KINEMATIKA GERAK DUA DIMENSI.pdf

Penulis : Davit Sipayung, S.Si

Bahan Ajar Olimpiade Fisika ini diunduh dari davitsipayung.blogspot.com 1

5. KINEMATIKA GERAK DUA DIMENSI

5.1 Posisi dan Perpindahan Gerak benda dalam bidang disebut gerak dua dimensi. Contoh gerak benda dua dimensi adalah

gerak peluru, gerak melingkar, dan gerak perahu menyeberangi sungai. Gerak benda dalam ruang

disebut sebagai gerak tiga dimensi. Gambaran gerak benda akan dapat dijelaskan menggunakan sistem koordinat. Sistem koordinat yang digunakan untuk menjelaskan gerak benda dalam bidang adalah

koordinat kartesian dan koordinat polar. Gerak benda dalam tiga dimensi umumnya dijelaskan

menggunakan sistem koordinat kartesian, koordinat silinder,dan koordinat bola. Pusat koordinat

dinamakan sebagai titik asal. Posisi benda dari titik asal dapat dituliskan dalam vektor posisi r . Jika sebuah benda berada di dalam koordinat kartesian di titik (x,y), maka posisi benda dari titik asal dapat

dituliskan dalam vektor

i jr x y (5.1)

Jika benda berpindah dari posisi 1 1 1 i jr x y ke posisi 2 2 2

i jr x y , maka perpindahan benda :

2 1 2 1 2 1 - i j i jr r r x x y y x y (5.2) di mana 2 1x x x , 2 1y y y , dan 2 1z z z . Nilai vektor perpindahan adalah

2 22 2

2 1 2 1r x y x x y y (5.3)

Contoh 5.1.1 : Sebuah partikel bermuatan bergerak dalam pengaruh medan gravitasi pada sumbu x dan medan listrik

pada sumbu y. Posisi x dan posisi y sebagai fungsi waktu, diamati memenuhi persamaan

2 2 1x t t t

25 4 1y t t t dimana x dan y dalam meter dan t dalam detik.

a. Tuliskan vektor posisi partikel dalam vektor satuan i dan j !

b. Tentukan vektor posisi mula-mula partikel! c. Tentukan vektor perpindahan partikel dan besarnya setelah bergerak 2 detik!

Penyelesaian :

a. Partikel bergerak dalam bidang xy. Vektor posisi partikel dalam bidang xy adalah

2 2 i j = 2 1 i + 5 4 1 jr t x t y t t t t t

b. Vektor posisi mula-mula partikel saat t =0 adalah 0 i + jr c. Vektor perpindahan partikel dati t=0 s sampai t = 2 s adalah

2 0 i 9j i + j -10 jr t r r Besar perpindahan partikel setelah bergerak dua detik adalah

Gbr.5.1: Vektor perpindahan dalam dua dimensi

1

1r 2r

2r 2

lintasan

y

x



2 2 =10mr x y

5.2 Kecepatan rata-rata dan Kecepatan sesaat Kecepatatan rata-rata partikel didefenisikan sebagai perpindahan partikel dibagi selang waktu

partikel bergerak.

i j i+ jrata rata x yr x y

v v vt t t

(5.4)

Nilai kecepatan rata-rata partikel adalah

2 2+rata rata x yv v v (5.5)

Kecepatan sesaat benda didefenisikan sebagai perpindahan partikel dalam selang waktu 0t .

Kecepatan sesaat benda disimbolkan dengan v .

0 0

lim lim i j i+ jt t

r x y dx dyv

t t t dt dt

i+ jx ydr

v v vdt

(5.6)

Nilai kecepatan sesaat partikel adalah 2 2+x yv v v

(5.7)

Contoh 5.2.1 Sebuah benda titik bergerak dalam dua dimensi memiliki vektor posisi

2 2 6 i + 3 6 jr t t t dimana r dalam meter dan t dalam detik.

a. Carilah vektor dan besar kecepatan rata-rata benda saat bergerak dari t = 1detik sampai t =3 detik! b. Tentukan vektor kecepatan partikel saat t =5 detik! c. Tentukan vektor posisi dan kecepatan partikel saat bergerak memotong sumbu x!

Penyelesaian : a. Vektor perpindahan benda dari t = 1 detik sampai t = 3 detik adalah

1 (3) (1) 12i 3 j 4i 3j 16i 6 jr r r Vektor kecepatan rata-rata benda adalah

16i 6 j 8i 3 j m s2

rata rata

rv

t

Besar kecepatan rata-rata benda adalah

2 2 2 2+ 8 3 73 m srata rata x yv v v

b. Vektor kecepatan sesaat benda sebagai fungsi waktu adalah

4 i +3 jdr

v t tdt

Jadi,

5 20 i +3 jv c. Benda memotong sumbu x ketika y = 3t-6 = 0 atau t = 2 detik. Vektor posisi dan kecepatan benda

berturut-turut adalah

2 2i mr dan

2 8 i +3 j m sv

5.3 Percepatan rata-rata dan Kecepatan sesaat

Percepatan rata-rata partikel didefenisikan sebagai perubahan kecepatan benda dibagi dengan selang waktu partikel bergerak.



i j i jyx

rata rata x y

vv va a a

t t t

(5.8)

Nilai kecepatan rata-rata benda dapat diperoleh menggunakan teorema phytagoras : 2 2+rata rata x ya a a

(5.9)

Percepatan sesaat benda didefenisikan sebagai perubahan kecepatan benda pada selang waktu

0t . Kecepatan sesaat partikel disimbolkan dengan a .

0 0

lim lim i j i+ jy y

t t

v vv dx dxa

t t t dt dt

i + jx ydv

a a adt

(5.10)

Nilai percepatan sesaat partikel adalah 2 2x yv a a

(5.11)

Contoh 5.3.1

Sebuah partikel bergerak pada bidang xy dengan komponen kecepatan dalam arah y dapat dinyatakan

dalam bentuk 2( ) (4 ) m/syv t t , t dalam sekon ; sedangkan komponen percepatan dalam arah x

adalah ( )xa t seperti yang ditunjukkan grafik dibawah ini.

a. Tentukan vektor percepatan partikel saat t = 2 sekon, t = 6 sekon, dan t= 10 sekon! b. Tentukan vektor percepatan partikel saat arah gerak partikel dalam sumbu x!

Penyelesaian :

a. Komponen percepatan dalam arah x dapat dituliskan dalam bentuk

jika 4s

( ) 4 jika 4s 9s

2 22 jika 9s 11s

x

t t

a t t

t t

Komponen percepatan dalam arah y adalah

2( ) 2 m/sy

y

dva t t

dt

Percepatan partikel saat t = 2 sekon adalah

2 2 i + 2 j = 2i 4 jx ya a a


6 6 i + 6 j = 4i 12 jx ya a a


10 10 i + 10 j = 2i 20 jx ya a a

b. Partikel bergerak dalam arah sumbu x saat 2( ) 4 0yv t t atau t = 2 sekon. Jadi, vektor

percepatan partikel saat ini adalah

2 2 i + 2 j = 2i 4 jx ya a a

4

0 4 9 11

2m sxa t

sekont



5.4 Menentukan posisi dan kecepatan dari fungsi percepatan Persamaan percepatan partikel dapat diperoleh dari persamaan posisi atau kecepatan partikel

dengan menggunakan turunan. Untuk mendapatkan fungsi posisi dan fungsi kecepatan partikel jika diketahui fungsi percepatan, kita dalam menggunakan cara integral. Fungsi kecepatan diperoleh dari

integral fungsi percepatan terhadap waktu

i+ jx yv a dt a a dt

(5.12)

Fungsi posisi benda diperoleh dari integral fungsi kecepatan terhadap waktu

i+v jx yr v dt v dt

(5.13)

Contoh 5.4.1

Suatu partikel mula-mula diam di posisi 2 4r i j m. Partikel ini kemudian mengalami percepatan

2 6a i t j m/s2, dimana t dalam sekon. Tentukan posisi dan kecepatan partikel setelah dipercepat 2

sekon!

Penyelesaian :

Kecepatan patrikel diperoleh dengan mengintegralkan percepatan terhadap waktu. Kecepatan partikel sebagai fungsi waktu adalah

2 2 6 2 3v t a dt i t j dt t i t j c Pakai syarat batas bahwa 0 0v , maka c = 0. Jadi,

2 2 3v t t i t j

Kecepatan partikel setelah dipercepat 2 sekon adalah 2 4 12 m sv i j

Posisi partikel diperoleh dengan mengintegralkan kecepatan terhadap waktu. Posisi partikel sebagai

fungsi waktu adalah

2 2 3 2 6 2 3r t v dt i t j dt t i t j dt t i t j c

Pakai syarat batas bahwa 0 2 4r i j , maka c = 2 4i j . Jadi,

2 3 2 4r t t i t j

Posisi partikel setelah dipercepat 2 sekon adalah 2 6 12 mr i j

5.5 Gerak Peluru Gerak peluru adalah hasil perpaduan gerak lurus beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan.

Contoh gerak peluru adalah benda yang dilemparkan dari permukaan bumi yang membentuk sudut

tertentu pada arah horizontal. Misalkan arah horizontal sebagai sumbu x dan arah vertikal sebagai

sumbu y. Pada arah horizontal peluru bergerak lurus beraturan dengan percepatan selalu nol. Pada arah vertikal peluru akan selalu mengalami percepatan sama dengan percepatan gravitasi bumi yang arahya

selalu ke bawah.



Percepatan peluru dalam arah sumbu y sama dengan 29,8m sya dan percepatan dalam arah

sumbu x adalah 0xa . Jadi, partikel mengalami kecepatan konstan (percepatan nol) dalam arah

sumbu x, sedangkan dalam arah sumbu y mengalami percepatan konstan karena adanya gaya gravitasi.

