STATISTIKA DASAR

Disusun Oleh :

Rhesa Theodore Muliawan

Statistika Deskriptif

Pengertian Statistik dan Statistika

Pengertian StatistikStatistik adalah kumpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam daftar atau tabel dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan.

Pengertian Statistika

Pengetahuan yg berhubungan dengan cara pengumpulan data, pengolahan atau penenganalisaan dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data

Sudjana (1984) mengartikannya sebagai pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan serta penganalisisannya, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan penganalisisannya yang dilakukan.

Pengertian Data dan Datum

Datum adalah catatan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu penelitian.Dalam matematika, datum dapat berbentuk bilangan, lambang, sifat, atau keadaan dan objek yang sedang diteliti. Datum – datum yang telah terkumpul disebut data

Jadi data adalah bentuk jamak dari datum.

Dalam penggunaan sehari-hari data berarti suatu pernyataan yg diterima secara apa adanya. Pernyataan ini adalah hasil perhitungan , pengukuran atau pengamatan suatu variabel yg bentuknya dapat berupa angka, kata-kata, atau citra.

Jenis-jenis Statistika Berdasarkan Tujuan atau Tahap AnalisisStatistika Deskriptif

Statistika deskriptif adalah bagian dari statistika yang membahas tentang metode-metode untuk menyajikan data sehingga menarik dan informatif. Secara umum statistika deskriptif dapat diartikan sebagai metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna.

Statistika inferensia adalah statistika yang berkenaan dengan cara penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakteristik atau ciri populasi.

Statistika Inferensia

Dari penjelasan di atas, ada keterkaitan antara statistika deskriptif dan statistika inferensia, diamana pada umumnya statistika deskriptif mendahului statistika inferensia.

Ukuran Pemusatan Data (Tendensi Sentral)Tendensi sentral merupakan upaya mengetahui kondisi kelompok subyek dengan mengetahui nilai sentral yang dimiliki.

Suatu rangkaian data biasanya memiliki tendensi (kecenderungan) untuk memusat pada nilai sentral ini. Tendensi sentral ini memberi informasi tentang kecenderungan data dari kelompok sumber yang ada sebagai deskripsi dasar tentang kondisi kelompok sumber (subyek). 

Rataan, median, dan modus memberikan gambaran pemusatan nilai-nilai dari suatu kumpulan data yang telah diamati. Oleh karena itu, rataan, median, dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan data atau ukuran tendensi sentral.

Macam-macam Ukuran Pemusatan Data

1. Rataan (Mean)Mean adalah perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyak datum

PenghitunganPenghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai datum suatu kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah datum tersebut.Jadi jika suatu kelompok sampel acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut.

Menghitung mean dari data tunggal

Keterangan:Xi = nilai data ke-i ( i = 1,2,3,…, n

)n = banyaknya data

X

= rata-rata dibaca “x bar” atau “x garis”

X

Notasi ∑ ( dibaca sigma ) menyatakan penjumlahan suku-suku.

Contoh Soal Hitunglah rataan dari data 4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10

Jawab :Jumlah nilai datum dari data yang diamati adalah :

Banyak nilai datum dari data yang diamati adalah n = 8

= ( 60 ) = 7,5

= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 + 10 + 10 = 60

1𝑛∑𝑖=1

8

𝑿 𝒊Rataan =

Jadi, rataan dari data itu adalah = 7,5

Menghitung mean dari data berkelompok

Dengan :• menyatakan frekuensi untuk nilai datum • = n menyatakan ukuran data• Untuk data yang disajikan dalam bentuk table disribusi frekuensi

berkelompok, maka menyatakan titik tengah kelas ke-i• r menyatakan banyak kelas

Contoh SoalTentukan rataan dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut ini

Diperoleh = 40 dan . = 5874Jadi rataan dari data itu adalah : = = = 146, 85

2. Median (Nilai Tengah)Median adalah sebuah nilai datum yang berada di tengah-tengah, dengan catatan data telah diurutkan dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar.Jika nilai-nilai dalam suatu data telah diurutkan, maka median dari data itu dapat ditentukan sebagai berikut :

A. Jika ukuran data n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum yang di tengah.

Median =

Contoh soal median data ganjil :

Tentukan median dari data berikut ini.

