iv. Parameter π3 mendefinisikan rate bertambahnya jumlah populasi π1 yang
sebanding dan disebabkan oleh berpindahnya individu π2 ke lokasi 1, sehingga
menjadi bagian π1. Karena diharapkan π1 semakin meningkat, dengan demikian
limπ‘ ββ
( π3(π‘))π1 = π3π1 > 0.
v. Parameter π mengartikan rate perpindahan individu π1 ke lokasi 2 sehingga
menjadi bagian π2. Dengan demikian akan mengurangi jumlah populasi π1.
Diasumsikan bahwa dengan bertambahnya waktu, laju perpindahan individu π1
ke lokasi 2 semakin menurun mendekati nol sehingga limπ‘ ββ
( π(π‘))π1 β 0.
Exposed
i. Parameter π4 menunjukkan rate bertambahnya jumlah populasi πΈ1 dikarenakan
π1 melakukan kontak dengan πΌ1 dan menjadi πΈ1. Dengan demikian
limπ‘ ββ
( π4(π‘))πΈ1 = π1πΈ1 > 0.
Petrus Fendiyanto/1213201002 17
ii. Suku πΎπΈ1 mendefinisikan jumlah populasi individu πΈ1 yang menjadi πΌ1 dengan
πΎ adalah rate transisi dari Exposed menjadi Infected, sehingga mengurangi
jumlah populasi πΈ1 dan menambah jumlah populasi πΌ1. Di keadaan akhir
tentunya diharapkan jumlah individu yang sakit (atau dari Exposed menjadi
Infected) semakin berkurang. Dengan demikian, diasumsikan limπ‘ ββ
( πΎ(π‘))πΈ1 β
0 .
iii. Suku (βπ β π)πΈ1 mempresentasikan berkurangnya jumlah populasi πΈ1
dikarenakan oleh individu πΈ1 yang mati dengan kelajuan π dan berkurangnya
jumlah populasi πΈ1 dikarenakan kelahiran dengan laju kelahiran π, di mana bayi
yang lahir diasumsikan sehat. Oleh karena diinginkan jumlah populasi Exposed
semakin menurunn maka diharapkan limπ‘ ββ
(βπ(π‘) β π(π‘))πΈ1 β 0.
iv. Parameter π5 menunjukkan rate bertambahnya jumlah populasi πΈ1 dikarenakan
pergerkan individu πΈ2 ke lokasi 1 sehingga menjadi bagian πΈ1. Dengan
demikian, limπ‘ ββ
( π5(π‘))πΈ1 = π2πΈ1 > 0
v. Parameter π mengartikan rate perpindahan individu πΈ1 ke lokasi 2, sehingga
menjadi bagian πΈ2. Dengan demikian akan mengurangi jumlah populasi πΈ1.
Diasumsikan bahwa dengan bertambahnya waktu, laju perpindahan individu πΈ1
ke lokasi 2 semakin menurun mendekati nol karena berkurangnya populasi πΈ1,
sehingga limπ‘ ββ
( π(π‘))πΈ1 β 0.
vi. Parameter π6 mendefinisikan rate bertambahnya jumlah populasi πΈ1
dikarenakan oleh individu π 1 yang terjangkit penyakit kembali tetapi belum
menunjukkan gejala, sehingga menjadi bagian πΈ1. Diharapkan di keadaan akhir
Petrus Fendiyanto/1213201002 18
jumlah individu π 1 semakin banyak dan tidak terjangkit penyakit kembali.
Dengan demikian, limπ‘ ββ
( π6(π‘))πΈ1 β 0.
Infected
i. Parameter π7 mendefinisikan rate bertambahnya jumlah populasi πΌ1 yang
disebabkan oleh transisi individu πΈ1 menjadi πΌ1. Oleh karena diinginkan
bahwa jumlah populasi πΌ1 semakin menurun dengan berjalannya waktu π‘ =
[0,β), dengan kata lain populasi sehat bertambah banyak, maka
limπ‘ ββ
( π7(π‘))πΌ1 β 0.
ii. Suku (βπ β π)πΌ1 mendeskripsikan jumlah populais πΌ1 dikarenakan oleh
individu πΌ1 yang mati dengan kelajuan π dan berkurangnyan jumlah
populasi πΌ1 dikarenakan kelahiran dengan laju kelahiran π, dimana bayi
yang lahir diasumsikan sehat. Oleh karena diinginkan jumlah populasi
Infected semakin menurun, maka asumsikan limπ‘ ββ
(βπ(π‘) β π(π‘))πΌ1 β 0.
iii. Suku πΏπΌ1 mengartikan jumlah populasi πΌ1 yang sembuh secara alami dengan
kelajuan πΏ sehingga mengurangi jumlah populasi πΌ1. Oleh karena
diinginkan jumlah populasi πΌ1 semakin menurun dengan bertambahnya
waktu, maka diasumsikan limπ‘ ββ
( πΏ(π‘))πΌ1 β 0.
iv. Suku ππ8πΌ1 menyatakan bertambahnya jumlah populasi πΌ1 yang sebanding
dengan perpindahan πΌ1 ke lokasi 1. Oleh karena diinginkan jumlah populasi
πΌ1 semakin menurun dengan bertambahnya waktu maka
limπ‘ ββ
( π8(π‘)π(π‘))πΌ1 β 0.
