Tajuk : FUNGSI · Web viewp = ± 6 h ( 25 FUNGSI KUADRATIK KERTAS 1 Diberi . Cari nilai minimum...

Modul Bimbingan Matematik Tambahan Tingkatan 4

FUNGSI

KERTAS 1

1. Berdasarkan maklumat di atas, hubungan P kepada Q ditakrifkan oleh set pasangan bertertib {(1, 2), (1, 4), (2, 6), (2, 8)}. Nyatakan(a) imej bagi 1,(b) objek bagi 2. [2 markah]

2. Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set P dan set Q.

d w

e x

f y

z

RAJAH 1

Nyatakan(a) julat hubungan itu,(b) jenis hubungan itu. [2 markah]

3. Dalam Rajah 2, fungsi h memetakan x kepada y dan fungsi g memetakan y kepada z.

RAJAH 2

Tentukan

(a) h -1(5),

(b) gh(2). [2 markah]

© Cikgu Hussen & Cikgu Noranidahhttp://www.hussenhmhuda.wordpress.com

1

P = {1, 2, 3} Q = {2, 4, 6, 8, 10}

x y zh g

2

5

8


4. Diberi . Carikan nilai g(2) [3 markah]

5. Diberi dan . Carikan fg. [3 markah]

6. Diberi , carikan nilai f 2(-1). [3 markah]

7. Diberi f (x) = 4 – 3x dan fg(x) = 10 – 5x. Carikan fungsi g. [3 markah]

8. Diberi g : x px + q, p 0 dan g2 : x 4x – 15. Carikan nilai p dan nilai q. [4 markah]

9. Diberi f : x 4x – 1 dan g : x x2 + 3, carikan

(a) fg(-3),

(b) nilai x apabila f 2(x) = 7. [4 markah]

10. Fungsi w ditakrifkan oleh , x 2.

Tentukan

(a) w -1(x),

(b) w -1(4). [4 markah]

11. Maklumat berikut adalah berkaitan dengan fungsi h dan fungsi g.

Carikan gh -1(x). [4 markah]

12. Diberi dan , carikan

(a) g -1 (3),

(b) hg(x) [4 markah]


2

h : x 2x – 3

g : x 4x – 1


13. Diberi fungsi dan , dengan keadaan m dan k adalah

pemalar, carikan nilai m dan nilai k. [4 markah]

14. Diberi fungsi x 0 dan fungsi gubahan hg(x) = 3x, carikan

(a) g(x),

(b) nilai x apabila gh(x) = 5. [4 markah]

15. Fungsi f dan g ditakrifkan seperti yang berikut :

; x 2

.

Ungkapkan gf -1. [4 markah]


3


JAWAPAN

1. (a) 2, 4

(b) 1

2. (a) Julat = {x, y}

(b) Hubungan banyak dengan satu

3. (a) 2

(b) 8

4. 5

5. 3x2 – 24x + 49

6. – 31

7.

8. p = 2 , q = -5

9. (a) 47

(b)

10. (a)

(b)

11. 2x + 5

12. (a)

(b) 25x2 + 2

13. ,

14. (a)

(b) x = 15

15.

PERSAMAAN KUADRATIK


4


KERTAS 1

1. Ungkapkan x(3x – 2) = x2 + 5 dalam bentuk am persamaan kuadratik. [2 markah]

2. Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca 2 dan -3. [2 markah]

3. Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca -3 dan . Berikan

jawapan anda dalam bentuk , dengan keadaan a, b dan c adalah pemalar.[2 markah]

4. Selesaikan persamaan kuadratik 2x(3x – 1) + 9x = 5. [3 markah]

5. Selesaikan persamaan kuadratik h2 – 3h + 2 = 2(h – 1). [3 markah]

6. Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, selesaikan persamaan kuadratik 2x2 + 6x + 3 = 0. [3 markah]

7. Selesaikan persamaan kuadratik 2x(x – 4) = (1 – x)(x + 2).Tuliskan jawapan anda betul kepada empat angka bererti. [4 markah]

8. Selesaikan persamaan kuadratik .Berikan jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan. [4 markah]

9. Diberi satu daripada punca persamaan kuadratik x2 + kx +1 = 0 adalah empat kali ganda punca yang satu lagi, cari nilai k. [3 markah]

10. Satu daripada punca persamaan 2x2 + 8x = 2k + 1 ialah tiga kali punca yang satu lagi, dengan keadaan k adalah pemalar. Cari punca-punca tersebut dan nilai k.

[4 markah]

11. Diberi m dan n adalah punca bagi persamaan kuadratik x2 + 3x – 9 = 0, bentukkan

persamaan kuadratik yang mempunyai punca dan . [4 markah]

12. Diberi persamaan kuadratik 4x2 – hx + 25 = 0 mempunyai dua punca yang sama. Cari nilai h. [4 markah]


5


13. Diberi x2 + (p – 2)x + 10 – p = 0 mempunyai dua punca yang sama, cari nilai p.

[4 markah]

14. Carikan julai nilai h jika persamaan x2 + 10x + h = 0 mempunyai dua punca yang

berbeza.

[4 markah]

15. Tunjukkan bahawa persamaan mx2 – 4mx + x = 1 – 4m tidak mempunyai punca jika

m . [4 markah]

JAWAPAN

1. 2x2 - 2x – 5 = 0

2. x2 + x – 6 = 0

3. 2x2 + 5x – 3 = 0

4. ,

5. h = 1, h = 4

6. x = -0.6340, x = -2.366

7. x = 2.591 , x = -0.2573

8. x = 3.351, x = 0.149

9.