Vektor percepatan peluru dapat dituliskan sebagai 2 i j 9,8m s jx ya a a

(4.14)

Misalkan sebuah peluru dilemparkan dengan kecepatan awal 0v . Kecepatan peluru dalam arah sumbu

x dan sumbu y diperoleh dengan menguraikan vektor kecepatan awal peluru terhadap sumbu x dan

sumbu y. Vektor kecepatan awal peluru dapat dituliskan sebagai

0 0 0 0 0 i j cos i sin jx yv v v v v (4.15)

Mari kita menganalisa gerak peluru pada arah vertikal dan horizontal secara terpisah.

Gerak horizontal (sumbu x)

Peluru bergerak lurus beraturan pada arah horizontal dengan kecepatan tetap 0 0 cosxv v dan

percepatan 0xa . Kecepatan peluru setiap waktu pada sumbu horizontal adalah

0 0 cosx xv v v (4.16)

Posisi peluru mula-mula berada pada 0x , maka posisi peluru setiap waktu pada sumbu x menjadi

0 0 0 cosxx x v t x v t (4.17)

Gerak vertikal (sumbu y)

Peluru bergerak lurus berubah beraturan pada arah vertikal dengan kecepatan awal 0 0 sinyv v

dan percepatan tetap 29,8m sya g . Kecepatan peluru setiap waktu pada sumbu vertikal adalah

0 0 siny y yv v a t v gt (4.18)

Kita dapat menuliskan bahwa vektor kecepatan peluru setiap waktu adalah

0 0 i j cos i sin jx yv v v v v gt (4.19)

Posisi peluru mula-mula berada pada 0y , maka posisi benda setiap waktu pada sumbu y menjadi 2 21 1

0 0 0 02 2siny yy y v t a t y v t gt (4.20)

Vektor posisi peluru setiap waktu dalam bidang xy adalah

210 0 0 2 i+ j i sin jxr x y x v t y v t gt (4.21)

Waktu untuk mencapai tinggi maksimum ( Ht ) Peluru yang dilemparkan dari permukaan bumi akan kembali ke permukaan bumi setelah

mencapai titik tertinggi H. Peluru kembali ke permukaan bumi karena adanya gravitasi bumi.

Kecepatan peluru pada arah vertikal di titik tertinggi sama dengan nol, 0yv .

y

x

0xv

0yv

xv

yv

xv

yv

v

v

yv v

xv

xv v

Gbr. 4.2 : Lintasan sebuah peluru yang dileparkan dari titik asal, 0 00dan 0x y

0 00dan 0x y

0yv

H

R



00 sin Hv gt Jadi waktu yang diperlukan oleh peluru untuk mencapai titik tertingggi adalah

0 sinH

vt

g

(4.22)

Waktu untuk mencapai jarak horizontal ( Rt )

Peluru yang dilemparkan dari posisi titik asal akan kembali membentur bumi ketika 0y .

210 2

0 sin R Rv t gt

02 sinR

vt

g

(4.23)

Jadi waktu yang diperlukan oleh peluru untuk membentur permukaan bumi atau lama benda

melayang di udara sama dengan Rt . Bandingkan pers.(4.22) dan pers.(4.23) akan diperoleh hubungan

bahwa

2R Ht t (4.24)

Pers.(2.24) memiliki arti bahwa lama benda bergerak naik sama dengan lama benda bergerak

turun.Waktu untuk mencapai jarak horizontal sama dengan dua kali waktu untuk mencapai tinggi maksimum.

Tinggi maksimum (H)

Peluru mencapai titik maksimum setelah bergerak selama Ht . Tinggi maksimum yang dicapai oleh peluru yang dilemparkan dari titik asal adalah

210 2sin R RH v t gt

2

0 010 2

sin sinsin

v vH v g

g g

2 20 sin

2

vH

g

(4.25)

Jarak horizontal (R)

Peluru akan kembali lagi ke permukaan bumi setelah bergerak selama Rt dan menempuh jarak

horizontal R. Gunakan pers.(4.18) dan pers.(4.23), maka nilai R dari titik asal dapat dituliskan menjadi 202 sin cos

x R

vR v t

g

Gunakan indentitas trigonometri bahwa 2sin cos sin 2 , kita peroleh 20 sin 2vR

g

(4.26)

Jarak R maksimum ketika nilai sin 2 1 , sehingga 02 90maks atau

045maks . Nilai R

maksimum adalah 20 2maksR v g . Sebuah peluru dilemparkan dengan sudut pelemparan 1 dan 2

berturut-turut menempuh jarak horizontal 1R dan 2R . Jarak horizontal yang ditempuh dengan sudut

pelemparan 1 adalah 20 1

1

2 sin 2vR

g

Jika jumlah sudut 0

1 2 90 , maka 0

1 290 .

2 0 2 00 2 0 21

2 sin 2 90 2 sin 180 2v vR

g g

Gunakan indentitas trigonomentri bahwa 0sin 180 sin . Sehingga kita peroleh



2 20 1 0 2

1 2

2 sin 2 2 sin 2v vR R

g g

(4.27)

Jika jumlah sudut pelemparan0

1 2 90 , maka jarak horizontal yang ditempuh oleh peluru sama.

Persamaan lintasan gerak peluru

Peluru yang dilemparkan dari titik asal, yaitu 0 00dan 0x y . Substitusikan nilai 0 sint x v

dari pers.(4.18) ke pers.(4.19). Kita akan mendapatkan bahwa

2

2 20

tan2 cos

gxy x

v

(4.28)

Pers.(4.27) memiliki bentuk persamaan kuadrat2y ax bx , dengan a dan b konstan. Bentuk kurva

persamaan kuadrat adalah parabola, sehingga lintasan gerak peluru berbentuk parabola. Lintasan peluru akan membentuk parabola dengan asumsi bahwa gesekan udara diabaikan, peluru dilemparkan

dekat dengan permukaan bumi dan rotasi bumi diabaikan. Jika tidak ada pengaruh gravitasi bumi,

maka lintasan peluru yang dilemparkan dari permukaan bumi akan membentuk garis lurus.

Contoh 5.5.1

Seorang anak sedang bermain bola di permukaan tanah datar. Anak menendang bola menyebabkan bola bergerak dengan kecepatan awal 20 m/s membentuk sudut 37

0 terhadap permukaan tanah.

Gunakan percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/s2. Hitunglah :

a. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tinggi maksimum! b. waktu yang diperlukan bola untuk kembali menyentuh tanah! c. tinggi maksimum yang dicapai oleh bola dari pemukaan tanah! d. jarak bola yang membentur permukaan tanah dari asal bola ditendang!

Penyelesaian :

a. Waktu mencapai tinggi maksimum adalah

Gravitasi bumi nol

Gbr. 4.4 : Pengarus hambatan udara dan gravitasi bumi terhadap bentuk

lintasan gerak peluru

x

y

Hambatan udara

diabaikan

Ada hambatan udara

045maks

01 30

02 60

x

y

Gbr. 4.3 : Lintasan peluru dengan sudut pelemparan 0 030 ,45,dan60



00

2

sin (20m s) (sin37 )1,2s

(10m s )H

vt

g

b. Waktu yang diperlukan bola untuk kembali menyentuh tanah adalah

02 sin2 2,4sR Hv

t tg

c. Tinggi maksimum bola adalah 2 2 2 20 sin 20 sin 37 7,2m

2 2 10

vH

g

d. Jarak horizontal yang ditempuh oleh bola adalah 2 2 00 sin 2 20 sin 74 38,4m

10

vR

g

Contoh 5.5.2

Di sebuah planet percepatan gravitasinya g = 10 m/s2, sebuah peluru dilemparkan dari permukaan

planet itu. Saat 2 detik setelah dilemparkan, peluru diamati berada pada jarak horizontal 80 m dari titik

pelemparan, dan berada pada ketinggian 40 m di atas permukaan planet itu.

a. Hitung kecepatan awal dan sudut pelemparan peluru! b. Hitung waktu yang dibutuhkan peluru untuk mencapai ketinggian maksimum! Berapa ketinggian

maksimum peluru?

c. Hitung waktu terbang dan jarak horizontal peluru! Penyelesaian :

a. Misalkan peluru dilemparkan dari titik asal koordinat. Persamaan posisi peluru dalam sumbu x adalah

0xx v t

Peluru menempuh x = 80 m dalam waktu t= 2 detik, karena itu

0

80m40m s

2sxx

vt

Persamaan posisi peluru dalam sumbu y adalah 1 2

0 2yy v t gt

Peluru menempuh y = 40 m dalam waktu t= 2 detik, karena itu

1 12 2 2 20 2 21 1

40m 10m s 2 30m s2sy

v y gt st

Besar kecepatan awal peluru adalah

2 20 0 0 50m sx yv v v

Besar sudut pelemparan batu adalah

0

0

3tan

4

y

x

v

v

1 03tan 374

b. Peluru mencapai ketinggian maksimum ketika vy = 0 atau

0 0y mv g t

03s

y

m

vt

g

Ketinggian maksimum peluru adalah 21 12 2

0 2 2(30m s) (2s) - (30m s )(2s) 45mmaks y m my v t gt

c. Waktu untuk mencapai jarak horizontal sama dengan dua kali waktu untuk mencapai tinggi maksimum.

6sRt



Jarak horizontal peluru ketika mencapai permukaan planet adalah

0 240mmaks x Rx v t

Contoh 5.5.3 Sebuah peluru ditembakkan dari sebuah katapel menuju sebuah gedung vertikal yang ketinggiannya

15 m di atas katapel. Permukaan puncak gedung adalah datar. Katapel berada 50 m dari dasar gedung,

dan akan dilemparkan dengan sudut pelemparan 300 terhadap horizontal. Pecepatan gravitasi bumi g =

10 m/s.

a. Seandainya peluru dilemparkan dengan kecepatan 40 m/s ( kecepatan ini cukup untuk peluru melewati tepi gedung) : i. Berapa lama peluru terbang? ii. Dimana peluru mendarat? iii. Berapa kecepatan peluru saat tumbukan?

b. Jika peluru sekali lagi dilemparkan pada sudut 300 terhadap horizontal, berapa kecepatan minimum peluru harus ditembakkan agar peluru hanya melewati tepi gedung?