4, 5, 7, 9, 10

Jawab :

Nilai-nilai dalam data tersebut sudah terurut dengan ukuran data n = 5 ( ganjil)

Median = =

= = 7

B. Jika ukuran data n genap, maka mediannya adalah rataan dari dua nilai datum yang di tengah

Median = ( + )

Contoh soal median data genap

Tentukan median dari data berikut ini :

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Jawab :

Median = ( + ) =

( + ) = ( +

) = ( 9

+ 10 ) = 9,5

Pastikan data telah terurut. Ukuran data itu n = 8

3. ModusModus adalah nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.

A. Data tunggalSuatu data dapat saja memiliki lebih dari satu modus atau kadang-kadang tidak memiliki modus sama sekali.

Dalam perhitungan modus di dalam data tunggal ada suatu data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus, mempunyai dua modus disebut bimodus, dan ada pula data yang mempunyai lebih dari dua modus disebut multimodus.Dengan demikian, nilai modus kurang dapat dipercaya sebagai ukuran pemusatan data bagi data yang berukuran kecil. Modus hanya berguna sebagai ukuran pemusatan data untuk data yang mempunyai ukuran besar.

• Sekumpulan data : 2, 3, 4, 4, 5Maka modusnya adalah 4 muncul 2 kali.

• Sekumpulan data : 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 9Maka modusnya adalah 3 dan 5 masing-masing muncul 3

kali.

• Sekumpulan data : 3, 4, 5, 6, 7Maka modusnya tidak ada.

Contoh Modus Data Tunggal

B. Data KelompokLangkah-langkah untuk menentukan modus dari data berkelompok adalah sebagai berikut.I. Tentukan kelas modus, yaitu kelas yang memiliki frekuensi terbesar.

Kemudian tentukan tepi bawah dan tepi atas kelas modus tersebutt.II. Hitung panjang kelas modusIII.Hitung selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, dan

selisis frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.IV. Hitung modus dengan rumus berikut ini

Modus = L + ()cKeterangan

L = Tepi bawah frekuensi kelas modus = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

= Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyac = Panjang kelas modus

Contoh Soal Modus Data KelompokTentukan modus dari :

Jawab:Frekuensi paling banyak adalah 9 pada interval 31 – 35. Jadi kelas modus pada interval 31 – 35

L = 30,5c = 5 = 9 – 8 = 1

= 9 – 6 = 3

Ukuran Letak Data

Ukuran letak data adalah suatu nilai tunggal yang mengukur letak nilai-nilai pada suatu data, atau biasanya juga disebut dengan ukuran yang didasarkan pada letak dari ukuran tersebut dalam suatu distribusi. Dalam ukuran letak data kita mengenal adanya kuartil, desil, serta persentil

1. KuartilKuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama. Kuartil terbagi menjadi tiga bagian, yaitu kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga.  Kuartil biasa diberi simbol K atau Q.

Kuartil dibagi menjadi 2 jenis yaitu kuartil data tunggal serta kuartil data berkelompok.

A.Data TunggalUntuk statistik dengan ukuran data n > 4, dapat ditentukan 3 buah nilai yang membagi statistic jajaran itu menjadi 4 bagian yang sama. Ketiga nilai ini disebut kuartil, yaitu :

1. Kuartil Pertama () mempartisi data menjadi bagian dan bagian.2. Kuartil kedua () mempartisi data menjadi bagian

Dari sini tampak bahwa adalah median.3. Kuartil ketiga () mempartisi data menjadi bagian dan bagian

Letak atau lokasi dari kuartil pertama , kuartil kedua , dan kuartil ketiga dari data itu dapat ditunjukkan dengan menggunakan bagan dibawah ini.

Langkah-langkah untuk mencari kuartil adalah :

Langkah 1

Pertama-tama tentukan median atau kuartil kedua dengan cara yang diajarkan dalam ukuran pemusatan data

Langkah 2

Kuartil pertama ditentukan sebagai median semua nilai datum yang kurang dari

Kuartil ketiga ditentukan sebagai median semua nilai datum yang lebih dari

Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3) dari data berikut.

1 3 6 9 14 1821

Contoh Soal

Jawab :Pastikan nilai dalam data sudah berurutan

1. Ukuran data n = 7 (ganjil), sehingga kuartil kedua = = = 92. Kuartil pertama = = 33. Kuartil ketiga = = 18

1 3 6 9 14 18 21

𝑄1 𝑄3𝑄2

𝑋 2 𝑋 3 𝑋 4 𝑋 5 𝑋 6 𝑋 7𝑋 1

Statistik Lima-serangkaiStatistik ekstrim (statistik minimum dan statistik maksimum ) dan kuartil-kuartil ( kuartil pertama , kuartil kedua , dan kuartil ketiga ) adalah lima buah nilai statistik yang dapat ditentukan dari statistik jajaran suatu data.Kelima buah nilai statistik ini disebut sebagai statistik lima-serangkai. Statistik lima- serangkai biasanya ditampilkan dalam bentuk bagan seperti berikut

Bagan tersebut memperlihatkan bahwa statistik lima-serangkai mencerminkan letak sekaligus pemusatan dari suatu data.