10. Punca = -1, -3,

11. 4x2 + 6x – 9 = 0

12. h = ± 20

13. p = ± 6

14. h 25

FUNGSI KUADRATIK


6


KERTAS 1

1. Diberi . Cari nilai minimum atau maksimum bagi f(x). [2 markah]

2. Rajah 1 menunjukkan graf bagi fungsi y = -(x – k)2 – 2, dengan keadaan k adalah pemalar.

RAJAH 1

Carikan(a) nilai k,(b) persamaan paksi simetri,(c) koordinat titik maksimum. [3 markah]

3. Rajah 2 menunjukkan graf kuadratik , dengan keadaan p ialah pemalar.

RAJAH 2

Lengkung y = f(x) mempunyai titik minimum (1, q), dengan keadaan q ialah pemalar. Nyatakan(a) nilai p, (b) nilai q,(c) persamaan paksi simetri. [3 markah]


7

-3

y

x0

- (2, -3)

x

y

0

y = f(x)

(1, q)


4. Diberi graf fungsi kuadratik menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja. Cari nilai k. [3 markah]

5. Diberi graf fungsi kuadratik tidak bersilang dengan paksi-x. Carikan julat nilai p. [3 markah]

6. Cari julat nilai p jika menyilang paksi-x pada dua titik yang berlainan. [4 markah]

7. Garis lurus y = 5x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = 2x2 + x + p. Carikan julat nilai p. [3 markah]

8. Persamaan kuadratik x(x + 1) = px – 4 mempunyai dua punca berbeza. Carikan julat nilai p. [3 markah]

9. Cari julat nilai x jika x2 – 4x – 5 0. [3 markah]

10. Cari julat nilai x bagi x(x – 4) 12. [3 markah]

11. Cari julat nilai x dengan keadaan (x + 3)(x – 4) -6. [3 markah]

12. Cari julat nilai x jika (x – 3)(2x + 4) (x – 3)(x + 3) [3 markah]

13. Diberi 3x + 4y = 12, cari julat nilai x apabila y 6. [3 markah]

14. Cari julat nilai x jika 6y – 1 = 4x dan 3y 2 + x. [3 markah]

KERTAS 2

15. Fungsi mempunyai nilai minimum r2 + 2k, dengan keadaan r dan k adalah pemalar.

(a) Dengan menggunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua , tunjukkan bahawa r = k – 1. [4 markah]

(b) Seterusnya, atau dengan cara lain, carikan nilai k dan nilai r jika graf bagi fungsi itu bersimetri pada x = r2 – 1. [4 markah]


8


JAWAPAN

1. Nilai minimum = 5

2. (a) k = 1

(b) x = 1

(c) Titik maksimum (1, -2)

3. (a) p = -1

(b) q = 2

(c) paksi simetri, x = 1

4. k = 16

5. p 2

6. p 4, p 6

7. p 1

8. p -3, p 5

9. x -1, x 5

10. -2 x 6

11. -2 x 3

12. x -1, x 3

13. x -4

14. x

15. r = 3, k = 4

r = -1, k = 0

PERSAMAAN SERENTAK


9


KERTAS 2

1. Selesaikan persamaan serentak x + 2y = x2 –3y + y2 = 4. [5 markah]

2. Selesaikan persamaan serentak x + = 1 dan [5 markah]

3. Selesaikan persamaan serentak 2y – x = 1 dan [6 markah]

4. Selesaikan persamaan serentak 2x + 3y + 1 = 0 dan y2 + 6xy + 6 = 0. Berikan jawapan anda betul hingga dua tempat perpuluhan. [5 markah]

5. Selesaikan persamaan serentak 4x + y + 8 = x2 + x – y = 2 [5 markah]

6. Selesaikan persamaan serentak dan x+ 6y = 3. [6 markah]

7. Selesaikan persamaan serentak 2x + 3y = 9 dan [6 markah]

8. Selesaikan persamaan serentak 3x – 2y = 5 dan x2 – y2 – y = 0 [5 markah]

9. Selesaikan persamaan serentak 2y 2 = 3(1 – x ) dan [5 markah]

10. Selesaikan persamaan serentak 2x + y = 9 dan x(1 – y) = . Berikan jawapan anda betul sehingga dua tempat perpuluhan. [5 markah ]

JAWAPAN

1. x = , y = ; x = -2, y = 3

2. x = 3, y = -4 ; x = , y = 3

3. x = 1, y = 1 ; x = , y =

4. x = 1.105, y = ; x = , y = 0.70

5. x = 1, y = 2 ; x = 4, y = 10

6. x = 0, y = ; x = 15, y = 2

7. x = 3 , y =1; x = 18 , y = 9

8. x = , y = ; x = 3, y = 2

9. x = , y = 1; x = , y =

10. x = 7.87, y = 24.75 ; x = 0.13 , y = 9.25


10


INDEKS DAN LOGARITMA

KERTAS 1

1. Selesaikan 8x+1 = 15 [3 markah]

2. Selesaikan 4x = 32. [3 markah]

3. Selesaikan persamaan 274x = 812x-1 [3 markah]

4. Selesaikan [4 markah]

5. Selesaikan =0 [4 markah]

6. Selesaikan persamaan (5x+1)2 = [3 markah]

7. Selesaikan 4x+1 = 0.3x [3 markah]

8. Ringkaskan log6 3 + log6 3 + log6 24 [3 markah]

9. Selesaikan log10 2x + log10 = 1 [3 markah]

10. Diberi persamaan log10 (2x +y) = 1 + log10(y – 5), ungkapkan y dalam sebutan x. [4 markah]

11. Diberi log4 T + log2 V = , ungkapkan T dalam sebutan V. [4 markah]

12. Selesaikan log y 34 = 6 [3 markah]

13. Ringkaskan 1 – 2 log5 25 + 3 log5 125 [3 markah]

14. Selesaikan persamaan log10( 2x + 6 ) = 1 + log10 ( x – 5) [3 markah]15. Selesaikan persamaan 4 logx 5 + 2 log x 3 – log x 375 = 4 dengan memberi jawapan

betul sehingga empat angka bererti. [3 markah]

JAWAPAN

1. x = 0.302

2. x =

3. x = 4. x = 2, 5. x = –6, 3


11


6. x =

7. x = –0.53528. 3

9. x = , –1

10 y = ( x + 25)

11. T =

12. y = 1.813. 614. x = 715. x = 1.968

GEOMETRI KOORDINAT

KERTAS 1

1. Diberi EF ialah garis lurus dengan E( –1, 4 ) dan F( 5, 12 ). Cari persamaan lokus bagi suatu titik yang bergerak supaya jaraknya sentiasa sama dari titik E dan titik F.

