Ulangkaji Tajuk Pensampelan, Selang Keyakinan ,Ujian Hipotesis & Ralat Jenis I & II Matematik Lanjutan

1. (a) Satu sampel rawak bersaiz n diambil daripada populasi X yg bertaburan normal dengan min dan varians 1. Hitungkan nilai n yang terkecil supaya ralat dalam penganggaran min populasi kurang daripada 0.1 pada aras keyakinan 90%. [384](b) Satu sampel rawak bersaiz n diambil daripada satu populasi yang bertaburan Poisson dengan min 2.5. Jika hampir 5% daripada min sampel adalah kurang daripada 2.025, anggarkan n.

[30]

2. Hayat, dalam jam sebiji bola tenis mempunyai taburan normal. Satu sampel rawak 36 biji bola tenis jenis A mempunyai hayat yang diikhtisarkan sebagai x = 154.8, x2 = 716.04. Dapatkan anggaran saksama bagi min dan vaians taburan ini. [J: 4.3; 1.44]Carikan nilai o dengan demikian sehingga - < < o adalah selang keyakinan 95% satu hujung bagi .

[ J:4.6]

3. Seorang ingin mengkaji sokongan penduduk di sebuah bandar terhadap sesuatu parti politik. Andaikan bahawa orang ini berpuas hati jika ralat penganggaran kurang daripada 0.04 dengan keyakinan 90%. Tentukan bilangan penduduk yang perlu disoalkan jika daripada pengalaman lepas 60% penduduk di kawasan itu menyokong parti itu. [J:406]

4. Seorang ingin mengkaji sokongan penduduk di sebuah bandar terhadap sesuatu parti politik. Andaikan bahawa orang ini berpuas hati jika ralat penganggaran kurang daripada 0.04 dengan keyakinan 90%. Tentukan bilangan penduduk yang perlu disoalkan. [J:423]

5. Nyatakan dalam sebutan kebarangkalian ralat jenis I dan ralat jenis II.Pembolehubah rawak X tertabur secara normal dengan min dan varians 2 . Satu prosedur ujian berdasarkan min sampel dan satu nilai genting k dicipta untuk menguji hipotesis H o: = 0 lawan H1 : = 1. Nyatakan prosedur ujian anda. Jika ralat jenis I dan ralat jenis II masing-masing ialah 0.01 dan 2 = 4, tentukan nilai k dan saiz sampel. [k=0.500; n=87]

6. Sebuah syarikat menganggar bahawa sisihan piawai ralat sukatan sejenis alat timbangnya dikeluarkannya ialah 0.025 g. Tentukan saiz sampel terkecil yang diperlukan supaya min ralat sukatan alat timbang itu dapat dianggar sehingga dalam lingkungan 0.005 g dengan aras keyakinan 95%. Nyatakan sebarang anggapan yang anda buat.Satu sampel rawak 100 alat timbang itu diuji, dan ralat sukatan x, dalam gram, dicatat. Keputusan

adalah seperti yang berikut: x = 0.25, x2 = 0.0345. Dapatkan anggaran saksama bagi min dan sislhan piawai sebenar ralat sukatan alat timbang itu.Dapatkan satu selang keyakinan 98% bagi min sebenar ralat sukatan alat timbang itu. Dengan yang demikian, berikan ulasan ringkas tentang dakwaan syarikat itu bahawa, pada puratanya ralat sukatan alat timbang itu ialah 0.001.[ n=97; anggap ralat sukatan timbsng bertabur secara normal; 0.0025, 0.0185; (-0.0018, 0.0068); kita tidak dapat menolak dakwaan itu kerana 0.001 terkandung dalam selang keyakinan 98%.]