Hasil pengukuran berat (dalam kg) dan 14 bola logam dengan diameter sama adalah:

7,0   5,6   6,1   7,2   6,9   6,7   5,4   6,0   6,5   5,7   6,2   6,3   5,9  6,6Tentukan statistik Iima-serangkainya !

Contoh soal statistik lima serangkai

Jawab :

i.   (i). Statistik jajaran untuk data itu adalah sebagai berikut:5,4   5,6   5,7   5,9   6,0   6,1   6,2   6,3   6,5   6,6  6,7   6,9   7,0   7,2Statistik minimumnya adalah Xmin = x1 = 5,4tatistik maksimumnya adalah Xmaks = x14 = 7,2

2. Q1 = 5,9Q2 = ½(6,2+6,3) = 6,25Q3 = 6,7

Jadi statistik lima serangkainya adalah Xmin= 5,4; Xmaks=7,2; Q1 = 5,9; Q2 =6,25; Q3=6,7. Statistik lima serangkai itu disajikan dalam bentuk bagan seperti berikut

Nilai , , dan dari data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

B. Data Kelompok

Kuartil pertama = = + – c

Dengan := tepi bawah kelas yang memuat kuartil

pertama = jumlah frekunsi sebelum kuartil pertama

= frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama

Kuartil kedua = = + – c

Dengan := tepi bawah kelas yang memuat kuartil

kedua = jumlah frekunsi sebelum kuartil kedua

= frekuensi kelas yang memuat kuartil kedua

Kuartil ketiga = = + – c

Dengan := tepi bawah kelas yang memuat

kuartil ketiga= jumlah frekunsi sebelum kuartil ketiga

= frekuensi kelas yang memuat kuartil ketiga

Contoh soal mencari nilai kuartil dalam data kelompokTentukan nilai kuartil pertama () , median atau kuartil kedua (), dan kuartil ketiga () untuk data berkelompok tentang hasil pengukuran (dalam mm) pada tabel dibawah ini

Jawab :a) n = (40) = 10 ; = 136,5 ; = 9 ; = 10 ; c = 9

Jadi kuartil pertama adalah = + – c = 136,5 + 9 = 137,4

b) n = (40) = 20 ; = 145,5 ; = 19 ; = 9 ; c = 9Jadi kuartil kedua adalah = + – c = 145,5 + 9 = 146,5

c) n = (40) = 30 ; = 154,5 ; = 28 ; = 7 ; c = 9Jadi kuartil ketiga adalah = + – c = 154,5 + 9 = 157,07

2. DesilDesil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama besarnya atau bisa juga nilai-nilai yang membagi data sepuluh bagian sama banyak.

Sama halnya dengan kuartil, desil juga terdiri dari desil data tunggal dan desil data berkelompok.

A. Data Tunggal

Untuk statistik jajaran dengan ukuran data n > 10, dapat ditentukan 9 buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi 10 bagian yang sama. Kesembilan buah nilai itu disebut desil.

Desil pertama (), mempartisi data menjadi data menjadi bagian dan bagian Desil kedua ), mempartisi data menjadi bagian dan bagian.

…, demikian seterusnya Desil kedelapan mempartisi data menjadi dan bagian Desil kesembilan , mempartisi data menjadi dan

Letak atau lokasi dari desil pertama , desil kedua , …, sampai dengan desil kesembilan ditunjukkan dengan bagan dibawah ini

Jika suatu data telah dinyatakan dalam bentuk statistik jajaran, maka desil ke-i  ditetapkan terletak pada nilai urutan yang dapat ditentukan dengan rumus dibawah ini

¿¿Dengan i  = 1,2,3, … , 7,8,9 n adalah ukuran data.

Jika nilai urutan yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung desil diperlukan pendekatan interpolasi linear.

