TEORI HIMPUNAN

Teori Himpunan Oleh :

Saptana Surahmat

A. Pengertian Himpunan Sebuah himpunan adalah kumpulan semua objek yang mungkin, yang bersifat tertentu menurut aturan yang telah ditetapkan. Setiap objek yang termasuk ke dalam sebuah himpunan dinamakan anggota atau elemen. Penulisan sebuah himpunan ditandai dengan penggunaan tanda kurung kurawal ( { }) untuk mendaftarkan anggota-anggotanya. Selanjutnya, untuk membedakan himpunan satu dengan himpunan lain, sebuah himpunan dapat disimbolkan dengan menggunakan huruf kapital, misal A, B, C, dst. Sedangkan, setiap anggota sebuah himpunan disimbolkan dengan menggunakan huruf kecil, seperti a, b, c, dst.

Bila a adalah anggota himpunan A, maka ditulis a A. Sebaliknya, bila b bukan anggota himpunan A, maka ditulis b A. Selanjutnya, apabila p, q, r sekaligus merupakan anggota dari himpunan A, maka boleh ditulis p, q, r A.

Penyebutan sebuah himpunan dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu :

1. Menggunakan kata-kata (metoda deskripsi).

Contoh 1.

a. Himpunan bilangan bulat positip kuarng dari sepuluh

b. Himpunan bilangan real

c. Himpunan huruf-huruf vokal dalam abjad latin.

2. Menampilkan semua anggota dalam bentuk daftar (metoda daftar/roster).

Contoh 2.

a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}

b. M = {a, i, u, e, o}

c. K = {Bandung, Jakarta, Surabaya, Semarang, Yogyakarta}

3. Menyebutkan karakteristik dari anggota-anggotanya (metoda sifat).

Contoh 3.

a. A = { x | 0 < x < 2 }

b. HP = { | = 30o, 45o, 60o }

c. L = {(x, y) | x2 + y2 = 9, x, y R}

B. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan. Sebuah himpunan semesta biasanya dinotasikan dengan huruf U atau S.

SUPLEMEN MATEMATIKA SMA 1

TEORI HIMPUNAN

Contoh 4.

1. U adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 15

2. S adalah himpunan bilangan Asli

3. S adalah himpunan huruf-huruf dalam abjad Yunani.

C. Himpunan Bagian Misalkan A dan B adalah dua himpunan. A dikatakan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A adalah juga anggota himpunan B. Untuk menuliskan pernyataan bahwa sebuah himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan lain dapat digunakan notasi .

Contoh 5.

Misalkan terdapat himpunan A = {1, 2, 3, 4,. 5} dan B = {2, 3, 4}. Tampak bahwa setiap anggota himpunan B adalah juga anggota himpunan A. Dengan demikian dikatakan bahwa B adalah himpunan bagian dari A, ditulis B A.

D. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan ini biasanya dinotasikan dengan atau { }.

Contoh 7.

1. Himpunan siswa SMA yang berusia dibawah lima tahun.

2. A = { x | x2 < 0, x : bilangan bulat}

E. Kesamaan Dua Himpunan

Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A merupakan himpunan bagian dari B dan B juga merupakan himpunan bagian dari A.

A = B A B dan B A

Contoh 6.

1. A = {2, 4, 3, 1} dan B = {1, 2, 3, 4}. Karena memenuhi A B dan B A, maka A = B.

2. N = { k | 0 < k < 5, k : bilangan Asli } dan P = {1, 2, 3, 4}. Tampak bahwa N P dan P N, maka N = P.

F. Diagram Venn Diagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atu lebih himpunan dengan menggunakan bentuk-bentuk geometri dua dimensi.

Contoh 8.

Bentuk diagram Venn yang menggambarkan A B adalah :

SUPLEMEN MATEMATIKA SMA 2

TEORI HIMPUNAN

G. Operasi-Operasi Pada Himpunan

1. Gabungan (Union)

Gabungan dari dua himpunan A dan B, ditulis A B, adalah himpunan yang terdiri atas semua himpunan A atau B atau kedua-duanya. Secara simbolik gabungan dua himpunan A dan B ditulis :

A B = { x | x A atau x B}

Diagram Venn untuk gabungan dua himpunan A dan B adalah sebagai berikut :

Contoh 9.

a. Misal terdapat dua himpunan A = {2, 3, 4} dan B = {1, 2, 5, 8}, maka A B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}

b. Misal N = { x | -2 x 1} dan M = { x | 0 x 2}, maka N M = { x | -2 x 2}

2. Irisan (Intersection)

Irisan dua himpunan A dan B, ditulis A B, adalah himpunan yang terdiri atas semua anggota A yang sekaligus juga anggota himpunan B. Secara simbolik irisan dua himpunan A dan B ditulis :

A B = { x | x A dan x B}

Diagram Venn untuk irisan dua himpunan A dan B adalah sebagai berikut :

Contoh 10.

