PENEROKAAN LANJUTAN

AHLI MATEMATIKDalam bab mengenai kebarangkalian, kita melihat bahawa taburan binomial boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti "Jika duit syiling saksama dibalik 100 kali, apakah kebarangkalian mendapat 60 atau lebih kepala?" Kebarangkalian betul-betul x kepala daripada N lambungan boleh dikira dengan formula:

 

di mana x ialah bilangan kepala (60), N ialah bilangan lambungan (100), dan π adalah kebarangkalian kepala (0.5). Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah ini, anda mengira kebarangkalian 60 kepala, maka kebarangkalian 61 kepala, 62 kepala, dan sebagainya, dan menambah semua kebarangkalian ini. Bayangkan berapa lama ia mesti telah diambil untuk mengira kebarangkalian binomial sebelum kedatangan kalkulator dan komputer.

Abraham de Moivre, satu perangkaan abad ke-18 dan perunding untuk penjudi, sering dipanggil untuk membuat pengiraan ini panjang. de Moivre menyatakan bahawa apabila bilangan acara (syiling lambungan) meningkat, bentuk taburan binomial menghampiri lengkung sangat licin. Ketinggian bar biru mewakili kebarangkalian. de Moivre alasan bahawa jika dia boleh mencari ungkapan matematik bagi lengkung ini, dia akan dapat menyelesaikan masalah seperti mencari kebarangkalian 60 atau lebih kepala daripada 100 syiling lambungan lebih mudah. Ini betul-betul apa yang dia lakukan, dan keluk beliau mendapati kini dikenali sebagai "keluk normal."

  Keluk licin adalah taburan normal. Nota sejauh mana ia menyamai kebarangkalian binomial diwakili oleh ketinggian garis biru.

 Kepentingan keluk normal berpunca terutamanya daripada hakikat bahawa pengagihan banyak fenomena semula jadi sekurang-kurangnya kira-kira normal. Salah satu aplikasi pertama taburan normal adalah untuk analisis ralat pengukuran dibuat dalam pemerhatian astronomi, kesilapan yang berlaku kerana instrumen yang tidak sempurna dan pemerhati yang tidak sempurna. Galileo pada abad ke-17 menyatakan bahawa kesalahan ini simetri dan kesilapan kecil berlaku lebih kerap daripada kesilapan-kesilapan besar. Ini membawa kepada beberapa pengagihan hipotesis kesilapan, tetapi ia tidak sehingga abad ke-19 awal bahawa ia telah mendapati bahawa kesilapan-kesilapan ini mengikuti taburan normal. Bebas, yang Adrian pada tahun 1808 dan Gauss ahli matematik pada tahun 1809 mengembangkan formula untuk taburan normal dan menunjukkan bahawa ralat telah muat dengan baik oleh taburan ini.

Pengagihan yang sama telah ditemui oleh Laplace pada tahun 1778 apabila beliau berasal teorem had memusat amat penting, topik kemudian sectionof bab ini.

Laplace menunjukkan bahawa walaupun pengagihan yang tidak diagihkan secara normal, cara-cara sampel berulang dari pengagihan akan sangat hampir bertaburan normal, dan yang lebih besar saiz sampel, lebih dekat pengagihan cara adalah dengan taburan normal.

Prosedur yang paling statistik perbezaan ujian antara cara menganggap pengagihan normal. Kerana pengagihan cara sangat dekat dengan normal, ujian ini bekerja dengan baik walaupun pengedaran asal adalah hanya kira-kira biasa.

Quételet adalah yang pertama untuk memohon taburan normal kepada ciri-ciri manusia. Beliau berkata ciri-ciri seperti ketinggian, berat, dan kekuatan telah diedarkan secara normal.

Taburan normalTaburan normal, juga dikenali sebagai taburan normal adalah taburan kebarangkalian berterusan pembolehubah rawak, dunia semula jadi, masyarakat manusia, psikologi dan pendidikan dalam bentuk sejumlah besar fenomena mengikut taburan normal, seperti tahap keupayaan, pencapaian pelajar adalah baik

atau buruk dan sebagainya sedang rata negeri. Satu taburan normal piawai adalah perkara biasa, semua ciri-ciri taburan normal. Semua boleh didapati melalui taburan normal Z skor formula ke dalam taburan normal piawai.

