1

PERSAMAAN LEGENDRE

Fungsi Real Analitik

Suatu fungsi f(x) dikatakan analitik pada x = x0 jika fungsi itu dapat dinyatakan dalam

deret pangkat x – x0 dengan radius konvergensi positif.

...)xx(a)xx(a)xx(aa)xx(a)x(f 303

202010

0m

m0m +−+−+−+=−= ∑

∞

=

(1)

dalam selang konvergensinya diperoleh

00 a)x(f =

10 a)x('f =

20 a1.2)x("f =

30 a.1.2.3)x('''f =

...

m00)n( a!ma...)2m()1m(m)x(f =×−×−×=

dengan demikian

!m

)x(fa 0

)n(

m =

Sehingga

m0

0m

0)n(

)xx(!m

)x(f)x(f −= ∑

∞

=

(2)

yang merupakan deret Taylor. Sebagai contoh, fungsi x2 + 4 analitik pada setiap titik,

sedangkan fungsi xx

12 −

analitik pada setiap titik kecuali untuk x = 0, dan x = 3.

Titik Biasa dan Titik Singular

Misalkan ada suatu persamaan diferensial orde dua

h(x)y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 (3)

2

akan diselesaikan ke dalam deret pangkat (x – x0). Penyelesaian persamaan ini sangat

tergantung pada jenis x0, dengan definisi berikut:

Sebuah titik x0 adalah titik biasa dari persamaan differensial (1) jika kedua fungsi

)x(h)x(p dan

)x(h)x(q analitik pada titik x0. Jika minimal salah satu fungsi ini tidak analitik

pada x0, maka titik x0 adalah titik singular dari persamaan diferensial (3).

Sebuah titik x0 disebut titik singular reguler dari persamaan diferensial (2) jika titik ini

merupakan titik singular, dan kedua fungsi )x(h)x(p)xx( 0− dan

)x(h)x(q)xx( 0− analitik

pada x0. Jika kedua fungsi )x(h)x(p)xx( 0− dan

)x(h)x(q)xx( 2

0− tidak analitik pada x0 maka

x0 adalah titik singular tak reguler dari persamaan diferensial (2).

Contoh 1:

Tentukan titik biasa, titik singular reguler, dan titik singuler tak reguler dari persamaan

diferensial

0y)1x(x'y)1x2("y)xx( 224 =++++−

Penyelesaian:

Dari persamaan diferensial di atas, diperoleh

)1x)(1x(x

1x2xx1x2

)x(h)x(p

224 +−+

=−+

=

1x

1xx

)1x(x)x(h)x(q

24

2

−=

−+

=

dari hasil di atas, titik x = -1, 0, dan 1 adalah titik reguler dari persamaan diferensial. Titik

biasa dari persamaan diferensial di atas adalah semua himpunan bilangan real x selain -1, 0,

dan 1.

Untuk x0 = -1

)1x(x

1x2xx1x2)1x(

)x(h)x(p)xx( 2240 −

+=

−+

+=−

3

1x)1x(

xx)1x(x)1x(

)x(h)x(q)xx(

2

24

222

0 −+

=−+

+=−

kedua fungsi ini analitik pada x0 = -1, sehingga x0 = -1 adalah titik singular reguler

persamaan diferensial.

Untuk x0 = 0

)1x)(1x(x

1x2xx1x2)x(

)x(h)x(p)xx( 240 +−

+=

−+

=−

1x

xxx

)1x(x)x()x(h)x(q)xx(

2

24

222

0 −=

−+

=−

fungsi )x(h)x(p)xx( 0− tidak analitik pada x0 = 0, sehingga x0 = 0 adalah titik singular tak

reguler dari persamaan diferensial.

Untuk x0 = 1

)1x(x

1x2xx1x2)1x(

)x(h)x(p)xx( 2240 +

+=

−+

−=−

1xxx

)1x(x)1x()x(h)x(q)xx( 24

222

0 −=−+

−=−

kedua fungsi analitik pada x0 = 1, sehingga x0 = 1 adalah titik singular reguler dari

persamaan diferensial.

Deret Pangkat Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik Biasa

Dalam bahasan ini, persamaan diferensial (3):

h(x)y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

akan diselesaikan dengan metode deret pangkat di sekitar titik biasa x0. Titik x0 adalah titik

biasa dari persamaan diferensial (3) jika h(x0) ≠ 0. Pada umumnya x0 adalah titik biasa dari

persamaan diferensial (3) jika fungsi-fungsi p(x)/h(x) dan q(x)/h(x) dapat diuraikan menjadi

deret pangkat berikut:

4

100m

m0m Rxx)xx(A

)x(h)x(p

<−−= ∑∞

=

(4)

200m

m0m Rxx)xx(B

)x(h)x(q

<−−= ∑∞

=

(5)

jari-jari konvergensi R1 dan R2 positif. Persamaan (4) dan (5) kontinyu pada selang

konvergensi Rxx 0 <− , dengan R adalah bilangan terkecil diantara R1 dan R2.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial

0y2'y)1x(2"y =+−−

di sekitar titik x0 = 1.

