POKOK BAHASAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN · PDF fileBuatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q...

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

POKOK BAHASAN

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Oleh:

ZAINUL GUFRON SYAHRONI

NIM. 070210191048

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2010

1

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP)

Nama Sekolah : SMP N 2 JEMBER

Mata Pelajaran : MATEMATIKA

Pokok bahasan :GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Kelas/Semester : VIII / GENAP

Alokasi Waktu : 4 40 menit (2 pertemuan)

A. Standar Kompetensi : Mengidentifikasi unsur, bagian lingkaran serta

ukurannya.

B. Kompetensi Dasar : Menghitung panjang garis singgung lingkaran.

C. Indikator

a. Kognitif

Produk:

1) Menemukan sifat-sifat garis singgung lingkaran.

2) Mampu melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar

lingkaran.

3) Menemukan panjang garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar

lingkaran.

4) Mampu melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

5) Menemukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

6) Mampu melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.

7) Menemukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.

Proses:

1) Melakukan kegiatan matematis (secara geometri) untuk melukis garis

singgung lingkaran.

2) Melakukan kegiatan matematis untuk menemukan panjang garis

singgung lingkaran.

2

b. Afektif (Keterampilan Sosial)

1) Mengembangkan perilaku berkarakter, meliputi: teliti, tekun, tanggung

jawab, kerjasama, jujur, kesabaran, terbuka dan mendengarkan pendapat

teman.

2) Mengembangkan keterampilan sosial, meliputi: bertanya,

menyumbangkan ide atau berpendapat, menjadi pendengar yang baik,

berlatih berkomunikasi verbal dan tulisan, berpikir kreatif dan

sistematis.

c. Psikomotor

1) Melakukan aktivitas melukis garis singgung lingkaran.

D. Tujuan Pembelajaran

a. Kognitif

Produk:

1) Diberikan gambar garis-garis yang memotong lingkaran, siswa dapat

menemukan sifat-sifat garis singgung lingkaran.

2) Diberikan langkah-langkah untuk melukis garis singgung lingkaran,

siswa dapat melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar

lingkaran.

3) Diberikan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis

singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran.


siswa dapat melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran


singgung persekutuan luar dua lingkaran.


siswa dapat melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran


singgung persekutuan dalam dua lingkaran.

3

Proses:

1) Disediakan penggaris dan jangka, siswa dapat melukis garis singgung

lingkaran.

2) Dari gambar hasil melukis garis singgung lingkaran, dengan

menerapkan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis

singgung lingkaran.

b. Afektif

1) Terlibat dalam proses pembelajaran yang berpusat pada siswa, sambil

mengembangkan perilaku berkarakter, meliputi: teliti, tekun, tanggung

jawab, jujur, kerjasama, sabar, terbuka dan mendengarkan pendapat

teman.

2) Terlibat dalam proses pembelajaran yang berpusat pada siswa sambil

mengembangkan keterampilan sosial, meliputi: bertanya,

menyumbangkan ide atau pendapat, menjadi pendengar yang baik,

berlatih berkomunikasi verbal dan tulisan, berpikir kreatif dan

sistematis.

c. Psikomotor

Disediakan penggaris, jangka dan kertas millimeterblok, siswa dapat

melakukan aktivitas melukis garis singgung lingkaran pada kertas

millimeterblok.

E. Materi Pembelajaran : Garis Singgung Lingkaran (lampiran).

F. Metode / Model Pendekatan Pembelajaran

Metode : Ceramah, Diskusi Kelompok, Tanya jawab, Penugasan.

4

G. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan I (2 jam pelajaran)

Langkah pembelajaran Peran/Bimbingan Guru

kegiatan pendahuluan

Membuka KBM.

Membangkitkan motivasi

siswa

Mengucap salam kepada siswa.

kegiatan inti

Memberi gambaran awal

tentang garis singgung lingk.

Memberikan gambaran secara

geometri, tentang garis

singgung lingkaran.

Menjelaskan definisi garis

singgung lingkaran.

