LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES

IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDINER

JENIS INITIAL VALUE PROBLEM (IVP) DENGAN RUNGE KUTTA

DISUSUN OLEH :

Nama : Fajar Hamida Munfaridi

NIM : 13521084

Kelas : D

Asisten : 1. Heni Anggorowati

2. Andry Septian

3. Agus Kurniawan

4. Khuriyati A’malina

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

YOGYAKARTA

2015

BAB IPENDAHULUAN

A. Tujuan

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner

jenis initial value problem menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih

turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga

melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Persamaan ini diperkenalkan pertama kali

oleh Leibniz pada tahun 1676. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model

matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak

hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa dapat diterjemahkan kedalam persamaan

yang mengandung turunan melalui bahasa matematika. Sebagai contoh, turunan-

turunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan sedangkan dalam

geometri sebagai kemiringan.

Persamaan diferensial juga dapat didefinisikan sebagai persamaan matematis

yang mengandung satu variabel bebas, variabel terikat dan turunan-turunan variabel

terikat terhadap variabel bebasnya. Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa (ordinary differential

equation) dan persamaan diferensial parsial (partial differential equation).

Persamaan diferensial biasa didefinisikan sebagai suatu persamaan yang

mengandung satu atau lebih turunan biasa suatu fungsi yang tidak diketahui

dengan dua atau lebih peubah bebas. Sedangkan persamaan diferensial parsial

didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan

parsial suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi

yang ada dalam persamaan. d3 yd x3 adalah orde tiga

d2 yd x2 ; adalah orde dua;

dydx

adalah

orde satu.

1

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari

turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3 ydx3 )

2

+( d2 ydx2 )

5

+ yx2+1

=ex adalah

persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan

dengan sebuah nilai yang sama pada variabel independent-nya (baik fungsi maupun

turunannya), maka dikatakan bahwa persamaan diferensial tersebut sebagai masalah

nilai-awal (initial-value problem). Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan

nilai yang berbeda pada variabel independent-nya, maka dikatakan sebagai masalah

nilai-batas (boundary-value problem).

Metode Runge Kutta yaitu suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial secara numerik atau pendekatan sehingga mendapatkan

penyelesaian yang lebih signifikan daripada penyelesaian secara eksak atau analitik.

Metode Runge Kutta merupakan gabungan dari suatu kelas besar metode pendekatan

satu langkah (metode Euler, Heun, dan titik tengah). Metode ini mencapai keakuratan

dari suatu pendekatan Taylor tanpa memerlukan turunan-turunan tingkat tinggi.

Metode Runge Kutta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan

diferensial biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi. Metode ini

sangat umum digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan diferensial biasa,

baik linear maupun nonlinear dengan permasalahan kondisi awal. Persamaan dengan

metode Runge Kutta adalah:

y i+1= y i+w1 k1+w2 k2+…+wm km

k 1=hf (x i , y i)

k 2=hf (x i+c2 h , y i+a21k1)

k 2=hf (x i+c3 h , y i+a31k1+a32k2)

:

k m=hf (x i+cm h , y i+am1 k1+am2k2+…+am. m−1 km−1)

Secara umum persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk:

y i+1= y i+∑j=1

m

w j k j

k j=hf (x i+c j h , y i+∑r=1

j−1

a jr kr)

2

Bentuk penyelesaian metode Runge Kutta dilakukan berdasarkan orde (pangkat):

1. Orde dua:

y i+1= y i+12(k1+k2)

Dengan nilai dari k i:

k 1=hf (x i , y i)

k 2=hf (x i+h , y i+k1)

2. Orde tiga:

y i+1= y i+16(k1+k2+k3)

Dengan nilai dari k i:

k 1=hf (x i , y i)

k 2=hf (x i+h2

, y i+k1

2 )k 3=hf (x i+h , y i+2k2−k 1)

3. Orde empat:

y i+1= y i+16(k1+2 k2+2k3+k4)

Dengan nilai dari k i:

k 1=hf (x i , y i)

k 2=hf (x i+h2

, y i+k1

2 )k 3=hf (x i+

h2

, y i+k2

2)

k 4=hf (x i+h , y i+k 3)

Pada metode Runge Kutta, semakin tinggi ordenya, semakin tinggi pula tingkat

ketelitian (akurasi) yang akan didapatkan. Di sisi lain, parameter yang diperlukan juga

akan lebih banyak. Pada umumnya, penyelesaian persamaan diferensial biasa akan

menggunakan metode Runge Kutta orde empat.