Penyelesaian:

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial ini adalah

∑∞

=

−=0m

mm )1x(ay

)1x(2)x(h)x(p

−−= dan 2)x(h)x(q= . Karena R1 = R2 = ∞, jari-jari konvergen untuk

penyelesaian persamaan diferensial ini juga sama dengan ∞. Dengan menurunkan

penyelesaian persamaan di atas, diperoleh

∑∞

=

−−=1m

1mm )1x(ma'y

∑∞

=

−−−=2m

2mm )1x(a)1m(m"y

substitusi y, y’, dan y” ke dalam persamaan differensial diperoleh

0)1x(a2)1x(ma)1x(2)1x(a)1m(m0m

mm

1m

1mm

2m

2mm =−+−−−−− ∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

−

0)1x(a2)1x(ma2)1x(a)1m(m0m

mm

1m

mm

2m

2mm =−+−−−− ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

−

5

dengan menggunakan metode shift index diperoleh

0)1x(a2)1x(sa2)1x(a)1s)(2s(0s

ss

1s

ss

0s

s2s =−+−−−++ ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=+

0)1x(a2a2)1x(sa2)1x(a)1s)(2s(a21s

ss0

1s

ss

1s

s2s2 =−++−−−+++ ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=+

[ ]∑∞

=+ =−−−++++

1s

ss2s02 0)1x()1s(a2a)1s)(2s()aa(2

Karena ruas kiri sama dengan nol, diperoleh

02 aa −=

... 3, 2, ,1sa)1s)(2s(

)1s(2a s2s =++

−=+

sehingga

0a 3 =

0

2

24 a!4

2a3.4

2a −==

0a 5 =

0

3

46 a!63.2a

5.63.2a −==

0a 7 =

0

4

68 a!8

1.3.5.2a7.85.2a −==

...

sehingga

,...3,2,1n0a 1n2 ==+

,...4,3,2na)!n2(

)2n2....(5.3.1.2a 0

n

n2 =−

−=

Jadi, penyelesaian persamaan diferensial 0y2'y)1x(2"y =+−− di sekitar x0 = -1 adalah

)1x(a...)1x(!63.2)1x(

!42)1x(1ay 1

63

42

20 −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−−−−=

6

Persamaan Legendre

Persamaan Legendre mempunyai bentuk umum

0y)1n(n'xy2"y)x1( 2 =++−− (6)

n merupakan suatu konstanta. Penyelesaian dari perasamaan (6) sangat penting dalam

berbagai cabang matematika terapan, terutama dalam permasalahan nilai batas untuk

koordinat bola. Penyelesaian persamaan (6) disebut fungsi Legendre.

Dengan membagi persamaan (6) degan koefisien y”, yaitu (1 – x2), dapat dilihat bahwa

koefisien -2x/(1 – x2) maupun koefisien n(n+1)/(1 – x2) analitik pada x = 0, sehingga

persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk

∑∞

=

=0m

mm xay (7)

turunan dari persamaan (7) menghasilkan

∑∞

=

=1m

mm xma'y (8)

∑∞

=

−=2m

mm xma)2m("y (9)

subsitusi (7), (8), dan (9) ke dalam persamaan (6) menghasilkan

0xa)1n(nxmax2xma)2m()x1(0m

mm

1m

1mm

2m

2mm

2 =++−−− ∑∑∑∞

=

∞

=

−∞

=

− (10)

dengan menggunakan metode shift index dan menggantikan n(n + 1) = k, diperoleh

∑∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=+ =+−−−++

0s

ss

2s 1s

ss

ss

0s

s2s 0xkaxsa2xa)1s(sxa)1s)(2s( (11)

kedua ruas adalah identik, maka koefien suku untuk xn harus bernilai nol. Maka

Koefisien x0 diperoleh dari deret pertama dan ke empat : 2.1a2 + n(n + 1)a0 = 0

Koefisien x1 diperoleh dari deret pertama, ke-3 dan ke-4 : 3.2a3 + [-2 + n(n + 1)]a1 = 0

Koefisien x2, x3, ...dijumpai pada semua deret, sehingga secara umum dapat dituliskan

0a)]1n(ns2)1s(s[a)1s)(2s( s2s =++−−−+++ +

... 3, 2, 0,1, sa)1s)(2s(

)1sn)(sn(a s2s =++++−

−=+ (12)

7

dari formula rekursi ini diperoleh

02 a!2

)1n(na +−=

13 a!3

)2n)(1n(a +−−=

024 a!4

)3n)(1n(n)2n(a3.4

)3n)(2n(a ++−−=

+−−=

125 a!4

)4n)(2n(n)1n)(3n(a4.5

)4n)(3n(a ++−−−=

+−−=

dan seterusnya

dengan substitusi hubungan ini pada persamaan (7), diperoleh penyelesaian umum

)x(ya)x(ya)x(y 2110 += (13)

......x!4

)3n)(1n(n)2n(x!2

)1n(n1)x(y 421 +−

++−+

+−= (14)

......x!5

)4n)(2n)(1n)(3n(x!3

)2n)(1n(x)x(y 532 +−

++−−+

+−−= (15)

Karena (1 – x2) = 0 untuk x = ±1, maka penyelesaian deret konvergen pada -1 < x < 1.