Melukis garis singgung lingk.

melalui satu titik di luar lingk.

Menemukan panjang garis

singgung lingk. melalui satu

titik di luar lingkaran.

Latihan soal(LKS)

Memberikan contoh dalam kehidupan

sehari-hari.

Menemukan sifat garis singgung

lingkaran.

Menemukan sifat garis singgung

lingkaran.

Memberikan langkah-langkah melukis

garis singgung lingkaran.

Dgn menggunakan dalil phytagoras,

membimbing siswa menemukan

panjang garis singgung lingkaran.

Memberikan LKS kepada siswa.

kegiatan penutup

Membuat kesimpulan dari

materi yang sdh diajarkan.

Menutup KBM.

Bersama siswa membuat kesimpulan

dari materi yang telah diajarkan.

Mengucapkan salam.

5

Pertemuan II (2 jam pelajaran)

Langkah pembelajaran Peran/Bimbingan Guru

kegiatan pendahuluan

Membuka KBM.

Membangkitkan motivasi

siswa

Mengucap salam kepada siswa.

kegiatan inti

Mengulang kembali ringkasan

materi sebelumnya.

Melukis garis singgung

persekutuan luar dua lingk.


singgung persekutuan luar dua

lingkaran.

Melukis garis singgung

persekutuan dalam dua lingk.


singgung persekutuan dalam

dua lingkaran.

Latihan soal(LKS)

Memberikan penjelasan ulang tentang



garis singgung lingk .





garis singgung lingk .




Memberikan LKS kepada siswa.

kegiatan penutup

Membuat kesimpulan dari

materi yang sdh diajarkan.

Menutup KBM.

Bersama siswa membuat kesimpulan

dari materi yang telah diajarkan.

Mengucapkan salam.

H. Alat & Sumber Belajar :

Alat : penggaris, jangka.

Modul Matematika Semester genap kelas VII.

I. Penilaian : Teknik Penilaian : Tes Tulis

Instrumen Penilaian : LKS

6

1) Gambar di samping adalah

lingkaran yang berpusat di P

dengan jari-jari PR .

Jika TQ = 8 ,tunjukkan QR


Jawab:

Untuk menunjukan QR garis singgung lingkaran, akan ditunjukan apakah

berlaku teorema Pythagoras? Jika teorema Pythagoras berlaku, maka QR

adalah garis singgung lingkaran.

(PQ)2 = (PR)

2 + (RQ)

2

(PT + TQ)2 = (PR)

2 + (RQ)

2

(....+ 8)2 = (...)

2 + (...)

2

(...)2 = (...)

2 + (...)

2

(...) = (...) + (...)

(...) = (...)

2) Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA

dan PB. Jika panjang OA= 9 cm dan OP = 15 cm, hitunglah:

a. panjang AP;

b. luas ∆OAP;

c. luas layang-layang OAPB

LEMBAR KERJA SISWA Pertemuan I

NAMA :……………..

KELAS :…………….

No.ABSEN :…………….

7

jawab:

a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga: AP2 = OP

2 – OA

2

AP = … 2 − (… )2 = … cm

b. luas ∆OAP = 1

2× OA × AP =

1

2× … × … = ⋯ cm2

c. luas layang-layang OAPB = 2 × ∆OAP = 2 × … . cm2 = … . cm2

3) Sebuah lingkaran yang berpusat di O

memiliki jari-jari r. Jarak titik pusat

ke titik B yang terletak di

luar lingkaran adalah r + 8.

Jika panjang garis singgung

lingkaran yang melalui titik B adalah 12 cm, tentukan panjang jari-jari r!

jawab:

OB2 = OA

2 + AB

2

(r + …)2 = r

2 + (…)

2

r2 + …r + … = r

2 + …

r2 – r

2 + …r = 144 - 64

…r = 144 – 64

r =144−64

….

8

jawaban lks 1) Untuk menunjukan QR garis singgung lingkaran, akan ditunjukan apakah

berlaku teorema Pythagoras? Jika teorema Pythagoras berlaku, maka QR

adalah garis singgung lingkaran.

