Matematika Ekonomi*

Matematika Ekonomi

MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJAOlehR. SIHOTANG

Matematika Ekonomi* Ruang Lingkup:Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks.

Sasaran:Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang diterima pada Program Pascasarjana Fakultas pertanian Univ. Jambi

Tujuan :Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-kosep Matematika dalam penerap-annya pada persoalan ekonomi.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Kompetensi:Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika.

LiteraturChiang A.C, 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New YorkJohannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Materi:Pegertian MatematikaHimpunanSistem BilanganFungsiFungsi LinearFungsi non LinearDiferensial Fungsi SederhanaDiferensial Fungsi MajemukAljabar Matriks

Matematika Ekonomi

ASAL KATA Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari mate- matika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga. MATEMATIKA

Matematika Ekonomi*Berpikir matematis:Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika.

Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa.

Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Ekonomi dan Matematika EkonomiAnalisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif-kan logika dengan asumsi-asumsinya.Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng-gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Kelemahannya pendekatan matematis:Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran. Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika.b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: (1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* (2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi. Kesimpulan dari bahasa adalah: 1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi. 2. Pendekatan matematis merupakan mode of transportation yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Matematika Ekonomi dan EkonometrikaEkonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan penerapan statistika untuk menganalisa data ekonomi. Data Ekonomi Deduksi- ModelInduksiMengolah data- Mengambil kesimpulanEkonometrikaMatematika

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Teori EkonomiModel atauHipotesisFaktaData EkonomiMetodeEkonometrikaTeori StatistikaSatu PersamaanSimultanTeori DiterimaTeori DitolakTeori Disempurnakandeduktifinduktif

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas: Menurut Social Science Research Council, seorang ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan (gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus (limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial differentiation, integrasi multipel).

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*HIMPUNAN = GUGUSSilabus:Definisi, pencatatan dan himpunan khasHimpunan BagianPengolahan (operasi) himpunan Hubungan

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* 1. Definisi, pencatatan dan himpunan khasHimpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, , Z (kapital)Obyek atau unsur atau elemen dilambang-kan a,b,c, atau 1, 2, 3, Perhatikan ( tiga titik) dibaca dan sete-rusnya.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Dua cara pencatatan suatu himpunanCara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup dan menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4.b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda / dibaca dengan syaratx bil genap = sifat atau ciri

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Cara pendefinisian sifat yang lain:J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5 Himpunan khas: Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjilb. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Perhatikan: P = { 2, 3, 4 } Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan Jadi: 2 P 3 P 4 P. Tanda baca unsur atau elemen atau didalamSebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P dicatat 5 P 6 P Tanda dibaca bukan unsur atau bukan elemen atau diluar.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 }Himpunan bagiannya:Memilih semua unsur:X4 = { 1, 2, 3, 4 }Memilih tiga unsurX31 = { 1, 2, 3 } X32 = { 1, 2, 4 } X33 = { 1, 3, 4 } X34 = { 2, 3, 4 }c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 } X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 } X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 }

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*d. Memilih 1 unsur: X11 = { 1 }; X12 = { 2 } X13 = { 3 }; X14 = { 4 }e. Tanpa memilih X0 = { }Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n1 elemen: 1 2 himp bag 2 elemen: 1 2 1 4 himp bag 3 elemen: 1 3 3 1 8 himp bag 4 elemen: 1 4 6 4 1 16 himp bag 5 elemen: 1 5 10 10 5 1 32 himp bagDisebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Latihan:

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x A atau x B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsirABSSifat-sifat gabunganA U B = B U A Hukum komutasib. A (A U B) dan B (A U B)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Operasi potongan (irisan) = A B = { x / x A dan x B } A B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A B adalah daerah diarsir:ABs

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Sifat : a. A B = B A (hukum komutasi) b. (A B) A dan (A B) BOperasi selisihSelisih himpunan A dan B, dicatat dengan A BA B = { x / x A, tetapi x B }Diagram Venn A B sebagai berikut:ABS

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A B = { a, c } serta B A = { f, g } A B sering dibaca A bukan B.Sifat: a (A B) A; (B A) B b (A B); dan (B A) adalah saling asing atau terputus

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*KomplemenA = { x / x S, tetapi x A } A baca komplemen A atau bukan AMisal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } himp.bil bulat positipA = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genapDiagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)SAAA

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Sifat: a. A U A = S b. A A = c. (A) = A

Latihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = {2, 3, 5, 7 }B = {1, 3, 4, 7, 8 }

Kemudian selesaikan :a). A B b). B A c) A Bd). A U B e) A B f) B Ag). (A U B) h) (A B)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Latihan 2Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: atau

ABABAUB(AB)(AUB)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Hubungan

Himpunan Hasil kali CartesiusApabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x X dan y Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3.

Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}

Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y = {(x, y)/ x X, y Y}

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X 1 2 3

1(1, 1) (1, 2) (1, 3) 2(2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)

X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

Y

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y 3 2 1 0 1 2 3 4 XGbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumahH1H2H3H4PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintarTerdapat 4 himp bagH1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg mengerti} H3 = {rajin ttp krg ngerti} H4 = {rajin dan pintar}

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Daerah dan Wilayah (Range) hubunganPerhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubunganDh = {1, 2, 3, 4}Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan:Wh = {1, 2, 3}

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Kesimpulan:Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x X dipasangkan dengan setiap unsur y Y. X x Y = { (x, y) / x X, y Y }Daerah hubunganDh = { x / x X}Daerah hubungan:Wh = { y / y Y}

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*SISTEM BILANGANNyata+ dan -KhayalRasionalIrrasionalBulatPecahanBilangan2; -2; 1,1; -1,1Akar negatip

(-4) = 2Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999 , 1; 4; 8; termasuk 0; 2/7 dsb1. Pembagian bilangan

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*2. Tanda pertidaksamaanTanda < melambangkan lebih kecil dariTanda > melambangkan lebih besar dariTanda lebih kecil dari atau sama denganTanda lebih besar dari atau sama dengan

3. Sifat Jika a b, maka a -bJika a b dan x 0, maka x.a x.bJika a b dan x 0, maka x.a x.bJika a b dan c d, maka a + c b+ d

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*FungsiSilabus: Pengertian Macam-macam fungsi Fungsi Linear Fungsi non Linear

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Dengan denah Venn sbb:XYHubungan 1 - 1Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEARPengertianHimpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Perhatikan juga contoh berikut:0x1x2XYy1y = f(x)x1

x2xn y1

ynXYGambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x)Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll.Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x y

simbol f diartikan sebagai aturan transformasi unsur himp. X kedalam himpunan YLebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergan-tungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lainaturanditransformasi

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat)Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf). Df = { x / x X } Wf = { y / y Y }Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya?Jawaban:Df = { Q / 0 Q 100 }Rf = { C / 150 C 850 } Dapat Anda jelaskan ?

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Macam-macam fungsia. Fungsi Polinomial

xyKonstan, jika n = 0y = a a0Slope = a1 Bentuk umumnya : y = a + bx + cx2 + . . . + pxn xyLinear, jika n = 1y = a + bxa0Kuadratik, jika n = 2Y = c + bx + ax2 case c < 0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*

xyTitik belokTitik maksimumFungsi kubiky = d + cx + bx2 + ax3Titik maksimumTitik minimumxyFungsi polinom derajad 4y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*b. Fungsi RasionalFungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola.Hiperbola: y = (a/x), a > 0xy0c. Fungsi eksponensial dan logaritmayx0Eksponensial y = bx , b>1yx0Logaritmay = logbx

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Fungsi linear Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi misalnya:- antara permintaan dan harga- invests dan tingkat bunga- konsumsi dan pendapatan nasional, dllFungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom:y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxnDisebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx bentuk umumContoh: y = 4 + 2x a = 4 b = 2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal yb = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* xyba0 = penggal garis y = ax + b, pada sumbu yyaitu nilai y saat x = 00a = lereng garis atau y/xpada x = 0, y/x = a; pada x = 1, y/x = axy = aaaaa12345y = a + bx

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan.Latihan-1 y = 4 + 2x Penggan garis pada sumbu y = Lereng garis :Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0

xyxyy/x = a0---1234

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2xMendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0

xyxyy/x = a-3-2-101234

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Kurva (grafik) fungsiFungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama.Misalkan y = 36 4x maka a = -4 (y/x) b = 36Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu yHubungkan kedua titik penggal tersebutTitik penggal pada sb x, y = .., x = atau titik (, ) Titik penggal pada sb y, x = .., y = atau titik (, )

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Grafik:yx369018y = 36 4x(0,36)(9,0)Grafik dengan lereng negatip

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Gambarkan grafik fungsi:y = 2 + 4xTitik penggal dg sb x y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y x = 0, y = 2, (0,2)Gambarkan :yx0Grafik dengan lereng positipy = 2 + 4x

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Fungsi non linear (kuadratik)Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibatFungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2.

Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom:y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxnDisebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 0, yaitu y = a0 + a1x + a2x2 atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh - 1:y = 8 2x x2 a = -1 (a < 0) b = -2 c = 8 Contoh - 2:y = 2x2 + 4x + 6 a = 2 a > 0) b = 4 c = 2 Menggambar kurva non linear kuadratik Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 2x x2 atau 8 2x x2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara:1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan:(2 - x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x)(2 - x)(4 + x) = 0(2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0)(4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0) 2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b b2 4ac x = -------------------- 2c - (-2) (-2)2 4(-1)(8) x = -------------------------------2(-1)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* 2 4 + 32 2 6 x = ---------------- = --------- -2 -2 x1 = (2 + 6)/(-2) = -4, titik (-4, 0) x2 = (2 6)/(-2) = 2, titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 2x x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Mencari titik maks atau minSifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b2 4ac x = ----, dan y = ----------- 2a -4a c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min y = 8 2x x2, a < 0 berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1 ymaks = [(-2)2 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9. titik maks (-1, 9).

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Gambarkan kurvanya:0xy

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Latihan:Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2:y = 2x2 + 4x + 6

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Lanjutan:

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Hubungan dua garisDua buah garis dengan fungsi linier dapat:a. berimpity1 = a1x + b1y2 = a2x + b2Berimpit: Jika dan hanya jikaa1 = a2 b1= b2b. Sejajary1 = a1x + b1y2 = a2x + b2Sejajar: Jika dan hanya jikaa1 = a2 b1 b2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*c. Berpotongany2 = a2x + b2y1 = a1x + b1Berpotongan: jika dan hanya jikaa1 a2b1 b2Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan.y1 = a1x + b1y2 = ax2 + bx + cyxyxa0Ttk potTtk potTtk pot

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Mencari titik potong dua garis/persamaanPada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebutCaranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong Cari titik potong fungsi x = 15 2y dan 3y = x +3 x = 15 2y y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3 y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x (1/3)x = 1 15/2 x = 78/10

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi:y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Mencari titik potong dua garis/persamaan(1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut.Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x)(1) 2x + 3y = 21 3y = 21 2x atau y = 7 (2/3)x (2) x + 4y = 23 4y = 23 x atau y = (23/4) (1/4)xTitik potong kedua garis: 7 (2/3)x = (23/4) (1/4)x 7 (23/4) = (2/3)x (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12. y = 11/4 (12, 11/4)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Latihan

Matematika Ekonomi

Penggunaan Fungsi dalam ekonomiAnalisa keseimbangan pasarKeseimbangan pasar Model linearAsumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika ekses demand = 0 atau (Qd Qs = 0)Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd turun.Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Qs juga naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol.Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?

Matematika Ekonomi*Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat:Qd = QsQd = a - bP, slope (-) (1)Qs = -c + dP, slope (+) (2)Gambarnya sbb:Qd, QsP-cP1aQd = a -bPQs = -c + dPP0Q00keseimbangan

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:Qs = 4 p2 dan Qd = 4P 1 Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}0-11,32431QS = 4p - 1QD = 4 - p2 keseimbangan

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*LatihanTemukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Keseimbangan pasar (lanjutan)Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika:Qd = 16 P2 , (Permintaan)QS = 2p2 4p (penawaran)Gambarkan grafiknyaApa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*PenjelasanPada saat keseimbangan maka Qd = Qs16 p2 = 2p2 4p 3p2 4p 16 = 0Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 dengan bentuk umum: ax2 + bx + cKoefisien a = 3, b = -4, dan c = -16p = (-b) (b2 4ac)1/2 = 4 (16 + 192)1/2 = 3.1 (+)Qd = 16 p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1)2a6

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Grafik:Fungsi Permintaan: Qd = 16 p2 Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 16, (16,0) b. Titik potong dengan sb p Q = 0; 16 p2 = 0 (p 4)(p + 4). p 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0 p = (b2 4ac)/(-4a) = 0 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16 atau pada titik (0, 16)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Grafik:Fungsi penawaranQs = 2p2 4pTitik potong dengan sb Q p = 0; Q = 0, (0,0)Titik potong dengan sb p Q = 0; 2p2 4p = 0Atau 2p(p 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0) (p 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)c. Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 4/4 = 1 p = (b2 4ac)/(-4a) = (-4)2 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Grafik:QpQd6.43.141602QsApa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, terjadi ekses demand

