Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)

Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011

1

Pertemuan 7

aPlikasi integral rangkaP dua

TIM MATEMATIKADEPARTEMEN MIPA UBAYAGEDUNG TG LANTAI 6


Tujuan

2

Mahasiswa mampu :

mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina, dan momen inersia lamina


3

Diketahui suatu plat tipis yang demikian tipisnya sehingga dapat dipandang berdimensi dua berada di bidang-XOY dengan luas A.

Andaikan kerapatan/densitasnya (massa per satuan luas) dinyatakan oleh δ(x,y), elemen luas dxdy memiliki massa sebesar dm = δ(x,y) dx dy.

Massa plat tipis

dydxyxmA∫∫= ),(δ

Menghitung Pusat Massa


4

Momen total (sering juga disebut momen pertama) terhadap sumbu y

Momen total (momen pertama) terhadap sumbu x

dydxyxxMA

y ∫∫= ),(δ

dydxyxyMA

x ∫∫= ),(δ

Menghitung Pusat Massa (titik berat)


Pusat massa (titik berat) plat

Momen Inersianya (sering juga disebut momen kedua)

Terhadap sumbu x :

Terhadap sumbu y :

Terhadap sumbu z :

m

Myx p =

m

Mxy p =

∫∫=A

x dxdyyxyI ),(2δ

∫∫=A

y dxdyyxxI ),(2δ

yx

A

z IIdxdyyxyxI +=+= ∫∫ ),()( 22 δ

Menghitung Momen Inersia


6

Contoh :

Sebuah lamina setengah lingkaran mempunyai kerapatan berbanding lurus terhadap jarak setiap titik dari diameter. Jika massa dihitung dalam kg dan jarak dalam meter, tentukan :

1.Pusat massanya

2.momen inersia terhadap sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z


Latihan

Hitung titik berat daerah di kuadran I yang dibatasi oleh ellips

Hitung titik berat daerah yang dibatasi oleh y = 3x2 – 6x dan y = 2x – x2.

Hitung titik berat daerah yang dibatasi oleh r = 1 + cos ɵdengan kerapatan massa konstan.

7

12

2

2

2

=+b

y

a

x


Latihan

Hitung momen inersia dari daerah yang dibatasi oleh y = x dan y = x2.

Hitung momen inersia dari daerah yang dibatasi oleh y = x2, y = 1, x = 2.

Hitung momen inersia dari daerah yang dibatasi oleh r = 2 (1 + cos ) terhadap sumbu tegak lurus daerah ɵtersebut dan melalui titik pusat o

8


Latihan UTS

Tentukan bilangan arah dari persamaan garis lurus :

Gambarkan daerah yang dibatasi oleh bidang XOY, XOZ, YOZ, y = 5, x = 3, dan z = 4. Tambahkan bidang x = y pada gambar di atas.

Gambarkan daerah yang dibatasi oleh bidang XOY, x2 + y2 = 4, dan bidang x + y = 2

9

01,1

3

1

2 =−−+=−

yzx


Latihan

Gambarkan daerah yang dibatasi oleh bidang XOY, XOZ, YOZ, x = 3, x + 2y = 4, dan z = 4. Hitung volumenya

Hitunglah volume benda di atas bidang XOY yang dibentuk oleh tabung 4x2 + y2 = 9 dan bidang z = 0 dan 3z = y

Dengan metode pengali Lagrange, tentukan nilai maksimum dari f(x, y, z) = xyz dengan kendala 2x + y + z = 8

10

Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)

Engineering

Transcript of Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)