[4 markah]


12


2. Carikan persamaan lokus bagi titik bergerak Q( x, y ) yang sentiasa berjarak sama dari titik A( 1, 2 ) dan titik B( 0, 3 ) [4 markah]

3. Carikan persamaan garis lurus yang melalui titik P dan selari dengan garis [3 markah]

4. Diberikan P(h, –3) ,Q(2, –1) dan R (8, 1) adalah segaris. Carikan nilai h.[3 markah]

5. Diberikan titik P bergerak supaya jaraknya dari A(–2,3) ialah 4 unit. Carikan persamaan lokus titik A. [3 markah]

6. Diberikan PQR ialah satu garis lurus. Diberi koordinat bagi titik P dan Q masing-masing ialah P( –1, 2 ) dan Q( –3, –1 ). Jika PQ : QR = 1: 3 , carikan koordinat titik R .

[4 markah]

7. C ialah satu titik pada garis yang menyambungkan A(–3,6) dan B(7,1) supaya 3AC= 2CB, carikan koordinat titik C. [4 markah]

8. Koordinat bagi tiga bucu suatu segitiga ialah ( 1,5 ) ,( –2b, a) dan (–2a ,b).Diberi a + b =0 dan luas segitiga ialah 18 unit2 .Cari nilai-nilai a dan b. [4 markah]

9. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik ( –1, 5) dan serenjang dengan garis yang menyambungkan titik ( 2, –6) dan titik ( 3, 8 ). [4 markah]

10. Titik-titik A ( 2h ,h ) , B ( p , t ) dan C ( 2p , 3t ) terletak pada suatu garis lurus .B membahagi dalam AC dengan nisbah 2 : 3 . Ungkapkan p dalam sebutan t .

[4 markah ]

KERTAS 2

11. Dalam Rajah 1, sudut ABC =90o dan persamaan garis lurus BC ialah 2y + x + 6 = 0.


13


(a) Carikan(i) persamaan garis lurus AB.(ii) koordinat B. [5 markah]

(b) Garis lurus AB dipanjangkan ke suatu titik D dengan keadaan AB : BD = 2 : 3. Carikan koordinat D. [2 markah]

(c) Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A adalah sentiasa 5 unit.Carikan persamaan lokus bagi P. [3 markah]

12. Penyelesaian secara lukisan jitu tidak dibenarkan untuk soalan ini.


yA A(–4,9)

B

C

x0

Y 2y + x +6 =0

R RAJAH 1

14


Rajah 2 menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Koordinat bagi titik A ,B dan C masing-masing ialah( – 4, 4 ) ,( 2, 9 ) dan ( 4, 1 ) .Carikan

(a) koodinat titik persilangan antara pepenjuru AC dan BD. [2 markah]

(b) koordinat bagi titik D. [2 markah]

(c) luas segiempat selari ABCD. [3 markah]

(d) persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P, supaya 3AP = 2CP. [3 markah]


y

A

B

C

D

x

RAJAH 2

0

15


JAWAPAN

1. 4y + 3x = 38

2. y = x + 2

3. 5y = 2x + 13

4. h = – 4

5. x2 + y2 + 4x – 6y –3 = 0

6. R (–9, –10 )

7. C ( 1, 4 )

8 a = 2 , b = – 2; a = –2 , b = 2

9. 14y + x = 69

10. p = – 2 t

11. (a) (i) y = 2x + 17

(ii) B (–8, 1)

(b) D (–14, –11)

(c) x2 + y2 + 8x – 18y + 72 = 0

12. (a) (0, )

(b) D (–2, – 4 )

(c) 58 unit2

(d) 5x2 +5y2 +104x–64y + 220 = 0

STATISTIK


16


KERTAS 1

1. Bagi set nombor 20, 19, 17, 19, 15, 16, 16, dan 19, carikan (a) min, (b) mod, (c) median. [4 markah]

2 Tiga integer y , x dan x + 6 mempunyai min 9 dan median 8. Diberi x > y, carikan nilai x dan y. [3 markah]

3 Min dan varians bagi satu set nombor yang mengandungi enam nombor adalah 6 dan 8 masing-masing. Satu nombor, a, ditambah ke dalam set nombor itu dan minnya tidak berubah. Carikan (a) nilai a (b) sisihan piawai baru. [4 markah]

4 Min bagi empat nombor ialah . Hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 100 dan sisihan piawainya ialah 3k. Ungkapkan m dalam bentuk k. [3 markah]

5 Markah sembilan orang pelajar dalam suatu ujian matematik tambahan ialah 30, 25, 33, 42, 27, 51, 65, 45, 57. Carikan

(a) julat,(b) julat antara kuartil markah ujian itu. [3 markah]

6 Jadual 1 menunjukkan bilangan gol yang dijaringkan dalam satu pertandingan bola sepak.

Bilangan Gol 1 2 3 4 5Bilangan Pasukan 16 8 p 4 2

JADUAL 1Carikan(a) nilai maksimum bagi p , jika mod ialah 1,(b) nilai minimum bagi p , jika min gol lebih daripada 2. [3 markah]

KERTAS 2


17


7 Min bagi set enam nombor 7, 2, 8, 3, 6 dan y ialah 6. (a) Carikan nilai y. [2 markah](b) Seterusnya, carikan sisihan piawai set nombor itu. [4 markah]

8 Jadual 2 menunjukkan markah 80 orang pelajar dalam suatu ujian matematik.

Markah Bilangan Pelajar30 – 39 940 – 49 1150 – 59 2260 – 69 2570 – 79 880 – 89 5

JADUAL 2Carikan(a) kelas mod,(b) min,(c) median markah matematik itu. [7 markah]

9 Hasil tambah satu set data yang mengandungi sepuluh nombor ialah 62 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 438.