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Penjelasan ekses suplai dan ekses demandQsQdEkses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*DERIFATIF1.1. Pengantar KalkulusKalkulus khususnya bahasan matematika tentang Fungsib. Derivatif atau fungsi turunanc. Derivatif parsial dand. Integralsangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya:1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*2) Elastisitas produksi3) Biaya total, rata-rata dan marginal4) Revenue dan marginal revenue5) Maksimisasi penerimaan dan profit.6) dll.Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*

1.2. Limit fungsiPandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: h(x) = -------------2x2 + x - 3 x - 1Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per-hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya 0/0 (bentuk tak tentu)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 32x2 + x - 3 x - 1(x-1)(2x +3) x - 1Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-tornya, sehingga:Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x2 - 4 x - 2tentu, untuk x = 2Karena itu g(x) disederhanakan menjadi:g(x) = ------------------- = x + 2. (x 2)(x + 2) x - 2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: 1230451xyy = h(x)Fungsi h tdk terdefi-nisi di titik x = 1. Un-tuk x 1, maka h(x) = 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mende-kati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Keadaan di atas, dicatat sebagai:lim h(x) = lim ------------- = 5x1x12x2 + x - 3x - 1Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1Demikian juga dengan g(x) di atas lim g(x) = lim --------- = 4. x2 - 4 x - 2 x 2 x 2

Matematika Ekonomi

1.3. Pengertian DerivatifSuatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka: lim f(x) = f(x0)x -> x0Y = f(x)xYx0Y = f(x) kontinu pada x = x0 Y=f(x)x0y0y0y1Y = f(x) diskontinu pada x = x0

Matematika Ekonomi*Sehingga f(x) f(x0) ------------------x x000---=Maka lim f(x) f(x0) disebut dengan derivatif -------------x x0 fungsi f dititik x = x0.x->x0Dengan mensubstitusi x = x x0, atau x = x0 + x, untuk x-> x0 berarti x ->0 atau:lim f(x0 + x) f(x0)------------------- x x-> 0 merupakan derivatif atau turunan fungsi.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg:f(x) atau dy/dx atau y atau Dxy.Atau dengan penjelasan lain:Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x) y + y = f(x + x)

Besarnya pertambahan adalah: y = f(x + x) f(x).Dibagi dg x: y/x = f(x + x) f(x)Y = f(x)xx1xyy1y-------------------------------x

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* lim y/x = f(x + x) f(x) adalah turunan fungsi tsb yaitu: y = f(x) = dy/dxContoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1, dititik x = 5.Jika x ditambah sebesar x, maka y akan bertambah sebesar y. y + y = (x + x)2 + 1 y = x2 + 1 (-)-----------------------------xx->0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Dengan pengurangan: y = (x + x)2 + 1 x2 1 = x2 + 2xx + (x)2 + 1 x2 1 = 2xx + (x)2 y/x = 2x x + (x)2 x = 2x + x lim y/x = lim 2x + lim x

dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10.x ->0x ->0x ->0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*1.4 Rules of differentiationRule 1: Derivative of a power function.Fungsi pangkat (power function) y = xny + y = (x + x)n y = (x + x)n y y = (x + x)n xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* C(i, n) baca kombinasi tingkat i dari n unsur. C(i, n) adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya. C(0, 4) berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur. C(i, n) = ------------ n !i ! (n i)!

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* n! = n(n-1)(n-2)(n-3) 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1Sekarang: y = (x + x)n xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1x + C(2, n)xn-2x2 + C(3, n)xn-3x3 +C(4, n)xn-4x4 + + C(n-1, n)xxn-1 - xn

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1

C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n

C(2, n) = ---------- = ---------------------- = ----- n!0!(n-0)!n.n-1.n-2.n-3. 1.n.n-1.n-2.n-3 n!1!(n-1)!n.n-1.n-2.n-3. 1.n-1.n-2.n-3. n!2!(n-2)!n.n-1.n-2.n-3. 2.1.n-2.n-3. n.n-12