Penyelesaian : a. Pilih pusat koordinat di titik penembakan peluru.

i. Persamaan gerak peluru dalam arah vertikal adalah 1 2

0 2siny v t gt

Peluru mencapai permukaan gedung dalam waktu tg dengan posisi y = 15 m. 10 22

15 40sin30 10g gt t

2 4 3 0g gt t

1 3 0g gt t Waktu 1sgt menunjukkan peluru mencapai ketinggian 15 m pertama kali, sedangkan

3sgt adalah waktu yang dibutuhkan peluru untuk mencapai permukaan gedung. Jadi, lama

peluru terbang adalah 3 sekon.

ii. Jarak horizontal peluru dari titik penembakan ketika menumbuk permukaan gedung adalah

0 cos 60 3 m = 104mmaks gx v t

iii. Komponen kecepatan peluru saat tumbukan adalah

0 cos 20 3 m sxv v

0 sin 10 m sy gv v gt

Kecepatan peluru saat tumbukan adalah

2 2 10 13 m s 36m sx yv v v

b. Kondisi kecepatan minimum peluru terjadi saat peluru tepat mengenai tepi gedung di posisi x = 50 m dan y = 15 m. Persamaan lintasan peluru yang ditembakkan dari titik asal adalah

2

2 20

tan2 cos

gxy x

v

2

0

2 2 0min

10 5015 50 tan30

2 cos 30v

300

50 m

15 m



Kita akan memperoleh kecepatan minimum peluru vmin = 35 m/s.

Contoh

Contoh 5.5.4 Sebuah peluru ditembakkan dari permukaan tanah membentuk sudut terhadap horizontal dan bergerak tanpa pengaruh gesekan udara. Peluru mencapai ketinggian maksimum H dan mendarat pada

jarak horizontal R dari titik pelemparan. a. Hitung perbandingan H/R ! b. Hitung sudut minimum min agar ketinggian maksimum H lebih besar dari jarak horizontal R ! Penyelesaian :

a. Kita sebelumnya telah membuktikan bahwa 2 20 sin

2

vH

g

20 sin 2vR

g

Jadi,

1tan

4

H

R

b. Agar H > R, maka

1tan 1

4

1tan (4) 1 0

min tan (4) 76

Contoh 5.5.5 Sebuah bola kecil jatuh dari permukaan meja dengan kecepatan horizontal v0. Ketinggian meja h dari

atas permukaan lantai seperti ditunjukkan pada gambar.

Hitunglah:

a. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai lantai! b. jarak mendatar yang ditempuh bola saat saat bola mencapai lantai! c. vektor dan besar kecepatan bola saat mencapai lantai! d. sudut yang dibentuk bola terhadap permukaan lantai saat mencapai lantai!

Penyelesaian : a. Mari kita ambil titik acuan koordinat di titik asal jatuhnya bola kecil. Bola kecil bergerak dengan

kecepatan konstan dalam arah sumbu x , sedangkan pada sumbu y bergerak dengan percepatan

konstan.

v0

h



Persamaan gerak bola dalam arah sumbu x :

0xx v t v t

Persamaan gerak bola dalam arah sumbu y : 1 2

0 2y yy v t a t

1 22

y gt

Bola kecil mencapai tanah saat y = - h dalam waktu tR . 1 22 R

h gt

Waktu yang diperlukan bola untuk mencapai lantai adalah

2R

ht

g

b. Jarak mendatar yang ditempuh bola saat saat bola mencapai lantai adalah

0

2x R

hR v t v

g

c. Vektor kecepatan bola ketika bola mencapai lantai adalah

x yv v i v j

0 0 ( )x y yv v i v a t j

0 0 2Rv v i gt j v i gh j

Besar kecepatan bola adalah

2 2 20 2x yv v v v gh

d. Besar sudut di bawah sumbu x positif adalah

0

2tan

y

x

v gh

v v

1

0

2tan

gh

v

Contoh 5.5.6 Dua buah peluru A dan B ditembakkan dari tepi gedung pada ketinggian 35 m dari permukaan tanah.

Peluru A ditembakkan membentuk sudut 370 di atas horizontal dan peluru B membentuk sudut 37

0 di

bawah horizontal. Kedua penembakan memiliki kecepatan awal yang sama 50 m/s. Percepatan gravitasi bumi 10 m/s

2.

Peluru A

Peluru B

35m

x

h

y

vx

vy v



a. Hitung perbandingan lama waktu kedua peluru berada di udara , tA/tB! b. Hitung jarak horizontal kedua peluru sesaat saat mencapai tanah !

Penyelesaian :

a. Pilih pusat koordinat di titik asal pelemparan. Kecepatan awal peluru adalah v0 = 50 m/s. Kedua peluru mencapai tanah ketika y = -35 m.

Persamaan gerak peluru A adalah 1 12 0 2

0 2 2sin 50sin37 10y v gt t

230 5y t t

Peluru A mencapai tanah dalam waktu tA , ketika y = - 35 m. 235 30 5A At t

2 6 7 0A At t

( 7)( 1) 0A At t

Lama peluru berada di udara adalah 1sekonAt .

Persamaan gerak peluru B adalah 1 12 0 2

0 2 2sin 50sin37 10y v gt t

230 5y t t

Peluru A mencapai tanah dalam waktu tA , ketika y = - 35 m. 235 30 5B Bt t

2 6 7 0B Bt t

( 7)( 1) 0B Bt t

Lama peluru berada di udara adalah 7 sekonBt .

Jadi,

1

7A

B

t

t

b. Perbandingan jarak horizontal peluru A dan B adalah

0 cos 240mB A B Ad x x v t t

Contoh 5.5.7

Sebuah peluru ditembakkan ke atas bidang miring (sudut kemiringan ) dengan kecepatan awal 0v

pada sudut terhadap bidang horizontal, seperti ditunjukan pada gambar. Peluru menyentuh

bidang miring dengan jarak d dari titik asal penembakan. Percepatan gravitasi bumi g. Hitunglah :

a. waktu tmaks yang dibutuhkan peluru untuk menempuh jarak d ! b. jarak d peluru mengenai bidang miring ! c. nilai sudut

maksagar jarak tempuh peluru maksimum !

d. jarak maksimum dmaks yang dapat ditempuh oleh peluru !

e. Hitung nilai numerik dari besaran tm, d, maks , dan dmaks untuk nilai v0 = 20 m/s, = 600, = 300,

dan g = 10 m/s !

Peluru A

Peluru B

35m

x

y



Penyelesaian :

Metode 1

a. Mari kita pilih titik pelemparan sebagai pusat koordinat dengan sumbu x dalam arah horizontal dan sumbu y dalam arah vertikal.

Persamaaan gerak peluru dalam arah sumbu x dan y adalah

0 cosx v t dan 2

0

1sin

2y v t gt

Peluru mencapai bidang miring di koordinat x = d cos dan y = d sin .

Peluru membutuhkan waktu mt untuk menyentuh bidang miring. Sehingga,

0cos cosmd v t

20 0

1sin sin

2md v t gt

Eliminasi d dari kedua persamaan ini,

0 02 sin 21 cos tan 02

m m

v vgt t

g g

02 sin cos tanmv

tg

02 sin cos cos sincos

m

vt

g

Gunakan indentitas trigonometri bahwa sin sin cos cos sinA B A B A B . Jadi,

02 sincos

m

vt

g

b. Jarak d peluru mengenai bidang miring adalah

0 cos

cos

mv td

20

2

2cos sin

cos

vd

g

c. Cari turunan d terhadap untuk medapatkan nilai jarak maksimum,

0d

dd

20

2

2sin sin cos cos 0

cos

v

g

cos cos sin sin 0

Gunakan indentitas trigonometri bahwa cos cos cos sin sinA B A B A B . Jadi,

v0

d

x

y

v0 d



cos 2 0

2

2

Jarak maksimum dicapai ketika

4 2maks

d. Untuk mendapatkan jarak maksimum, substitusikan nilai ke jarak tempuh d, 20

maks 2

2cos sin

cosmaks maks

vd

g

20

maks 2

2 cos sin

4 2 4 2cos

vd

g

Gunakan indentitas trigonometri bahwa 2cos sin sin sin( )A B A B A B . Jadi,

20

maks 2

sin sin

2cos

vd

g

20

maks 2

1 sin

1 sin

vd

g

Jarak maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru adalah 20

maks1 sin

vd

g

e. Untuk nilai v0 = 20 m/s, = 600, = 300, dan g = 10 m/s , maka

0 00

0

2 2 20 4sin sin 60 30 3 s

cos 310cos30m

vt

g

2 20 0 00

2 2 0

2 2 20 80cos sin cos60 sin 60 30 m

3cos 10 cos 30

vd

g

0 604 2 4 12 3

maks

2 20

maks 0

20 80m

1 sin 310 1 sin30

vd

g

Metode 2 Mari kita pilih sumbu x sepanjang bidang miring dan sumbu y tegak lurus dengan bidang miring.

Komponen percepatan peluru pada sumbu x dan sumbu y berturut-turut adalah sinxa g dan

sinya g .

Persamaaan gerak peluru dalam arah sumbu x dan y adalah 2 21 1

0 02 2cos( ) sinx xx v t a t v t g t

dan 2 21 1

0 02 2sin ( ) cosy yy v t a t v t g t

x

y

d

g

v0



Peluru mencapai bidang miring saat y = 0 dalam waktu mt .

210 2sin( ) cos 0m mv t g t

02 sincos

m

vt

g

Jarak d peluru mengenai bidang miring adalah 21

0 2cos( ) sinm md v t g t

20

2

2cos sin

cos

vd

g

Gunakan indentitas trigonometri bahwa 2cos sin sin sin( )A B A B A B .

20

2

2sin 2 sin

cos

vd

g

Jarak d maksimum ketika sin 2 1atau

22


4 2maks

dan 20

maks1 sin

vd

g

Contoh 5.5.8

Seperti ditunjukkan dalam gambar, seorang pemain ski melompat dari titik A dengan sudut dan laju v0 , kemudian Ia mendarat di titik B dan menempuh jarak sejauh d pada bidang miring . Sudut kemiringan bidang dan percepatan gravitasi bumi g. Hitunglah :

a. waktu yang dibutuhkan pemain ski untuk menempuh jarak d ! b. jarak d pemain ski mendarat di atas bidang miring ! c. nilai sudut agar jarak tempuh pemain ski maksimum ! d. jarak maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru !

Penyelesaian :

Metode 1

a. Mari kita pilih titik pelemparan sebagai pusat koordinat dengan sumbu x dalam arah horizontal dan sumbu y dalam arah vertikal.

v0

A

B

v0

A

B

y

x



Persamaaan gerak peluru dalam arah sumbu x dan y adalah

0 cosx v t dan 2

0

1sin

2y v t gt

Peluru mencapai bidang miring di titik B pada koordinat x = d cos dan y = -d sin .

Peluru membutuhkan waktu 0t untuk menyentuh bidang miring. Sehingga,

0 0cos cosd v t

20 0 0

1sin sin

2d v t gt

Eliminasi d dari kedua persamaan ini,

0 00 0

2 sin 21cos tan 0

2

v vgt t

g g

00

2sin cos tan

vt

g

00

2sin cos cos sin

cos

vt

g

Gunakan indentitas trigonometri bahwa sin sin cos cos sinA B A B A B . Jadi,

00

2sin

cos

vt

g

b. Jarak d peluru mengenai bidang miring adalah

0 0cos

cos

v td

20

2

2cos sin

cos

vd

g

c. Cari turunan d terhadap untuk medapatkan nilai jarak maksimum,

0d

dd

20

2

2sin sin cos cos 0

cos

v

g

cos cos sin sin 0

Gunakan indentitas trigonometri bahwa cos cos cos sin sinA B A B A B . Jadi,

cos 2 0

2

2


4 2maks

d. Untuk mendapatkan jarak maksimum, substitusikan nilai ke jarak tempuh d, 20

maks 2

2cos sin

cosmaks maks

vd

g

20

maks 2

2 cos sin

4 2 4 2cos

vd

g

Gunakan indentitas trigonometri bahwa 2cos sin sin sin( )A B A B A B . Jadi,



20

maks 2

sin sin

2cos

vd

g

20

maks 2

1 sin

1 sin

vd

g

Jarak maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru adalah 20

maks1 sin

vd

g

Metode 2 Mari kita pilih sumbu x sepanjang bidang miring dan sumbu y tegak lurus dengan bidang miring.

Komponen percepatan peluru pada sumbu x dan sumbu y berturut-turut adalah sinxa g dan

sinya g .

Persamaaan gerak peluru dalam arah sumbu x dan y adalah 2 21 1

0 02 2cos( ) sinx xx v t a t v t g t

dan 2 21 1

0 02 2sin ( ) cosy yy v t a t v t g t

Peluru mencapai bidang miring saat y = 0 dalam waktu mt .

210 2sin( ) cos 0m mv t g t

02 sincos

m

vt

g

Jarak d peluru mengenai bidang miring adalah 21

0 2cos( ) sinm md v t g t

20

2

2cos sin

cos

vd

g

Gunakan indentitas trigonometri bahwa 2cos sin sin sin( )A B A B A B .

20

2

2sin 2 sin

cos

vd

g

Jarak d maksimum ketika sin 2 1atau

22


4 2maks

dan 20

maks1 sin

vd

g

y

A

x

v0

B

d

g



5.6 Gerak Melingkar Gerak melingkar adalah gerak dengan bentuk lintasan melingkar. Ketika sebuah benda bergerak

melingkar dengan kelajuan konstan, gerak itu disebut gerak melingkar beraturan. Contoh gerak

melingkar adalah gerak benda yang diikatkan pada ujung tali yang kemudian diputar dengan kelajuan

konstan dan gerak satelit dalam orbit lingkaran. Setiap benda yang bergerak melingkar dengan radius r dengan kelajuan konstan v memiliki percepatan yang arahnya menuju pusat lingkaran yang nilainya

adalah 2

svar

(4.29)

Percepatan as (atau sering juga disimbolkan ar) ini dinamakan percepatan sentripental, percepatan radial atau percepatan normal. Jadi, benda yang bergerak melingkar beraturan memiliki percepatan

walaupun kelajuannya konstan. Percepatan ini disebabkan oleh perubahan arah vektor kecepatan

partikel. Percepatan ada karena perubahan nilai atau arah kecepatan (atau keduanya). Kita mengetahui bahwa kecepatan adalah besaran vektor, bukan skalar.

Sekarang kita akan membuktikan nilai percepatan sentripetal yang dialami oleh benda yang bergerak melingkar beraturan. Gbr.4.5a menunjukkan partikel bergerak melingkar beraturan dengan

radius r dengan pusat di titik O. Partikel bergerak dari titik A ke titik B dalam rentang waktu t .

Perubahan kecepatan benda v dalam rentang waktu ini ditunjukkan dalam Gbr.4.5b. Besar sudut

dalam Gbr.4.5a dan 4.5b adalah sama karena 1v tegak lurus dengan garis OA dan 2v tegak lurus

dengan OB. Sehingga segitiga pada gambar Gbr.4.5a dan 4.5b adalah sama. Perbandingan sisi dari

segitiga yang sama adalah sama, jadi

1

1

atauv vs v s

v r r

(4.30)

Nilai percepatan rata-rata selama waktu t menjadi

1rata ratav v sat r t

(4.31)

Kelajuan benda pada titik A akan sama dengan kelajuan benda pada titik B sehingga kita dapat

menuliskan 1 2v v v . Nilai percepatan sesaat di setiap titik adalah limit ketika t mendekati nol. 2

0 0lim limst t

v v s vat R t R

(4.32)

Arah vektor percepatan sa radial ke dalam , karena sa dv dt memiliki arah yang sama dengan v

seperti dalam dalam Gbr.4.5b (dalam limit dimana kecil). Arah percepatan sentripetal selalu menuju pusat lingkaran dan selalu tegak lurus dengan vektor kecepatan seperti ditunjukkan pada Gbr.4.5c. Jari-jari r disebut juga sebagai jari-jari kelengkungan lintasan. Jari-jari kelengkungan

lintasan gerak melingkar selalu tetap. Untuk gerak parabola, jari-jari kelengkungan lintasannya

berubah-ubah. Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu putaran. Frekuensi (f) adalah banyaknya putaran tiap detik. Hubungan periode dan frekuensi adalah

Gbr. 4.5

A

B

2v 1v

O

r

r s

r O

v

sa

(a) ( b) (c)

2v

1v

A

v



1Tf

(4.34)

Untuk partikel yang menempuh satu putaran (2R) dengan kelajuan konstan (v), kita dapat menuliskan bahwa

2 2Rv RfT (4.35)

Substitusikan pers.(4.35) ke pers.(4.32), kita akan mendapatkan rumus percepatan sentripetal dalam

bentuk 2 2

2 2 2

2

4 4sRa R f

T

(4.36)

Jika kelajuan benda berkurang dan meningkat ketika bergerak mengelilingi lintasan melingkar,

maka akan ada komponen percepatan tangensial at yang besarnya adalah

2 1t

v v v dvat t dt

(4.37)

di mana t mendekati nol. Percepatan tangensial berasal dari perubahan kelajuan partikel terhadap waktu, seperti halnya dalam kasus gerak lurus. Arah percepatan tangensial sama dengan arah kecepatan benda. Komponen percepatan tangensial untuk gerak melingkar beraturan adalah nol karena

kelajuan konstan. Vektor percepatan sentripetal tegak lurus dengan vektor percepatan tangensial.

Percepatan total benda saat bergerak melingkar adalah 2 2s ta a a (4.38)

Besar sudut yang dibentuk oleh a terhadap ta atau kecepatan partikel memenuhi hubungan

tan s

t

a

a (4.39)

Sekarang mari kita mencoba menjelaskan gerak melingkar menggunakan koordinat kartesian.

Misalkan sebuah benda bergerak melingkar dengan jari-jari konstan r. Ambil pusat lingkaran sebagai titik pusat koordinat. Pada waktu tertentu, benda membentuk sudut (diukur dalam radian) terhadap sumbu x positif, seperti pada Gbr. 4.7.

ta

sa

a

ta

ta a

sa

a

ta

sa

sa

a

r

Gbr.4.6 : Sebuah partikel bergerak melingkar dengan kelajuan berubah



Posisi benda setiap saat dapat dituliskan

cos sinr r i r j

(4.40)

Kita akan bekerja menggunakan besaran frekuensi angular ( sering juga disebut kelajuan angular atau

kecapatan angular), yang menunjukkan laju perubahan terhadap waktu. Jadi, = d/dt. Panjang lintasan yang ditempuh oleh benda adalah s = r. Besar kelajuan benda mengelilingi lingkaran v=ds/dt. Jadi,

d d

v r r rdt dt

(4.41)

Benda membutuhkan waktu T untuk menempuh satu putaran 2, sehingga T= 2. Jadi, = 2/T atau = 2f. Mari kita tinjau gerak melingkar beraturan, berarti nilai kecepatan angular konstan karena kelajuan v konstan. Persamaan gerak melingkar beraturan adalah = t. Kita dapat menuliskan persamaan posisi benda dalam bentuk

cos sinr r t i r t j

(4.42)

Persamaan kecepatan benda adalah

sin cosdr

v r t i r t jdt

(4.43)

Persamaan percepatan benda adalah

22 2

2 cos sin

d r dva r t i r t j

dtdt

2 2 2 cos sina r t i r t j r r r

(4.44)

Percepatan berlawanan dengan arah r , artinya percepatan diarahkan menuju titik asal atau pusat lingkaran. Percepatan radial dapat ditulis dalam bentuk

2 22( )

s

v ra r

r r

(4.45)

Dengan cara yang sama kita defenisikan besaran percepatan sudut yang menunjukkan parubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu. Jadi, = d/dt = d2/dt2. Besar percepatan tangensial benda mengelilingi lingkaran adalah at = dv/dt. Jadi,

td d

a r r rdt dt

(4.46)

Besaran jarak s, kelajuan v, dan percepatan tangensial at disebut sebagai besaran-besaran linear. Besaran sudut , kelajuan sudut , dan percepatan sudut disebut sebagai besaran-besaran angular. Jadi, hubungan besaran-besaran linear dan angular adalah

, , ts r v r a r (4.47)

Kita dapat menyimpulkan bahwa besaran-besaran linear dapat dianalogikan dengan besaran-besaran

angular. Besaran s analoginya , v analoginya , dan at analoginya . Gerak melingkar dengan percepatan sudut konstan dinamakan gerak melingkar beraturan. Dengan menggunakan analogi

besaran angular terhadap besaran linear, kita dapat menuliskan persamaan gerak melingkar beraturan

adalah 12 2 20 0 0 2, 2 , dan =t tt t t .