(a) Carikan min dan sisihan piawai bagi sepuluh nombor itu. [3 markah](b) Satu nombor 5, dikeluarkan dari set data itu, carikan min dan sisihan piawai bagi

sembilan nombor itu. [3 markah]

10 Satu set data mengandungi 10 nombor. Hasil tambah nombor-nombor itu ialah 150 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 2472.

(a) Carikan min dan varians bagi 10 nombor itu. [3 markah](b) Satu nombor lain ditambah kepada set data itu dan min bertambah sebanyak 1.

Carikan(i) nilai nombor itu,(ii) sisihan piawai bagi set 11 nombor itu. [4 markah]


18


11 Rajah 1 ialah histogram yang mewakili taburan markah bagi 40 orang murid dalam suatu ujian.

RAJAH 1

(a) Tanpa menggunakan ogif, hitungkan markah median. [3 markah](b) Hitungkan sisihan piawai bagi taburan markah itu. [4 markah]

12 Jadual 3 menunjukkan taburan jisim 100 orang murid di sebuah sekolah rendah.

Jisim (kg) Kekerapan20 – 24 1225 – 29 1430 – 34 3035 – 39 2740 – 44 17

JADUAL 3

(a) Lukiskan satu ogif untuk mewakili taburan jisim murid itu. [4 markah](b) Daripada ogif yang dilukis, carikan

(i) median,(ii) julat antara kuartil. [3 markah]


19

0.5 10.5 20.5 30.50.5

40.5 50.5 Markah

Bilangan Murid

0

2

4

6

8

10

14

12


Jawapan

1. (a) 17.625(b) 19 (c) 18

2 x = 8, y = 5

3 (a) 6(b) 2.619

4 m = 25 – 9k2

5 (a) 40(b) 25.5

6 (a) 15(b) 3

7 (a) 10(b) 2.769

8 (a) 60 – 69 (b) 57.875(c) 58.59

9 (a) 6.2, 2.315(b) 6.333, 2.404

10 (a) 15, 22.2(b) (i) 26

(ii) 5.494

11 (a) 24.07(b) 11.74

12 (b) (i) 34.0(ii) 9.0


20


SUKATAN MEMBULAT

KERTAS 1

1. Rajah 1 menunjukkan sektor ROS berpusat O. Panjang lengkok RS ialah 7.24 cm dan perimeter sektor ROS ialah 25 cm. Carikan nilai , dalam radian. [3 markah]

S

R

O

RAJAH 1

2. Rajah 2 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diberi panjang lengkok major AB ialah 45.51 cm, carikan panjang, dalam cm, jejari bulatan itu. (Gunakan π = 3.142)

[3 markah]

B

A

0.354 radO

RAJAH 2

3. Rajah 3 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Panjang lengkok major AB ialah 16 cm dan sudut sektor major AOB ialah 290º. Dengan menggunakan π = 3.142, carikan (a) nilai , dalam radian, (Berikan jawapan anda betul kepada empat angka bererti.)(b) panjang, dalam cm, jejari bulatan itu.

[3 markah]


21


B

A

O

RAJAH 3

4. Rajah 4 menunjukkan sektor POQ berpusat O. Panjang lengkok PQ ialah 4 cm dan perimeter sektor POQ ialah 14 cm. Carikan nilai , dalam radian. [3 markah]

Q

O

P

RAJAH 4

5. Rajah 5 menunjukkan seutas dawai berbentuk sektor bulatan OAB, yang berpusat di O. Luas sektor OAB yang terbentuk ialah 1200 cm . Diberi nisbah panjang lengkok AB kepada jejari ialah 2 : 3. Cari sudut , dalam darjah dan minit dan panjang jejari sektor OAB.

[4 markah]

B

A

O

RAJAH 5

6. Rajah 6 di bawah menunjukkan sebuah sektor OAB berpusat O dan berjejari 4 cm. Diberi panjang lengkok AB ialah 5.16 cm, carikan AOB dalam radian. [2 markah]


22


B

A

O

RAJAH 6

7. Rajah 7 menunjukkan suatu sektor bulatan berpusat O. Carikan luas sektor bulatan OPQ. [3 markah]

7 cm

P

Q

75O

RAJAH 7

8. Rajah 8 menunjukkan suatu sektor bulatan OPQ berpusat O dan berjejari 5 cm. Diberi luas sektor OPQ ialah 9.75 cm , carikan nilai dalam radian. [3 markah]

5 cm

P

Q

O

RAJAH 8

9. Rajah 9 menunjukkan suatu bulatan OPQ. Jika panjang lengkok PQ ialah 13.96 cm. Carikan panjang OQ. [3 markah]


23


P

Q80

O

RAJAH 9

10. Rajah 10 menunjukkan sektor bulatan LMN berpusat M. Diberi panjang lengkok LN ialah 5.5 cm dan perimeter sektor LMN ialah 22 cm. Cari nilai dalam darjah dan minit.

[3 markah]

M

N

L

RAJAH 10KERTAS 2

11. Rajah 11 menunjukkan sebuah sektor POQ, pusat O dan berjejari 10 cm. Titik R terletak pada OP dengan keadaan OR : OP = 3 : 5.

O

R

P

Q

RAJAH 11Hitungkan(a) nilai , dalam radian, [3 markah](b) luas kawasan berlorek, dalam cm [4 markah]


24


12. Rajah 12 menunjukkan sektor POQ bagi bulatan berpusat O. Titik A terletak pada OP, titik B terletak pada OQ dan AB berserenjang dengan OQ. Panjang OA = 8 cm dan

POQ = radian. Diberi bahawa OA : OP = 4 : 7 (Gunakan π = 3.142)

Hitungkan (a) panjang, dalam cm, AP, [1 markah](b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek [5 markah](c)luas, dalam cm , kawasan berlorek. [4 markah]

8 cm

P

QB

A

O

RAJAH 12

13. Dalam Rajah 13, AOB ialah diameter bagi sebuah bulatan berpusat O dengan jejari 12 cm. OB dipanjangkan ke P supaya BP = 3 cm. PT ialah tangen kepada bulatan di T. Hitungkan (a) TOP, dalam radian [3 markah](b)luas sektor major BOT [3 markah](c)perimeter rantau berlorek. [Ambil π = 3.142] [4 markah]