Bentuk : dydx

=f (x , y )

3

I.C. : x = xo; y = yo

Rumus untuk mencari harga-harga pada : i + 1, berdasar harga-harga pada i :

Xi+1 = xi + ∆x

Yi+1 = yi + {(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6}

Dengan:

k1 = f(xi, yi).∆x

k2 = f(xi + ∆x/2 , yi + k1/2).∆x

k3 = f(xi + ∆x/2 , yi + k2/2).∆x

k4 = f(xi + ∆x , yi + k3).∆x

Algoritma :

1. Definisikan dydx

=f ( x , y )

2. Menentukan Xo, Yo, Xn, dan i.

3. Mencari nilai ∆ X=xn−x0

i

4. Mencari nilai K1=f ( x i , y i ) ∆ X

5. Mencari nilai K2=f (x i+∆ x2

, y i+k1

2 )∆ X

6. Mencari nilai K3=f (x i+∆ x2

, y i+k2

2 )∆ X

7. Mencari nilai K4=f ( x i+∆ x , y i+k3 ) ∆ X

8. Mencari nilai ∆ y=16

( K1+2 K2+2 K 3+K 4 )

9. Mencari nilai y i+1=∆ y+∆ y i

10. Diiterasi hingga harga Xn

4

BAB IIPERSOALAN DAN PENYELESAIAN

A. Latihan

1. .

dydx

= x2

2+ y

X0 1

y0 1

xN 2i 10∆x 0.1

Tentukan Y, Sampai X = 2

i xi yi k1 k2 k3 k4 ∆y yi+10 1.0 1.0000 0.1500 0.1626 0.1633 0.1768 0.1631 1.16311 1.1 1.1631 0.1768 0.1913 0.1920 0.2075 0.1918 1.35492 1.2 1.3549 0.2075 0.2240 0.2248 0.2425 0.2246 1.57953 1.3 1.5795 0.2425 0.2612 0.2621 0.2822 0.2619 1.84144 1.4 1.8414 0.2821 0.3034 0.3044 0.3271 0.3041 2.14555 1.5 2.1455 0.3271 0.3510 0.3522 0.3778 0.3519 2.49746 1.6 2.4974 0.3777 0.4048 0.4061 0.4349 0.4057 2.90317 1.7 2.9031 0.4348 0.4652 0.4667 0.4990 0.4663 3.36948 1.8 3.3694 0.4989 0.5330 0.5347 0.5709 0.5342 3.90369 1.9 3.9036 0.5709 0.6090 0.6109 0.6515 0.6104 4.514010 2.0 4.5140 0.6514 0.6941 0.6962 0.7415 0.6956 5.2096

Jadi, pada x = 2, diperoleh harga y = 4.5140

5

2.

dydx

=x√ y+ y1

3

X0 1

y0 0.5

xN 2i 10∆x 0.1

Tentukan Y, Sampai X = 2

i xi yi k1 k2 k3 k4 ∆y yi+10 1 0.5000 0.1501 0.1628 0.1635 0.1768 0.1633 0.66331 1.1 0.6633 0.1768 0.1906 0.1914 0.2058 0.1911 0.85442 1.2 0.8544 0.2058 0.2209 0.2216 0.2373 0.2213 1.07573 1.3 1.0757 0.2373 0.2536 0.2544 0.2714 0.2541 1.32984 1.4 1.3298 0.2714 0.2891 0.2899 0.3083 0.2896 1.61945 1.5 1.6194 0.3083 0.3275 0.3282 0.3482 0.3280 1.94746 1.6 1.9474 0.3482 0.3688 0.3696 0.3911 0.3694 2.31687 1.7 2.3168 0.3911 0.4133 0.4141 0.4372 0.4139 2.73078 1.8 2.7307 0.4372 0.4611 0.4620 0.4867 0.4617 3.19239 1.9 3.1923 0.4867 0.5123 0.5132 0.5397 0.5129 3.705310 2 3.7053 0.5397 0.5671 0.5680 0.5964 0.5677 4.2730

Jadi, pada x = 2, diperoleh harga y = 3.7053

6

B. Tugas

1.

X0 1

y0 0.1

xN 2.5i 10∆x 0.15

Tentukan Y, Sampai X = 2.5

i xi yi k1 k2 k3 k4 ∆y yi+10 1 0.1000 0.2246 0.2621 0.2657 0.3008 0.2635 0.36351 1.15 0.3635 0.3005 0.3354 0.3378 0.3739 0.3368 0.70032 1.3 0.7003 0.3737 0.4114 0.4137 0.4538 0.4129 1.11323 1.45 1.1132 0.4537 0.4963 0.4988 0.5448 0.4981 1.61134 1.6 1.6113 0.5448 0.5943 0.5971 0.6511 0.5964 2.20785 1.75 2.2078 0.6510 0.7094 0.7128 0.7769 0.7121 2.91986 1.9 2.9198 0.7768 0.8464 0.8507 0.9274 0.8497 3.76967 2.05 3.7696 0.9273 1.0112 1.0164 1.1092 1.0153 4.78498 2.2 4.7849 1.1091 1.2108 1.2174 1.3304 1.2160 6.00089 2.35 6.0008 1.3302 1.4543 1.4627 1.6011 1.4609 7.461710 2.5 7.4617 1.6008 1.7532 1.7640 1.9345 1.7616 9.2233

Jadi, pada x = 2.5, diperoleh harga y = 7.4617

7

dydx

= xy3

+ 3√ y+x

2.

