Irisan Dua Lingkaran
-
Upload
joey-bartolomiussihosa -
Category
Education
-
view
5.369 -
download
2
Transcript of Irisan Dua Lingkaran
05/01/2023 1
05/01/2023 2
IRISAN 2 LINGKARAN
05/01/2023 3
Disusun Oleh
1. Alda Clarissa Sunaryo2. Felicia Christian 3. Joey Leomanz Bartolomeusihosa 4. Jyotis Sugata5. Laurencia Marcelina6. Natasha Aurelia 7. Octavia A. Putri8. Risma Ayu Setyaningrum
05/01/2023 4
IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan Lingkaran dan Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan Dua Lingkaran
Luas Irisan Dua Lingkaran Tali Busur
05/01/2023 5
Lingkaran
R
05/01/2023 6
Persamaan Lingkaran
A (x,y)r
x
yX
Y
X
YA (x,y)
P (a,b)
(x-a)
(y-b)
Lingk
aran
Ber
pusa
t di t
itik
(0,0
)
x2 + y2 = r2 r = jari-jari
(x – a)2 + (y - b)2 = r2
Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari
Lingk
aran
Ber
pusa
t di t
itik
(a,b
)
05/01/2023 7
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
CBA 2212
21 )()(
Persamaan Lingkarandalam bentuk umum
Pusat (-½A, -½B)
r =
05/01/2023 8
Hubungan Dua Lingkaran
P P P
P
P
PP
Q
Q
QQQ
R
rL2 L1
L2 L2
L2 L2 L2
L2 L1 L1
L1 L1 L1
L1
L2 di dlm L1PQ=0
L1 konsentris L2L2 di dlm L1
PQ<R-rbersinggungan di
dlmPQ=R-r
berpotongan di dlm
PQ<R-r
berpotongan di luarPQ<R-r
bersinggungan di luarPQ<R-r
terpisahPQ<R-r
PQ =
05/01/2023 9
05/01/2023 10
05/01/2023 11
05/01/2023 12
IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan Lingkaran dan Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan Dua Lingkaran
Luas Irisan Dua Lingkaran Tali Busur
05/01/2023 13
Keliling Irisan dua Lingkaran
C
B
a
c
b
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
cos α =?
Panjang Busur =
ATAU
A
r
r
n
cos α =
05/01/2023 14
Mencari titik potong dua lingkaran
Eliminasi x2 dan y2 pada kedua persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui kedua titik potong lingkaran
Substitusikan nilai x atau y dari garis tersebut ke salah satu persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan koordinat
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat pada langkah b
Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh ke persamaan lingkaran sehingga mendapatkan pasangannya
05/01/2023 15
IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan Lingkaran dan Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan Dua Lingkaran
Luas Irisan Dua Lingkaran Tali Busur
05/01/2023 16
Luas Irisan Dua LingkaranB
c a
bA C
r
r
r
r
A
A
B
B
P
P
A
B
05/01/2023 17
Bentuk dan Luas Irisan Dua LingkaranBENTUK 1
PQ α β
A
B
r
r
R
R
05/01/2023 18
BENTUK 2
R
R
βαPQ
A
B
r
r
05/01/2023 19
IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan Lingkaran dan Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan Dua Lingkaran
Luas Irisan Dua Lingkaran Tali Busur
05/01/2023 20
PQ
A
B
r
r
RM
Panjang tali busur = 2 AM = 2 √ r² - p²
AM = √ r² - p²
Tali Busur
05/01/2023 21
Tali busur lingkaran adalah ruas garis dalam lingkaran yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran.
Ciri ciri:
1. Berupa ruas garis2. Menghubungkan 2 titik pada lingkaranTali-tali busur pada gambar (a) berpotongan di dalam lingkaran. Tali-tali busur pada gambar (ii) berpotongan pada lingkaran. Sedangkan tali-tali busur lingkaran pada gambar (iii) berpotongan di luar lingkaran.
05/01/2023 22
Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran
Perhatikan bahwa sudut-sudut ABC dan ADC merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, sehingga sudut ABC sama dengan sudut ADC. Selain itu, sudut-sudut AKD dan CKB merupakan sudut-sudut yang bertolak belakang. Sehingga sudut AKD sama dengan sudut CKB. Oleh karena itu, segitiga AKD sebangun dengan segitiga CKB.
05/01/2023 23
Karena segitiga-segitiga AKD dan CKB merupakan segitiga-segitiga yang sebangun, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama, yaitu AK : CK = KD : KB. Atau dengan kata lain, AK × KB = CK × KD.
Jika dua tali busur berpotongan pada satu titik di dalam lingkaran, maka hasil kali kedua bagian dari satu tali busur sama dengan hasil kali kedua bagian tali busur yang lain.
05/01/2023 24
menyelidiki besar sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua tali busur tersebut. Dengan cara yang sama dengan di atas, dapat ditunjukkan bahwa segitiga PLS sebangun dengan segitiga RLQ. Sehingga sudut P sama dengan sudut R, sudut S sama dengan sudut R, dan sudut L1 sama dengan sudut L2 (Sudut L1 dan L2 secara berturut-turut merupakan sudut L atas dan bawah). Karena sudut α berpelurus dengan sudut L1, maka α = 180° – L1. Sesuai dengan sifat penjumlahan sudut-sudut dalam segitiga, maka P + S + L1 = 180°. Atau dengan kata lain, L1 = 180° – P – S. Sehingga, α = 180° – (180° – P – S) = P + S. Karena sudut S sama dengan sudut Q, maka α = P + Q.
Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran besarnya sama dengan jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.
05/01/2023 25
CONTOH SOAL
05/01/2023 26
05/01/2023 27
05/01/2023 28
Contoh Soal :
Jika dan adalah persamaan – persamaan lingkaran. Tentukan kedudukan kedua lingkaran itu.