3 cm12 cm OP

T

BA

RAJAH 13


25


JAWAPAN

1. = 0.8153 rad2. j = 7.675 cm3. = 1.222 rad, j = 3.161 cm4. = 0.8 rad5 = , j = 60 cm6. = 1.29 rad7. luas = 32.07 cm8. = 0.78 rad9. OQ = 10 cm10. = 38 1211. (a) = 0.9273 rad,

(b) luas = 22.365 cm12. (a) AP = 6 cm

(b) perimeter = 24.403 cm(c) luas = 37.46 cm

13. (a) 0.644 rad(b) 406.08 cm(c) 19.728 cm

PEMBEZAAN

KERTAS 1

1. Diberi lengkung . Cari titik maksimum lengkung itu. [3 markah]

2. Jejari sebuah sfera ialah r cm. Cari nilai hampir dalam perubahan isipadu sfera itu apabila jejarinya berubah daripada 8 cm kepada 8.002 cm. [4 markah]

3. Cari . [2 markah]

4. Diberi . Cari nilai bagi f’ (4). [2 markah]

5. Diberi lengkung , Cari

(a) titik persilangan lengkung itu dengan paksi-y,


26


(b) kecerunan tangen pada titik (1, ). [4 markah]

6. Diberi . Cari perubahan hampir dalam y apabila x berkurang daripada 3 kepada 2.98. [4 markah]

7. Diberi , Cari nilai f’(-1). [3 markah]

8. Luas permukaan sebiji bebola yang berbentuk sfera bertambah dengan kadar 4.2 cm2s-1 setelah dipanaskan. Cari (a) kadar perubahan jejari sfera apabila jejarinya 3 cm,(b) kadar perubahan isipadu yang sepadan. [4 markah]

9. Diberi dan . Cari nilai k. [3 markah]

10. Diberi , gunakan kaedah pembezaan untuk mencari perubahan hampir bagi y apabila x menyusut daripada 2 kepada 1.98. [3 markah]

KERTAS 2

11. Rajah 1 menunjukkan binaan yang terdiri daripada sebuah segi empat dengan lebar 2x

cm, tinggi a cm, dan sebuah semibulatan terletak di atas segiempat tepat itu. Diberi

perimeter binaan ini ialah 80 cm.


2x cm

a cm

RAJAH 1

27


(a) Tunjukkan bahawa luas binaan, L, ialah . [2 markah]

(b) Cari nilai x supaya L mempunyai nilai maksimum. Seterusnya, cari nilai L itu.

[5 markah]

(c) Diberi jejari semibulatan pada binaan itu berubah pada kadar 0.5 cms-1 apabila

dipanaskan. Cari kadar perubahan luas binaan, L, pada ketika jejari semibulatan

ialah 10 cm. [3

markah]

12.

(a) Rajah 2 menunjukkan sebuah poligon yang dibentuk dengan menggunakan dawai

yang panjang 150 cm.

(i) Tunjukkan bahawa luas poligon, .

(ii) Cari luas maksimum bagi poligon ini. [5 markah]

(b) Diberi , cari nilai pada titik . Seterusnya, cari


10x cm

y cm

12x cm RAJAH 2

28


(i) perubahan kecil dalam x, yang menyebabkan y menokok daripada 5.25

kepada 5.28.

(ii) kadar perubahan dalam y, pada ketika jika kadar perubahan dalam x

ialah 0.8 unit sesaat. [5 markah]

13.

(a) Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada lengkung yang melalui

P (1, 5). Cari persamaan normal kepada lengkung itu pada titik P. [5 markah]

(b)


P (1, 5)

0 x

RAJAH 3

29

y


Rajah 4 menunjukkan sebuah kuboid yang tapaknya berbentuk segiempat sama.

Diberi jumlah luas permukaan kuboid itu ialah 100 cm2.

(i) Tunjukkan bahawa isipadu kuboid itu ialah cm3.

(ii) Seterusnya, cari panjang kuboid itu apabila isipadunya adalah maksimum.

[5 markah]

Jawapan

1. ( , 19)

2. 1.608 cm3

3.

4. 48

5. (a) ,

(b)

6. 0.48

7. 240

8. (a) 0.175 cm s-1

(b) 6.3 cm3 s -1

9. k =


y cm

x cm x cm

30

RAJAH 4


10. – 0.22

11. (b) x = 11.202 cm, L = 448.1 cm2

(c) kadar perubahan luas = 4.29 cm2 s-1

12. (a) (ii) 1406.25 cm2

(b)

(i) 0.015

(ii) 1.6 unit sesaat

13. (a)

(b) (ii) x = 4.082 cm, y = 4.083 cm

PENYELESAIAN SEGI TIGA

KERTAS 2 (Bahagian C)

1. Rajah 1 menunjukkan sebuah sisi empat ABCD dengan keadaan ABC adalah tirus.

40.5

9.5 cm

12.3 cm

5.2 cm

9.8 cm

D

C

B

A

RAJAH 1(a) Hitungkan

(i) ABC(ii) ADC


31


(iii) luas, dalam cm , sisi empat ABCD .[8 markah]

(b) Sebuah segi tiga mempunyai ukuran-ukuran yang sama seperti diberi untuk segi tiga ABC, iaitu =12.3 cm, = 9.5 cm, dan = 40.5 , tetapi mempunyai bentuk yang berbeza daripada segi tiga ABC itu.(i) Lakarkan segi tiga ,(ii) Nyatakan saiz

[2 markah]

2. Rajah 2 menunjukkan sebuah segitiga ABC.

15 cm

65

20 cm

C

B

A

RAJAH 2

(a)Hitungkan panjang, dalam cm, AC.[2 markah]

(b) Suatu sisi empat ABCD dibentuk dengan keadaan AC ialah pepenjuru, ACD = 40 dan AD = 16 cm.

