Logika matematika

Logika Asal-Usul Logika Manfaat Berfikir Secara Logika Logika Matematika Pernyataan Dalam Logika Matematika Ekuivalensi Dalam Logika Matematika Penarikan Kesimpulan

Logika Matematika

Rukmono Budi Utomo30115301

Prodi S3 MatematikaFMIPA-ITB

March 14, 2016

Rukmono Budi Utomo30115301 Logika Matematika

Logika Matematika

Logika

Asal-Usul Logika

Manfaat Berfikir Secara Logika

Logika Matematika

Pernyataan Dalam Logika Matematika

Ekuivalensi Dalam Logika Matematika

Penarikan Kesimpulan

Logika

Logika berasal dari kata Yunani kuno, yakni logos yangberarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewatkata dan dinyatakan dalam bahasa.

1. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme atau ilmupengetahuan yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secaralurus, tepat, dan teratur.

I Ilmu di sini mengacu pada kemampuan rasional untukmengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akalbudi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan.Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikandengan masuk akal.

Logika

lanjutan

2. Logika sebagai cabang filsafatSebagai cabang filsafat yang praktis,logika dapat dipraktikkandalam kehidupan sehari-hari.

I Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. Logikamengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yangtidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabangfilosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika.Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencarikebenaran.

3. Logika sebagai matematika murni

I Logika masuk ke dalam kategori matematika murni karenamatematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematikaadalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yangmenggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik(logika simbolik).

lanjutan

Asal-Usul Logika

Asal-Usul Perkembangan Logika dapat dikelompokkan dalambeberapa masa di bawah ini:1. Masa Yunani Kuno

I Logika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunanipertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dancerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budiuntuk memecahkan rahasia alam semesta.

I Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yangberarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thalestelah mengenalkan logika induktif.

I Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yangkemudian disebut logica scientica

Asal-Usul Logika

lanjutan

I Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulanbahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa airadalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika Thales, air adalaharkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkandari:

*Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan*Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia*Air jugalah uap*Air jugalah esDengan demikian menurut Thales, air adalah jiwa darisegala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alamsemesta.

lanjutan

I Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulanbahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa airadalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika Thales, air adalaharkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkandari:*Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan*Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia*Air jugalah uap*Air jugalah es

Dengan demikian menurut Thales, air adalah jiwa darisegala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alamsemesta.

lanjutan

I Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulanbahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa airadalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika Thales, air adalaharkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkandari:*Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan*Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia*Air jugalah uap*Air jugalah esDengan demikian menurut Thales, air adalah jiwa darisegala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alamsemesta.

2. Abad pertengahan dan logika modernPada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti DeInterpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masihdigunakan.Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannyaberusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlah logika moderndengan tokoh-tokoh seperti:

I Petrus Hispanus (1210 - 1278)

I Roger Bacon (1214-1292)

I Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metodelogika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakansemacam aljabar pengertian.

I William Ocham (1295 - 1349)

2. Abad pertengahan dan logika modernPada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti DeInterpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masihdigunakan.Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannyaberusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlah logika moderndengan tokoh-tokoh seperti:

I Petrus Hispanus (1210 - 1278)

I Roger Bacon (1214-1292)

I Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metodelogika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakansemacam aljabar pengertian.

I William Ocham (1295 - 1349)

lanjutan

Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murniditeruskan oleh

I Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan danJohn Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning HumanUnderstanding

I Francis Bacon (1561 - 1626) mengembangkan logika induktifyang diperkenalkan dalam bukunya Novum OrganumScientiarum

I J.S. Mills (1806 - 1873) melanjutkan logika yang menekankanpada pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic

Manfaaat Berfikir Secara Logika

Beberapa manfaat atau kegunaan apabila dapat berfikir secaralogika antara lain:

I Membantu setiap orang yang mempelajari logika untukberpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodisdan koheren.

I Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat,dan objektif.

I Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuanberpikir secara tajam dan mandiri.

I Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri denganmenggunakan asas-asas sistematis

I Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis ,lurus, metodisdan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama makaakan meningkatkan citra diri seseorang

Logika Matematika

Logika matematika merupakan salah satu cabang logika yangmengandung kajian matematis logika. Secara matematis,logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.

I Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematikayang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari sepertikepolisian, pengadilan, jaksa, hakim yang menggunakan logikamatematika untuk menganalisis suatu kasus ataupermasalahan.