Tentukan Y, Sampai X = 2

i xi yi k1 k2 k3 k4 ∆y yi+10 1 1.5000 0.0320 0.0310 0.0310 0.0300 0.0310 1.53101 1.1 1.5310 0.0300 0.0291 0.0291 0.0283 0.0291 1.56012 1.2 1.5601 0.0283 0.0275 0.0275 0.0267 0.0275 1.58763 1.3 1.5876 0.0267 0.0260 0.0260 0.0253 0.0260 1.61364 1.4 1.6136 0.0253 0.0247 0.0247 0.0241 0.0247 1.63835 1.5 1.6383 0.0241 0.0235 0.0235 0.0230 0.0235 1.66186 1.6 1.6618 0.0230 0.0224 0.0224 0.0219 0.0224 1.68427 1.7 1.6842 0.0219 0.0215 0.0215 0.0210 0.0215 1.70578 1.8 1.7057 0.0210 0.0206 0.0206 0.0202 0.0206 1.72639 1.9 1.7263 0.0202 0.0198 0.0198 0.0194 0.0198 1.746110 2 1.7461 0.0194 0.0191 0.0191 0.0187 0.0191 1.7652

Jadi, pada x = 2, diperoleh harga y = 1.7461

8

yx2

3√(x+2)dy=

x ( y−1)y

dx

dydx

=x ( y−1) ( 3√( x+2 ) )

y2 . x2

X0 1

y0 1.5∆x 0.1

xN 2i 10

BAB IIIPENUTUP

A. Kesimpulan

1. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih

turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga

melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.

2. Berdasarkan persoalan syarat atau nilainya, persamaan diferensial ordiner

dibedakan menjadi:

a. Persamaan diferensial dengan persoalan syarat/nilai awal (intial value

problem, IVP).

b. Persamaan diferensial dengan persoalan syarat/nilai batas (boundary

value problem, BVP)

3. Metode Runge Kutta adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial secara numerik atau pendekatan sehingga mendapatkan

penyelesaian yang lebih signifikan daripada penyelesaian secara eksak atau

analitik.

4. Kelebihan dari metode Runge Kutta ini adalah bahwa untuk memperoleh hasil-

hasil tersebut hanya diperlukan nilai-nilai fungsi dari titik-titik sebarang yang

dipilih pada suatu interval bagian. Dari percobaan disimpulkan bahwa semakin

kecil Δx maka semakin baik.

5. Pada persamaan differensial

dydx

= x2

2+ y

, saat x = 2 diperoleh harga y = 4.5140

6. Pada persamaan differensial

dydx

=x√ y+ y1

3

, saat x = 2 diperoleh harga y =

3.7053

7. Pada persamaan differensial , saat x = 2.5 diperoleh harga

y = 7.4617

9

dydx

= xy3

+ 3√ y+x

dydx

=x ( y−1) ( 3√( x+2 ) )

y2 . x2

8. Pada persamaan differensial , saat x = 2, diperoleh

harga y = 1.7461

B. Saran

1. Diperlukan ketelitian dalam penulisan rumus mencari k1, k2, k3, dan k4 karena

rumus yang digunakan relatif panjang. Bila melakukan copy – paste rumus pada k2,

k3, dan k4 , perlu ketelitian dalam mengubah variabel k serta pembagi Δx dan k.

2. Setiap input nilai Δx jangan lupa mengunci dengan F4.

3. Teliti dalam menggunakan tanda kurung, karena jika penggunaan tanda kurung

tidak tepat maka hasilnya akan berbeda.

10

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.2010.Buku Petunjuk Praktikum Komputasi Proses.Yogyakarta : Teknik Kimia UII

http://dokumen.tips/documents/metode-runge-kutta.html , diakses pada tanggal 19-11-2015

pukul 1:20

https://noniarizka.wordpress.com/ , diakses pada tanggal 19/15/2015 pukul 1:33

https://www.scribd.com/doc/131630700/LAPORAN-BAB-IV-PENYELESAIAN-PERSAMAAN

-DIFERENSIAL-ORDINER-SIMULTAN-DENGAN-RUNGE-KUTTA-INDAH-EKA-S-

10521019-docx , diakses pada tanggal 19-11-2015 pukul 12:55

11