Hitungkan dua nilai yang mungkin bagi ADC. [2 markah]

(c) Dengan menggunakan ADC yang tirus dari (b), hitungkan (i) panjang, dalam cm, CD(ii) luas, dalam cm , sisi empat ABCD itu.

[6 markah]

3.


32


48 50

7.0 cm

5.5 cm

S

R

QP

RAJAH 3

Rajah 3 menunjukkan 2 buah segi tiga SPR dan QPR dengan PR = 5.5 cm, SP = 7.0 cm, RPQ = 50 dan RQP = 48 . Jika luas PQR adalah 2 kali luas PSR, hitungkan

(a) panjang PQ [3 markah]

(b) luas PSR [3 markah]

(c) panjang SR [4 markah]

4. Pada Rajah 4, AD = 8 cm, BD = 4 cm, BC = 7 cm dan ABD = 45 . Hitungkan

(a) panjang DC [3 markah]

(b) DAB [3 markah]

(c)luas segi tiga ACD. [4 markah]


33


45

7 cm

4 cm8 cm

D

CBA

RAJAH 4

5. Rajah 5 menunjukkan titik-titik A, B dan C pada suatu satah mengufuk, dengan AB = 50 cm, AC = 30 m dan Pembahagi dua sama CAB bertemu BC pada titik P.

60

60

50 cm

30 cm

P

C

BA

RAJAH 5

(a) Carikan

(i) luas segitiga ABC,

(ii) panjang BC.

(iii) sudut APC [7 markah]

(b) Sebatang tiang mencancang CV diletakkan pada titik C. Sudut dongakan V dari A ialah 30o. Carikan sudut dongakan V dari B. [3 markah]

JAWAPAN

1. (a) (i) 57.23 atau 57(ii) 106 7(iii) 82.38 cm

(b) (i)


34


BA'B'

C'

(ii) 122.77 atau 122

2. (a) 19.27 cm(b) 50 atau , 129.27 atau 129 16(c) (i) 24.89 cm

(ii) 290.1 cm

3. (a) 7.329 cm(b) 7.7197 cm(c) 2.952 cm

4. (a) 10.227 cm(b) 20(c) 24.48 cm

5. (a) (i) 649.5 m(ii) 70 cm(iii) atau 81.8

(b) 13 atau 13.9

PENGGUNAAN NOMBOR INDEKS

KERTAS 2 (Bahagian C)

1. Rajah 1 menunjukkan carta palang bagi perbelanjaan mingguan untuk barangan P, Q, R, S dan T pada tahun 1990. Jadual 1 menunjukkan harga dan indeks harga barangan tersebut.


35


RAJAH 1

Barangan Harga Pada 1990

Harga Pada 1995

Indeks Harga 1995 Dengan 1990 Sebagai Tahun Asas

P x RM0.70 175Q RM2.00 RM2.50 125R RM4.00 RM5.50 yS RM6.00 RM9.00 150T RM2.50 z 120

JADUAL 1(a) Cari nilai

(i) x, (ii) y,(iii) z. [3 markah]

(b) Kirakan nombor indeks gubahan bagi harga barangan itu pada tahun 1995 dengan tahun 1990 sebagai tahun asas. [2 markah]

(c) Jumlah perbelanjaan bulanan bagi barangan itu pada tahun 1990 ialah RM456. Hitungkan jumlah perbelanjaan bulanan yang sepadan pada tahun 1995.

[2 markah]

(d) Kos barangan itu meningkat 20% dari tahun 1995 ke tahun 2000. Carikan nombor indeks gubahan tahun 2000 dengan tahun 1990 sebagai tahun asas. [3 markah]

2 Jadual 2 menunjukkan indeks dan peratus penggunaan empat barangan, P, Q, R dan S, yang menjadi bahan utama dalam penghasilan sejenis biskut.

Barangan Indeks Harga Tahun 1995 Berasaskan Tahun 1993

Peratus Penggunaan(%)

P 135 40Q x 30R 105 10


36


S 130 20JADUAL 2

(a) Hitungkan (i) harga S pada tahun 1993 jika harganya pada tahun 1995 ialah RM37.70.(ii) indeks harga P pada tahun 1995 berasaskan tahun 1991 jika indeks

harganya pada tahun 1993 berasaskan tahun 1991 ialah 120. [5 markah]

(b) Nombor indeks gubahan kos penghasilan biskut itu pada tahun 1995 berasaskan tahun 1993 ialah 128.Hitungkan(i) nilai x,(ii) harga sekotak biskut itu pada tahun 1993 jika harga yang sepadan pada

tahun 1995 ialah RM32.[5 markah]

3 Jadual 3 menunjukkan harga empat jenis barangan pada tahun 2004 dan 2005 bersama dengan indeks harga tahun 2005 berasaskan tahun 2004 dan pemberatnya.

Barangan Harga (RM) Indeks Harga Tahun 2005 Berasaskan Tahun 2004 PemberatTahun 2004 Tahun 2005

A 45 54 120 4B x 21 150 3C 110 121 y 1D 70 z 90 2

JADUAL 3

(a) Hitungkan(i) nilai x, y dan z.(ii) indeks gubahan barangan itu pada tahun 2005 berasaskan tahun 2004.

[6 markah]

(b) Harga barangan itu dijangka meningkat sebanyak 10% dari tahun 2005 ke tahun 2006. (i) Hitungkan indeks gubahan tahun 2006 berasaskan tahun 2004.(ii) Perbelanjaan untuk barangan tersebut pada tahun 2005 adalah RM1350,

anggarkan perbelanjaan pada tahun 2006.[4 markah]

4 Jadual 4 menunjukkan harga dan indeks harga empat bahan, P, Q, R, dan S, yang digunakan untuk membuat sejenis biksut. Rajah 2 ialah carta pai yang mewakili kuantiti relatif bagi penggunaan bahan-bahan P, Q, R, dan S itu.