Petrus Fendiyanto/1213201002 19
v. Suku πππΌ1 menyatakan berkurangnya jumlah populasi πΌ1 dikarenakan
pergerakan populasi πΌ1 ke lokasi 2. Oleh karena diinginkan jumlah populasi
πΌ1 semakin menurun dengan bertambahnya waktu maka
limπ‘ ββ
( π(π‘) π(π‘))πΌ1 β 0
Recovery
i. Parameter π9 menyatakan rate bertambahnya jumlah populasi π 1 yang
sebanding dengan jumlah individu Infected πΌ1 yang sembuh menjadi
Recovery, sehingga menjadi π 1. Di keadaan akhir diinginkan bahwa jumlah
populasi sakit yang sembuh semakin banyak. Dengan demikian
limπ‘ ββ
( π9(π‘))π 1 = π1π 1 > 0.
ii. Parameter π10 menyatakan rate berkurangnya jumlah populasi π 1 yang
sebanding dan disebabkan oleh kematian individu πΈ1. Dengan
mengasumsikan jumlah populasi Exposed πΈ1 semakin menurun dengan
bertambahnya waktu, maka limπ‘ ββ
( π10(π‘))π 1 β 0
iii. Suku πΌπ 1 mengartikan individu Recovery π 1 yang terjangkit penyakit
kemabali tetapi belum menunjukkan gejala atau masih dalam masa inkubasi
dengan rate sebesar πΌ. Dengan demikian aka mengurangi jumlah populasi
π 1. Dengan mengasumsikan bahwa jumlah populasi sehat semakin
meningkat bersamaan dengan bertambahnya waktu, maka berakibat akan
menurunkan populasi Recovery π 1 itu sendiri karena sembuh menjadi
bagian π1. Sehingga limπ‘ ββ
(Ξ±(π‘))π 1 β 0.
Petrus Fendiyanto/1213201002 20
iv. Dengan mengasumsikan bahwa jumlah populasi sehat akan semakin
meningkat bersamaan dengan bertambahnya waktu, maka berakibat akan
menurunkan populasi Recovery π 1 itu sendiri karena sembuh manjadi
bagian π1. Maka dengan bertambahnya waktu πΏπ 1 akan menuju nol Karena
berkurangnya jumlah populasi π 1 sehingga limπ‘ ββ
(Ξ΄(π‘))π 1 β 0 .
Berdasarkan analisis yang telah dikemukakan di atas, maka dapat dibuat suatu teorema
sebagai berikut:
Teorema 1
Jika (π1β, πΈ1
β, πΌ1β, π 1
β ) merupakan sub sistem dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) maka
terdapat parameter π1, π2, π3 > 0 yang berasosiasi dengan π1β, parameter π1, π2 > 0 yang
berasosiasi dengan πΈ1β dan parameter π1 > 0 yang berasosiasi dengan π 1
β sedemikian
hingga subsistem persamaan (1), (2), (3), dan (4) mempunyai penyelesaian positif.
Bukti:
Dari persamaan yang telah direduksi pada jumlah populasi sub sistem di lokasi 1
ππ1β(π‘)
ππ‘= β« (βπ1 β π + π + π2 + π3 β π)π1 ππ₯ + β« (π4 β πΎ β π β π + π5 β π +Ξ©1Ξ©1
π6) πΈ1 ππ₯ + β« (π7 β π β π β πΏ + π8π β ππ) πΌ1ππ₯Ξ©1+ β« (π9 β π10 β πΌ β πΏ) π 1ππ₯Ξ©1
Dengan mengambil nilai limit π‘ β β sehingga diperoleh
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= limπ‘ββ
(β« (βπ1 β π + π + π2 + π3 β π)π1 ππ₯ + β« (π4 β πΎ β π β π + π5 βΞ©1Ξ©1
π + π6) πΈ1 ππ₯ + β« (π7 β π β π β πΏ + π8π β ππ) πΌ1ππ₯Ξ©1+ β« (π9 β π10 βΞ©1
πΌ β πΏ) π 1ππ₯)
Petrus Fendiyanto/1213201002 21
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= limπ‘ββ
(β« (βπ1 β π + π + π2 + π3 β π)π1 ππ₯Ξ©1) + lim
π‘ ββ( β« (π4 β πΎ β π βΞ©1
π + π5 β π + π6) πΈ1 ππ₯) + limπ‘ ββ
(β« (π7 β π β π β πΏ + π8π βΞ©1
ππ) πΌ1ππ₯ ) + limπ‘ ββ
(β« (π9 β π10 β πΌ β πΏ) π 1ππ₯Ξ©1)
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= β« lim
π‘ ββ(βπ1 β π + π + π2 + π3 β π) π1 ππ₯ + β« lim
π‘ ββ(π4 β πΎ β π β π +Ξ©1Ξ©1
π5 β π + π6) πΈ1 ππ₯ + β« limπ‘ ββ
(π7 β π β π β πΏ + π8π β ππ) πΌ1ππ₯ +Ξ©1
β« limπ‘ ββ
(π9 β π10 β πΌ β πΏ) π 1ππ₯ Ξ©1
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= β« (0 + π1 + π2 + π3 + 0)π1 ππ₯ + β« (π1 + 0 + 0 + π2 + 0 + 0) πΈ1 ππ₯ Ξ©1Ξ©1
+
β« (0 β 0 β 0 β 0 + 0 β 0)πΌ1ππ₯ + β« (π1 β 0 β 0 β 0) π 1ππ₯ Ξ©1Ξ©1
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= β« (π1 + π2 + π3)π1 (π₯, π‘)ππ₯ + β« (π1 + π2) πΈ1(π₯, π‘) ππ₯ Ξ©1Ξ©1
+ β« (0)πΌ1ππ₯ +Ξ©1
β« (π1) π 1(π₯, π‘)ππ₯ Ξ©1
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= (π1 + π2 + π3) β« π1 (π₯, π‘)ππ₯ + (π1 + π2) β« πΈ1(π₯, π‘) ππ₯ Ξ©1Ξ©1
+
π1 β« π 1(π₯, π‘)ππ₯Ξ©1
Misalkan :
π1β(π‘) = β« π1 (π₯, π‘)ππ₯Ξ©1
πΌ1β(π‘) = β« πΌ1 (π₯, π‘)ππ₯Ξ©1
πΈ1β(π‘) = β« πΈ1 (π₯, π‘)ππ₯Ξ©1
π 1β(π‘) = β« π 1 (π₯, π‘)ππ₯Ξ©1
Sehingga diperoleh
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= (π1 + π2 + π3)π1
β(π‘) + (π1 + π2)πΈ1β(π‘) + π1π 1
β(π‘)
Oleh karena (π1 + π2 + π3)π1β(π‘) > 0 , (π1 + π2)πΈ1
β(π‘) > 0, dan π1π 1β(π‘) > 0
Petrus Fendiyanto/1213201002 22
Maka
limπ‘ββ
ππ1β(π‘)
ππ‘= (π1 + π2 + π3)π1
β(π‘) + (π1 + π2)πΈ1β(π‘) + π1π 1
β(π‘) > 0
Dengan demikian terbukti bahwa persamaan (1), (2), (3), dan (4) yang merupakan model
sub sistem di lokasi 1 mempunyai penyelesaian positif.