Jika desil terletak pada nilai urutan antara k dan k + 1 dan d

adalah bagian desimal nilai urutan tersebut maka nilai desilnya dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut

= + d( - )

Contoh SoalDiketahui suatu data 2,9   3,5   5,1   5,7   2,1   4,0   4,7   2,5  2,4   5,3   4,8   4,3   2,7   3,4   3,7Tentukan desil pertama D1 dan desil kelima D5Jawab :

Pertama-tama, data itu disajikan dalam bentuk statistik jajaran sebagai berikut

2,1   2,4   2,5   2,7   2,9   3,4   3,5   3,7   4,0   4,3   4,7  4,8   5,1   5,3   5,7Perhatikan bahwa ukuran data n = 15

• Desil pertama terletak pada nilai urutan yang ke = 1,6Karena nilai urutan bukan bilangan asli, maka ditentukan dengan interpolasi

linear.Perhatikan nilai urutan yang besarnya 1,6. Nilai ini terletak antara 1 dan 2

sehingga k = 1 dan k+1 = 2. Bagian desimalnya 0,6Dk= Xk+ d(xk+1 — xk)D1= X1+ d(x2 — x1)  = 2,1 + 0,6(2,4 — 2,1) = 2,28

• Desil kelima D5 terletak pada nilai urutan yang ke  = 8Karena nilai urutan untuk D5 adalah 8 merupakan bilangan asli,

maka D5 tidak perlu interpolasi.

B. Data KelompokDesil dari suatu data yang telah dikelompokkan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini

c

Dengan : = 1,2,3,…,9 = desil ke-Li = tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i = jumlah frekuensi sebelum desil ke-i

= frekuensi kelas yang memuat desil ke-i

= ukuran datac  = panjang kelas

Contoh SoalData tinggi badan dan 100 orang siswa disajikan dalam tabel distribusi frekuensi pada Tabel

Desil keempat = cSubstitusi n = (100) = 40 ; = 159,5 ; = 25 ; = 40 ; c = 5

= 159,5 = 161,375

3. PersentilPersentil yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Karena itu persentil sering disebut ukuran perseratusan.

Titik yang membagi distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar itu ialah titik-titik: P1, P2, P3, P4, P5, P6, … dan seterusnya, sampai dengan P99. Jadi disini kita dapati sebanyak 99 titik persentil yang membagi seluruh distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar, masing-masing sebesar 1/ 100N atau 1%

A.Data TunggalLetak persentil dirumuskan dengan

𝑃 𝑖=¿¿Dengan : = persentil ke-i = 1,2,3,…,99 = banyaknya data

B. Data Kelompok

𝑃 𝑖=𝑏+𝑙 ( 𝑖 .𝑛100−𝐹

𝑓 )Keterangan : = persentil ke-b = tepi bawahn = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentilf = frekuensi kelas persentil = lebar kelas

Rumus untuk mencari nilai persentil dari data yang telah dikelompokkan adalah

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran atau ukuran dispersi menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu kumpulan data memiliki nilai yang berbeda.

Beberapa ukuran penyebaran data yang akan dibahas di sini adalah rentang atau jangkauan, rentang atau jangkaun antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar-dalam, pagar-luar serta ragam, dan simpangan baku.

1. Menentukan Rentang atau JangkauanRentang atau jangkauan (range) merupakan ukuran penyebaran data yang sederhana. Rentang dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara datum terbesar (statistik maksimum) dengan datum terkecil (statistik minimum). Jika rentang itu dilambangkan dengan R, maka R ditentukan oleh :

R = -

2. Menentukan Rentang AntarkuartilRentang antarkuartil atau jangkauan antarkuartil didefinisikan sebagai selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama . Rentang antar kuartil disebut hamparan ( dilambangkan dengan H), maka H ditentukan oleh :

H = –

 3. Menentukan Simpangan KuartilSimpangan kuartil dari suatu data didefinisikan sebagai setengah

kali panjang hamparan. Oleh karena itu, simpangan kuartil disebut juga rentang semi antarkuartil. Jika simpangan kuartil dilambangkan dengan , maka ditentukan oleh :

= H = ( –

4. Menentukan LangkahSatu langkah didefinisikan sama dengan satu-setengah kali panjang satu hamparan. Langkah dilambangkan dengan L, maka L ditentukan oleh :

L = H = 1 ( –

5. Menentukan Pagar-dalam dan Pagar-luarPagar-dalam didefinisikan sebagai sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil pertama dan pagar-luar didefinisikan sebagai sebuah nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil ketiga .

