Matematika 1 - prezentacija

7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 1/36

1

Teorem (poučak)

Teorem (poučak) = matematički sud (u nekojmatematičkoj teoriji) čija se istinitostutvrđuje dokazom, odnosno logičkim

zaključivanjem iz aksioma, definicija i većdokazanih teorema (te teorije)

!a"no ### $od teoremom se uvijek podrazumijeva istiniti sud ###



%

Teoremi pro&iruju i produ'ljuju znanje o nekompodručju matematike i njegovim o'jektima

$ose'na imena za neke teoreme propozicija = teorem za kojeg postoji kratak i

jednostavan dokaz (propozicija je često tehničkatvrdnja)*

lema = teorem koji (o'ično) sam za se'e nije od

pose'nog značaja nego slu"i kao etapa udokazu nekog va"nijeg i slo"enijeg teorema*

korolar = neposredna i jednostavna posljedicanekog prethodno dokazanog teorema (dokazkorolara često je toliko očit da ga ni ne pi&emo)



+

teoremu mora 'iti jasno istaknuto

1 uz koje se uvjete u njemu razmatra

određeni o'jekt

% &to se o tome o'jektu tvrdi

formulaciji teorema razlikuju se dva dijela

1 pretpostavka (uvjet, hipoteza) $ % tvrdnja (zaključak, posljedica, teza) -



.

$retpostavka teorema ($) = jedan ili vi&esudova koji se smatraju istinitima

Tvrdnja teorema (-) = sud kojeg tre'adokazati

/ogički zapis teorema $⇒ -



0

ljučne riječi u iskazu teorema Ako $, onda -

!a"no ###

2itno je u teoremu naučiti

razlikovati pretpostavku i tvrdnju ###



3

$rimjeri teorema (1)

mno"ak dvaju uzastopnih parnih prirodnih'rojeva a i b djeljiv je s 4

$ = a i b su uzastopni parni prirodni brojevi.

- = Umnožak ab djeljiv je s 4

5ijagonale rom'a međuso'no su okomite

$ = 6etverokut je rom'- = 5ijagonale rom'a su međuso'no okomite



7

svakom trokutu nasuprot dviju stranica jednakih duljina le"e jednaki kutovi

$ = Dan je trokut čije su dvije stranice jednakih

duljina.

- = Kutovi nasuprot tih stranica su jednaki.

(Talesov teorem o kutu nad promjerom)8vaki o'odni kut nad promjerom kru"nice

je pravi kut

$ = Dan je obodni kut nad promjerom kružnice.

- = Taj kut je pravi kut.



4

($itagorin teorem) 9'roj kvadrata duljina

kateta svakog pravokutnog trokuta jednak je kvadratu duljine njegove hipotenuze

$ = Dan je pravokutni trokut.

- = Zbroj kvadrata duljina njeovih kateta

jednak je kvadratu duljine njeovehipotenuze.



:

$rimjeri teorema (%)

;ko su a i b dva uzastopna parna prirodna'roja, onda je umno"ak ab djeljiv s 4

;ko je dani četverokut rom', onda su njegove dijagonale međuso'no okomite

;ko su u nekom trokutu dvije stranice jednakih duljina, onda su njima nasuprotnikutovi jednaki



1<

(Talesov teorem o kutu nad promjerom) ;ko je dan o'odni kut nad promjeromkru"nice, onda je taj kut pravi

($itagorin teorem) ;ko su a i b duljinekateta, a c duljina hipotenuze pravokutnogtrokuta, onda vrijedi jednakost a%b%=c %

;ko je niz realnih 'rojeva konvergentan,onda je on >auch?jev



11

$rirodni 'roj djeljiv je s 1< ako mu je znamenka jedinica jednaka <

$ = Znamenka jedinica neko prirodno broja je <- = Taj broj je djeljiv s 1<

( @ 8 @ sukladnost) 5va su trokuta sukladnaako se podudaraju u jednoj stranici i dva kuta uz tu stranicu

$ = Dva se trokuta podudaraju u jednoj stranici idva kuta uz tu stranicu.

- = Ti su trokuti sukladni.



1%

Teorem se mo"e iskazati

(formulirati) i tako da sepretpostavka i tvrdnja odvoje u

pose'ne rečenice ###

ljučne riječi u tom slučaju

!eka $ Tada -



1+

$rimjeri teorema (+)

Aeka su a i b dva uzastopna parna prirodna'roja Tada je njihov umno"ak ab djeljiv s 4

Aeka je dani četverokut rom' Tada su njegovedijagonale međuso'no okomite

($itagorin teorem) Aeka su a i b duljine kateta,a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta Tadavrijedi jednakost a%b%=c %



1.