2). Model Mempunyai Penyelesaian Dan Bersifat Tunggal
Misalkan sistem dinamik tak linear berbentuk ππ
ππ‘= π(π(π‘), π‘), π(0) = π0, dengan
π β βπ dan π‘ β β+, untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian global
dari model digunakan Asumsi Desoure, yaitu:
a. π β β+ memuat titik berhingga tiap satuan interval.
b. Untuk setiap π β βπ, π(π, π‘) kontinu pada π‘ β π
c. Untuk setiap π‘π β π, π(π, π‘) mempunyai limit kiri dan kanan pada π‘ = π‘π.
d. π: βπ Γ β β βπ memenuhi global Lipshitz, yaitu terdapat fungsi kontinu
sebagian demi sebagian π: β+ β β+ sehingga βπ(π1(π‘), π‘) β π(π2(π‘), π‘)β β€
π(π‘)βπ1 β π2β untuk semua π‘ β β+dan semua titik π1, π2 β βπ
Dengan menggunakan asusmsi di atas, akan ditunjukkan bahwa model sub sistem di lokasi
1 memenuhi Asumsi Desoure:
a. π» β β+ memuat titik berhingga tiap satuan interval.
Misalkan untuk semua π‘ β β+ dan semua titik-titik π1 = {π11, πΈ1
1, πΌ11, π 1
1 } β π π
dan π2 = {π12, πΈ1
2, πΌ12, π 1
2 } β π π terdapat π» β β+ memuat titik-titik berhingga tiap satuan
Petrus Fendiyanto/1213201002 23
interval yaitu π = {0 β€ π‘1 β€ π1, 0 β€ π‘2 β€ π2, 0 β€ π‘3 β€ π3, 0 β€ π‘4 β€ π4 } dan 0 β€ π1 β€
π1, 0 β€ π2 β€ π2.
b. Untuk setiap πΏ β βπ, π(πΏ, π) kontinu pada π β π»
Misalkan π = {π1, πΈ1, πΌ1, π 1} β π π, maka
π1(π‘) dengan π‘1 = [0, π1] sedemikian sehingga ππ1(π₯,π‘1)
ππ‘= π(π1, π‘1) kontinu pada
π‘1 = [0, π1].
πΈ1(π‘) dengan π‘2 = [0, π2] sedemikian sehingga ππΈ1(π₯,π‘2)
ππ‘= π(πΈ1, π‘2) kontinu pada
π‘2 = [0, π2].
πΌ1(π‘) dengan π‘3 = [0, π3] sedemikian sehingga ππΌ1(π₯,π‘3)
ππ‘= π(π1, π‘3) kontinu pada
π‘3 = [0, π3].
π1(π‘) dengan π‘1 = [0, π1] sedemikian sehingga ππ 1(π₯,π‘4)
ππ‘= π(π1, π‘4) kontinu pada
π‘4 = [0, π4].
Dengan demikian π(π, π‘) kontinu pada π sehingga π(π, π‘) kontinu pada π‘ β π.
c. Untuk setiap ππ β π», π(πΏ, π) mempunyai limit kiri dan kanan pada π = ππ.
limπ‘β π‘1
+
ππ1
ππ‘= ada lim
π‘β π‘1β
ππ1
ππ‘= ada
limπ‘β π‘2
+
ππΈ1
ππ‘= ada lim
π‘β π‘2β
ππΈ1
ππ‘= ada
limπ‘β π‘3
+
ππΌ1
ππ‘= ada lim
π‘β π‘3β
ππΌ1
ππ‘= ada
limπ‘β π‘4
+
ππ 1
ππ‘= ada lim
π‘β π‘4β
ππ 1
ππ‘= ada
Petrus Fendiyanto/1213201002 24
d. π: βπ Γ β β βπ memenuhi global Lipshitz, yaitu terdapat fungsi kontinu
sebagian demi sebagian π: β+ β β+ sehingga βπ(πΏπ(π), π) β π(πΏπ(π), π)β β€
π(π)βπΏπ β πΏπβ untuk semua π β β+dan semua titik πΏπ, πΏπ β βπ
Model matematika berikut merupakan model sistem yang merupakan pengembangan
dari model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005).