Contoh 5.6.1

Gbr.4.7

x

y

r



Sebuah partikel bergerak melingkar dalam bidang horizontal horizontal dengan jari-jari 2 m. Partikel

bergerak dengan kecepatan sudut tetap 30 putaran tiap menit. Hitung kecepatan angular, frekuensi ,

periode, ,kecepatan linear, dan percepatan sentripetal partikel!

Penyelesaian :

Jari-jari lintasan paartikel adalah r = 2 m. Karena 1 putaran = 2 radian, maka kecepatan sudut partikel

adalah 30 2 rad 60s rad s 3,14rad s .Frekuensi frekuensi partikel adala 2f =0,5 Hz.

Periode partikel adalah 1 2sT f . Kecepatan linear partikel adalah 2 m sv r . Percepatan

sentripetal partikel adalah 2 2 22 m ssa r .

Contoh 5.6.2 Sebuah partikel bergerak dari keadaan diam di sepanjang lingkaran jari-jarinya 40 cm dengan

percepatan tangensial konstan 10 cm/s2. Hitung waktu yang dibutuhkan partikel dari mulai bergerak

agar percepatan sentripetal sama dengan pecepatan tangensial!

Penyelesaian :

Setelah t detik, percepatan percepatan sentripetal sama dengan pecepatan tangensial, sehingga

2 10cm ss ta r a . Besar kecepatan angular akhir partikel adalah 10 40 0,5rad s .

Partiel bergerak dengan percepatan sudut konstan karena percepatan tangensialnya konstan. Besar

percepatan sudut partikel adalah 0,25 rad sta r . Persamaan kinematika partikel adalah

0 t . Jadi, 2st t .

Contoh 5.6.2

Sebuah benda titik mula-mula diam kemudian bergerak sepanjang lingkaran jari-jarinya 4 cm. Panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel memenuhi persamaan x = ct

3, dimana c = 0,3 cm/s

3.

Hitung percepatan sentripetal dan tangensial ketika kecepatan linearnya v = 0.4 m/s.

Penyelesain: : Kelajuan benda setiap waktu adalah v = dx/dt = 3ct

2 . Waktu yang dibutuhkan partikel agar

kecepatnnya 0,6 m/s adalah 2 23 0,3 10 0,4t

20s

3t

Percepatan sentripetal benda adalah as = v2/r = (0,4)

2/(0,04) = 4 m/s

2.

Percepatan tangensial benda adalah at = dv/dt = 6ct = 0,12 m/s2.

Contoh 5.6.2 Sebuah partikel mula-mula diam kemudian bergerak dalam lintasan lingkaran dengan percepatan

sudut konstan. Vektor percepatan total partikel membentuk sudut 300 terhadap arah kecepatan linear

setelah bergerak 1 detik. Hitung percepatan angular partikel!

Penyelesaian :

Arah vektor kecepatan sama dengan arah vektor percepatan tangensial partikel.

Kita mendapatkan hubungan bahwa

0tan30 s

t

a

a

at

as

a 300

v



1

3s ta a

Nilai kecepatan agular partikel setelah bergerak selama t dengan percepatan konstan adalah =t. Percepatan tangesial partikel adalah at=r, dan percepatan sentripetal partikel adalah ar =

2R= 2t2r. Jadi,

2 2

3

rt r

2

1 10,577rad s

3 3t

Contoh 5.6.2

Sebuah partikel bergerak sepanjang lintasn lingkaran dengan kecepatan angular konstan = 3 rad/s2.

Saat t = 1 detik setelah mulai bergerak total percepatan partikel menjadi 12 10a cm/s2. Hitung jari-

jari lintasan lingkaran !

Penyelesaian :

Kecepatan angular setelah bergerak selama t detik adalah t. Percepatan total partikel adalah

2 222 2 2 2 2 2 2

s ta a a r r t r r

2

2 2 2 2 2 4 1a t r r r t

Jadi,

212 10 3 3 1 1r

R = 4 cm

5.7 Gerak dalam Koordinat Polar Koordinat kartesian dengan baik menjelaskan gerak lurus, karena arah benda searah dengan

sumbu koordinat. Arah gerak benda berubah-ubah dalam gerak melingkar sehingga koordinat

kartesian tidak begitu baik dalam menjelaskan gerak melingkar. Kita akan menggunakan sistem

koordinat yang baru untuk memudahkan kita dalam menyelesaikan gerak melingkar. Posisi benda di titik P dalam koordinat kartesin (x,y) dapat dinyatakan dalam koordinat polar (r,), dimana r adalah jarak titik P ke titik asal O dan sudut yang dibentuk oleh antara agris OP dengan sumbu polar atau sumbu x positif. Hubungan antara koordinat kartesian dan koordinat polar adalah

cosx r (4.48) siny r (4.49)

Cara mengubah koordinat kartesian (x,y) menjadi koordinat polar (r,) memenuhi hubungan : 2 2r x y (4.50)

arc tan xy

(4.51)

Koordinat polar sangat berguna dalam menyelesaikan masalah gerak dalam fisika. Dalam sistem

koordinat silinder titik (x,y,z) dinyatakan dalam bentuk (r,,z). Sumbu z koordinat silinder sama dengan sumbu z kartesian, tetapi dalambidang xy menggunakan koordinat polar. Koordinat polar juga

digunakan dalam sistem koordinat bola.

O

Gbr.4.8 : Posisi partikel dalam koordinat polar

P (x,y) = P (r,)

x

y

r



Kita akan menemukan besaran kinematika benda dalam koordinat polar. Lihat Gbr.4.9, koordinat

polar memiliki vektor satuan r dan . Vektor r menyatakn posisi partikel dalam bidang, r vektor

satuan arah radial dan adalah vektor satuan arah tangensial.

Posisi partikel dalam koordinat polar adalah

r r r (4.52)

dengan vektor satuan

sin i cos j (4.53)

cos i sin jr (4.54)

Turunan vektor satuan r dan terhadap waktu akan menghasilkan :

cos i sin j r (4.55)

sin i cos jr (4.56)

Kecepatan partikel dalam koordinat polar sama dengan turunan pertama posisi terhadap waktu. Kecepatan partikel dalam koordinat polar dinyatakan sebagai :

drv rdt

(4.57)

rv r r r r rr r v r v (4.58)

dimana :

rv r adalah kecepatan partikel pada arah radial

v r adalah kecepatan partikel pada arah tangensial.

Percepatan partikel adalah turunan pertama kecepatan terhadap waktu.

dv da r rr rdt dt

a rr r r r r r

a rr r r r r r Percepatan partikel dapat dituliskan dalam bentuk :

2 2 r ta r r r r r a r a (4.59) di mana:

2ra r r adalah percepatan radial

x

y

z

Gbr.4.9 : Posisi partikel dalam koordinat silinder ( r,,z)

Gbr.4.10 : Vektor satuan koordinat polar r dan

x

y

r i

j

r



2ta r r adalah percepatan tangensial

r adalah percepatan arah radial menjauhi pusat lingkaran. r adalah percepatan radial ke menuju

pusat lingkaran dekenal sebagai percepatan sentripetal. 2r adalah percepatan koriolis. r adalah percepatan tangensial.

Sekarang mari kita ambil kasus khusus gerak melingkar dengan jari-jari konstan () dijelaskan

dalam koorditan polar.

Persamaan gerak melingkar beraturan ( 0r r , dan = = konstan) adalah

r r r v v r

2 ra a r r r Persamaan gerak melingkar berubah beraturan ( 0r r , = , dan konstan ) adalah

r r r v v r

2 r ta a r a r r r

Contoh 5.7.1

Sebuah partikel bergerak dalam bidang dengan kecepatan radial konstan 5m s dan kecepatan

angularnya konstan 4 rad/s. Hitung kecepatan partikel ketika berjarak 3 m dari titik asal !

Penyelesaian : Diketahui bahwa vr = 5 m/s , = 4 rad/s . Vektor kecepatan partikel dapat dituliskan dalam bentuk

rv v r r , kecepatan partikel saat r = 3m adalah 22 2 25 12 13m srv v r .

5.8 Gerak relatif dua dimensi Sekarang kita akan membahas tentang gerak relatif benda dalam dua dimensi. Misalkan sebuah

objek O bergerak dengan vektor posisinya OAr relatif terhadap pengambat A dan OBr relatif terhadap

pengambat B. Posisi pengamat B relatif terhadap pengamat A adalahb BAr . Hubungan dari ketiga

vektor posisi ini akan sama dengan :

OA BA OBr r r (4.60)

Dengan menurunkan pers.(4.60) terhadap waktu maka kita akan mendapatkan kecepatan OAv

dan kecepatan OBv benda berturut-turut relatif terhadap pengamat A dan pengamat B. Pengamat B

memiliki kecepatan BAv relatif terhadap pengamat A. Kita akan memperoleh hubungan :

OA BA OBv v v (4.61)

Dengan menurunkan pers.(4.61) terhadap waktu , kita akan mendapatkan percepatan OAa dan

percepatan OBa benda berturut-turut relatif terhadap pengamat A dan pengamat B. Kita peroleh

OA BA OBa a a

Kalau pengamat B kecepatannya konstan maka BAa sama dengan nol. Sehingga kita peroleh :

OA OBa a

Artinya, besar percepatan benda yang dilihat oleh pengamat A dan pengamat B adalah sama.