Aeka su a1,a%,,an,an=1 različiti prirodni'rojevi manji od %n Tada među njimapostoje 'arem tri 'roja, takva da je jedanod njih jednak z'roju druga dva

Aeka su a, b, c i d redom ostaci pridijeljenju prirodnog 'roja n s %, +, 0 i 11

Tada je 'roj 10a1<b3c +<d Bn djeljiv s+<



10

9ampamtimo do'ro ###

ljučne riječi u iskazivanju teorema su Ako , onda

ili

!eka Tada

očimo ###

iskazu teorema nema mjesta frazi

kažemo da je



13

C'rat teorema

z teorem $⇒ - va"an je i

o'rat tog teorema, -⇒ $

!eć znamo ###

Dako teorem $⇒ - vrijedi,

njegov o'rat -⇒ $

ne mora (ali mo"e#) 'iti istinit



17

$rimjeri o'rata teorema (1) Aeka su a,b,c ∈N ;ko c dijeli a, onda c dijeli i

umno"ak ab

$ = c dijeli a.

- = c dijeli umnožak ab.

C'rat (-⇒ $)Aeka su a,b,c ∈N ;ko c dijeli umno"ak ab, onda c

dijeli a

C'rat nije istinit ### Apr a=0, b=%7, c =+



14

;ko je u ravnini pravac p okomit na pravac ",onda se pravci p i " sijeku

$ = U ravnini je pravac p okomit na pravac ".

- = #ravci p i " se sijeku.

C'rat (-⇒ $)

;ko se pravci p i " u ravnini sijeku, onda su oni

međuso'no okomiti

C'rat nije istinit ### Apr



1:

$rimijetimo ###

o'a prethodna primjera

konstruirali smo kontraprimjer(protuprimjer) kojim smoopovrgli o'rat teorema ###

(negacija univerzalnog kvantifikatora#)



%<

$rimjeri o'rata teorema (%)

(Talesov teorem o kutu nad promjerom)Aeka je A$ dijametar kru"nice, a T 'ilokoja točka te kru"nice, različita od A i $

Tada je kut ∡ AT$ pravi.

C'rat ;ko je ∡ AT$ pravi kut, onda točka Tle"i na kru"nici s dijametrom A$.

C'rat je istinit ###



%1

($itagorin teorem) Aeka su aEbEc duljine

stranica nekog trokuta ;ko je taj trokutpravokutan, onda je a%b%=c %

C'rat Aeka su aEbEc duljine stranica nekogtrokuta ;ko je a%b%=c %, onda je taj trokutpravokutan




%%

2roj a je nultočka polinoma % ako je % djeljivpolinomom ( & )=& Ba

$ = #olinom % djeljiv je polinomom ( & )=&'a.

- = $roj a je nultočka polinoma %.

C'rat Ako je broj a nultočka polinoma %(onda je polinom % djeljiv polinomom

( & )=&'a.




%+

9namo ###

(($⇒ - ) F (-⇒ $)) ≡ ($⇔ -)

⇒ !a"no ### slučaju kad su istiniti i teorem $⇒ - i

njegov o'rat -⇒ $, o'a ta istinita sudamo"emo zapisati zajedno kao jedan teorem,

$⇔ -

6itamo $ ako i samo ako -



%.

Gako va"no ###

5okazati ekvivalenciju $⇔ - značidokazati o'je implikacije

$⇒ - i -⇒ $



%0

$rimjeri teorema i o'rata

(Talesov teorem o kutu na promjerom injegov o'rat) ut ∡ AT$ je pravi kut ako isamo ako točka T le"i na kru"nici s

dijametrom A$.