2 1
1211112
1
2
11 )()(
1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS
x
SSDt
S
2 1
112111112
1
2
1
1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx
EEDt
E
12
1211112
1
2
11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE
x
ID
t
I I
11112
1
2
1
1 RRdEIx
RRDt
R
Mereduksi bentuk integral dengan π·1π π
2π1
ππ₯2 = π·1
πΈ π2πΈ1
ππ₯2 = π·1
πΌ π2πΌ
ππ₯2= 0 sehingga
persamaan di atas menjadi:
ππ1
ππ‘= βπ½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏ π 1 + π π1 β ππ2 (37)
ππΈ1
ππ‘= π½βπ1πΌ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + π πΈ1 β ππΈ2 + πΌπ 1 (38)
ππΌ1
ππ‘= πΎπΈ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 + π πΌ1 β ππΌ2 (39)
ππ 1
ππ‘= πΏπΌ1 + ππΈ1 β πΌπ 1 β πΏπ 1 (40)
Dengan menggunakan asumsi yang ada, maka diperoleh
ππ1
ππ‘= βπ1π1 β ππ1 + ππ1 + π2π1 + π π1 β ππ2 (41)
ππΈ1
ππ‘= π3πΈ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + π πΈ1 β ππΈ2 + π4πΈ1 (42)
ππΌ1
ππ‘= π5πΌ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 + π πΌ1 β ππΌ2 (43)
ππ 1
ππ‘= π6π 1 β πΌπ 1 β πΏπ 1 (44)
Sehingga dapat dibentuk menjadi
ππ1
ππ‘= βπ1π1 β ππ1 + ππ1 + π2π1 + π π1 β ππ2 = π(π1, π‘) (45)
Petrus Fendiyanto/1213201002 25
ππΈ1
ππ‘= π3πΈ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + π πΈ1 β ππΈ2 + π4πΈ1 = π(πΈ1, π‘) (46)
ππΌ1
ππ‘= π5πΌ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 + π πΌ1 β ππΌ2 = π(πΌ1, π‘) (47)
ππ 1
ππ‘= π6π 1 β πΌπ 1 β πΏπ 1 = π(π 1, π‘) (48)
Dapat ditulis menjadi
ππ1
ππ‘= π(π1(π‘), π‘) (49)
ππΈ1
ππ‘= π(πΈ1(π‘), π‘) (50)
ππΌ1
ππ‘= π(πΌ1(π‘), π‘) (51)
ππ 1
ππ‘= π(π 1(π‘), π‘) (52)
Dengan bentuk ππ₯
ππ‘= π(π₯, π‘), π₯ β π π yang kontinu di π‘ β π. Dimana π: π π Γ π + βΆ π + dengan
π = 4 yang memenuhi bentuk berikut:
βπ(π₯1, π‘) β π(π₯2, π‘)β β€ π(π‘)βπ₯1 β π₯2β (53)
Dalam hal ini π(π‘) menunjukkan kontinu sebagian demi sebagian.
Misalkan terdapat vektor π1 = [π11, π1
2], πΈ1 = [πΈ11, πΈ1
2], πΌ1 = [πΌ11, πΌ1
2], dan π 1 = [π 11, π 1
2]
sedemikian sehingga memenuhi:
i. Suspectible
π(π11, π‘) = βπ1π1
1 β ππ11 + ππ1
1 + π2π11 + π π1
1 β ππ21 (54)
π(π12, π‘) = βπ1π1
2 β ππ12 + ππ1
2 + π2π12 + ππ1
2 β ππ22 (55)
Dari persamaan (34) dan (35) diperoleh:
π(π11, π‘) β π(π1
2, π‘) = (βπ1π11 β ππ1
1 + ππ11 + π2π1
1 + ππ11 β ππ2
1) β
(βπ1π12 β ππ1
2 + ππ12 + π2π1
2 + ππ12 β ππ2
2)
= βπ1π11 β ππ1
1 + ππ11 + π2π1
1 + ππ11 β ππ2
1 +
π1π12 + ππ1
2 β ππ12 β π2π1
2 β ππ12 + ππ2
2
= βπ1π11 + π1π1
2 β ππ11 + ππ1
2 + ππ11 β ππ1
2 +
Petrus Fendiyanto/1213201002 26
π2π11 β π2π1
2 + ππ11 β ππ1
2 β ππ21 + ππ2
2
= βπ1(π11 β π1
2) β π(π11 β π1
2) + π(π11 β π1
2) +
π2(π11 β π1
2) + π(π11 β π1
2) β π(π21 β π2
2) (56)
ii. Exposed
π(πΈ11, π‘) = π3πΈ1
1 β πΎπΈ11 β ππΈ1
1 β ππΈ11 + ππΈ1
1 β ππΈ21 β π4πΈ1
1 (57)
π(πΈ12, π‘) = π3πΈ1
2 β πΎπΈ12 β ππΈ1
2 β ππΈ12 + ππΈ1
2 β ππΈ22 β π4πΈ1
2 (58)
Dari persamaan (37) dan (38) diperoleh:
π(π11, π‘) β π(π1
2, π‘) = (π3πΈ11 β πΎπΈ1
1 β ππΈ11 β ππΈ1
1 + ππΈ11 β ππΈ2
1 β π4πΈ11) β
β(π3πΈ12 β πΎπΈ1
2 β ππΈ12 β ππΈ1
2 + ππΈ12 β ππΈ2
2 β π4πΈ12)
= π3πΈ11 β πΎπΈ1
1 β ππΈ11 β ππΈ1
1 + ππΈ11 β ππΈ2
1 β π4πΈ11 +
βπ3πΈ12 + πΎπΈ1
2 + ππΈ12 + ππΈ1
2 β ππΈ12 + ππΈ2
2 + π4πΈ12
= π3πΈ11 β π3πΈ1
2 β πΎπΈ11 + πΎπΈ1
2 β ππΈ11 + ππΈ1
2 β ππΈ11 +
ππΈ12 + ππΈ1
1 β ππΈ12 β ππΈ2
1 + ππΈ22 β π4πΈ1
1 + π4πΈ12
= π3(πΈ11 β πΈ1
2) β πΎ(πΈ11 β πΈ1
2) β π(πΈ11 β πΈ1
2) β π(πΈ11 β πΈ1
2)
+π(πΈ11 β ππΈ1
2) β π(πΈ21 β πΈ2
2) β π4(πΈ11 + πΈ1
2) (59)
iii. Infected
π(πΌ11, π‘) = π5πΌ1
1 β ππΌ11 β ππΌ1
1 β πΏπΌ11 + ππΌ1
1 β ππΌ21 (60)
π(πΌ12, π‘) = π5πΌ1
2 β ππΌ12 β ππΌ1
2 β πΏπΌ12 + ππΌ1
2 β ππΌ22 (61)
Dari persamaan (40) dan (41) diperoleh:
π(πΌ11, π‘) β π(πΌ1
2, π‘) = (π5πΌ11 β ππΌ1
1 β ππΌ11 β πΏπΌ1
1 + ππΌ11 β ππΌ2
1) β