Persamaan ini memiliki penyelesaian yang bebas linier karena rasio dari y1/y2 tidak

konstan. Persamaan (13) merupakan penyelesaian umum dari persamaan (7).

Polinomial Legendre Pn(x)

Persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial untuk harga n berupa

bilangan bulat non negatif, dan deret tersebut konvergen. Dengan mengambil beberapa n

bilangan bulat non negatif:

Untuk n = 0: y(x) = a0

Untuk n = 1: y(x) = a1x

Untuk n = 2: y(x) = a0(1 – 3x2)

Untuk n = 3: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 3

1 x35xa)x(y

Untuk n = 4: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 42

0 x3

35x101a)x(y

8

Dari uraian di atas terlihat bahwa jika n bilangan bulat non negatif genap, persamaan

Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial pangkat genap y1(x), dan jika n

bilagan bulat non negatif ganjil, persamaan legendre memiliki penyesaian dalam bentuk

polinomial pangkat ganjil y2(x).

Konstanta a0 dan a1 dapat diganti dengan suatu bilanga jika untuk x = 1, y = 1.

Untuk n = 0: y(1) = a0 = 1⇒ a0 = 1

Untuk n = 1: y(1) = a1 = 1⇒ a1 = 1

Untuk n = 2: y(1) = a0(1 – 3) = 1⇒ a0 = 21

−

Untuk n = 3: 23a

351a)1(y 11 −=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= dan seterusnya

Dengan menata ulang persamaan, maka persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam

bentuk polinomial Legendre untuk n berupa bilangan bulat non negatif:

1)x(P0 = x)x(P1 =

)1x3(21)x(P 2

2 −= )x3x5(21)x(P 3

3 −=

)3x30x35(81)x(P 24

4 +−= )x15x70x63(81)x(P 35

5 +−=

)5x105x315x231(161)x(P 246

6 −+−= )x35x315x693x429(161)x(P 357

7 −+−=

9

Untuk menentukan persamaan umum polinomial legendre Pn(x) dengan an sebagai

konstanta untuk pangkat tertinggi xn, dapat diperkirakan rumus umum untuk an

positifbulat bilangan n!n

)1n2(....531a n−××××

= (16)

atau

2nn )!n(2)!n2(a = (17)

an = 1 untuk n = 0. Kemudian dihitung koefisien lain dengan menggunakan persamaan (12),

yaitu hubungan as terhadap as+2

2nsa)1sn)(sn(

)1s)(2s(a 2ss −≤++−

++−= + (18)

Karena Pn(1) = 1 untuk setiap n, dan menganggap s = n – 2 diperoleh

n2n a)1n2(2)1n(na

−−

−=−

2n2n )!n(2)1n2(2)!n2)(1n(na

−−

−=−

)!2n()!1n(2

)!2n2(a n2n −−−

−=−

dengan cara serupa diperoleh

2n4n a)3n2(4

)3n)(2n(a −− −−−

−=

)!4n()!2n(!22

)!4n2(a n4n −−−

=−

dan seterusnya, sehingga untuk n – 2m ≥ 0 deperoleh

)!m2n()!mn(!m2

)!m2n2()1(a nm

m2m −−−

−=− (19)

Dengan demikian, polinomial legendre derajat n, Pn(x) dituliskan dalam bentuk umum:

∑=

−

−−−

−=M

0m

m2nn

mn x

)!m2n()!mn(!m2)!m2n2()1()x(P (20)

dengan M = n/2 atau (n-1)/2 berupa bilangan bulat.

10

TUGAS:

1. Polinomial legendre dapat ditulis dalam bentuk formula Rodriguez :

n2n

n

nn )1x(dxd

!n21)x(P −×=

Buktikan persamaan umum Rodriguez ini dengan menggunakan teori binomial dan

gunakan formula ini untuk menghitung P4(x) dan P5(x)

2. Tentukan polinomial legendre untuk persamaan legendre (1 – x2)y” – xy’ + 12 = 0!

Dikumpulkan paling lambat tanggal 18 Oktober 2010 Pukul 23.00 via email :

petrochem0042007@gmail.com