Dengan demikian, pagar-dalam dan pagar-luar dari suatu data ditentukan oleh:

Pagar –dalam = – L

Pagar-luar = + L

Pagar dalam dan pagar luar tersebut digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya nilai data. Normal atau tidaknya nilai data itu ditetapkan sebagai berikut.1. Untuk setiap nilai data x1 yang terletak di antara batas-batas pagar-

dalam dan pagar-luar (Q1 — L ≤ xi ≤ Q3 + L) disebut data normal. Data disebut normal, jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda.2. Untuk setiap nilai data x yang kurang dari pagar dalam (x < Q1— L) atau lebih dari pagar- luar (x > Q3 + L) merupakan data tak normal.

Data yang tak normal ini disebut juga pencilan. Jadi, data pencilan adalah data yang tidak konsisten dalam kelompoknya

Ada beberapa kemungkinan penyebab munculnya data pencilan dalam suatu data, antara lain adalah sebagai berikut.

• Terjadinya kesalahan ketika mencatat nilai data.• Terjadinya kesalahan ketika melakukan pengukuran, kesalahan ketika membaca

alat ukur, atau kesalahan ketika menggunakan alat ukur.• Bukan salah catat dan bukan salah ukur, tetapi data itu memang diperoleh dan

objek yang aneh (anomali) atau menyimpang. Data demikian disebut sebagai data yang berbeda asal.

Contoh SoalHasil pengukuran berat (dalam kg) dan 14 bola logam dengan diameter sama adalah:5,4   5,6   5,7   5,9   6,0   6,1   6,2   6,3   6,5   6,6  6,7   6,9   7,0   7,2a) Tenttukan rentangnyab) Tentukan rentang antarkuartilnyac) Tentukan rentang semi-antarkuartil atau simpangan kuartild) Tentukan langkah, pagar-dalam, dan pagar luarnyaJawab :

a) Rentang R = - = 7,2 – 5,4 = 1,8b) Rentang antarkuartil atau hamparan, H = - = 6,7 – 5,9 =

0,8c) Simpangan kuartil = H = (0,8) = 0,4d) Langkah L = H = 1 ( – = 1 (0,8) = 1,2

Pagar-dalam = – L = 5,9 – 1,2 = 4,7Pagar-luar = + L = 6,7 +1,2 = 7,9

5,4   5,6   5,7   5,9   6,0   6,1   6,2   6,3   6,5   6,6  6,7   6,9   7,0   7,2

𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠𝑋𝑚𝑖𝑛 𝑄3𝑄1 𝑄2

6. Ragam dan Simpangan Baku

A. Data TunggalUkuran penyebaran data yang ada hubungannya dengan nilai rataan dan suatu data adalah ragam dan simpangan baku. Misalkan  adalah rataan dari data x1, x2, x3, ... , xn, maka

Ragam atau variansi data ditentukan oleh :

=

Simpangan baku atau deviasi standar data ditentukan oleh : = =

dengan n = ukuran data, xi = nilai datum yang ke-i, dan = nilai rataan

Contoh Soal

Tentukan ragam S2 dan simpangan baku S untuk data: 10, 44, 56, 62, 65, 72, 76Jawab :

Nilai rataan : = = ( 10 + 44 + 56 + 62+ 65 + 72 + 76 ) = (385) = 55

Jumlah kuadrat setiap simpangannya : = + + + +( + +

= 3026

• Ragamnya : = = ( 3026) = 432,29• Simpangan bakunya :

S = = = 20,79

B. Data Kelompok• Ragam dan suatu data yang disajikan dengan menggunakan

daftar distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan rumus: 

=

• Sedangkan simpangan bakunya ditentukan oleh: = =

Dengan:• n = = ukuran data

• Untuk data yang dikelompokkan dalam kelas-kelas, ƒi menyatakan frekuensi  kelas ke-i,

• Untuk data yang dikelompokkan dalam kelas-kelas, x1 menyatakan titik-tengah kelas ke-i,

Contoh Soal Hitunglah ragam () dan simpangan baku (S) dari data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi berkelompok pada tabel dibawah ini.Nilai rataan hitung untuk data pada tabel dibawah adalah = 146,85. 