(π5πΌ12 β ππΌ1
2 β ππΌ12 β πΏπΌ1
2 + ππΌ12 β ππΌ2
2)
= π5πΌ11 β ππΌ1
1 β ππΌ11 β πΏπΌ1
1 + ππΌ11 β ππΌ2
1 β
π5πΌ12 + ππΌ1
2 + ππΌ12 + πΏπΌ1
2 β ππΌ12 + ππΌ2
2
Petrus Fendiyanto/1213201002 27
= π5πΌ11 β π5πΌ1
2 β ππΌ11 + ππΌ1
2 β ππΌ11 + ππΌ1
2 β
πΏπΌ11 + πΏπΌ1
2 + ππΌ11 β ππΌ1
2 β ππΌ21 + ππΌ2
2
= π5(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ11 β πΌ1
2) β
πΏ(πΌ11 β πΌ1
2) + π(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ21 β πΌ2
2) (62)
iv. Recovery
π(π 11, π‘) = π6π 1
1 β πΌπ 11 β πΏπ 1
1 (63)
π(π 12, π‘) = π6π 1
2 β πΌπ 12 β πΏπ 1
2 (64)
Dari persamaan (43) dan (44) diperoleh:
π(π 11, π‘) β π(π 1
2, π‘) = (π6π 11 β πΌπ 1
1 β πΏπ 11) β(π6π 1
2 β πΌπ 12 β πΏπ 1
2)
= π6π 11 β πΌπ 1
1 β πΏπ 11 β π6π 1
2 + πΌπ 12 + πΏπ 1
2
= π6π 11 β π6π 1
2 β πΌπ 11 + πΌπ 1
2 β πΏπ 11 + πΏπ 1
2
= π6(π 11 β π 1
2) β πΌ(π 11 β π 1
2) β πΏ(π 11 β π 1
2) (65)
Matriks Norm
βπ(π₯1, π‘) β (π₯2, π‘)β = ββ
π(π11, π‘) β π(π1
2, π‘)
π(πΈ11, π‘) β π(πΈ1
2, π‘)
π(πΌ11, π‘) β π(πΌ1
2, π‘)
π(π 11, π‘) β π(π 1
2, π‘)
ββ = β
π11π21π31π41
β (66)
Karena dalam tugas ini yang menjadi bahan pengamatan hanya satu lokasi saja
yaitu subpopulasi pada lokasi 1, maka π11 = π11. Dengan:
βπ11β = ππππ ββ|πππ|
3
π=1
β (67)
Dengan ketentuan π11 = π11 + π11 β βπ11β β€ βπ11β + βπ11β (68)
Sehingga dipeoleh:
1. Suspectible
π11 = βπ1(π11 β π1
2) β π(π11 β π1
2) + π(π11 β π1
2) + π2(π11 β π1
2) + π(π11 β π1
2) β π(π21 β π2
2)
π11 = (βπ1 β π β +π β +π2 + π)(π11 β π1
2) β π(π21 β π2
2)
Petrus Fendiyanto/1213201002 28
βπ11β = β(βπ1 β π β +π β +π2 + π)(π11 β π1
2) β π(π21 β π2
2)β
Dengan menggunakan aturan (48), maka diperoleh:
βπ11β β€ β(βπ1 β π + π + π2 + π)(π11 β π1
2)β β βπ(π21 β π2
2)β (69)
2. Exposed
π11 = π3(πΈ11 β πΈ1
2) β πΎ(πΈ11 β πΈ1
2) β π(πΈ11 β πΈ1
2) β π(πΈ11 β πΈ1
2) + π(πΈ11 β ππΈ1
2)
βπ(πΈ21 β πΈ2
2) β π4(πΈ11 + πΈ1
2)
π11 = (π3 β πΎ β π β π + π β π4)(πΈ11 β πΈ1
2) β π(πΈ21 β πΈ2
2)
βπ11β = β(π3 β πΎ β π β π + π β π4)(πΈ11 β πΈ1
2) β π(πΈ21 β πΈ2
2)β
Dengan menggunakan aturan (39), maka diperoleh sebagai berikut:
βπ11β β€ βπ3 β πΎ β π β π + π β π4)(πΈ11 β πΈ1
2)β β βπ(πΈ21 β πΈ2
2β (70)
3. Infected
π11 = π5(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ11 β πΌ1
2) β πΏ(πΌ11 β πΌ1
2) + π(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ21 β πΌ2
2)
π11 = (π5 β π β π β πΏ + π)(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ21 β πΌ2
2)
βπ11β = β(π5 β π β π β πΏ + π)(πΌ11 β πΌ1
2) β π(πΌ21 β πΌ2
2)β
Dengan menggunakan aturan (39), maka diperoleh sebagai berikut:
βπ11β β€ β(π5 β π β π β πΏ + π)(πΌ11 β πΌ1
2)β β βπ(πΌ21 β πΌ2
2)β (71)
4. Recovery
π11 = π6(π 11 β π 1
2) β πΌ(π 11 β π 1
2) β πΏ(π 11 β π 1
2)
π11 = (π6 β πΌ β πΏ)(π 11 β π 1
2)
βπ11β = β(π6 β πΌ β πΏ)(π 11 β π 1
2)β (72)
Selanjutnya persamaan (49), (50), (51) dan (52) akan dibuat kedalam bentuk matrik
norm seperti pada persamaan (47), sehingga persamaan tersebut menjadi:
βπ(π₯1, π‘) β (π₯2, π‘)β = ββ
(βπ1 β π + π + π2 + π)(π11 β π1
2)
(π3 β πΎ β π β π + π β π4)(πΈ11 β πΈ1
2)
(π5 β π β π β πΏ + π)(πΌ11 β πΌ1
2)
(π6 β πΌ β πΏ)(π 11 β π 1
2)
ββ = ββ
π(π21 β π2
2)
π(πΈ21 β πΈ2
2
π(πΌ21 β πΌ2
2)0
ββ (73)
Petrus Fendiyanto/1213201002 29
Dari semua uraian di atas, maka dapat dibentuk suatu teorema sebagai berikut:
Teorema 2
Jika parameter-parameter laju transmisi, laju perubahan, dan laju penyembuhan antara
subpopulasi maupun antara lokasi pada model (1), (2), (3), dan (4) merupakan fungsi
kuadrat, dan S1(t), E1(t), E1(t), R1(t) masing-masing adalah fungsi kontinu pada β+,
serta diasumsikan proporsi perpindahan populasi antara lokasi dan gejala infeksi bernilai
konstan, maka model (1), (2), (3), dan (4) mempunyai penyelesaian tunggal.