(PQ)2 = (PR)

2 + (RQ)

2

(PT + TQ)2 = (PR)

2 + (RQ)

2

(5 + 8)2 = (5)

2 + (12)

2

(13)2 = (5)

2 + (12)

2

(169) = (25) + (144)

(169) = (169) Jadi terbukti bahwa QR adalah garis singgung lingkaran.

2) a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga: AP2 = OP

2 – OA

2

AP = OP 2 − (OA)2 = 15 2 − (9)2 = 225 − 81 = 144 = 12 cm

d. luas ∆OAP = 1

2× OA × AP =

1

2× 9 × 12 =

1

2× 108 = 54 cm2

e. luas layang-layang OAPB = 2 × ∆OAP = 2 × 54 cm2 = 108 cm2

3) OB2 = OA

2 + AB

2

(r+8)2 = r

2 + (12)

2

r2 + 16r + 64 = r

2 + 144

r2 - r

2 + 16r = 144 - 64

16r = 144 – 64

r =144−64

16=

80

16= 5 , Jadi panjang jari-jari lingkaran= 5 cm.

9

1) Pada gambar di samping, AB adalah garis singgung persekutuan luar dua

lingkaran yang berpusat di P dan Q. Hitunglah panjang AB!

Jawab:

jarak kedua titik pusat lingkaran: k = ... cm,

panjang jari-jari lingkaran pertama: R = ... cm,

panjang jari-jari lingkaran kedua: r = ... cm,

panjang garis singgung persekutuan luar = l.

𝑙 = 𝑘2 − 𝑅 − 𝑟 2

𝑙 = (… )2 − …− … 2

𝑙 = … − …

𝑙 = …

𝑙 = …𝑐𝑚

2) Pada gambar di samping, lingkaran O berjari-jari 7 cm dan lingkaran P berjari-

jari 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar AB!

Jawab:

AO = R = ... cm

BP = r = ... cm

Kedua lingkaran bersinggungan di luar

sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran adalah

OP = R + r = ... + ... = ... cm maka

𝐴𝐵 = (… )2 − …− … 2

𝐴𝐵 = (… )2 − …− … 2

LEMBAR KERJA SISWA Pertemuan II

NAMA :……………..

KELAS :…………….

No.ABSEN :…………….

10

𝐴𝐵 = (… )2 − … 2

𝐴𝐵 = …− … = … .

𝐴𝐵 = … 𝑐𝑚

3) Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan

kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu

lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Jawab:

Panjang garis singgung persekutuan dalam: d = ... cm.

Jarak kedua titik pusatnya: k = ... cm.

Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran: R = ... cm.

𝑑 = 𝑘2 − 𝑅 + 𝑟 2 = … 2 − (… + 𝑟)2

15 = … 2 − (… + 𝑟)2

152 = … 2 − (… + 𝑟)2

225 = … 2 − (…+ 𝑟)2

(…+ 𝑟)2 = … 2 − 225

(…+ 𝑟) = … 2 − 225

… + 𝑟 = …

𝑟 = …− …

𝑟 = …𝑐𝑚

11

jawaban lks 1) Jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm,

panjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm,

panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm,

panjang garis singgung persekutuan luar = l.

𝑙 = 𝑘2 − 𝑅 − 𝑟 2

𝑙 = (17)2 − 25 − 17 2

𝑙 = 289 − 64

𝑙 = 225

𝑙 = 15 𝑐𝑚 2) AO = R = 7 cm

BP = r = 5 cm

Kedua lingkaran bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat

lingkaran adalah

OP = R + r = 7 + 5 = 12 cm maka

𝐴𝐵 = (𝑂𝑃)2 − 𝑅 − 𝑟 2

𝐴𝐵 = (12)2 − 7 − 5 2

𝐴𝐵 = (12)2 − 2 2

𝐴𝐵 = 144 − 4 = 140

𝐴𝐵 = 2 35 𝑐𝑚 3) Panjang garis singgung persekutuan dalam: d = 15 cm. Jarak kedua titik

pusatnya: k = 17 cm. Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran: R = 3 cm.