Contoh 5.7.1

1. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m dan kecepatan arus airnya 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan 3 m/s. Hitung : a. waktu yang dibutuhkan perahu untuk menyeberangi sungai! b. besar resultan kecepatan perahu! c. sudut yang dibentuk vektor resultan kecepatan perahu terhadap vektor kecepatan air? d. panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai! e. pergeseran menyamping perahu karena terbawa oleh arus sungai! f. sudut arah perahu terhadap garis tegak lurus kecepatan sungai agar perahu tidak terbawa oleh

arus sungai! Berapa waktu yang dibutuhkan perahu untuk menyeberangi sungai untuk kasus ini?

Penyelesaian : a. Lebar sungai L = 180 m, kecepatan arus sungai vs = 4 m/s, dan kecepatan perahu relatif

terhadap air adalah vp = 3 m/s.

Waktu yang dibutuhkan perahu untuk menyeberangi sungai adalah

18060s

3p

Lt

v

b. Resultan kecepatan perahu adalah 2 2 2 23 4 5m sr p sv v v

c. Besar sudut adalah

tanp

s

v

v

1 03tan 374

d. Panjang lintasan yang ditempuh oleh perahu adalah

5 60 300mrs v t

e. Pergeseran menyamping perahu adalah

4 60 240msd v t

L

vs

vp vr

d

x

OAr

OAr OBr

x

y

y

O

Pengamat A

Pengamat B

Gbr.4.11 : Hubungan vektor posisi benda O relatif terhadap pengamat A dan B



f. Misalkan perahu diarahkan pada sudut .

Kecepatan total perahu searah arus sungai harus sama dengan nol agar perahu tidak terbawa

arus sungai.

sinp sv v

sin s

p

v

v

1 1 04sin sin 533

s

p

v

v

Waktu yang dibutuhkan untuk menyeberangi sungai adalah

0

180100s

cos 3 cos53p

Lt

v

Contoh 5.7.2

Seorang Pria di dalam perahu menyeberangi sungai dari titik A seperti pada gambar. Jika dia

menyeberangi sungai secara tegak lurus, t1 = 10 menit setelah dia bergerak , dia sampai di titik C yang

jaraknya d = 300 m di hilir titik B. Jika dia menyeberangi sungai dengan membentuk sudut terhadap garis AB ( AB tegak lurus dengan arah arus sungai) maka dia mencapai titik B dalam waktu

t2= 20 menit. Hitung kecepatan arus sungai v, sudut , kecepatan konstan perahu relatif terhadap air u, dan lebar sungai L!

Penyelesaian :

Kasus pertama, perahu bergerak mengikuti garis AC.

Persamaan gerak perahu adalah

1L ut

1d vt

Kasus kedua, perahu bergerak mengikuti lintasan AB. Kecepatan perahu sepanjang sungai nol. Persamaan gerak perahu adalah

2cosL u t

sinv u

Kita akan memperoleh bahwa kecepatan sungai

1

0,5m sd

vt

Besar sudut :

1 2cosut u t

1

2

cost

t

vs

vp L

u

A

C B

v



11 0

2

cos 60t

t

Kecepatan perahu relatif terhadap air :

2

2 2 21 2 1

13 m s 0,58 m s

31 cos

tvu d

t t t

Lebar sungai L :

2

2 22 1

200 3 m= 346mt

L dt t

Kumpulan Soal

1. Posisi mobil kecil dalam perjalanan taman hiburan dinyatakan sebagai fungsi waktu oleh koordinat

2( ) 3 5 1x t t t dan

2( ) 4 10 2y t t t

a. Tentukan vektor posisi mobil saat t = 1s dan t= 3s. b. Tentukan kecepatan rata-rata mobil dalam periode waktu 1s sampai 3s. c. Tentukan kecepatan sesaat mobil saat t= 3s d. Hitung percepatan sesaat mobil saat t =3s. Berapa nilai dan arah percepatan pada waktu ini?

Penyelesaian :

a. Vektor posisi mobil dalam fungsi waktu adalah

( ) ( )r t x t i y t j

2 2 ( ) 3 5 1 ( 4 10 2)r t t t i t t j Vektor posisi mobil saat t = 1s adalah

(1) 9 8 mr i j

Vektor posisi mobil saat t = 3 s adalah

(3) 43 4 mr i j

b. Kecepatan rata-rata mobil dalam waktu waktu 1s sampai 3s adalah

(3) (1) 17 6 m3s 1srata rata

r r rv i j

t

c. Kecepatan mobil dalam fungsi waktu adalah

6 5 ( 8 10)dr

v t i t jdt

Kecepatan sesaat mobil saat t= 3s adalah

(1) 23 14 m sr i j

d. Percepatan mobil dalam fungsi waktu adalah

2 6 8 m sdv

a i jdt

Percepatan mobil selalu tetap setiap waktu. Nilai percepatan mobil adalah

2 22 2 26 8 10m/sx ya a a

Arah percepatan mobil adalah

8 4tan

6 3

y

x

a

a

Jadi, 1 04

tan ( ) 533

.



2. Sebuah peluru ditembakkan dari sebuah meriam dengan komponen kecepatan awal adalah v0,x =

2u dan v0,y = u. Sebuah dinding vertikal yang tingginya h berjarak 3h dari meriam, dan sebuah

jurang dengan ketingian 2h di bawah permukaan titik penembakan peluru. Nyatakan jawaban hanya dalam variabel g dan h.

a. Hitung nilai minimum umin yang dibutuhkan agar peluru dapat melewati puncak dinding! b. Berapa lama peluru terbang sebelum peluru membentur tanah dengan menggunakan nilai

umin? c. Berapa jauh dari dasar jurang peluru akan mendarat dengan menggunakan nilai umin?

Penyelesaian :

a. Ambil titik penembakan sebagai titik asal. Persamaan gerak peluru dalam arah x dan y adalah

0 2x xx v t v t u t

1 12 20, 2 2y

y v t gt ut gt

Ketika x = 3h, maka 3

2

ht

u dan

2

2

3 9

2 8

h hy g

u

Agar peluru bisa melewati dinding , maka pada waktu 3

2

ht

u ,

y h

2

2

3 9

2 8

h hg h

u

2

1 9

2 8

hg

u

2 9

4u gh atau

3

2u gh

Nilai umin adalah 3

2gh .

b. Peluru membentur dasar jurang ketika y = -2 h atau 1 22

2h ut gt

1 22

2 0gt ut h

Gunakan akar-akar persamaan kuadrat untuk mendapatkan

2 4u u ght

g

Substitusikan nilai umin dan ambil nilai t yang positif

1 3 54

2 2mh

t gh ghg g

h

2h 3h

y

x 6

-8



c. Jarak peluru mendarat dari dasar jurang adalah 3d x h

3x md v t h

3x md v t h

32 4 3 9

2

hd gh h h

g

3. Sebuah benda dilemparkan dengan kecepatan awal v0 pada sudut 600 terhadap horizontal menuju

dinding dengan ketinggian H yang berjarak 3 H dari posisi pelemparan. Percepatan gravitasi

bumi g. Hitung kecepatan minimum benda agar bisa melewati puncak gedung! Nyatakan

jawabanmu dalam variabel g dan H.

Penyelesaian : Ambil titik penembakan sebagai titik asal. Persamaan gerak peluru dalam arah x dan y adalah

100 02

cos60xx v t v t v t

1 1 10 2 20 2 2 2sin30 3y v t gt t gt

Ketika x = 3 H , maka 0

2 3 Ht

v dan

2

20

3 6H

y H gv

Agar peluru bisa melewati dinding , maka pada waktu 0

2 3 Ht

v ,

y H

2

20

3 6 2H

H g Hv

20

2 6H

gv

20 3v gH atau 0 3v gH

Nilai 0,minv adalah 3gH .

4. Sebuah mobil model baru diuji terlebih dahulu sepanjang dua bentuk lintasan yang dirancang khusus. Percobaan pertama, mobil didorong sepanjang lintasan lurus yang panjangnya r. Jika

mobil mulai bergerak dari keadaan diam dengan percepatannya maksimum (konstan), mobil

membutuhkan waktu t untuk menempuh r. Percobaan kedua, mobil dari posisi awal diam kemudian dipercepat lagi sepanjang lintasan lingkaran yang memiliki radius r. Asumsikan bahwa

mobil dipercepat dengan percepatan tangensial konstan yang mengijinkan mobil tetap dalam

lintasannya. Percepatan mobil maksimum saat mobil tepat menempuh satu putaran, nilainya sama

dengan percepatan mobil pada percobaan pertama. Hitung : a. percepatan maksimum mobil! b. waktu yang dibutuhkan mobil untuk menempuh satu putaran!

600

H

3 H

v0



c. percepatan tangensial dan radial mobil sesaat tepat menempuh satu putaran penuh! d. kecepatan maksimum mobil sesaat tepat menempuh satu putaran penuh!

Penyelesaian :

a. Misalkan percepatan maksimum mobil disimbolkan dengan am . Percepatan mobil maksimum saat mobil tepat menempuh satu putaran, nilainya sama dengan percepatan mobil pada percobaan pertama.

Persamaan jarak tempuh percobaan pertama adalah

21

2 mr a t

Jadi,

2

2m

ra

t

b. Ketika mobil bergerak sepanjang lintasan lingkaran, mobil mengalami percepatan radial ar dan

percepatan tangensial at. Misalkan waktu yang dibutuhkan untuk satu putaran adalah T , dan

kecepatan mobil di akhir lintasannya adalah v. Mobil menempuh keliling lingkaran 2r dalam satu putaran.