Dari tabel tersebut didapat = 40 dan = 7.379,1Jadi nilai ragamnya = = ( 7.379,1) = dan simpangan bakunya = = = 13,58

Angka Baku dan Koefisien VariasiA. Angka Baku

Angka baku adalah nilai yang menyatakan perbandingan antara selisih data dengan rata-ratanya berbanding simpangan baku data tersebut. Angka baku disebut juga Z score, oleh karena itu angka baku dilambangkan dengan huruf Z. Kegunaan angka baku ini adalah untuk mengetahui perbedaan suatu kejadian dibanding dengan kebiasaannya.Semakin besar angka bakunya semakin baik nilai tersebut dibandingkan dengan nilai lain yang memiliki angka baku lebih kecilAngka baku dirumuskan sebagai berikut

Keterangan :Z = angka baku = nilai suatu data

= rata-rata hitungS = Simpangan baku

Z =

Contoh SoalAngga mendapat nilai 86 pada test matematika, dengan rata – rata nilai 78 dan standar deviasi 10. Pada test bahasa inggris dengan rata – rata 84 dan standar deviasi 18, Angga mendapat nilai 92. Maka Angga mencapai kedudukan yang lebih baik dalam pelajaran apa ?

Jawab :• Matematika :

Z score = Z = s

= 86 – 78 = 0,8 10

• Bahasa Inggris :Z score = Z =

= 92 – 84 = 0,4 18

Kesimpulan : Nilai test matematika memiliki nilai Z score lebih tinggi dari pada nilai standard score test bahasa inggris.

B. Koefisien VariasiKoefisien variasi (variabilitas) adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Rumus besarnya koefisien variasi adalahKV = X 100%

Besarnya koefisien korelasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data.Jadi jika koefisien korelasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

Nilai rata-rata ulangan Matematika kelas XII adalah 80. Tentukan koefisien variasi kelas XII itu jika simpangan standar di kelas tersebut adalah 4,2.

Contoh Soal

Jawab :

Jadi koefisien variasinya adalah 5,25%

Skewness (Kecondongan) dan Kurtosis (Keruncingan)A. Skewness (Kecondongan)

Skewness digunakan untuk mengukur simetris atau kecondongan suatu kurva. Kecondongan suatu kurva dapat dilihat dari perbedaan letak mean, median dan modusnya. Jika ketiga ukuran pemusatan data tersebut berada pada titik yang sama, maka dikatakan simetris atau data berdistribusi normal. Sedangkan jika tidak berarti data tidak simetris atau tidak berdistribusi normal.

Kemencengan suatu distribusi data, selain dapat dilihat tampilan secara visual, tingkat kecondongan distribusi dapat diketahui melalui besarnya koefisien kecondongan (Sk ) dan melalui besarnya koefisien moment ketiga (α3).

Ukuran kecondongan data terbagi atas tiga bagian, yaitu :• Kecondongan data ke arah kiri (condong negatif) dimana

nilai modus lebih dari nilai mean (modus > mean).• Kecondongan data simetris (distribusi normal) dimana nilai

mean dan modus adalah sama (mean = modus).• Kecondongan data ke arah kanan (condong positif) dimana

nilai mean lebih dari nilai modus (mean > modus).

Rumus koefisien kecondonganAda tiga metode dalam menghitung besarnya koefisien kecondongan, yaitu:a.Metode Karl Pearson,

= 3( ) b. Metode Bowley

 c. Metode “10 - 90 Persentil” = =

Di mana :

Sk = 0 Distribusi data simetris

Sk > 0 Distribusi data menceng ke kanan ( Menceng + )

Sk < 0 Distribusi data menceng ke kiri ( Menceng -)

Rumus koefisien alpha ketiga Koefisien alpha ketiga merupakan rata-rata penyimpangan data dari rata-rata dipangkatkan tiga, dibagi dengan simpangan baku pangkat tiga.Rumus untuk data yang belum dikelompokan adalah

sedangkan untuk data yang sudah dikelompokkan adalah :

Kurtosis (Keruncingan)Kurtosis merupakan tingkat menggunungnya suatu distribusi. Keruncingan dinilai sebagai bentuk distorsi dari kurva normal. Tingkat keruncingan diukur dengan membandingkan bentuk keruncingan kurva distribusi data dengan kurva normal.

Terbagi atas tiga, yaitu :

Leptokurtic, yaitu bagian tengah distribusi data memiliki puncak yang lebih runcing (nilai keruncingan lebih dari 3).

Platykurtic, yaitu bagian tengah distribusi data memiliki puncak yang lebih datar (nilai keruncingan kurang dari 3).

Mesokurtic, yaitu bagian tengah distribusi data memiliki  puncak diantara Leptokurtic dan Platykurtic (nilai keruncingan sama dengan 3)

Rumus untuk data tunggal

Rumus untuk data kelompok