BARISAN DAN DERET

1.1. Barisan dan Limit Barisan

Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ dan

mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di ℝ dan konvergensi dari suatu barisan.

Dengan kata lain, barisan dalam ℝ mengawankan setiap bilangan asli

n 1, 2,3,... kepada suatu bilangan real. Jika X :ℕℝ merupakan barisan, maka

biasanya dituliskan dengan nilai dari X pada n dengan notasi xn . Barisan sering

dinotasikan dengan X atau atau xn: nℕ atau atau . Apabila

diketahui suatu barisan Y, artinya .

Contoh 1.1.2.

(a) Barisan dengan adalah barisan

.

(b) Barisan dengan .

(c) Barisan konstan dengan adalah 3,3,3,3,.... .

1

Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan padahimpunan ℕ dengan range dalam ℝ .

(d) Barisan .

Sebagai catatan, notasi Kdigunakan untuk menekankan bahwa

pilihanK bergantung pada nilai . Oleh karenanya sering ditulis K daripada

K.Dalam banyak kasus, nilai yang kecil memerlukan nilai K yang besar

untuk menjamin bahwa jarak |xnx| antara xn dan x kurang dari

Jika x adalah limit suatu barisan , maka dikatakan konvergen ke

x, atau mempunyai limit x. Dalam hal ini ditulis atau

atau . Jika tidak konvergen, maka dikatakan divergen.

2

Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real dan , dan ℝ. Maka dapat didefinisikan(i)

(ii)

(iii)

(iv) , asalkan

Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakan limit barisan jika untuk setiap

terdapat sedemikian hingga untuk setiap dengan berlaku .

Teorema 1.1.5. Jika barisan konvergen, maka mempunyai paling banyak satu limit (limitnya tunggal).

Bukti. Andaikan dan dengan . Maka untuk sebarang

terdapat Ksedemikian hingga untuk setiap , dan terdapat

sedemikian hingga untuk setiap . Dipilih .

Menggunakan Ketaksamaan Segitiga, maka untuk n K diperoleh

Karena berlaku untuk setiap , maka yang berarti .

Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal.

Theorem

Let ⟨sn⟩ be a real sequence.

Then ⟨sn⟩ can have at most one limit.

Proof 1

3

Suppose that ⟨sn⟩ converges to l and also to m.

That is, suppose limn→∞ xn = l and limn→∞ xn=m.

Assume that l≠m, and let:

ϵ = |l−m| / 2

As l≠m, it follows that ϵ > 0.

Therefore, since ⟨sn⟩→l:

∃N1 ∈ N : ∀n ∈ N : n > N1 : |sn−l| < ϵ

Similarly, since ⟨sn⟩→m:

∃N2 ∈ N : ∀n ∈ N : n > N2 : |sn−m|<ϵ

Now set N = max{N1,N2}.

We have:

|l−m|

=

|l−sN+sN−m|

                   

≤

|l−sN|+|sN−m|

         by the Triangle Inequality          

< 2ϵ                    

= |l−m|                    

This constitutes a contradiction.

Therefore, it must be that l=m.

Theorem

Let (X,d) be a metric space.

4

Let ⟨xn⟩ be a sequence in (X,d).

Then ⟨xn⟩ can have at most one limit.

Proof

Suppose limn→∞ xn = l and limn→∞ xn = m.

Let ϵ > 0.

Then, provided n is sufficiently large:

d(l,m)

≤

d(l,xn)+d(xn,m)

         Triangle Inequality          

< ϵ+ϵ          by definition of limit          

= 2ϵ                    

So 0≤d(l,m) / 2 < ϵ.

This holds for any value of ϵ > 0.

Thus from Real Plus Epsilon it follows that d(l,m) / 2 = 0, that is, that l=m.

5

Theorem

Let T=(S,τ) be a Hausdorff space.

Let ⟨xn⟩ be a convergent sequence in T .

Then ⟨xn⟩ has exactly one limit.

Proof

From the definition of convergent sequence, we have that ⟨xn⟩ converges to at least one limit.

Suppose limn→∞ xn = l and limn→∞ xn = m such that l≠m.

As T is Hausdorff, ∃U ∈ τ : l ∈ U and ∃V ∈ τ : m ∈ V such that U∩V=∅.

Then, from the definition of convergent sequence:

∃NU ∈ R :

n > NU

⟹

xn ∈ U

                    ∃NV ∈ R :

n > NV

⟹

xn ∈ V

                   

Taking N=max{NU,NV} we then have:

∃N ∈ R : n > N ⟹ xn ∈ U, xn ∈ VBut U∩V=∅.

From that contradiction we can see that there can be no such two distinct l and m.

6

KESIMPULAN

Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan padahimpunan ℕ dengan range dalam ℝ .

Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real dan , dan ℝ. Maka dapat didefinisikan(i)

(ii)

(iii)

(iv) , asalkan

Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakan limit barisan jika untuk setiap terdapat

sedemikian hingga untuk setiap dengan berlaku .

Teorema 1.1.5. Jika barisan konvergen, maka mempunyai paling banyak satu limit (limitnya tunggal).

7