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* y = (x + x)n xn = xn + nxn-1x + n(n-1)xn-2x2 + C(3, n)xn-3x3 + C(4, n)xn-4x4 + + C(n-1, n)xxn-1 - xn = nxn-1x + n(n-1)xn-2x2 + C(3, n)xn-3x3 +C(4, n)xn-4x4 + + C(n-1, n)xxn-1 2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* y = nxn-1+ n(n-1)xn-2x + C(3, n)xn-3x2 + C(4, n)xn-4x3 + + C(n-1, n)xxn-2

Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1

Contoh: y = x5 dy/dx = 5x4. Mis C = total cost, q = output C = q3 derivatif C thdp q = 3q2. x2yxx->0x->0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx? y + y = c(x + x)2 y = cx2 + c2xx + c(x)2 cx2 = c2xx + c(x)2 ---- = c2x+ c(x)

lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x yxyxx->0x->0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: y =f(x) = 5x2 f(x) = 5(2)x2-1 = 10x

Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f(x) = g(x) + h(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f(x) = g(x) + h(x) + k(x)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih.f(x) = g(x) h(x);f(x) = g(x) h(x).

Contoh:Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 3x + 37 g(x) = 7x4; g(x) = 28x3 h(x) = 2x3; h(x) = 6x2 k(x) = -3x; k(x) = -3 l(x) = 37; l(x) = 0 jadi f(x) = 28x3 + 6x2 3.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Rule 4: derivative of a productFungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x).h(x) f(x) = g(x).h(x) + h(x).g(x)

Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g(x) = 2 h(x) = 3x2; h(x) = 6xJadi: f(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2 = 18x2 + 18x.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f(x) = g(x)h(x) g(x)h(x) [h(x)]2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: f(x) = (2x 3)/(X + 1). g(x) = 2x 3; g(x) = 2 h(x) = x + 1; h(x) = 1

f(x) = (2)(x + 1) (1)(2x 3)

= 2x + 2 2x + 3 = 5 (x + 1)2(x + 1)2(x + 1)2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Rule 6: Chain ruleFungsi berantai bentuknya sbb:y = f(u) u = g(x) y = f(z) z = g(u) u = h(x)Dicari derivatif y ter-hadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx.Dari y = f(u) didpt dy/du, Makadydx=dy .dududxDengan cara yang samady=dydudzdxdudzdx

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2xUntuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15yApabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif).

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu dy/dx = 2Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 x. v = t2 dan t = 1 + x2u = s3, du/ds = 3s2s = 1 x ds/dx = -1v = t2, dv/dt = 2tt = 1 + x2 dt/dx = 2xy = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1) = 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx 3t)Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) 3(1+x2)]

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx.Dengan memakai derivatif fungsi berantai:Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d2y/dx2 atau f(x) atau yDemikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 3x2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* f(x) = x3 3x2 + 4, f(2) = 8 12 + 4 = 0 f(x) = 3x2 6x, f(2) = 12 12 = 0 f(x) = 6x 6 f(2) = 6 f(x) = 6 f(2) = 6.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain sK = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan:z/x atau f/x atau fx Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: z/y atau f/y atau fy

Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: z/x = lim z/x = lim f(x + x, y) f(x, y)

xx->0x->0Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai:z/y = lim z/y = lim f(x,y + y) f(x, y)yy->0y->0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy 5y2 ,maka: z/x = 6x + 2y z/y = 2x 10y

Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb:Contoh: z = (x2 + y2)3z/x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2z/y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)22z/x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2)2z/y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2)2z/ yx = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif z/x thd y 24xy(x2 + y2).2z/xy = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Simbol derivatif parsial z/x juga dilambangkan f/x atau fx.Fungsi turunan kedua dilambangkan: 2z/x2 atau 2f atau fxxFungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyxFungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy fyx = fxy

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Maksimum dan minimumy = f(x)akan maksimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 < 0akan minimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 > 0akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 = 0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Apabila fungsinya lebih dari dua variabel:z = f(x, y) atau f(x1, x2),Maksimum jika fx = 0, fy = 0fxx < 0, fyy < 0fxxfyy (fxy)2 > 0

Minimum jika fx = 0, fy = 0fxx > 0, fyy > 0fxxfyy (fxy)2 > 0

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu-nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut.y = f(x) = -x2 + 4x + 7 dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2 d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari:z = x2 + xy + y2 3x + 2Langkah-langkah:Derivatif pertama: fx = 2x + y 3 fy = x + 2yfx = 0 dan fy = 02x + y 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y 3, didapat y = 3 2x. Substitusi y = 3 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 2x) = 0; x + 6 4x = 0 atau 3x = 6 x = 2.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Untuk x = 2, y = 3 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min

c. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1 fxxfyy (fxy)2 = 2.2 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1).d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 3(2) + 2 = 4 2 + 1 6 + 2 = -1.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*1.5 Aplikasi dalam ekonomi1) Elastisitas permintaan Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga. Jika q = komoditi yg diminta, q = perubahannya p = harga komoditi; p = perubahannya