Kedua-dua ciri-ciri perbandingan:

⑴ bentuk normal adalah simetri, melalui paksi simetri berserenjang dengan titik purata.

⑵ titik pusat tertinggi, dan kemudian beransur-ansur menurun ke tepi, bentuk garis melengkung mereka selekoh pertama, kemudian bengkok ke luar.

⑶ kawasan di bawah keluk normal ialah 1. Taburan normal adalah keluarga pengagihan, ia adalah satu pemboleh ubah rawak dengan min dan sisihan piawai daripada saiz unit-unit yang berbeza mempunyai corak taburan yang berbeza. Taburan normal piawai adalah taburan normal, min dan sisihan piawai adalah tetap, min 0 dan sisihan piawai 1.

⑷ sisihan piawai keluk taburan normal dengan nombor tetap hubungan kawasan kebarangkalian. Semua boleh didapati melalui taburan normal Z skor formula ke dalam taburan normal piawai.

Ciri-ciri Utama

1. Kepekatan: puncak normal di pusat keluk, iaitu lokasi maksudkan.

2. Simetri: keluk normal dengan min berpusatkan, simetri, kedua-dua hujung lengkung dengan paksi mendatar tidak pernah bertemu.

3. Kepelbagaian Keseragaman: keluk normal pada awal di mana yang sama, masing-masing, ke kiri dan kanan sama rata dan secara beransur-ansur merosot.

4. Taburan normal mempunyai dua parameter, iaitu μ min dan sisihan piawai σ, boleh ditandakan sebagai N (μ, σ).

5. u transformasi: Untuk memudahkan penerangan dan permohonan, sering berubah-ubah biasa untuk penukaran data.

Prinsip 3σ

Lengkung taburan

Sifat keluk taburan normal

1 apabila x <; μ, keluk meningkat, apabila x>; μ, keluk berkurangan. Apabila keluk ke sebelah kiri memanjangkan terhingga di paksi-x sebagai asymtot itu. 2 keluk normal simetri terhadap garis x = μ. 3.σ lebih keluk normal adalah rata; σ adalah lebih kecil, lebih tajam keluk normal curam. 4 di bawah keluk normal dan bahagian x-paksi di kawasan seluas 1 prinsip 3σ:. P (μ-σ <X ≤ μ σ) = 68.3% P (μ-2σ <X ≤ μ 2 σ) = 95.4 % P (μ-3σ <X ≤ μ 3 σ) = 99.7%

Standard keluk normal

Standard biasa keluk N (0,1) adalah sejenis khas keluk taburan normal, serta standard sama ada dalam pelbagai populasi normal (a, b) kebarangkalian.

"Acara Kecil kebarangkalian," dan idea asas hipotesis ujian "peristiwa kebarangkalian kecil" biasanya merujuk kepada kurang daripada 5% kebarangkalian berlakunya peristiwa-peristiwa yang dalam perbicaraan yang berlaku adalah hampir mustahil. Pemahaman ini adalah titik permulaan untuk ekstrapolasi. Pada ketika ini kita perlu mempunyai pengetahuan yang berikut dua aspek: pertama, di mana "hampir mustahil" untuk "ujian" adalah kerana ujian beberapa kali, sudah tentu, adalah bahawa peristiwa yang mungkin berlaku; Kedua Apabila kita menggunakan "kebarangkalian kecil sekiranya prinsip berlaku adalah hampir mustahil" untuk membuat kesimpulan, kami juga mempunyai 5% daripada kesilapan yang mungkin.

1. Taburan normal piawai adalah normal, taburan normal piawai khas μ dan σ ^ 2 kepada 0 dan 1, biasanya ξ (atau Z) mewakili ubah normal piawai, ditandakan oleh Z ~ N ( 0,1).

2. Transformasi Standardisasi: Transformasi ini mempunyai ciri-ciri: Jika pengagihan asal biasanya diagihkan, Z = (x-μ) / σ ~ N (0,1) pada taburan normal piawai, taburan normal piawai dengan memeriksa jadual boleh dikira secara langsung kebarangkalian nilai normal asal. Oleh itu, transformasi dipanggil transformasi seragam.