7. Seorang pengurus kilang roti telah mengambil satu sampel rawak yang terdiri daripada 121 buku roti yang sama jenis. Min dan sisihan piawai berat roti sampel ini masing-masing ialah 242 g dan 8 g. Berdasarkan sampel rawak ini, tentukan sama ada min berat roti jenis ini yang dikeluarkan oleh kilang itu sama dengan 250 g pada aras keertian 5%. Berikan semua andaian yang anda buat. [z=-11; tolak Ho]Satu kaedah baru membuat roti jenis ini diperkenalkan dikilang tersebut. Pengurus itu mendakwa bahawa kaedah baru ini akan menambah berat roti jenis ini. Satu sampel rawak 40 buku roti yang dibuat dengan kaedah baru ini diambil, dan didapati bahawa min berat roti sampel ini ialah 245g. Uji sama ada dakwa pengurus itu benar atau tidak pada aras keertian 5%. [ z=2.065; Tolak Ho]

8. Disebuah kilang, 9 daripada satu sampel rawak 100 komponen elektronik tertentu yang dikeluarkannya didapati tidak mengikut spesifikasi yang ditetapkan. Setelah kilang itu membuat pengubahsuaian proses pengeluarnya untuk meningkatkan mutu komponen elektronik itu, 6 daripada 100 komponen elektronik yg dipilih secara rawak masih tidak menepati spesifikasi. Uji pada aras kertian 5%, sama ada kilang itu telah berjaya meningkatkan mutu komponen elektronik

itu. [Ho:p1 - p2 = 0]

9. Masa dalam minit yang diambil oleh sebuah kereta dari stesen A ke stesen B bagi 10 perjalanan pada sebelah pagi dan 10 perjalanan pada sebelah petang yang dipilih secara rawak adalah seperti berikut:

Pagi : 57, 57, 55, 55, 59, 58, 56, 60, 56, 59Petang : 60, 64, 59, 62, 58, 61, 63, 62, 61, 60

Masa perjalanan kereta api tersebut pada sebelah pagi dan pada sebeleh petang boleh dianggap bertaburan normal yang masing-masing mempunyai min 1 dan 2 tetapi varians sepunya 2.

Ulangkaji Tajuk Pensampelan, Selang Keyakinan ,Ujian Hipotesis & Ralat Jenis I & II Matematik Lanjutan

(i) Cari anggaran saksama 2 - 1 . [3.8](ii) cari anggaran tergembleng saksama 2 [3.2](iii) Berikan satu selang keyakinan 95% bagi 2 - 1. [(2.1,5.5) min; guna taburan-t](iv) Tentukan saiz sampel terkecil bagi masa perjalanan kereta api tersebut pada sebelah pagi dan

pada sebelah petang yang diperlukan supaya ralat penganggaran bagi 2 - 1 kurang daripada 1 minit dengan aras keyakinan 95%[Anggap bahawa kedua-dua sampel bagi masa perjalanan kereta api tersebut pada sebelah pagi dan pada sebelah petang sama saiznya] [25]

10. Dua pembolehubah rawak merdeka X1 dan X2 bertabur secar normal . X1 dan X 2 masing-masing mempunyai min dan c , dan kedua-duanya mempunyai varians 1. Jika W ialah pembolehubah rawak yang ditakrifkan oleh W = cX1 - X2, cari min dan varians bagi W.Berikan statistik ujian yang sesuai untuk menguji sama ada c=1. Jika x1 = 2.7 dan x2 = 0.3, dengan x1 dan x2 masing-masing merupakan cerapan X1 dan X2 jalankan ujian ini dengan pada aras kertian 5%.Nyatakan dengan memberi sebab, sama ada kesimpulan anda akan berubah atau tidak apabila aras keertian ialah

1%. [Ho:c=1; Z = ~N(0,1); z=1.692; Tolak Ho; sama]

11. Seorang penjual aiskrim mendakwa bahawa min untung bersih dari penjualannya sehari ialah RM65. Adalah dipercayai bahawa nilai sebenar adalah lebih daripada RM65. Andaikan untung bersih bertabur secara normal dengan sisihan piawai RM15. Satu sampel rawak 30 rekod penjualan dikaji.(a) Nyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif. (b) Hitungkan nilai genting jika min jika keb. melakukan ralat jenis II ialah 0.25 apabila min untung

sebenar ialah RM75. Tentukan ralat jenis I juga. (c) Hitungkan saiz sampel yang paling kecil untuk menjaminkan = 0.025 dan =0.30.

[ Ho:=65; H1:>65; g=73.15; =0.0015; n=14]12. Untuk menguji keberkesanan sejenis ubat baru, seorang doktor mempreskripsikan ubat itu kepada

100 orang pesakit. Doktor itu menetapkan bahawa ubat itu 75% berkesan jika 70 hingga 80 orang pesakit itu sembuh. Jika pada hakikatnya ubat itu 75% berkesan, cari kebarangkalian doktor akan membuat kesimpulan yang sebaliknya.