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- --q/qp/pp->0q/qp/ppq pqp->0 dq dp p qContoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p2 hitung elastisitas permintaan jika harga berku-rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi-nisi dan derivatif.Pendekatan definisi: p = 2; p = 0.05 berarti p1 = 2 2(0.05) = 1.9Untuk p1 = 1.9, q = 18-2p2 = 18 2(1.9)2 = 10.78 untuk p = 2, q = 18-2p2 = 18 2(2)2 = 10. berarti q = 10.78 10 = 0.78

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Jadi menurut pendekatan definisi Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56

Dengan pendekatan derivatif: Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q pada harga p = 2, dan q = 10 Ed = -4(2)2/10 = - 1.60. Perhatikan dengan derivatif, p mendekati nol, sementara menurut definisi, p = 0.05%, jadi hasilnya sedikit berbeda.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dTC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*ACHubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah ini.MCVCTCqRp

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh dengan data diskrit

qFCVCTCACMC110010110110.00-21001611658.006.031002112140.335.041002612631.505.051003013026.004.061003613622.676.0710045.5145.520.789.581005615619.5010.591007217219.1016

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Contoh dengan fungsi biaya: TC = q3 4q2 + 10q + 75. FC = Fixed Cost = 75 VC = Variable cost = q3 4q2 + 10q

MC = dTC/dq = 3q2 8q + 10 AC = TC/q = q2 4q + 10 + 75/q

Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq.Contoh:Fungsi Permintaan; 3q + 2p = 9; 2p = 9 3q atau p = 9/2 (3/2)qTR = p.q atauTR = (9/2)q (3/2)q2MR = dTR/dq = 9/2 3qMRpqTR, MR, p034

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*4). Fungsi produksiSeorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh profit maksimum, adalah: Jumlah produk yang yang akan diproduksi Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb.

Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI.Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat penggunaan input-input dengan tingkat output.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Fungsi produksi, secara umum dicatat:Q = f(x1, x2, x3, , xn)Q = outputxi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, , nApabila dalam proses produksi: Q = f(x1/x2, x3, , xn) input xI ditambah terus menerus, sedangkan input lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada hukum : The law of diminishing returns

bila satu macam input, terus ditambah penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya negatip.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Tambahan output yg didapat karena adanya tam-bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM). PM = Q/xi, i = 1, 2, 3, , nSelain produk marginal, fungsi lain yang dapat di-turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR). PR = Q/x = f(x)/xJadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di-tunjukkan oleh kurva berikut ini.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Q = PTQxxPRPM

X1QPMPR110-10224141233915134521313561912.266651176609.4864-28

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb: a. Pada saat PT maks, maka PM = 0 b. Pada saat PR maks, maka PM = PR c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT.

Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk Q = f(x1, x2)/x3, , xN) atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut:

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*zx1x2

Matematika Ekonomi

MATRIKSMatriks artinya sesuatu yang membungkus, yang dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun dalam bentuk baris dan lajur.Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan (rata-rata)Bulan

KotaABCJ400045004200F420046004500M420047004500

Matematika Ekonomi*Dengan catatan matriks ditulis:A = 4000 4500 4200 4200 4600 4500 4200 4700 450B = 1 0 1 4 3 2 6 7 9 8 4 1Bentuk umum sbb:A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n : : : am1 am2 amnm x nUntuk menyederhanakan dicatat: A = (aij)mxn m = jlh baris; n = jlh lajurm x nNotasi matriks

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Vektor.Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor lajur.Vektor baris: a = (4, 1, 3, 2) x = (x1, x2, xn) Vektor lajurb = 1 u = u1 2 u2 8 : un

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Beberapa macam bentuk matriksMatriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n A = 2 0 2 4 4 1 7 7 1 2 3 4 5 1 4 1 b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji4 x 4B = 1 0 7 7 0 5 4 3 7 4 2 5 7 3 5 14 X 4

