HUBUNGAN ANTARA
LINGKARAN – LINGKARAN
GARIS SINGGUNG
UKURAN SUDUT DAN UKURAN
BUSUR PADA LINGKARAN
LINGKARAN
Lingkaran (circle) adalah kumpulan semua titik di dalam suatu bidang yang berjarak sama dari titik pusat.
HUBUNGAN ANTARA LINGKARAN - LINGKARAN
V V V
>
Keliling (circumference) suatu lingkaran adalah panjang jarak mengelilingi lingkaran tersebut. Keliling ini mencakup .
Jari – jari (radius) adalah ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan suatu titik pada lingkaran. (lihat gb. 5-1)
Setengah lingkaran
Jari -jari Jari -jari
Jari
-jari
Tali Busur
A C
B
O
Busu
r
Busur
Gambar 5-1
Dari definisi lingkaran, dapat diketahui bahwa semua
jari – jari lingkaran adalah kongruen.
• Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan 2
titik sembarang pada lingkaran.
• Diameter adalah tali busur yang melalui pusat
lingkaran; diameter merupakan tali busur terpanjang
& panjangnya 2x panjang jari-jari.
• Sudut-pusat adalah sudut yang terbentuk oleh 2 jari-
jari.
• Busur adalah bagian dari suatu lingkaran. Setengah
lingkaran adalah busur yang berukuran setengah
keliling lingkaran, jadi mencakup .
Busur minor adalah busur yang lebih kecil dari setengah lingkaran. Busur mayor adalah busur yang lebih besar dari setengah lingkaran. Jadi, pada Gambar 5-1, adalah busur pendek dan adalah busur mayor (utama).
Pada gambar 5-1, & memotong .
Busur lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan 2 titik pada keliling.
Jadi, pada gambar 5-2, adalah busur.Diameter lingkaran adalah busur yang melalui titik
pusat.Garis potong lingkaran adalah garis yang memotong
lingkaran tersebut pada dua titik .Garis Singgung(atau tangen) lingkaran adalah garis yang
menyentuh lingkaran tersebut pada satu dan hanya satu titik, berapapun panjangnya garis yang dibuat.
Jadi, pada gambar 5-2, adalah diameter lingkaran tersebut di titik P. P adalah titik kontak atao titik singgung.
Gambar 5-2
Tali Busur
Diameter
o
Garis Potong
Garis Singgung
A B
C D
E F
G H
Poligon-dalam adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur dari suatu lingkaran
Lingkaran-luar adalah lingkaran yang melewati setiap titik suatu poligon.
Poligon-Dalam Lingkaran -Luar
Jadi, ∆ ABD, ∆ BCD dan segiempat ABCD adalah poligon-poligon dalam pada lingkaran O pada gambar 5-3.
Lingkaran O adalah lingkaran-luar pada segiempat ABCD
D
CB
AO
Poligon-Luar adalah poligon yang semua sisinya merupakan garis singgung suatu lingkaran.
Lingkaran-dalam adalah lingkaran dimana semua sisi suatu poligon merupakan garis singgungnya.
Poligon-Luar Lingkaran-Dalam
Gambar 5-4
Jadi, ∆ ABC adalah poligon luar pada lingkaran O pada gambar 5-4 & Lingkaran O adalah lingkaran-dalam pada ∆ ABC.
B C
A
O
Lingkaran-lingkaran konsentrik adalah lingkaran-lingkaran yang mempunyai titik pusat yang sama.
Lingkaran-lingkaran Konsentrik
Gambar 5-5
AB
C
D
O
P
Jadi, 2 lingkaran pada gambar 5-5 = lingkaran-lingkaran konsentrik, = garis singgung lingkaran-dalam &busur lingkaran-luar. = garis potong lingkaran-dalam & busur lingkaran-luar.
2 lingkaran sama jika panjang jari-jarinya sama, dan 2 lingkaran kongruen jika jari2nya kongruen.
V V
A B
Lingkaran A lingkaran B
2 busur kongruen jika besar derajat dan panjangnya sama.
A
BO
C
DO
m m
Prinsip 1
PRINSIP LINGKARAN
Diameter
Diameter membagi lingkaran menjadi 2 bagian yang sama
Jika suatu busur membagi lingkaran menjadi 2 bagian yang sama,maka busur tersebut adalah diameter.
