Taburan Normal

1

Ciri-ciri Taburan Normal

• Ia adalah taburan selanjar • Ia adalah taburan simetri • Ia adalah asimtot kepada paksi • Ia adalah uni-modal • Ia adalah keluarga kepada

keluk • Keluasan di bawah keluk ialah

1. • Keluasan disebelah kanan min

ialah 1/2.• Keluasan disebelah kiri min

ialah 1/2.

2

Keluk Normal dengan Min dan Sisihan Piawai yang Berbeza

3

Taburan Normal Piawai

• Taburan normal dengan– Min sifar, dan – Sisihan piawai 1

4

ZX

Formula Z

– mempiawaikan sebarang taburan normal

Skor Z

– dikira dengan formula Z

– nombor sisihan piawai dimana nilainya adalah menyisih dari min

Jadual Z

5

Second Decimal Place in Z Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.49903.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

Note: terdapat beberapa bentuk Jadual Z, pengguna perlu tahu bentuk jadual yang digunakan dan cara untuk membacanya.

Jadual Z yang lain

6

Jadual Z yang lain

7

Jadual Kebarangkalian Normal Piawai

8

P Z( ) .0 1 0 3413

Z 0.00 0.01 0.02

0.00 0.0000 0.0040 0.00800.10 0.0398 0.0438 0.04780.20 0.0793 0.0832 0.0871

1.00 0.3413 0.3438 0.3461

1.10 0.3643 0.3665 0.36861.20 0.3849 0.3869 0.3888

Contoh 1

9

Graduate Management Aptitude Test (GMAT) banyak digunakan untuk keperluan memasuki sekolah siswazah pengurusan di USA. Andaikan skor GMAT adalah bertaburan normal, kebarangkalian mencapai skor melebehi berbagai jeda GMAT boleh ditentukan. Di dalam beberapa tahun kebelakangan, min skor GMAT ialah 494 dan sisihan piawai lebih kurang 100. Apakah kebarangkalian skor yang dipilih secara rawak daripada ujian GMAT ini di antara 600 dan nilai min? Iaitu,

Contoh

10X=600 = 494 = 100

P(494 X 600)| = 494 dan = 100) = ?

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

11

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

Z 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.4 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.18080.5 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.21570.6 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.24860.7 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.27940.8 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.30780.9 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.33401.0 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.35771.1 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.37901.2 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.39801.3 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147

P(485 X 600) = P(0 Z 1.06) = 0.3554

Z=0 Z=1.06

0.3554

Contoh 2

12

Apakah kebarangkalian memperolehi skor lebih besar daripada 700 pada ujian GMAT jika min ialah 494 dan sisihan piawai 100?

P(X > 700)| = 494 dan = 100) = ?

X = 700 = 494 = 100

X > 700

2.06 100

206

100

494 - 700

- X Z

Z=2.06Z=0

Dari jadual Z:

Z=2.06 -> 0.4803

0.500

0.4803

P(Z>2.06) = 0.5000 - 0.4803 = 0.0197

0.0197

Contoh 3

13

Bagi ujian GMAT yang sama, apakah kebarangkalian skor kurang daripada 550?

P(X <550)| = 494 dan = 100) = ? = 494 = 100

X=550

0.56 100

56

100

494 - 550

- X Z

Z=0.56Z=0

Keluasan di bawah keluk bagi Z = 0.56 ialah 0.2123

0.500 0.2123 P(X <550) = P(Z < 0.2123) = 0.5000 + 0.2123 = 0.7123

Contoh 4

14

Apakah kebarangkalian memperolehi skor kurang daripada 400 di dalam ujian GMAT?

P(X <400)| = 494 dan = 100) = ?

X=400 = 494 = 100

0.94- 100

94-

100

494 - 400

- X Z

Z=-0.94 Z=-0.94

P(Z<-0.94)=P(Z>0.94)

= 0.5000 – 0.3264

= 0.1735

0.5000 0.5000

0.3264 0.32640.1735 0.1735

Contoh 5

15

Apakah kebarangkalian memperolehi skor di antara 300 dan 600 untuk ujian GMAT yang sama?

P(300 X < 600| = 494 dan 100) = ?

X = 300 = 494 X = 600 = 100

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

94.1 100

194-

100

494 - 300

- X Z

Z=-1.94 Z=0 Z=1.06

P(-1.94 < Z < 1.06) = 0.3554 + 0.4738 = 0.8289

0.35540.4738

Contoh 6

16

Apakah kebarangkalian untuk mem-perolehi skor di antara 350 dan 450 bagi ujian GMAT yang sama? 

X = 350 X=430 = 494 = 100

1.44- 100

144-

100

494 - 350

- X Z

0.44- 100

44-

100

494 - 450

- X Z

P(-1.44 < Z < -0.44) = 0.4251 - 0.1700 = 0.2551

Z=-1.44 Z= -0.44

0.1700

0.4251

0.2551

P(X 350 < X < 450| = 494 dan = 100) = ?

Contoh 7

17

Kementerian Kebudayaan dan Pelancongan menerbitkan kos perjalanan untuk beberapa bandar di Malaysia. Khususnya, mereka menerbitkan kos perbelanjaan hotel. Jika 86.65% daripada kos hotel di Johor Baharu adalah kurang daripada RM449 dan jika sisihan piawan kos hotel ialah RM36, apakah purata kos hotel di Johor Baharu? Andaikan kos hotel adalah bertaburan normal.

= ? X = RM449 = RM36

86.65%

0.3665

P(Z < z) = 0.3665

z = ???????

18

RM36

- RM449 1.11

- X Z

Z 0.00 0.01 0.02 0.030.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.01200.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.05170.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.09100.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.12930.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.16640.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.20190.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.23570.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.26730.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.29670.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.32381.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.34851.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.37081.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907

P(Z < z) = 0.3665

z = 1.11 = RM449 – (RM36)(1.11) = RM449 – RM39.96 = RM409.04