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Matriks diagonal D = (dij)n.n, dij = 0 utk ij D = 3 0 0 0 5 0 0 0 7

d. Matriks identitasI4 = 1 0 0 0 I2 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1e. Matriks segitiga atas, jika semua unsur di-bawah diagonal uta-ma bernilai nol. G = 9 9 3 0 1 3 0 0 2Diagonal utamaJika semua unsur di-atas diagonal utama bernilai 0 = matriks segitiga bawah.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Penggandaan matriksMatriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.q jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B atau n = pCara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur dimana setiap baris A digandakan dengan setiap lajur B seperti contoh berikut ini. 1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2=(1 1 0) 8 , (1 1 0) -1 1 1 1 2(2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1 1 1 1 2(6 7 8) 8 , (6 7 8) -1 1 1 1 1=

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*(1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2)(2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2)(6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2)

9 0Contoh-2: 3 6 0 x = 25 12 4 2 -7 y 63 17 z3x + 6y 4x + 2y 7z

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Putaran matriksMatriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A = (aij)n.m, sedangkan (aij) = (aji).Contoh: A = 3 8 -9 A = 3 1 1 0 4 8 0 -9 4 D = 1 0 4 D = 1 0 4 0 3 7 0 3 7 4 7 2 4 7 2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Determinan matriks segiDeterminan suatu matriks segi adalah hasil per-kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur, dengan tanda tertentu. Determinan matriks A dicatat det (A) atau |A|Contoh: Hitung determinan matiks A = 2 7 4 9 det A = (2)(9) (4)(7) = - 10.- +

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Cari determinan matriks

C = 1 4 7 Cara Sarrus, yaitu dengan 8 2 5 menambahkan lajur 1 sebagai6 9 3 lajur 4 dan lajur 2 sebagai lajur 5 kemudian mengganda- kan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur.

det C = 1 4 7 1 4 8 2 5 8 2 6 9 3 6 9 + + + - - -= (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9) -(7)(2)(6) - (1)(5)(9) (4)(8)(3) = 405

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per-kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.Pangkat suatu matriksSuatu matriks segi dengan determinan 0, maka matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak penuh atau dinamakan matriks singular.Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat penuh.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak matriksnya yang memiliki det 0.Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka 2 -1 1 p(A) 3, dan kemungkinan 4 1 1 p(A) = 2.Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya: A11 = 1 1 , det A11 = - 3 0. Berarti p(A) = 2 2 -13 x 3

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai-nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks penyusun persamaan linear dimaksud harus 0 atau tak singular atau berpangkat penuh.Misal: 7x1 - 3x2 3x3 = 7 2x1 + 4x2 + x3 = 0 - 2x2 - x3 = 2Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 00 -2 -1 x3 2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 0, berarti nilai-nilai x 2 4 1 dari persamaan li- 0 -2 -1 near itu dpt dicari.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Persamaan linear dan jawabannya.Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.Contoh: 5x1 + 3x2 = 30 7x1 x2 x3 = 0 6x1 2x2 = 8 10x1 2x2 + x3 = 8 6x1 + 3x2 2x3 = 7Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi-nan, sistem persamaan linear di atas dapat diselesai-kan dg cara sbb:Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks. 5 3 x1 = 30 6 -2 x2 8

b. Cari nilai det (A); det A = -28c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d.Axd

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* A1 = 30 3 8 -2d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d. A2 = 5 30 6 8e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A.x1 = -84/-28 = 3; x2 = -140/-28 = 5.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh 2 7 -1 -1 x1 = 0 10 -2 1 x2 8 6 3 -2 x3 7AxdDet A = -61Det A1 = 0 -1 -1 = -61; det A2 = 7 0 -1 = -183 8 -2 1 10 8 1 7 3 -2 6 7 -2 det A3 = 7 -1 0 = -244 10 -2 8 6 3 7

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*MATRIKS KEBALIKANJika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatat sebagai A-1.Cara mencari matriks kebalikan:Dengan matriks adjointDengan transformasi penyapuanDengan metode Doolittle

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjointUmpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang-kah-langkah sbb:Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3) Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak matriks dengan menghapus baris p dan lajur q. Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut:

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 a23a32 a32 a33Minor unsur a12 = M12 = a21 a23 = a21a33 a23a31 a31 a33Minor unsur a13 = M13 = a21 a22 a31 a32 = a21a32 a22a31

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Minor unsur a21 = M21 = a12 a13 = a12a33 a13a32 a32 a33Minor unsur a22 = M22 = a11 a13 = a11a33 a13a31 a31 a33Minor unsur a23 = M23 = a11 a12 a31 a32 = a11a32 a12a31

