Transformasi Datum dan Koordinat

Sistem Transformasi Koordinat RG091521

Lecture 6

Semester 1, 2013

Jurusan Teknik Geomatika

Teknik Geomatika

Pendahuluan

I Hubungan antara satu sistem koordinat dengan sistem lainnyadiformulasikan dalam bentuk rumus atau persamaan yangdisebut sebagai persamaan transformasi.

I Dalam persamaan transformasi tersebut, terdapatbesaran-besaran yang menggambarkan hubungan geometrikantara dua sistem koordinat. Besaran-besaran tersebutdisebut sebagai parameter transformasi.

I Parameter transformasi terdiri dari :I Translasi; pergeseran titik awal (origin) sistem koordinatI Rotasi; perputaran sumbu-sumbu koordinatI Skala; perbandingan jarak dalam sistem satu dengan jarak

yang bersangkutan pada sistem lainnya

I Nilai-nilai parameter transformasi dapat ditentukan apabilaterdapat sejumlah titik yang diketahui koordinatnya dalamkedua sistem. Titik tersebut disebut sebagai titik sekutu(common point)

Teknik Geomatika

Pendahuluan

I Hubungan antara satu sistem koordinat dengan sistem lainnyadiformulasikan dalam bentuk rumus atau persamaan yangdisebut sebagai persamaan transformasi.

I Dalam persamaan transformasi tersebut, terdapatbesaran-besaran yang menggambarkan hubungan geometrikantara dua sistem koordinat. Besaran-besaran tersebutdisebut sebagai parameter transformasi.

I Parameter transformasi terdiri dari :I Translasi; pergeseran titik awal (origin) sistem koordinatI Rotasi; perputaran sumbu-sumbu koordinatI Skala; perbandingan jarak dalam sistem satu dengan jarak

yang bersangkutan pada sistem lainnya

I Nilai-nilai parameter transformasi dapat ditentukan apabilaterdapat sejumlah titik yang diketahui koordinatnya dalamkedua sistem. Titik tersebut disebut sebagai titik sekutu(common point)

Teknik Geomatika

Pendahuluan

I Hubungan antara satu sistem koordinat dengan sistem lainnyadiformulasikan dalam bentuk rumus atau persamaan yangdisebut sebagai persamaan transformasi.

I Dalam persamaan transformasi tersebut, terdapatbesaran-besaran yang menggambarkan hubungan geometrikantara dua sistem koordinat. Besaran-besaran tersebutdisebut sebagai parameter transformasi.

I Parameter transformasi terdiri dari :I Translasi; pergeseran titik awal (origin) sistem koordinatI Rotasi; perputaran sumbu-sumbu koordinatI Skala; perbandingan jarak dalam sistem satu dengan jarak

yang bersangkutan pada sistem lainnya

I Nilai-nilai parameter transformasi dapat ditentukan apabilaterdapat sejumlah titik yang diketahui koordinatnya dalamkedua sistem. Titik tersebut disebut sebagai titik sekutu(common point)

Teknik Geomatika

Pendahuluan

I Hubungan antara satu sistem koordinat dengan sistem lainnyadiformulasikan dalam bentuk rumus atau persamaan yangdisebut sebagai persamaan transformasi.

I Dalam persamaan transformasi tersebut, terdapatbesaran-besaran yang menggambarkan hubungan geometrikantara dua sistem koordinat. Besaran-besaran tersebutdisebut sebagai parameter transformasi.

I Parameter transformasi terdiri dari :I Translasi; pergeseran titik awal (origin) sistem koordinatI Rotasi; perputaran sumbu-sumbu koordinatI Skala; perbandingan jarak dalam sistem satu dengan jarak

yang bersangkutan pada sistem lainnya

I Nilai-nilai parameter transformasi dapat ditentukan apabilaterdapat sejumlah titik yang diketahui koordinatnya dalamkedua sistem. Titik tersebut disebut sebagai titik sekutu(common point)

Teknik Geomatika

Model Transformasi

I Pada umumnya proses transformasi selalu disertai perubahanjarak, perubahan bentuk/sudut, perubahan luas danperubahan posisi.