($itagorin teorem i njegov o'rat) Aeka su

aEbEc duljine stranica nekog trokutaTajtrokut je pravokutan ako i samo ako vrijedi jednakost a%b%=c %



%3

Cd pojma do teorema B primjeri

$ojam nultočka polinoma

5efinicijaAultočka polinoma % s kompleksnim koeficijentima

je svaki kompleksni 'roj a takav da je % (a)=<

arakterizacija (teorem B nu"an i dovoljan uvjet da 'i 'roj a

'io nultočka polinoma % )(2Hzoutov teorem) 2roj a je nultočka polinoma % akoi samo ako je % djeljiv polinomom ( & )=&'a

Aapomena Ae mije&ati definiciju i karakterizaciju###



%7

$ojam tanencijalni četverokut

5efinicija 9a četverokut ka"emo da je tangencijalan ako su mu svečetiri stranice tangente iste kru"nice

arakterizacija (teorem B nu"an i dovoljan uvjet da 'ičetverokut 'io tangencijalan)6etverokut je tangencijalan ako i samo ako su mu z'rojeviduljina nasuprotnih stranica jednaki

Aapomena Ae mije&ati definiciju i karakterizaciju### (karakterizacija se dokazuje)



%4

$ravila zaključivanja (pravilaizvoda)

dokazivanju teorema $⇒ - koristit ćemoosnovna pravila zaključivanja (pravila izvoda)

pravilo otkidanja (modus ponens)

zakon silogizma

pravilo generalizacije princip isključenja trećeg (tertium non datur)



%:

1 $ravilo otkidanja (modus ponens)

(($ F ($⇒ -))⇒ -) ≡ 1

$ - $⇒ - ($ F ($⇒ -) ($ F ($⇒ -))⇒ -

< < 1 < 1< 1 1 < 1

1 < < < 1

1 1 1 1 1



+<

Dz zadnjeg retka ta'lice čitamo

;ko je istinita pretpostavka teorema, $, iako je istinita implikacija $⇒ -, onda

je istinita i tvrdnja teorema, -



+1

% 9akon silogizma

(((;⇒ 2) F (2⇒ >))⇒ (;⇒ >)) ≡ 1

Domaća zadaća: Uvjerite se sami u ovu

tautologiju!

Ovaj zakon tumačimo ovako:

Ako su istinite obje implikaije A ⇒ i ⇒ "#

onda je istinita i implikaija A ⇒ "$%tj$ ako iz A slijedi # a iz slijedi "# onda iz A

slijedi "&



+%

+ $ravilo generalizacije (∀ & ) $( & )

Cvo pravilo tumačimo ovako Aeka je $( & ) izjavna funkcija ;ko je sud $(a) istinit

za po volji oda'ran (proizvoljan) a koji dolazi uo'zir, onda je istinit i sud(∀ & ) $( & )

. $rincip isključenja trećeg (tertium non datur) ; ' (B;) ≡ 1



++

5okaz teorema $ovijesno

začetnik postupka dokazivanja je Tales, a umatematiku ga uvodi $itagora

5okaz teorema $⇒ - u nekoj teoriji je konačanniz istinitih tvrdnji -1, -%, ,-n te teorije u kojem

(a) svaka tvrdnja niza je ili aksiom ili definicija ili

je do'ivena iz prethodno dokazanih teorema toga niza po nekom pravilu zaključivanja*

(') posljednja tvrdnja niza je -



+.

5okazati teorem $⇒ - znači pronaći konačan niz tvrdnji

-1, -%, , -n teorije i logičkim zaključivanjem prijeći od

pretpostavke $, preko tvrdnji -1, -%, , -nB1, do tvrdnje-n=-

8hematski prikaz dokaza

$⇒ -1⇒ -%⇒ ⇒ -nB1⇒ -n=-

$ri tome oznaka ;⇒ 2⇒ > znači kraći zapis suda

(;⇒

2) F (2⇒

>)

5okazana tvrdnja - nakon toga postaje sastavni diosvakog daljnjeg postupka dokazivanja#



+0

Csnovne vrste dokaza

Csnovne vrste dokaza

1 direktni dokaz

% indirektni dokaz

1 5irektni dokaz teorema $⇒ - = dokaz

teorema $⇒ - na već opisani način



+3

% Dndirektni dokaz teorema $⇒ - = direktni dokazekvivalentne tvrdnje teoremu $⇒ - (koja nije taj teorem)

Aajva"niji o'lici indirektnog dokaza teorema $⇒ -(a) o'rat po kontrapoziciji

B -⇒ B $(znamo (B - ⇒ B $) ≡ %$⇒ -))

(') dokaz svođenjem na kontradikciju (reductio ad a'surdum) $ F (B-)⇒ /,

/ = očigledno la"an sud Tada je @ ($⇒ -) ≡ $ F (B/) la"an sud pa je sud

$⇒ - istinit (princip isključenja trećeg) 9ato je - istinit (modus ponens) ljučne riječi

#retpostavimo suprotno( tj. da tvrdnja teorema ne vrijedi.

Matematika 1 - prezentacija

Documents

Transcript of Matematika 1 - prezentacija