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Minor unsur a31 = M31 = a12 a13 = a12a23 a13a22 a21 a23Minor unsur a32 = M32 = a11 a13 = a11a23 a13a21 a21 a23Minor unsur a33 = M33 = a11 a12 a21 a22 = a11a22 a12a21

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*b. Kofaktor. Kofaktor unsur apq ialah pq = (-1)p+qMpq. Kofaktor unsur a11 = 11 = (-1)1+1M11 Kofaktor unsur a12 = 12 = (-1)1+2M12 Kofaktor unsur a13 = 13 = (-1)1+3M13 Kofaktor unsur a21 = 21 = (-1)2+1M21 Kofaktor unsur a22 = 22 = (-1)2+2M22 Kofaktor unsur a23 = 23 = (-1)2+3M23 Kofaktor unsur a31 = 31 = (-1)3+1M31 Kofaktor unsur a32 = 32 = (-1)3+2M32 Kofaktor unsur a33 = 33 = (-1)3+3M33

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah matriks kofaktor K:K = 11 12 13 21 22 23 31 32 33Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K)Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal tanda dari minor saut unsur. Jika indeksnya genap, tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya negatip.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1 0 3 2 3 0 7Matriks kofaktor K= 3 2 0 2 0 3 = 21 6 -9 0 7 3 7 3 0 -7 31 3 1 -1 4 -1 4 1 5 -8 12 0 7 3 7 3 0 1 -1 4 -1 4 1 3 2 0 2 0 3----

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Matriks putaran K = K = 21 -7 5 6 31 -8 -9 3 12 Matriks kebalikan = B-1 adalah: (1/det B)K.det (B) = (4)(3)(7) + (1)(2)(3) + (0)(0)(-1) -(-1)(3)(3) -(2)(0)(4) -(1)(0)(7) = 99 B-1 = (1/99) 21 -7 5 6 31 -8 -9 3 12

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Untuk menguji, maka: BB-1 = I 4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0 0 3 2 6/99 31/99 -8/99 0 1 0 3 0 7 -9/99 3/99 12/99 0 0 1BB-1I

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT OUTPUT Analysis)Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in-dustri (atau sektor industri). Artinya output suatu sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me-menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah, pembentukan modal maupun ekspor. Sementara Input suatu sektor dibeli dari sektor lain.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan persamaan linear. Contoh analisis input-output Leontief.Dengan notasi matriks model I-O sbb: AX + F = X atau X - AX = F atau (I A)X = F pers matriks Leontief X = F/(I - A) = (I A)-1. F.Matriks kebalikan Leontief

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi* 0.2 0.3 0.2 , x1 , 10 0.4 0.1 0.2 x2 5 0.1 0.3 0.2 x3 6AxF 1 0 0 0 1 0 0 0 1-AI 0.2 0.3 0.2 = 0.8 -0.3 -0.2 0.4 0.1 0.2 -0.4 0.9 -0.2 0.1 0.3 0.2 -0.1 -0.3 0.8 0.8 -0.3 -0.2 -0.4 0.9 -0.2-0.1 -0.3 0.8 x1 = 10 x2 5 x3 6I - AxFMis. Sektor perekonomian terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind, dan Jasa.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Matriks Kofaktor dari (I A) adalah M11 -M12 M13 = 0.66 0.34 0.21 , K = 0.66 0.30 0.24 -M21 M22 -M23 0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24 M31 -M32 M33 0.24 0.24 0.60 0.21 0.27 0.60 (I A)-1 = 1/(det (I-A)K = 1 0.66 0.30 0.24 0.34 0.62 0.24 0.21 0.27 0.60

= 1.72 0.78 0.63 = R 0.90 1.61 0.63 0.55 0.70 1.560.384

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Arti dari matriks kebalikan Leontief:Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per-mintaan akhir akan produk Industri, harus diproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian.R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin-taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk-si sebanyak 0.68 satuan produk Industri.

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84 x2 1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68 x3 1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36

Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira-malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing-masing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36 satuan.Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di-naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui.Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu: (I A)-1F

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi*Penutup: TUHAN Maha Tahu tetapi tidak pernah memberi tahu ! Mengapa ? Manusia sudah diberi pikiran dan manusia adalah makhluk yang berpikir. Matematika merupakan sarana berpikir

Matematika Ekonomi

**