Persamaan jarak tempuh percobaan kedua adalah

2122 t

r a T

2

4t

ra

T

Kecepatan rata-rata mobil dalam percobaan kedua adalah

0

2 2

v vv

atau

2 rv

T

Sehingga kita akan mendapatkan bahwa

42

rv v

T

Percepatan radial atau percepatan sentripetal mobil adalah

2 2

2

16s

v ra

r T

Percepatan maksimum akan terjadi di akhir lintasan mobil. 2 2 2m t sa a a

atau

222 2

2 2 2

2 4 16r r r

t T T

Kita mudah membuktikan bahwa

2 24 4 1 4T t

c. Percepatan tangensial mobil adalah

2

2

1 4t

ra

t

Percepatan radial mobil adalah

2

8

1 4s

ra

t

d. Kecepatan maksimum mobil adalah

2 244

4 1 4

rv

t



5. Dua titik, A dan B, berada di permukaan tanah yang terpisah pada jarak d. Dua bola dilemparkan bersamaan dari titik A dan B dengan kecepatan sama tetapi berbeda sudut pelemparan. Setiap

bola tepat mendarat di titik pelemparan bola yang lainnya. Diketahui bahwa salah satu bola dilemparkan dengan sudut pelemparan > 450 terhadap horizontal. Hitung jarak minimum antara kedua bola selama proses gerak!

Penyelesaian :

Misalkan posisi masing-masing batu seperti pada gambar di bawah ini.

Panjang lintasan d adalah

2 20 0sin 2 sin 2v vd

g g

Kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa 090 atau 090 . Posisi bola A adalah

0 cosAx v t 1 2

0 2sinAy v t gt

Posisi bola B adalah 0

0 0cos(90 ) sinBx d v t d v t

1 10 2 20 02 2sin 90 cosBy v t gt v t gt Jarak kedua bola setiap saat adalah

2 2

2B A B Ar x x y y

2 22

0 0(sin cos ) (cos sin )r d v t v t

2 2 2 22 2 cos sinr d v t dvt Jarak kedua bola minimum saat turunan r terhadap t sama dengan nol.

0dr

dt

2min4 2 cos sin 0vt dv

min

cos sin

2

dt

v

Jarak minimum kedua bola adalah

2 2 2 2min min min2 2 cos sinr d v t dvt

2

2 2 2min 2

cos sin cos sin2 2 cos sin

24

d dr d v dv

vv

2

2min 1 2sin cos2

dr

Kita akan mendapatkan bahwa

2min

1 sin 2 1 sin 2sin 2

2 2

vr d

g

6. Sebuah bola dilemparkan dari permukaan tanah dengan kecepatan v diarahkan membentuk sudut

terhadap horizontal. Bola diperhatikan bahwa setelah beberapa waktu t setelah pelemparan, jarak antara bola dan titik pelemparan mulai berkurang. Percepatan gravitasi bumi g. Hitung t! Abaikan gesekan udara.

A

v0

x

y

r

(xA,yA)

(xB,yB)

d

v0

B



Penyelesaian :

Gunakan titik pelemparan bola sebagai titik asal. Komponen posisi horizontal dan vertikal batu sebagai fungsi posisi adalah :

cosx v t 21

2siny v t gt

Jarak bola dari titik asal dapat dinyatakan sebagai :

222 2 21

2cos sinr x y t v t gt

2 2 2 3 414

sinr v t vg t gt

Jarak r bertambah jika dr/dt lebih besar dari nol atau dr2/dt juga lebih besar dari nol . Mari kita

temukan nilai t untuk kondisi bola mencapai jarak ekstrim atau waktu dimana jarak bola dari

titik pelemparan yang awalnya semakin bertambah kemudian berubah menjadi semakin berkurang.

2 2 2 2 32 3 sin 0d r v t vg t g tdt

Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak ekstrim adalah

2 2 2

2

3 sin 3 sin 8

2

vg vg g vt

g

23sin 9sin 82vtg

Ada tiga kasus untuk diperhatikan : Jika sudut cukup kecil, nilai dalam akar akan negatif. Dalam kasus ini, tidak ada solusi t

yang real yang berarti bahwa jarak r selalu bertambah atau tidak memiliki titik ekstrim.

Nilai sudut agar jarak batu selalu bertambah adalah 29sin 8 0

1 0sin 8 9 70,5 Untuk kasus ini

Jika 1 0sin 8 9 70,5 , ada satu solusi real untuk waktu 23 sin

2

vvtg g

Untuk kasus ini dr2/dt lebih besar dari nol, sehingga jarak bola terhadap titik asal selalu

bertambah.

Jika 1 0sin 8 9 90 , ada dua solusi real untuk waktu ini, yang keduanya positif. Jarak antara bola dan titik pelemparan berkurang pada waktu yang lebih awal,

21 3sin 9sin 82vtg

Solusi kedua,

22 3sin 9sin 82vtg

Ini adalah waktu berikutnya ketika batu mulai menjauhi titik pelemparan. Bola akan

kembali ke permukaan tanah saat

3 23 sin

2vt t

g

Bola akan kembali menjauhi titik pelemparan sebelum bola mencapai tanah jika

1 0sin 8 9 90 . Ketika = 900 ( bola dilemparkan lurus ke atas), bola akan menjauhi titik pelemparan dalam waktu t2 kemudian kembali kembali mendekat ke titik pelemparan.



7. Dua benda dilemparkan horizontal dalam arah yang berlawanan dari puncak gedung dengan

kecepatan v1 dan v2 . Hitung waktu ketika vektor kecepatan kedua benda tegak lurus dan jarak

kedua benda pada saat ini!

Penyelesaian :

Ambil arah positif ke atas.

Pada waktu t kecepatan masing-masing benda adalah

1 1 v v i gt j

2 2 v v i gt j

Jika v1 dan v2 adalah tegak lurus, maka 1 2 0v v , sehingga

1 2 0v i gt j v i gt j 2 2

1 2 0v v g t

1 2

1t v v

g

Vektor posisi masing-masing benda adalah ....

211 1 2

r v t i gt j

212 2 2

r v t i gt j

Jarak pisah kedua benda adalah

1 2

1 2 1 2 1 2

v vr r r v v t u u

g

8. Seseorang mula-mula dalam keadaan diam melemparkan bola ke atas membentuk sudut 0 dengan kecepatan awal v0. Dia mencoba menangkap bola dengan percepatan konstan a dalam rentang waktu t1 dan kemudian terus berlari dengan kecepatan konstan dalam rentang waktu t2. Dia berhasil menangkap bola tepat pada ketinggian yang sama ketika dia melemparkan bola itu.

Percepatan gravitasi bumi g. Hitung percepatan orang tersebut!

Penyelesaian :

Total waktu bola bergerak sesaat sebelum ditangkap

1 2t t t .

Jarak yang telah ditempuh bola tepat sesaat akan ditangkap

0 0 0 0 1 2cos cosbx v t v t t Jarak yang ditempuh orang ketika orang bergerak dengan percepatan konstan

21 1

1

2x a t

Orang bergerak dengan kecepatan konstan 1v a t . Jarak yang ditempuh orang ketika

kecepatannya konstan

2 2 1 2x v t a t t .

Jarak total yang ditempuh orang sesaat akan menangkap bola adalah

1v

y

2v x



20 1 2 1 1 2

1

2x x x a t a t t .

Orang berhasil menangkap bola saat 0bx x , sehingga akan diperoleh

20 0 1 2 1 21

cos2

v t t a t a t

0 0 1 221 1 2

2 cos

2

v t ta

t t t

9. Sebuah peluru dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal v0 membentuk sudut dan membentur titik P (x,y) pada atap sebuah gedung , seperti ditunjukkan pada gambar.

a. Hitung sudut agar peluru membentur atap gedung dalam waktu minimum! b. Hitung waktu minimum yang diperlukan peluru untuk membentur atap gedung! c. Tentukan syarat kecepatan peluru v0 agar peluru bisa membentur atap gedung!

Penyelesaian :

a. Persamaan gerak peluru pada sumbu x:

0 cosx v t

Persamaan gerak peluru pada sumbu y:

20

1sin2

y v t gt

Persamaan peluru saat membentur atap :

tanh y

x

tany h x

Kita akan mendapatkan hubungan bahwa

21 02 cos tan sin 0gt v t h

Gunakan rumus penjumlahan trigonometri : tan sin cos dan

sin sin cos cos sin ,

sehingga

2 012

sin 0cos

vgt t h

Syarat untuk mendapatkan waktu minimum adalah 0d dt . Kita memperoleh

0 mincos 0cosv

t

Sudut agar peluru membentur atap gedung dalam waktu minimum adalah

cos 0

0=90

b. Untuk menentukan waktu tempuh minimum , kita gunakan nilai 0= 90 , kita peroleh

2 20 0

min

2 cos

cos

v v ght

g

0v P (x,y)

x

y

Atap gedung

h



c. Agar peluru dapat mencapai atap maka nilai waktu tempuh minimum harus real. Syarat 0v

agar peluru bisa mencapai atap gedung adalah : 2 20 2 cos 0v gh

0 2 cosv gh

10. Sebuah peluru A ditembakkan dengan sudut elevasi 1 . Setelah selang waktu T, peluru B

ditembakkan dengan sudut elevasi 2 . Kecepatan awal kedua peluru sama yaitu 0v . Hitung T agar

kedua peluru bertumbukan di udara.

Penyelesaian :

Diagram gerak peluru A dan B .

Asumsikan benda dilemparkan dari permukaan datar dari titik asal. Persamaan gerak peluru A :

0 1

20 1

cos

1sin

2

A A

A A A

x v t

y v t gt

Persamaan gerak peluru B :

0 2

20 2

cos

1sin

2

B B

B B B

x v t

y v t gt

Ketika peluru A telah bergerak selama At t , maka peluru B telah bergerak selama .Bt t T

Kedua peluru bertumbukan ketika A Bx x dan A By y .

Pertama ,

A Bx x 0 1 0 2cos cosv t v t T

2

2 1

cos

cos cost T

Kedua ,

A By y ,

22

0 1 0 2

1 1sin sin

2 2v t gt v t T g t T

2 0 2 0 2 12 sin 2 2 sin singT v T gTt v t Kita akan mendapatkan bahwa

0 1 2 2 1

1 2

2 sin cos sin cos

cos cos

vT

g

0 1 2

1 2

2 sin

cos cos

vT

g

y

x 2

1



11. Sebuah bola dilemparkan dari permukaan bumi dengan kecepatan awal v0 dengan sudut elevasi . Percepatan gravitasi bumi g. Abaikan hambatan udara. Hitung jari-jari kelengkungan kurva

lintasan bola di titik awal dan puncak .