a. Bila diketahui A = {3, 4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4}, maka A B = {3, 4}

b. Misalkan diketahui dua himpunan D1 = { x | -2 < x < 2} dan D2 = { x | 0 x 5}, maka D1 D2 = { x | 0 x < 2}

3. Komplemen (Complement)

Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S. Himpunan yang terdiri atas semua anggota S yang bukan anggota A dinamakan komplemen A, ditulis Ac atau A. Secara simbolik komplemen dari A ditulis :

Ac = { x | x A dan x S}

SUPLEMEN MATEMATIKA SMA 3

TEORI HIMPUNAN

Diagram Venn untuk komplemen dari himpunan A adalah sebagai berikut :

Contoh 11.

a. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4, 6}, maka Ac = {1, 3, 5}.

b. Misalkan S = { y | y R } dan Q = { y | y > 0}, maka Qc = { y | y 0}

H. Beberapa Sifat Pada Aljabar Himpunan

1. A A = A (hukum idempoten )

A A = A

2. (A B) C = A (B C) (hukum asosiatif)

(A B) C = A (B C)

3. A (B C) = (A B) (A C) (hukum distributif)

A (B C) = (A B) (A C)

4. A = A atau A S = A (hukum identitas)

A S = S atau A = S

5. A Ac = S; A Ac = (hukum komplemen)

(Ac)c = A; Sc = ; c = S

6. (A B)c = Ac Bc (hukum De Morgan)

(A B)c = Ac Bc

Contoh 12.

Tunjukan bahwa (P Q) (P Qc) = P !

Penyelesaian :

(P Q) (P Qc) = P (Q Qc) (hukum distributif)

= P S (hukum komplemen)

= P (terbukti !) (hukum identitas)

Contoh 13.

Jika A dan B dua buah himpunan bagian dari suatu himpunan S dan Ac adalah komplemen dari A, tunjukan bahwa [Ac (A B)] (A B) = B !

Penyelesaian :

[Ac (A B)] (A B) = [(Ac A) (Ac B)] (A B) (hukum distributif)

= [ (Ac B)] (A B) (hukum komplemen)

= (Ac B) (A B) (hukum identitas)

= (Ac A) B (hukum distributif)

SUPLEMEN MATEMATIKA SMA 4

TEORI HIMPUNAN

= S B (hukum komplemen)

= B (terbukti !) (hukun identitas)

Beberapa Bentuk Aljabar Himpunan Yang Penting

1. n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

2. n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(A B C)

3. n(S) = n(A B) + n(A B)c

4. n(S) = n(A B C) + n(A B C)c

Contoh 14.

Setiap siswa dalam suatu kelas suka berenang atau main bola. Jika dikelas itu ada 30 siswa, yang suka berenang 27 siswa dan yang suka main bola ada 22 siswa. Tentukan banyaknya siswa yang suka kedua-duanya !

Penyelesaian :

Misalkan A adalah himpunan siswa yang suka berenang dan B adalah himpunan siswa yang suka main bola.

n(A B) = 30; n(A) = 27; n(B) = 22

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

30 = 27 + 22 n(A B) n(A B) = 27 + 22 30 = 19

Jadi yang suka kedua-duanya (A B) adalah sebanyak 19 orang

Contoh 15.

Jika 50 pengikut tes masuk suatu perguruan tinggi ada 35 calon lulus matematika, 20 calon lulus fisika dan 10 calon lulus matematika dan fisika. Tentukan banyaknya calon pengikut yang tidak lulus kedua mata pelajaran tersebut !

Penyelesaian :

Misalkan S adalah himpunan semua peserta tes masuk perguruan tinggi, A adalah himpunan siswa yang lulus tes matematika dan B adalah himpunan siswa yang lulus fisika.

n(S) = 50; n(A) = 35; n(B) = 20; n(A B) = 10

n(S) = n(A B) + n(A B)c

= [n(A) + n(B) n(A B)] + n(A B)c

50 = [35 + 20 10] + n(A B)c

= 45 + n(A B)c

50 45 = n(A B)c atau n(A B)c = 5

Jadi banyaknya calon pengikut yang tidak lulus kedua mata pelajaran adalah 5 orang.

SUPLEMEN MATEMATIKA SMA 5

TEORI HIMPUNAN

Soal Latihan

1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 3, 5} dan B = {2, 4, 6}. Tentukan :

a. A B b. A B c. Bc D. (Ac B)

2. Ac adalah komplemen A terhadap S. Jika S = { 1, 2, 3, , 9}, A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6}. Tentukanlah (A B)c !

3. Jika lambang Ac menyatakan komplemen himpunan A. Nyatakanlah bentuk simbolic dari daerah yang diarsir pada diagram Venn berikut :

a.

b.

4. Dari suatu survey yang dilakukan terhadap 1000 siswa lulusan SMA diperoleh data 600 orang

mengikuti tes SPMB IPA, 500 orang mengikuti tes SPMB IPS dan 300 orang mengambil kedua tes tersebut. Tentukanlah banyaknya lulusan SMA yng tidak mengikuti tes SPMB !

SUPLEMEN MATEMATIKA SMA 6