[1997ML2.2] [ J:0.204]13. Kekuatan tegangan sejenis dawai keluli mempunyai sisihan piawai 27 N. Min kekutan tegangan satu

sampel rawak 50 batang dawai keluli itu ialah 297 N.(i) Uji, pada aras keertian 5% sama ada terdapat bukti bahawa min kekuatan tegangan dawai keluli itu

lebih daripada 285N. Nyatakan sebarang anggapan yang anda ambil dalam kiraan anda.(ii) Jika min kekuatan tegangan dawai keluli itu sebenarnya ialah 300 N, cari kebarangkalian berlakunya

ralat jenis II dalam ujian ini.(iii) Tentukan saiz sampel terkecil yang diperlukan supaya ralat penganggaran min kekuatan tegangan

dawai keluli itu kurang daripada 3 N dengan aras keyakinan 97%.[1997ML2.9] [J: Z =3.143 > 1.645, H0 ditolak; 0.0113 (ii) 312]

14. Satu sampel rawak 25 cerapan dihasil daripada satu populasi normal dengan sisihan piawai 2. Dalam pembinaan selang keyakinan bagi min populasi itu, had-had keyakinan yang diperoleh ialah 4.342 dan 5.658. Tentukan aras keyakinan yang telah digunakan. [0.90]

15. Sebuah syarikat penyelidikan pasaran menyiasat kecenderungan pengguna berhubung dengan roti coklat dan roti putih. Daripada satu sampel rawak 160 orang yang ditemuramah di London, 37 orang menyatakan bahawa mereka lebih menyukai roti coklat; daripada satu sampel rawak 220 orang yang ditemuramah di Birmingham, 48 orang menyatakan bahawa mereka lebih menyukai roti coklat. Hipotesis nol ialah bahawa tidak terdapat perbezaan di antara perkadaran yang lebih menyukai roti coklat di dua buah bandaraya itu.(i) Dengan mengabungkan sampel-sampel itu, dapatkan satu anggaran perkadaran yang lebih

menyukai roti coklat.(ii) Dengan menggunakan anggaran ini, jalankan satu ujian pada aras 10%, hipotesis nol, dengan

menyatakan hipotesis alternatif anda. Tunjukkan dengan jelas bahawa hipotesis nol boleh diterima.

(iii) Uji, pada aras keertian 2.5% sama ada perkadaran yang lebih menyukai roti coklat berbeza secara bererti daripada 0.18.

(iv) Berikan satu selang keyakinan 90% dua hujung yang simetri bagi perkadaran yang menyukai roti cokalt.

[(i) 17/76 (ii) H1: PL PB ; z = 0.302, tidak bererti (iii) p = 0.18; z = 2.217; terima H 0 (iv) (0.1885, 0.2589) ]16. Markah peperiksaan suatu kursus Statistik di sebuah universiti pada tahun 1989 bertaburan normal

dengan min 75 dan varians 36. Min markah bagi 16 orang pelajar yang mengikuti kursus Statistik yang sama pada tahun 1990 ialah 78. Jabatan Statistik universiti itu ingin mengetahui sama ada pelajar yang mengikuti kursus Statistik pada 1990 mempunyai pencapaian yang sama atau tidak dengan pelajar yang mengikuti Kursus Statistik pada tahun 1989. Varians taburan markah dianggap tidak berubah dari tahun ke tahun.(i) Nyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif yang hendak diuji (ii) Berikan statistik ujian yang sesuai, dan dapatkan nilai statistik ini

Ulangkaji Tajuk Pensampelan, Selang Keyakinan ,Ujian Hipotesis & Ralat Jenis I & II Matematik Lanjutan

(iii) Tentukan kesimpulan yang akan dibuat oleh Jabatan Statistik itu berdasaskan aras keertian 1%. Nyatakan dengan memberi sebab sama ada Jabatan Statistik itu akan membuat kesimpulan yang sama atau tidak berasakan aras keertian 5%.

(iv) Cari kebarangkalian berlakunya ralat jenis I jika nilai statistik anda dijadikan nilai genting ujian ini.

[ z = ~ N(0,1) z = 2; Tolak H0 (iv) 0.0456]