05/01/2023 29
Jawab : L1 : Pusat : P = (-1/2 A,-1/2 B) = (1,-2) Jari-jari :
05/01/2023 30
L2 :
Jadi L1 berpotongan dengan L2
05/01/2023 31
Tentukan persamaan
lingkaran yang berpusat
di (0, 0) dengan panjang
jari-jari .
05/01/2023 32
Pembahasan
Jari-jari r = sehingga = 12.
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan adalah x2 + y2 = 12.
05/01/2023 33
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (–6, –8).
05/01/2023 34
Pembahasan
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r adalah :x2 + y2 = r2 .... (1)
Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka dengan mensubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh :
05/01/2023 35
x2 + y2 = r2 ↔ (–6)2 + (–8)2 = r2
↔ r2 = 36 + 64 = 100↔ r = =10Kemudian, r2 = 100 substitusikan pada persamaan (1), diperoleh x2 + y2 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.
05/01/2023 36
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x2 + 2y2 – 4x –12y = 101.
05/01/2023 37
05/01/2023 38
1. Perhatikan gambar berikut ini.
Diketahui Luas lingkaran2 154 cm dan r1 = 14 cm. Jika cos α dan β = 0Tentukan keliling daerah arsiran?α
β
Dik : L 2 = 154 cos α = 0 r1 = 14 cm cos β = 0 π = 22 7cos α = 0 α = β
α = 90˚ 90˚= β L 2 → 154 = πr² 154 = 22 r² 7 154 x 7 = r² 22 49 = r² 7 = r
K. Arsiran = Busur 1 + Busur 2
=( α x 2πr) + ( β x 2πr ) 360˚ 360˚
1
2
3
4
05/01/2023 39
Busur 1 = α x 2πr 360˚ = 90° x 2. 22 . 14 360˚ 7 = 0,25 x 88 = 44 cm
Busur 2 = β x 2πr 360˚ = 90° x 2. 22 . 7 360˚ 7 = 0,25 x 44 = 11 cm
K. Arsiran = Busur 1 + Busur 2
= 44 cm + 11 cm
= 55 cm
56
7
Soal
05/01/2023 40
2.
Perhatikan gambarL1 : x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0L2 : x2 + y2 - 6x + 12y + 41 = 0Jika α dan β 90˚.Berapa luas daerah arsiran?
L. Arsiran = L tembereng₁ + L tembereng₂ = (L juring – L segitiga)+(L juring –L segitiga) =( β x πr² - 1 r² sinβ )+(α x πr²- 1 r² sinα) 360˚ 2 360˚ 2
r1 = √(- 1 A)² + (- 1 B )² – C 2 2 = √(- 1 2)² + (- 1 (-2))² – (-7) 2 2 = √(- 1)² + (1)² +7 = √1+1+7 = √9 = 3 cm
r2 = √(- 1 A)² + (- 1 B )² – C 2 2 = √(- 1(-6))² + (- 1 12)² – 41 2 2 = √(3)² + (-6)² -41 = √9+36-41 = √4 = 2 cm
Dik : α = 90˚ β = 90˚
α β
1
2
3
4
5
05/01/2023 41
L tembereng₁ = β x πr² - 1 r² sin β 360˚ 2 = 90° x 3,14(3)² - 1 (3)² sin 90° 360˚ 2 = 0,25 x 3,14(9) - 1 (9) (1) 2 = 0,25 x 28,26 – 4,5 = 2,565 cm²
L tembereng2 = α x πr² - 1 r² sin α 360˚ 2 = 90° x 3,14(2)² - 1 (2)² sin 90° 360˚ 2 = 0,25 x 3,14(4) - 1 (4) (1) 2 = 0,25 x 12,56 – 2 = 1,14 cm ²
L. Arsiran = L tembereng₁ + L tembereng₂ = 2,565 cm + 1,14 cm = 3,705 cm²
6 7
8
05/01/2023 42
R
R
βαPQ
A
B
r
r
Perhatikan gambar.Jika α= 120˚ dan β= 90˚Dan keliling L₂ = 88 cm² serta r₁ = 7 cm.Berpa Luas daerah arsiran? π= 22 7
3.Dik : α = 120 ˚ β = 90˚ r₁ = 7 K. L₂ = 88 π = 22 7
L. Arsiran = L juring besar APB + Luas ΔAPB + Luas tembereng Q
1
2.
3.
05/01/2023 43
K. L₂ → 2πr = 88 πr = 88 2 22 r = 44 7 r = 44. 7 22 r₂ = 14
= 360˚- 120˚ x 22 7² + 1 7² sin 120˚+ 14² ( 90˚ x 22 - 1 sin 90˚) 360˚ 7 2 360˚ 7 2= 240˚ x 22 49 + 1 49. √3 + 196 (1 x 22 - 1 . 1) 360˚ 7 2 2 4 7 2= 2 x 154 + 49√3 + 196 (2 ) 3 4 7= 308 + 21,2 + 56 3= 102,6 + 77,2= 179,8 cm²
L. Arsiran = L juring besar APB + Luas ΔAPB + Luas tembereng Q
4
5
05/01/2023 44
Diketahui : QI = 4,2 cm dan MI = r dengan p = QM 10 Maka panjang tali busur AB adalah?
PQ
A
B
r
5
RM
4.
I
P=QM → QI – MI = 4,2 – r 10 = 4,2 - 5 10 = 4,2 – 0,2 = 4 cm
AB = 2 √ r² - P² = 2 √ 5² - 4² = 2 √ 25 -16 = 2 √9 = 2.3 = 6 cm
1
2 3
05/01/2023 45
Terima Kasih