Bukti:
Model sistem persamaan setelah direduksi
ππ1
ππ‘= βπ1π1 β ππ1 + ππ1 + π2π1 + π π1 β ππ2 = ππ1(π1, π‘)
ππΈ1
ππ‘= π3πΈ1 β πΎπΈ1 β ππΈ1 β ππΈ1 + π πΈ1 β ππΈ2 + π4πΈ1 = ππΈ1(πΈ1, π‘)
ππΌ1
ππ‘= π5πΌ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 + π πΌ1 β ππΌ2 = ππΌ1(ππΌ1, π‘)
ππ 1
ππ‘= π6π 1 β πΌπ 1 β πΏπ 1 = ππ 1(π 1, π‘)
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi
π(π1, π‘) =ππ1(π‘)
ππ‘ (74)
dimana
π1 = (
π1πΈ1πΌ1π 1
)
Pada kasus ini parameter-parameter laju transmisi, laju perpindahan, dan laju
penyembuhan antar subpopulasi maupun antar lokasi yaitu π1, π, π, π2, π, π3, πΎ, π4, πΏ, π6,
dan πΌ diasumsikan sebagai fungsi kuadrat dengan variabel waktu π‘.
Misalkan :
(βπ1 β π + π + π2 + π) = ππ (π‘) (75)
(π3 β πΎ β π β π + π + π4) = ππΈ(π‘) (76)
(π5 β π β π β πΏ + π) = ππΌ(π‘) (77)
(π6 β πΌ β πΏ) = ππ (π‘) (78)
Petrus Fendiyanto/1213201002 30
Maka masing-masing persamaan di atas adalah fungsi kuadrat. Di samping itu, berdasarkan
(75), (76), (77), dan (78) maka persamaan (74) menjadi
π(π1, π‘) =
(
ππ(π‘)π1(π‘)
ππΈ(π‘)πΈ1(π‘)
ππΌ(π‘)πΌ1(π‘)
ππ (π‘)π 1(π‘))
=
(
ππ1(π1, π‘)
ππΈ1(πΈ1, π‘)
ππΌ1(πΌ1, π‘)
ππ1(π 1, π‘))
(79)
Sebelum ditunjukkan bahwa persamaan (59) mempunyai penyelesaian tunggal, maka
terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa ππ(π‘), ππΈ(π‘), ππΌ(π‘), dan ππ (π‘), dimana telah
diketahui bahwa ππ(π‘), ππΈ(π‘), ππΌ(π‘), dan ππ (π‘) masing-masing adalah jenis fungsi
kuadrat. Dengan konsep pada Analisis Real, akan dibuktikan bahwa sebarang fungsi
kuadrat π(π‘) = ππ‘2 + ππ‘ + π, dengan π, π, π adalah suatu konstanta, adalah fungsi kontinu
pada β.
Ambil sebarang ν > 0, lalu untuk setiap π’ β β ambil suatu πβ² > 0 sedemikian
hingga |π‘ β π’| < πβ², maka jika diberikan π > 0 dimana π = inf {πβ²,|π(π‘+π’) +π|
}, maka
untuk setiap π’ yang memenuhi |π‘ β π’| < π diperoleh
|π‘ + π’| < inf {πβ²,ν
|π(π‘ + π’) + π|}
Maka
|π‘ + π’| <ν
|π(π‘ + π’) + π|
Sehingga |π‘ β π’||π(π‘ + π’) + π| < ν dengan demikian didapat |π(π‘ β π’)(π‘ + π’) + π(π‘ β
π’)| < ν maka didapat |π(π‘2 β π’2) + π(π‘ β π’) β π + π| < ν,ini berarti (ππ‘2 + ππ‘ + π) β
(ππ’2 + ππ’ + π) < ν.
Jadi |π(π‘) β π(π’)| < ν untuk |π‘ β π’| < πΌ, ini artinya sebarang fungsi kuadrat π(π‘)
kontinu pada β.
Selanjutnya akan dicari eksistensi ketunggalan penyelesaian dari persamaan (59) dengan
Asumsi Desoure.
i. Ambil π β β+ yang memuat titik-titik berhingga persatuan interval sedemikian
sehingga:
π = [0, π1] βͺ [0, π2] βͺ [0, π3] βͺ [0, π4], dengan π1, π2, π3, π4 β β+ memenuhi
π1(π‘), π‘ β π1
πΈ1(π‘), π‘ β π2
Petrus Fendiyanto/1213201002 31
πΌ1(π‘), π‘ β π3
π 1(π‘), π‘ β π4
ii. Akan ditunjukkan ππ 1 , ππΈ1 , ππΌ1 dan , ππ 1 adalah fungsi kontinu pada π‘ β π. Dalam hal
ini dianggap π1(π‘), πΈ1(π‘), πΈ1(π‘), dan π 1(π‘) adalah fungsi kontinu pada β+, maka
ππ1(π1, π‘) = ππ (π‘) π1(π‘)
ππΈ1(πΈ1, π‘) = ππ (π‘) πΈ1(π‘)
ππΌ1(πΌ1, π‘) = ππ (π‘) πΌ1(π‘)
ππ 1(π 1, π‘) = ππ (π‘) π 1(π‘)
Masing-masing adalah fungsi kontinu pada β+, sebab telah diketahui
ππ(π‘), ππΈ(π‘), ππΌ(π‘), dan ππ (π‘) adalah fungsi kuadrat, akibat ontinu pada pada β+,
sedangkan perkalian antara fungsi kontinu dengan fungsi kontinu menghasilkan
fungsi kontinu, maka otomatis ππ 1 , ππΈ1 , ππΌ1 dan , ππ 1 juga fungsi kontinu pada β+\π β
β+ yang berarti kontinu pada π‘ β π.