⒊ jadual taburan normal piawai: jadual taburan normal piawai menyenaraikan keluk normal piawai dari - ∞ untuk X (nilai semasa) dalam nisbah kawasan itu.

Aplikasi

Kajian

⒈ menganggarkan taburan kekerapan berubah-ubah normal selagi tahu min dan sisihan piawai boleh dianggarkan mengikut formula kepada mana-mana nilai dalam nisbah kekerapan.

⒉ membangunkan antara rujukan

⑴ mematuhi undang-undang taburan normal terpakai kepada (atau kira-kira normal) indeks taburan normal dan taburan normal boleh ditukar penunjuk.

⑵ kaedah persentil yang biasa digunakan dalam petunjuk taburan pencongan. Jadual 3-1 Single berat sebelah dua kaedah potong perlu dikuasai.

⒊ Kawalan Kualiti: Untuk mengawal eksperimen pengukur (atau eksperimen) kesilapan, selalunya atas dan had penggera rendah, kerana atas dan nilai-nilai kawalan yang lebih rendah. Asas untuk berbuat demikian adalah: Di bawah ukuran

keadaan biasa (atau eksperimen) kesilapan mengikuti taburan normal.

⒋ taburan normal adalah asas teori banyak kaedah statistik. Ujian, analisis varians, korelasi dan regresi analisis dan kaedah statistik lain memerlukan analisis petunjuk mengikuti taburan normal. Walaupun banyak kaedah statistik tidak memerlukan petunjuk analisis taburan normal, tetapi statistik yang sama menghampiri taburan normal di dalam sampel yang besar, sampel begitu besar kaedah ini daripada inferens statistik adalah berdasarkan teori taburan normal.

Taburan binomialtaburan binomial ialah taburan pembolehubah rawak diskret X (hanya nombor bulat atau nilai yang boleh dibilang). eksperimen Bernoulli ialah satu eksperimen yang hanya mempunyai 2 kesudahan sahaja iaitu kejayaan atau kegagalan. taburan Binomial berlaku apabila eksperimen Bernoulli diulangi berkali-kali.Taburan binomial untuk p=0.5 with n dan k dalam segi tiga Pascal Kebarangkalian bola dalam kotak Galton dengan 8 lapisan berakhir di kotak tengah (k = 4) is 70/256.

Dalam teori kebarangkalian dan statistik , taburan binomial dengan parameter n dan p ialah taburan kebarangkalian diskret daripada bilangan kejayaan dalam urutan n bebas ujian ya/tidak, setiap satu yang menghasilkan kejayaan dengan kebarangkalian p.

Ujikaji kejayaan/kegagalan ini juga dikenali sebagai percubaan Bernoulli atau cubaan Bernoulli ; apabila n = 1, taburan binomial adalah pengedaran Bernoulli. Taburan binomial adalah asas untuk ujian binomial popular bagi kepentingan statistik.

Taburan binomial sering digunakan untuk memodelkan bilangan kejayaan dalam sampel bersaiz n diambil dari penggantian dari penduduk saiz N. Jika persampelan dilakukan tanpa penggantian, pengeluaran adalah tidak bebas dan dengan itu pengedaran yang terhasil adalah pengagihan hipergeometri, dan bukanlah satu binomial. Walau bagaimanapun, bagi N lebih besar daripada n, taburan binomial adalah penghampiran yang baik, dan digunakan secara meluas.

APLIKASI:Dalam ujian sepuluh soalan aneka pilihan, dengan 4 pilihan setiap soalan, kebarangkalian untuk mendapatkan 5 dan hanya 5 jawapan betul jika jawapan yang diteka boleh dikira sebagai:p = 0.25q = 1 - p = 0.75k = 5n = 10Maka, jika seseorang meneka 10 jawapan pada ujian aneka pilihan dengan 4 pilihan, mereka mempunyai lebih kurang 5.8% peluang untuk memperoleh 5 dan hanya 5 jawapan yang betul. Jika 5 atau lebih jawapan betul yang diperlukan untuk lulus, maka, kebarangkalian untuk lulus boleh dikira dengan menambah kebarangkalian mendapat 5 (dan hanya 5) jawapan betul, 6 (dan hanya 6) jawappan betul, dan seerusnya hinggal 10 jawapan betul. Jumlah kebarangkalian adalah lebih kurang 7.8%.