Bahan Harga se kg (RM) Indeks Harga Tahun 2004 Berasaskan Tahun 2001Tahun 2001 Tahun 2004

P 0.80 1.00 xQ 2.00 y 140R 0.40 0.60 150


37


S z 0.40 80

JADUAL 4

RAJAH 2

(a) Carikan nilai x, y dan z. [3 markah]

(b) (i) Hitungkan nombor indeks gubahan bagi kos membuat biskut itu pada tahun 2004 berasaskan tahun 2001.

(ii) Seterusnya, hitungkan kos membuat biskut itu yang sepadan bagi tahun 2001 jika kos membuatnya pada tahun 2004 ialah RM2985.

[5 markah]

(c) Kos membuat biskut itu dijangka meningkat sebanyak 50% dari tahun 2004 ke tahun 2007. Carikan nombor indeks gubahan kos membuat biskut itu yang dijangkakan pada tahun 2007 berasaskan tahun 2001.

[2 markah]

5 Jadual 5 menunjukkan harga tiga jenis komponen yang digunakan untuk menghasilkan sesuatu alat elektronik dan indeks harganya.

Komponen Harga (sen) Indeks Harga (Tahun asas 2001)Tahun 2001 Tahun 2005

P 55 66 xQ 40 y 150R z 100 125


38

PS

60o

Q

R

120o

100o


JADUAL 5

(a) Hitungkan nilai x, y dan z. [3 markah]

Jadual 6 menunjukkan bilangan komponen yang diperlukan untuk menghasilkan 1 alat elektronik itu.

JADUAL 6

(b) Jika indeks gubahan bagi tiga komponen itu pada tahun 2005 dengan tahun 2001 sebagai tahun asas ialah 136.5, carikan nilai n.

[3 markah]

(c) Kos penghasilan dijangka akan meningkat sebanyak 5% dari tahun 2005 ke tahun 2006. hitungkan kos penghasilan 1 alat elektronik pada tahun 2006.

[4 markah]

Jawapan

1 (a) (i) x = RM0.40,

(ii) y = 137.5

(iii) z = RM3.00


Komponen Bilangan Untuk Mengahasilkan 1 Alat Elektronik

P 20Q 50R n

39


(b) 140.9

(c) RM642.50

(d) 169.1

2 (a) (i) RM29.00

(ii) 162

(b) (i) 125

(ii) RM25.00

3 (a) (i) x = 14, y = 110, z = 63

(ii) 122

(b) (i) 134.2

(ii) RM1485

4 (a) x = 125, y = 2.80, z = 0.50

(b) (i) 129.4

(ii) RM2306.80

(c) 194.1

5 (a) x = 120, y = 60, z = 80

(b) 30

(c) RM143.325

JANJANG

KERTAS 1

1. Jika ialah sebutan ketujuh, kelapan, dan kesembilan bagi suatu janjang aritmetik, carikan sebutan pertama janjang aritmetik ini [3 markah]


40


2. Carikan hasil tambah bagi janjang aritmetik hingga sebutan ke-11 .

[3 markah]

3. Sebutan kelapan dan sebutan ke-53 suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 118 dan . Carikan

(a) sebutan pertama , (b) beza sepunya [3 markah]

4. Carikan bilangan sebutan bagi janjang aritmetik .[3 markah]

5. Dalam suatu janjang geometri, sebutan pertamanya adalah daripada sebutan

kelima.Hitungkan nisbah sepunya bagi janjang geometri itu jika r > 0. [3 markah]

6. Ungkapkan perpuluhan jadi semula 0.213213213213……...dalam bentuk pecahan yangtermudah . [4 markah]

7. Diberi sebutan pertama dan sebutan kelima bagi suatu janjang geometri ialah 10 dan

dengan nisbah sepunya adalah positif . Carikan hasil tambah empat sebutan pertama . [3 markah]

8. Carikan hasil tambah semua gandaan 12 daripada 100 hingga 400. [3 markah]

9. Carikan hasil tambah janjang geometri hingga sebutan kedua belas. [3 markah]

10. Sebutan keempat dan ketujuh satu janjang geometri masing-masing dan 96. Carikan nisbah sepunya janjang tersebut. [3 markah]

11. Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik . Carikan (a) sebutan pertama (b) beza sepunya [3 markah]

12. Maklumat berikut merupakan jujukan bagi satu janjang geometri .

Diberi , ungkapkan q dalam sebutan p. [3 markah]


41


13 Carikan hasil tambah bagi janjang geometri 108 , 72 , 48, ……dengan n yang cukup besar sehingga ketakterhinggaan . [3 markah]

KERTAS 2

14. Seutas dawai dipotong menjadi n bahagian. Setiap bahagian dibengkok menjadi satu

sektor bulatan yang sudutnya rad .

Panjang lengkok sektor-sektor yang terbentuk dalam cm ialah .

(a) Tunjukkan bahawa panjang lengkok sektor-sektor tersebut membentuk suatu janjang aritmetik dan nyatakan beza sepunya . [3 markah](b) Carikan

(i) panjang jejari sektor bulatan ke-n(ii) nilai n(iii) hasil tambah panjang lengkok n sektor bulatan yang pertama . [5 markah]

15. Dalam satu janjang geometri , hasil tambah bagi 3 sebutan pertama adalah 8 kali hasil tambah bagi 3 sebutan yang berikutnya.(a) Carikan nisbah sepunya bagi janjang geometri itu. [3 markah](b) Carikan sebutan pertama janjang geometri itu serta hasil tambah sehingga

ketakterhinggaan jika diberi bahawa hasil tambah bagi 3 sebutan pertama itu melebihi hasil tambah bagi 3 sebutan yang berikutnya sebanyak 98. [4 markah]

16. Seutas dawai yang panjangnya 262.5 cm dipotong kepada 30 keratan dengan beza panjang antara satu sama lain secara berturutan adalah tetap. Jika beza antara keratan terpanjang dengan keratan terpendek ialah 14.5 cm, hitungkan

(a) ukuran bagi keratan terpendek , [4 markah] (b) beza panjang antara keratan kelima dengan keratan kesepuluh. [4 markah]

Jawapan

1.