I Dalam logika matematika akan dibahas bagaimana nilaikebenaran dari suatu pernyataan, ingkaran atau negasi,kesetaraan hingga penarikan kesimpulan yang sah daribeberapa pernyataan atau keadaan.

Logika Matematika

Beberapa Pernyataan Dalam Logika Matematika

Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan kemudiandisajikan dalam bentuk simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataanyang terdapat dalam logika matematika, antara lain:

I NegasiNegasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinyamengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkandengan lambang ∼ yang berarti tidak atau bukan. Jika suatupernyataan menyatakan adalah sapi hewan berkaki empat,maka negasinya adalah sapi bukan hewan berkaki empatP : Sapi hewan berkaki empat∼ P : Sapi bukan hewn berkaki empat

I NegasiNegasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinyamengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkandengan lambang ∼ yang berarti tidak atau bukan. Jika suatupernyataan menyatakan adalah sapi hewan berkaki empat,maka negasinya adalah sapi bukan hewan berkaki empat

P : Sapi hewan berkaki empat∼ P : Sapi bukan hewn berkaki empat

I NegasiNegasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinyamengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkandengan lambang ∼ yang berarti tidak atau bukan. Jika suatupernyataan menyatakan adalah sapi hewan berkaki empat,maka negasinya adalah sapi bukan hewan berkaki empatP : Sapi hewan berkaki empat∼ P : Sapi bukan hewn berkaki empat

lanjutan

I KonjungsiKonjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkandengan kata hubung dan atau disimbolkan ∧ denganPernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika keduapernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jikasalah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataankonjungsi juga bernilai salah.

Dalam tabel Kebenaran Matematis

P Q P ∧ Q

B B BB S SS B SS S S

lanjutan

I KonjungsiKonjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkandengan kata hubung dan atau disimbolkan ∧ denganPernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika keduapernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jikasalah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataankonjungsi juga bernilai salah.Dalam tabel Kebenaran Matematis

P Q P ∧ Q

lanjutan

I KonjungsiKonjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkandengan kata hubung dan atau disimbolkan ∧ denganPernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika keduapernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jikasalah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataankonjungsi juga bernilai salah.Dalam tabel Kebenaran Matematis

P Q P ∧ Q

lanjutan

I DisjungsiDisjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkandengan kata hubung atau yang disimbolkan dengan ∨Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataandisjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yangterdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satupernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi jugabernilai benar.

Dalam tabel kebenaran Matematika

P Q P ∨ Q

B B BB S BS B BS S S

lanjutan

I DisjungsiDisjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkandengan kata hubung atau yang disimbolkan dengan ∨Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataandisjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yangterdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satupernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi jugabernilai benar.Dalam tabel kebenaran Matematika

P Q P ∨ Q

lanjutan

I DisjungsiDisjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkandengan kata hubung atau yang disimbolkan dengan ∨Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataandisjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yangterdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satupernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi jugabernilai benar.Dalam tabel kebenaran Matematika

P Q P ∨ Q

lanjutan

I ImplikasiImplikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengankata jika dan dihubungkan dengan kata hubung maka yangdisimbolkan dengan (→). P → Q dibaca jika P maka Q

Dalam tabel kebenaran Matematika

P Q P → Q

B B BB S SS B BS S B

lanjutan

I ImplikasiImplikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengankata jika dan dihubungkan dengan kata hubung maka yangdisimbolkan dengan (→). P → Q dibaca jika P maka QDalam tabel kebenaran Matematika

P Q P → Q

lanjutan

I ImplikasiImplikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengankata jika dan dihubungkan dengan kata hubung maka yangdisimbolkan dengan (→). P → Q dibaca jika P maka QDalam tabel kebenaran Matematika

P Q P → Q

lanjutan

I BiimplikasiBiimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yangberarti jika dan hanya jika dan disimbolkan dengan ↔ .P ↔ Q dibaca P jika dan hanya jika QDalam tabel kebenaran Matematika

P Q P ↔ Q

B B BB S SS B SS S B

lanjutan

I BiimplikasiBiimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yangberarti jika dan hanya jika dan disimbolkan dengan ↔ .P ↔ Q dibaca P jika dan hanya jika QDalam tabel kebenaran Matematika

P Q P ↔ Q

B B BB S SS B SS S B

Beberapa hubungan yang ekuivalen dalam logika matematikaantara lain:

I ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q

I ∼ (P ∨ Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q

I P → Q ≡ ∼ Q → ∼ P

I ∼ (P → Q) ≡ (P ∧ ∼ Q)