Penyelesaian:

Gerak peluru merupakan salah satu contoh gerak melengkung. Kelengkungan kurva lintasan bola

berubah-ubah setiap saat.

Jari-jari kelengkungan kurva lintasan adalah ar = v

2/r . Nilai r menunjukkan jari-jari

kelengkungan kurva. Untuk kurva lintasan lingkaran, jari-jari kelengkungannya tetap. Jari-jari

kelengkungan kurva lintsan bola di titik awal adalah 2 20 0

11 cos

v vr

a g

Jari-jari kelengkungan kurva di titik puncak adalah 2 2 2

02

2

cosxv vra g

12. Sebuah batu dilempar dengan sudut elevasi 450. Sebuah bola mengikuti lintasan bola dengan kecepatan konstan sama dengan kecepatan awal batu. Berapa percepatan bola di titik puncak

lintasan? Abaikan gesekan udara.

Penyelesaian :

Misalkan kecepatan awal bola adalah v0. Kecepatan bola titik maksimum adalah vx = v0 cos450.

Percepatan radial batu di titik puncak sama dengan percepatan gravitasi g. Jari-jari kelengkungan

kurva di titik puncak diperoleh menggunakan rumus ar = v2/r, di mana r menunjukkan jari-jari

kelengkungan. Arah v tegak lurus dengan arah r. Maka, 2 2 2 0 2

0 0cos 45

2x

r

v v vr

a g g

Jari-jari kelengkungan kurva lintasan bola batu dan bola akan sama. Besar percepatan batu di titik

tertinggi adalah 20 2bolaa v g g .

13. Sebuah bola elastis dijatuhkan bebas dari ketinggian h di atas bidang miring. Bola tersebut terpantul dan jatuh pada bidang miring pada titik yang beda, begitu seterusnya (lihat gambar).

Percepatan gravitasi bumi g. Jika jarak antara titik pertama bola jatuh dan titik kedua adalah 12d

dan jarak antara titik kedua dan ketiga adalah 23d . Hitung perbandingan jarak antara 12 23d d !

y

x

vx = v0 cos

v0

a1 = g cos

a2 = g



Penyelesaian :

Pilih sumbu koordinat sepanjang bidang miring (sumbu x) dan tegak lurus permukaan bidang

miring (sumbu y). Sesaat sebelum menumbuk bidang miring kecepatan bola 0 2v gh adalah

membentuk sudut terhadap sumbu y.

Komponen percepatan bola pada sumbu x dan sumbu y :

sinx xa g g

cosy ya g g

Sesaat sebelum menumbuk bidang miring, bola memiliki komponen kecepatan:

0 0 sinxv v

0 0 cosyv v

Bola menumbuk bidang miring secara elastik sehingga nilai komponen kecepatan benda tidak

berubah. Arah komponen kecepatan sumbu x tetap, sedangkan arah komponen kecepatan bola pada sumbu y berubah arah. Jadi,

1 0 0 sinx xv v v

1 0 0 cosy yv v v

Persamaan gerak benda setelah tumbukan pertama:

2 21 1 0

1 1sin sin2 2x x

x v t a t v t g t

2 21 1 0

1 1cos cos2 2y y

y v t a t v t g t

Bola memantul untuk kedua kalinya saat 1 0y , sehingga :

20 1 1

10 cos cos2

v t g t

Waktu tempuh bola antara pantulan pertama dan kedua :

y

g

xg

yg

1xv

1yv

1v

l

x

12d

23d

1

2

3

h



01

2vt

g

Bola akan memantul kedua kalinya setelah menempuh jarak d12 dalam waktu 1t :

212 0 1 1

1sin sin2

d v t g t

20

12

4 sinvd

g

Komponen percepatan bola sesaat sebelum tumbukan kedua :

01, 1, 1 0 0

2sin sin 3 sinx x x

vv v a t v g v

g

01, 1, 1 0 0

2cos cos cosy y y

vv v a t v g v

g

Komponen kecepatan vertikal tidak berubah, sehingga waktu yang dibutuhkan tumbukan kedua

ke tumbukan ketiga sama dengan t1. Kecepatan arah x setelah tumbukan kedua adalah

2, 1, 03 sinx xv v v . Jarak antara tumbukan kedua dan tumbukan ketiga :

223 2, 1 1

12x x

d v t a t

20 0

23 0

2 213 sin sin2

v vd v g

g g

20

23

8 sinvd

g

Perbandingan jarak antara 12 23 1 2d d .

14. Sebuah peluru ditembakkan pada t=0 dari ketinggian d di atas permukaan horizontal (lihat

gambar). Peluru diamati pada dua titik disepanjang lintasannya. Pada waktu t1 peluru menempuh

jarak d dalam arah horizontal, dan memiliki ketinggian 4d di atas permukaan tanah. Pada waktu

berikutnya t2 peluru menempuh jarak 2d dalam arah horizontal, dan ketinggiannya 3d di atas permukaan terendah. Percepatan gravitasi bumi g

a. Hitung nilai waktu t1 dan t2 dalam besaran d dan g! b. Hitung kecepatan awal peluru dalam besaran g dan d! c. Hitung sudut pelemparan peluru !

Penyelesian :

a. Persamaan gerak peluru dalam arah sumbu x :

0xx v t Persamaan gerak peluru dalam arah x saat t1 dan t2 :

0 1xd v t

0 22 xd v t Hubungan antara t1 dan t2 adalah t2= 2 t1.

Persamaan gerak peluru dalam arah sumbu y :

d 2d x

d

2d

3d

4d

y



20

12

yy d v t gt

Persamaan gerak peluru dalam arah y saat t1 dan t2 :

20 1 1

142

yd d v t gt

2 20 2 2 0 1 1

13 2 22

y yd d v t gt d v t gt

Kita akan memperoleh bahw 1

2t d g dan

24t d g .

b. Komponen kecepatan awal peluru dalam arah sumbu x :

01

12

xdv gdt

Komponen kecepatan awal peluru dalam arah sumbu y :

20 1 1

142

yd d v t gt

013 2 42

yd dd v gg g

052

yv gd

Besar kecepatan awal peluru :

2 20 0 0 13x yv v v gd

c. Besar sudut pelemparan peluru terhadap horizontal adalah

01 1 00

tan tan 5 79y

x

v

v

15. Seseorang sedang berdiri pada jarak D dari dinding yang tinggi melemparkan sebuah bola dari permukaan tanah dengan kecepatan v0 dan sudut elevasi . Gunakan pusat koordinat di titik asal pelemparan bola. Sebelum mencapai puncak lintasan, bola menumbuk dinding secara elastis,

artinya komponen kecepatan horizontal berubah arah sedangkan komponen kecepatan vertikal

bola tidak berubah. a. Hitung waktu yang diperlukan bola untuk membentur tanah sejak dilemparkan? b. Hitung besar kecepatan bola sesaat sebelum dan sesudah bola menumbuk dinding? c. Hitung jarak bola dari orang itu ketika bola membentur tanah?

Penyelesaian:

a. Karena tumbukan elastis, artinya komponen kecepatan vertikal bola tidak berubah sehingga waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai tanah dengan atau tanpa menumbuk dinding akan

tetap sama, yaitu

02 sinvtg

D

H

x

y



b. Komponen kecepatan bola setelah menumbuk dinding adalah

1 cosx o

x Dt

v v

c. Komponen horizontal kecepatan bola sesaat sebelum tumbukan adalah

cosx ov v

Waktu yang diperlukan bola untuk mencapai dinding adalah

1 cosx o

x Dt

v v

Komponen vertikal kecepatan bola sesaat sebelum menumbuk dinding adalah 20

0 1 00 0

sin cossin sin

cos cosyv gDgD

v v gt vv v

Besar kecepatan bola sebelum dan seudah tumbukan tetap sama.

2

22 02 2

00

sin coscos

cosx yv gD

v v v vv

16. Sebuah bola dilemparkan dengan sudut elevasi mencapai puncak gedung yang ketinggiannya l. Jika jarak mendatar yang dicapai bola dari titik awalnya juga d (lihat gambar), tentukan kelajuan

awal yang dibutuhkan sehingga bola tepat mendarat di ujung/tepi puncak gedung tersebut. Nyatakan dalam dalam variabel l, g dan .

Penyelesaian : Persamaan lintasan peluru yang dilemparkan dari titik asal adalah

2

2 20

tan2 cos

gxy x

v

Besar kecepatan v0 untuk mencapai posisi x = y =l , kita peroleh dengan menyelesaiakan

persamaan berikut ini 2

2 20

tan2 cos

gll l

v

Ini mudah untuk dibuktikan bahwa

v0

l

l

Lintasan bola tanpa

menumbuk dinding

D

H

x

y



0 2 22cos tan 1 sin 2 2cos

gl glv

17. Sebuah bola dilemparkan dari tepi jurang dengan kecepatan awal v0 membentuk sudut terhadap

horizontal. Puncak jurang ketingggiannya h di atas bidang horizontal. Semua jawaban dalam

besaran v0, g, H , dan . a. Berapa lama peluru di udara? b. Berapa jarak R ( perpindahan horizontal ) bola?

Penyelesaian :

a. Gunakan titik pelemparan sebagai titik asal. Persamaan gerak bola dalam arah sumbu y adalah

1 20 2

siny v t gt

Bola mencapai bidang horizontal ketika y = - h dalam waktu td . Jadi, 1 2

0 2sin d dh v t gt

1 202

sin 0d dgt v t h

Solusinya persamaan ini adalah

2 200

sin 2sind

v ghvt

g g

Ambi solusi td >0 sebagai solusi yang fisis. 2 200

sin 2sind

v ghvt

g g

b. Besar jarak R adalah

0 cos dR v t

2 200

0

sin 2sincos

v ghvR v

g g

v0

h

R

KINEMATIKA GERAK DUA DIMENSI.pdf

Documents

Transcript of KINEMATIKA GERAK DUA DIMENSI.pdf