I Model transformasi yang banyak digunakan adalah modelkonform dan model affine

I Pada model konform, perbesaran untuk semua arah besarnyasama, tidak mengubah bentuk jaringan titik sehinggasudut-sudut tidak berubah. Dimungkinkan terjadi perubahanpanjang sisi maupun posisi

I Pada model affine, garis lurus tetap menjadi garis lurus, garissejajar tetap sejajar. Perbesaran tidak tergantung posisi tetapitergantung arah garis (sudut jurusan garis). Sehingga padamodel affine, perubahan ukuran dan posisi dimungkinkanterjadi tetapi bentuk jaringan tidak berubah.

Teknik Geomatika

Model Transformasi

I Pada umumnya proses transformasi selalu disertai perubahanjarak, perubahan bentuk/sudut, perubahan luas danperubahan posisi.

I Model transformasi yang banyak digunakan adalah modelkonform dan model affine

I Pada model konform, perbesaran untuk semua arah besarnyasama, tidak mengubah bentuk jaringan titik sehinggasudut-sudut tidak berubah. Dimungkinkan terjadi perubahanpanjang sisi maupun posisi

I Pada model affine, garis lurus tetap menjadi garis lurus, garissejajar tetap sejajar. Perbesaran tidak tergantung posisi tetapitergantung arah garis (sudut jurusan garis). Sehingga padamodel affine, perubahan ukuran dan posisi dimungkinkanterjadi tetapi bentuk jaringan tidak berubah.

Teknik Geomatika

Model Transformasi

I Pada umumnya proses transformasi selalu disertai perubahanjarak, perubahan bentuk/sudut, perubahan luas danperubahan posisi.

I Model transformasi yang banyak digunakan adalah modelkonform dan model affine

I Pada model konform, perbesaran untuk semua arah besarnyasama, tidak mengubah bentuk jaringan titik sehinggasudut-sudut tidak berubah. Dimungkinkan terjadi perubahanpanjang sisi maupun posisi

I Pada model affine, garis lurus tetap menjadi garis lurus, garissejajar tetap sejajar. Perbesaran tidak tergantung posisi tetapitergantung arah garis (sudut jurusan garis). Sehingga padamodel affine, perubahan ukuran dan posisi dimungkinkanterjadi tetapi bentuk jaringan tidak berubah.

Teknik Geomatika

Transformasi Datum dan Koordinat

I Koordinat geodetik atau geosentrik mengacu pada datumgeodesi tertentu. Jika diinginkan koordinat dalam datumgeodesi yang berbeda, maka dilakukan proses transformasidatum dan koordinat

I Terdapat dua kemungkinan kedudukan dan orientasi spasialsumbu-sumbu sistem koordinat kartesian ruang satu denganlainnya:

I Kedua titik pusat salib sumbu tidak berhimpit, tetapisumbu-sumbunya tetap saling sejajar. Hal ini disebutpergeseran datum atau datum shift

I Kedua titik pusat salib sumbu tidak berhimpit dansumbu-sumbunya tidak saling sejajar (masing-masing terotasi)

Teknik Geomatika

Model Transformasi Konform Bursa-Wolf

I Parameter transformasi yang ditentukan dari modelBursa-Wolf adalah rotasi, translasi dan skala. Lebihlengkapnya parameter transformasi Bursa-Wolf yaitu 7parameter dengan penjabarannya 3 rotasi, 3 translasi, danfaktor skala.

I Model ini sering disebut juga sebagai model linear conformalin three dimension atau three dimensional similaritytransformation. Hal ini disebabkan bahwa dalam model inifaktor skala pada semua arah adalah sama. Dalam model inibentuk jaringan dipertahankan, maka sudut tidak berubah,tetapi panjang baseline dan posisi titik dapat berubah.