2.


42


3. (a) 146

(b)

4. 82

5. 2

6.

7.

8. 6300

9.

10.

11. (a)

(b) 6

12.

13. 324

14. (a)

(b) (i) 24

(ii) n = 7

(iii)

15. (a)

(b) a = 64, S = 128

16. (a)

(b)

HUKUM LINEAR

KERTAS 1

1. Pembolehubah dan dihubungkan oleh persamaan dengan keadaan dan ialah pemalar.


43


(a) Tukarkan persamaan tersebut kepada bentuk linear.(b) Nyatakan kecerunan dan pintasan- bagi persamaan linear itu dalam sebutan

dan . [4 markah]

2. Pembolehubah dan dihubungkan oleh persamaan dengan keadaan ialah pemalar.

(a) Apabila diplotkan graf melawan , satu garis lurus diperoleh, yang memotong paksi- pada titik (0, ). Carikan nilai .

[2 markah]

(b) Seterusnya carikan kecerunan dan pintasan paksi- bagi garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan graf . [2 markah]

3. Dua kuantiti, dan , dihubungkan oleh persamaan , dan ialah pemalar.

Jika graf melawan dilukiskan, satu lengkung melalui diperoleh. Jika graf

melawan dilukiskan, satu garis lurus berkecerunan diperoleh. Carikan nilai dan

nilai . [4 markah]

4. Pembolehubah dan dihubungkan oleh persamaan , dengan keadaan dan

ialah pemalar. Apabila graf melawan dilukis, satu garis lurus diperoleh. Diberi

garis lurus itu melalui titik (4, 0) dan (2, 6), cari nilai dan nilai . [3 markah]

5. dihubungkan oleh persamaan , dengan keadaan dan ialah

pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan

memplot , seperti yang

ditunjukkan dalam Rajah 1. Hitungkan nilai dan nilai . [4 markah]

RAJAH 1


44

• (2, 9)

• (6, 1)

O

x


6. Rajah 2 menunjukkan graf garis lurus

. Diberi ,

hitungkan nilai dan nilai . [3 markah]

RAJAH 2

7. Pembolehubah dihubungkan oleh persamaan , dengan keadaan

ialah pemalar.(a) Tukarkan persamaan kepada bentuk linear.(b) Rajah 3 menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot melawan . Carikan nilai (i) (ii) . [4 markah]

RAJAH 3

8. Rajah 4 menunjukkan graf melawan .

Carikan hubungan antara dan .

[2 markah]

RAJAH 4


45

• (2, )

• (, 1)

O

x

• (4, 13)

xy

x1

(, 3) •

O

O

(2, h)

• (, 3)

O


KERTAS 2

9. Jadual 1 menunjukkan nilai dua pembolehubah yang dihubungkan oleh persamaan , dengan keadaan dan ialah pemalar.

3 4 5 6 812.1 6.46 3.47 1.89 0.52

JADUAL 1

(a) Dengan menggunakkan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-(x-1) dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi - , lukiskan graf melawan .

[4 markah]

(b) Daripada graf anda, carikan(i) nilai apabila (ii) nilai (iii) nilai .

[6 markah]

10. Dua orang pelajar telah menjalankan satu eksperimen unutk mengkaji sesaran satu objek, cm dari satu titik pada masa saat. Seorang daripada mereka menjaga masa dan

seorang lagi merekodkan sesaran. Hasil daripada eksperimen itu direkodkan seperti dalam Jadual 2.

Masa, (saat) 30 60 90 120 150 180Sesaran, (cm) 10.5 30.5 58.5 95 129 198

JADUAL 2

Adalah dikhuatiri bahawa sepasang daripada set data tersebut telah disalah rekod akibat daripada kesilapan sama ada penjaga masa atau pencatat sesaran.

(a) Lukiskan graf melawan . [4 markah]

(b) (i) Tandakan pada graf anda bagi mewakili titik-titik sebenar yang mungkin bagi data yang telah tersalah rekod itu.

(ii) Berdasarkan graf anda, cari nilai dan nilai jika dan dihubungkan oleh dengan keadaan dan adalah pemalar.

[6 markah]


46


11. Jadual 3 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, , yang diperoleh daripada satu ujikaji. Diketahui dihubungkan oleh persamaan , dengan keadaan dan adalah pemalar.

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.01.59 1.86 2.40 3.17 4.36 6.76

JADUAL 3

(a) Plotkan graf melawan .Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah]

(b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai (i) (ii) .

[5 markah]

12. Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah , yang diperoleh

daripada satu ujikaji. Pembolehubah dihubungkan oleh persamaan ,

dengan keadaan dan adalah pemalar.

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 5.55.5 4.7 5.0 6.5 7.7 8.4

JADUAL 4(a) Plotkan melawan , dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada

kedua-dua paksi.Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah]

(b) Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai (i)

(ii) . [5 markah]


47


Jawapan

1 (a)

(b) Kecerunan = Pintasan-

2 (a)

(b) Kecerunan =

Pintasan-

34567 (a)

(b) (i) 3 (ii) 11

8

9 (a)

x -1 2 3 4 5 7Log10y 1.08 0.81 0.54 0.28 -0.28


48


(b) (i) y = 1 (ii) a = 42.66 (iii) b = 0.5337

10 (a)

t 30 60 90 120 150 180

0.35 0.51 0.65 0.79 0.86 1.10

(b) (ii)

11 (a)

2.25 4.0 6.25 9.0 12.25 16.00.20 0.27 0.38 0.50 0.64 0.83


49


(b) (i) (ii)

12 (a)

1 4 9 16 25 30.255.5 9.4 15 26 38.5 46.2

(b) (i) (ii)


50



51

Tajuk : FUNGSI · Web viewp = ± 6 h ( 25 FUNGSI KUADRATIK KERTAS 1 Diberi . Cari nilai minimum...

Documents

Transcript of Tajuk : FUNGSI · Web viewp = ± 6 h ( 25 FUNGSI KUADRATIK KERTAS 1 Diberi . Cari nilai minimum...