𝑑 = 𝑘2 − 𝑅 + 𝑟 2 = 17 2 − (3 + 𝑟)2

15 = 17 2 − (3 + 𝑟)2

152 = 17 2 − (3 + 𝑟)2

225 = 289 − (3 + 𝑟)2

(3 + 𝑟)2 = 289 − 225

(3 + 𝑟) = 289 − 225

3 + 𝑟 = 8 𝑟 = 8 − 3

𝑟 = 5

Mengetahui: Guru Mata Pelajaran,

Kepala Sekolah...................,

.............................................. ..................................................

NIP. NIP.

12

Lampiran:

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1.2 Definisi

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu

titik dan tegak lurus jari-jari di titik singgungnya. Titik tersebut dinamakan titik

singgung lingkaran. Pada gambar dibawah, memperlihatkan bahwa garis g

menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata

lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada

lingkaran.

2.2 Garis Singgung Lingkaran

2.1 Melukis Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran

Langkah-langkah melukis garis singgung melalui titik di luar lingkaran:

1) Langkah 1

Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang

terletak di luar lingkaran.

2) Langkah 2

Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan

menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.

13

3) Langkah 3

Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong

lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.

4) Langkah 4

Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT,

yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.

Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar

Lingkaran

Perhatikan gambar berikut:

Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O.

Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena garis singgung

selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung AB

dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras. ΔOAB

merupakan segitiga siku-siku dengan A=90, berlaku teorema Pythagoras,

yaitu:

14

Pada ΔOCB dengan C=90, juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:

Ternyata, AB = BC ,uraian tersebut menggambarkan definisi berikut. Kedua garis

singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai

panjang yang sama.

2.2 Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran:

1) Langkah 1

Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r < R).

Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.

2) Langkah 2

Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang

sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehingga berpotongan di titik M

dan N.

3) Langkah 3

Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

15

4) Langkah 4

Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.

5) Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R – r sehingga

memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

6) Langkah 6

Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis

tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D.

16

7) Langkah 7

Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong

lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di

D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F.

8) Langkah 8

Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE

dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P

dan Q.

Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar dua lingkaran

Perhatikan gambar dibawah ini:

17

Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang

berpusat di P dan Q.

R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama.

r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.

k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l.

Panjang SP = AP – BQ = R – r.

AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap).

Sekarang, perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa

meng gunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.

∆SPQ siku-siku di S sehingga:

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:

𝑙 = 𝑘2 − (𝑅 − 𝑟)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑅 > 𝑟

dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar.

k = jarak kedua titik pusat lingkaran.

R = jari-jari lingkaran pertama.

r = jari-jari lingkaran kedua.

2.3 Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

yaitu:

Langkah 1 sampai dengan langkah 4, sama seperti langkah melukis garis

singgung persekutu luar dua lingkaran.

18

5) Langkah 5

Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari (R + r), sehingga

memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

6) Langkah 6

Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran

dengan pusat P di titik C dan D.

7) Langkah 7

Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong

lingkaran yang berpusat di Q pada titik E.

Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong

lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.

19

8) Langkah 8

Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis

singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam dua lingkaran

Perhatikan gambar dibawah ini!

Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang

berpusat di P dan di Q.

R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama

dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r.

d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB.

k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang SQ =

panjang AB = d.

Oleh karena SQ sejajar AB maka PSQ = PAB = 90˚.

Sekarang perhatikan ΔPSQ! Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku

dengan PSQ = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk

mencari panjang SQ.

20

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah

𝑑 = 𝑘2 − (𝑅 + 𝑟)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑅 > 𝑟

dengan: d = panjang garis singgung persekutuan dalam.

k = jarak kedua titik pusat lingkaran.

R = jari-jari lingkaran pertama.

r = jari-jari lingkaran kedua.

POKOK BAHASAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN · PDF fileBuatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q...

Documents

Transcript of POKOK BAHASAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN · PDF fileBuatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q...