iii. Jelas bahwa π(π1, π‘) (kasus di lokasi 1) π(π2, π‘) (kasus di lokasi 2) dan merupakan
fungsi dari β3 Γ β+ ke β3. Diberikan β β β adalah norm baku Euclid di βπ, yaitu
βπ¦β = ββ π¦π2π
π=1 , dimana π¦ = (π¦π)π=1π β βπ, maka dalam hal ini untuk kasus
model di atas berada dalam β3 didapat
βπ(π2, π‘) β π(π1, π‘)β = ββ
ππ (π‘) (π2(π‘) β π1(π‘))
ππΈ(π‘) (πΈ2(π‘) β πΈ1(π‘))
ππΌ(π‘) (πΌ2(π‘) β πΌ1(π‘))
ππ (π‘) (π 2(π‘) β π 1(π‘))
ββ
= β(ππ (π‘) (π2(π‘) β π1(π‘))2 + (ππΈ(π‘) (πΈ2(π‘) β πΈ1(π‘)))
2 + (ππΌ(π‘) (πΌ2(π‘) β πΌ1(π‘)))2 + (ππ (π‘) (π 2(π‘) β π 1(π‘)))
2
β€ βππππ {|ππ(π‘)|, |ππΈ(π‘)|, |ππΌ(π‘)|, |ππ (π‘)|}2 Γ
β (π2(π‘) β π1(π‘))2 + (πΈ2(π‘) β πΈ1(π‘)))2 + (πΌ2(π‘) β πΌ1(π‘)))2 + (π 2(π‘) β π 1(π‘)))2
=ππππ {|ππ(π‘)|, |ππΈ(π‘)|, |ππΌ(π‘)|, |ππ (π‘)|} Γ
β (π2(π‘) β π1(π‘))2 + (πΈ2(π‘) β πΈ1(π‘)))
2 + (πΌ2(π‘) β πΌ1(π‘)))2 + (π 2(π‘) β π 1(π‘)))
2
= πΎ(π‘)βπ2 β π1β
Petrus Fendiyanto/1213201002 32
Dengan πΎ(π‘) = ππππ {|ππ(π‘)|, |ππΈ(π‘)|, |ππΌ(π‘)|, |ππ (π‘)|}
Jadi :
βπ(π2, π‘) β π(π1, π‘)β β€ πΎ(π‘)βπ2 β π1β
dengan πΎ(π‘) = ππππ {|ππ(π‘)|, |ππΈ(π‘)|, |ππΌ(π‘)|, |ππ (π‘)|}
Terlihat jelas bahwa πΎ(π‘) adalah fungsi kuadrat pada β dan telah diketahui bahwa
sebarang fungsi kuadrat adalah kontinu pada β, dengan demikian πΎ(π‘) adalah fungsi
kontinu pada β.
Karena persamaan (79) yang merupakan representasi dari model sistem yang merupakan
pengembangan dari model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005) yaitu persamaan (1), (2), (3),
dan (4) memenuhi Asumsi Desour, maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian
tunggal.
3). Analisis Kestabilan
Dari persamaan model sub sistem di lokasi 1 yang merupakan pengembangan dari
model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005).
2 1
1211112
1
2
11 )()(
1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS
x
SSDt
S
2 1
112111112
1
2
1
1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx
EEDt
E
12
1211112
1
2
11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE
x
ID
t
I I
11112
1
2
1
1 RRdEIx
RRDt
R
Mereduksi bentuk integral dengan π·1π π
2π1
ππ₯2 = π·1
πΈ π2πΈ1
ππ₯2 = π·1
πΌ π2πΌ
ππ₯2= 0 sehingga
persamaan di atas menjadi :
ππ1
ππ‘= βπ½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏ π 1 + π π1 β ππ2
ππΌ1
ππ‘= πΎπΈ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 + π πΌ1 β ππΌ2
Karena pergerakan individu secara lokal tidak mempengaruhi jumlah populasi atau
sub populasi yang ada, maka:
ππ2 β ππ1 = 0 (80)
Petrus Fendiyanto/1213201002 33
ππΌ2 β ππΌ1 = 0 (81)
Substitusi persamaan (80) dan (81) ke dalam persamaan yang telah direduksi
sehingga diperoleh:
ππ1
ππ‘= βπ½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏ π 1 (82)
ππΌ1
ππ‘= πΎπΈ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 (83)
a. Stabilitas Titik Kesetimbangan Model
Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Dengan demikian titik-
titik setimbang diperoleh dari:
ππ1ππ‘= 0,
ππΌ1ππ‘= 0
Sehingga persamaan (82) dan (83) menjadi
βπ½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏ π 1 = 0 (84)
πΎπΈ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 = 0 (85)
Selanjutnya akan didapatkan titik kesetimbangan dari model dinamik dari subsistem di
atas. Ada dua titik kesetimbangan yang akan didapatkan yaitu tiik kesetimbangan yang
akan didapatkan yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik.
b. Titik Setimbang Bebas Penyakit
Jika diambil πΌ1 = 0 maka akan diperoleh titik keseimbangan bebas penyakit, dimana
keadaan ini semua individu masuk ke dalam populasi Suspectible dan tidak ada individu
Infected yang dapat menyebarkan penyakit. Dengan mensubstitusikan πΌ1 = 0 ke persamaan
(84) sehingga diperoleh
βπ½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏ π 1 = 0
βππ1 + ππ1 + πΏ π 1 = 0
ππ1 β ππ1 = πΏ π 1
(π β π)π1 = πΏ π 1
π1 =πΏπ 1
(πβπ) (86)
Jadi titik kesetimbangan bebas penyakit model sub sistem adalah π1(π1,Μ πΌ1Μ) =
(πΏπ 1
(πβπ), 0).
Petrus Fendiyanto/1213201002 34
c. Titik Setimbang Endemik
Titik setimbang endemik dipengaruhi oleh munculnya subpopulasi πΌ1 > 0. Dari
persamaan (84) dan (85) akan dicari titik kesetimbangan endemik.