Teknik Geomatika

Model Transformasi Konform Bursa-Wolf

I Parameter transformasi yang ditentukan dari modelBursa-Wolf adalah rotasi, translasi dan skala. Lebihlengkapnya parameter transformasi Bursa-Wolf yaitu 7parameter dengan penjabarannya 3 rotasi, 3 translasi, danfaktor skala.

I Model ini sering disebut juga sebagai model linear conformalin three dimension atau three dimensional similaritytransformation. Hal ini disebabkan bahwa dalam model inifaktor skala pada semua arah adalah sama. Dalam model inibentuk jaringan dipertahankan, maka sudut tidak berubah,tetapi panjang baseline dan posisi titik dapat berubah.

Teknik Geomatika

Figure 1 : Transformasi Konform Bursa-Wolf

Teknik Geomatika

Model Transformasi Konform Bursa-Wolf

I Menggunakan model three dimensional similaritytransformation pada jaring kerangka yang besar mungkindapat mengubah skala lokal dan orientasi. Oleh karena itu,perlu dipertimbangkan apakah perubahan pada skala lokal danorientasi ini memberikan pengaruh secara signifikan atau tidak.

I Jika XA = [xA, yA, zA]t dan XB = [xB , yB , zB ]t adalahkoordinat sebelum dan sesudah ditransformasi, maka modelfungsional dari transformasi dengan 7 parameter adalahsebagai berikut:

XB = λ · R · XA + t

Dengan:λ faktor skala (s)t vektor translasi (tx , ty , tz)t = (∆x ,∆y ,∆z)t

R matrik ortogonal dari rotasi sistem XA ke sistem XB

Teknik Geomatika

cosκ. cos θ cosκ. sin θ. sinω + sinκ. cosω sinκ. sinω − cosκ. sin θ. cosω− sinκ. cos θ cosκ. cosω − sinκ. sin θ. sinω sinκ. sin θ. cosω + cosκ. sinω

sin θ −cosθ. sinω cos θ. cosω

Teknik Geomatika

Model Transformasi Konform Bursa-Wolf

Dengan mengasumsikan bahwa untuk sudut rotasi yang relatif kecil(< 10′′ ) , unsur-unsur matrik Rotasi dapat didekati ataudisederhanakan menjadi persamaan berikut :

R(κ,θ,ω) =

1 κ −θ−κ 1 ωθ −ω 1

radial

Sehingga rumus transformasi Bursa-Wolf menjadi: xByBzB

= λ ·

1 κ −θ−κ 1 ωθ −ω 1

radial

·

xAyAzA

+

∆x∆y∆z

Teknik Geomatika

Model Transformasi Konform Bursa-Wolf

I Pada Model Transformasi Bursa-Wolf, jika nilai parametertransformasi belum diketahui, maka dapat ditentukanmenggunakan titik sekutu.

I Dalam penentuan parameter transformasi, unsur-unsurpengamatan dan unsur-unsur parameter saling bercampurdalam bentuk persamaan linier. Sehingga persamaan tersebutdibentuk menjadi persamaan model kombinasi

AX + BV + F = 0

dengan X adalah matrik parameter

I Pemecahan matrik X dirumuskan sebagai:

X = −[At(B · P · Bt)−1A]−1 · At · (B · P · Bt)−1 · F

Teknik Geomatika

X = −[At(B · P · Bt)−1A]−1 · At · (B · P · Bt)−1 · F

Teknik Geomatika

Model Transformasi Konform Bursa-Wolf

I Dengan menggunakan titik-titik sekutu, maka unsur-unsurmatrik A dan F diketahui.

I Jika menggunakan n buah titik sekutu, maka dimensi matrikA menjadi 3n × 7; matrik B menjadi 3n × 6n ; matrik Fmenjadi 3n × 1; sedangkan matrik X tetap 7 × 1

Teknik Geomatika

Latihan Soal

Tentukan parameter transformasi dan koordinat transformasi untuktitik 5 dan 6