Dari persamaan (85)
πΎπΈ1 β ππΌ1 β ππΌ1 β πΏ πΌ1 = 0
(π + π + πΏ) πΌ1 = πΎπΈ1
πΌ1 =πΎπΈ1
(π+π+πΏ) (87)
Dari persamaan (84)
βπ½βπ1πΌ1 β ππ1 + ππ1 + πΏ π 1 = 0
(π½βπΌ1 + π β π)π1 = πΏπ 1
π1 =πΏπ 1
π½βπΌ1+πβπ
Dengan πΌ1 =πΎπΈ1
(π+π+πΏ) sehingga diperoleh
π1 =πΏπ 1
π½β(πΎπΈ1
(π+π+πΏ))+πβπ
π1 =πΏπ 1 (π+π+πΏ)
π½β(πΎπΈ1)+(πβπ)(π+π+πΏ) (88)
Jadi titik kesetimbangan bebas penyakit model subsistem adalah π2(π1,Μ πΌ1Μ) =
(πΏπ 1 (π+π+πΏ)
π½β(πΎπΈ1)+(πβπ)(π+π+πΏ),
πΎπΈ1
(π+π+πΏ) ).
d. Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Sekarang akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan model, setelah
dilakukan proses linearisasi didapat matriks Jacobian untuk model sebagai berikut:
π½ = [βπ½βπΌ1 β π + π βπ½βπ1
0 βπ β π β πΏ]
Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit π1(π1,Μ πΌ1Μ) = (πΏπ 1
(πβπ), 0)
adalah
π½(π1) = [βπ + π βπ½β(
πΏπ 1(π β π)
)
0 βπ β π β πΏ
]
Nilai eigen dari matriks π½(π1) diperoleh dari
|π½(π1) β ππΌ| = 0
Petrus Fendiyanto/1213201002 35
|βπ + π β π βπ½β(
πΏπ 1
(πβπ))
0 βπ β π β πΏ β π| = 0
(βπ + π β π) (βπ β π β πΏ β π) = 0
π1 = βπ + π
π2 = β(π + π + πΏ) < 0
Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut:
i. π‘ππππ(π½(π1)) = (βπ + π) + (βπ β π β πΏ) = β2π β πΏ = β(2π + πΏ) < 0
sehingga titik stasioner atau kesetimbangan adalah stabil.
ii. 4det(π½(π1)) β π‘ππππ(π½(π1))2 = β(4 + (βπ + π)(π + π + πΏ))(βπ +
π)(π + π + πΏ) < 0, sehingga titik kesetimbangan π1 adalah titik yang stabil.
iii. Jika π > π, maka π1 < 0 dan π2 < 0 sehingga titik kesetimbangan bebas
penyakit stabil.
Selanjutnya akan di cari stabilitas lokal dari titik kesetimbangan endemik model
subsistem. Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan π2(π1,Μ πΌ1Μ) =
(πΏπ 1 (π+π+πΏ)
π½β(πΎπΈ1)+(πβπ)(π+π+πΏ),
πΎπΈ1
(π+π+πΏ) ) adalah
π½(π2) = [βπ½β
πΎπΈ1
(π+π+πΏ) β π + π βπ½β
πΏπ 1 (π+π+πΏ)
π½β(πΎπΈ1)+(πβπ)(π+π+πΏ)
0 βπ β π β πΏ]
Nilai eigen matriks π½(π2) diperoleh dari
|π½(π2) β ππΌ| = 0
|π΄ β π π΅0 πΆ β π
| = 0
(π΄ β π) (πΆ β π) = 0
π2 β (π΄ + πΆ)π + π΄πΆ = 0
Sehingga didapat persamaan kuadrat dengan bentuk π0π2 + π1π + π0 = 0 dengan
nilai
π0 = 1
π1 = β(π΄ + πΆ)
π2 = π΄πΆ
Petrus Fendiyanto/1213201002 36
Dengan menggunakan Metode Routh-Hurwitz untuk menunjukkan kestabilan
sistem dengan memperhatikan koefisien π2, π dan konstanta dari persamaan karakteristik
tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.
Tabel 1 Metode Routh-Hurwitz untuk koefisien π2, π pada Persamaan Karakteristik
π0 = 1 π2 = π΄πΆ π4 = 0
π1 = β(π΄ + πΆ) π3 = 0 π5 = 0
π1 = π΄πΆ π2 =π1π4 β π0π5
π1
π1 =π1π3βπ1π2
π1 π1 =
π1π5 β π1π3π1
Titik kesetimbangan π2 dari tabel 1 dikatakan stabil atau mempunyai nilai eigen
dengan bagian real negatif jika dan hanya jika π1 > 0, π2 > 0 dan π1 > 0.
Nilai π1 dapat dianalisa sebagai berikut:
π1 > 0
β(π΄ + πΆ) > 0
(π΄ + πΆ) < 0
Selanjutnya untuk π1 dapat dianalisa sebagai barikut:
π1 = π2 > 0
π΄πΆ > 0
Supaya π1 > 0, π2 > 0 dan π1 > 0 maka
(π΄ + πΆ) < 0 dan π΄πΆ > 0
Agar memenuhi dua kondisi di atas maka π΄ < 0 dan πΆ < 0
π΄ < 0
βπ½βπΎπΈ1
(π+π+πΏ)β π + π < 0
πΆ < 0
βπ β π β πΏ < 0
Dari hasil uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa
i. jika π > π maka π1 > 0, π2 > 0 dan π1 > 0 sehingga titik kesetimbangan endemik
stabil.
Petrus Fendiyanto/1213201002 37
ii. π‘ππππ(π½(π2)) = βπ½β πΎπΈ1
(π+π+πΏ) β π + π + (βπ β π β πΏ) = β2π β πΏ = β(2π +
πΏ + π½βπΎπΈ1
(π+π+πΏ) ) < 0 sehingga titik stasioner atau kesetimbangan adalah stabil.
Berdasarkan hasil analisa kestabilan, jika π > π maka titik kesetimbangan bebas penyakit
stabil dan titik kesetimbangan endemik stabil sehingga jumlah penderita banyaknya tidak
bertambah dan tidak berkurang. Sedangkan jika π < π maka titik kesetimbangan bebas
penyakit tidak stabil dan titik kesetimbangan endemik tidak stabil sehingga jumlah individu
terinfeksi bertambah dan penyebaran penyakit semakin meningkat.