A B
Busur AB = Diameter
Prinsip 2
Prinsip 3
Suatu titik terletak diluar, pada, atau didalam lingkaran tergantung apakah jaraknya dari titik pusat lebih besar
daripada, sama dengan, atau lebih kecil daripada jari-jari lingkaran.
A
B
C
Jari-jari
A > Jari-jari, maka A berada di luar lingkaran
B = Jari-jari, maka B berada pada lingkaran
C < Jari-jari, maka C berada di dalam lingkaran.
PRINSIP 4Jari-jari lingkaran-lingkaran yang sama / kongruen adalah kongruen
A B=
=
O P
A B
O P
PRINSIP 5Diameter lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen adalah kongruen.
A B=
O P
=
C D
O P
pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, sudut-sudut pusat yang kongruen mempunyai busur-busur yang kongruen.
PRINSIP 6
O
A
B
C
D
P
E
F
G
H
O P
Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, busur-busur yang kongruen mempunyai sudut-sudut pusat yang kongruen
Prinsip 7
OBA
DC
PFE
HG
Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, tali busur-tali busur yang kongruen mempunyai busur-busur yang kongruen.
PRINSIP 8
S
D
C
B
A
T
H
G
F
E
ll ll
ll ll
Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, busur-busur yang kongruen mempunyai tali busur yang kongruen.
PRINSIP 9
S
D
C
B
A
T
H
G
F
E
Diameter yang tegak lurus dengan suatu tali busur membagi 2 tali busur tersebut dan juga membagi 2 busurnya.
PRINSIP 10
┴A B
C
D
Garis-berat suatu tali busur melalui titik pusat lingkaran.
PRINSIP 11
OA B
Pada lingkaran-lingkaranyang sama/kongruen, tali busur yang kongruen berjarak sama dari titik pusat.
PRINSIP 12
O
A B
Q
P
C D
R
Q & R : Jarak tali busur dari titik pusat
maka, Q = R
Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, tali busur yang berjarak sama dari titik pusat adalah kongruen.
PRINSIP 13
O
AB
Q
P
C D
R
Q & R : Jarak tali busur dari titik pusat
Jika, Q = R maka,
GARIS SINGGUNG
Panjang garis singgung dari suatu titik ke
lingkaran adalah panjang segmen garis singgung tersebut dari
suatu titik tertentu ke titik
singgung
PA
O
Jadi PA adalah panjang garis singgung dari titik P ke lingkungan O pada
Gambar 5-6
Gambar 5-6
PRINSIP GARIS SINGGUNG
PR
INSIP
1
Garis Singgung adalah garis tegak lurus terhadap jari-jari dan menuju titik
singgung
A
BOJari-jari
h
Jadi,garis AB adalah merupakan garis singgung h
yang melalui titik B pada lingkaran O
PR
INSIP
2Suatu garis merupakan garis singgung
lingkaran jika garis tersebut tegak lurus terhadap jari-jari pada ujung terluarnya
A
BOJari-jari
h
Jadi,garis h adalah merupakan garis singgung karena
tegak lurus terhadap jari-jari
OB
PR
INSIP
3Suatu garis melalui titik pusat lingkaran jika garis tersebut tegak lurus terhadap
suatu garis singgung pada titik singgungnya.
Jadi,garis h adalah merupakan garis yang
melalui titik pusat lingkaran karena garis tersebut tegak
lurus terhadap garis singgung A pada titik
singgung B
A
B
Oh
PR
INSIP
4Garis-garis singgung lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran adalah
kongruen
Jadi,
MN & NP = Garis Singgung
PRINSIP 5Ruas garis dari titik pusat lingkaran ke suatu titik di luar
lingkaran membagi-dua sudut di antara garis-garis singgung dari titik tersebut ke lingkaran
Jadi, garis ON membagi-dua sudut diantara
garis-garis singgung MN & NP
Dua lingkaran pada Posisi Relatif yang Berbeda
Garis titik pusat lingkaran adalah garis yang menghubungkan titik pusat
lingkaran.
O O’
Jadi, adalah garis titik pusat
lingkaran O dan O’ pada Gambar 5-7
Gambar 5-7
Lingkaran-lingkaran yang Bersinggungan di Luar
AC
D
R r
O O'
E
p
F
B
Gambar 5-8
Lingkaran O dan O' pada
Gambar 5-8 bersinggungan di luar
pada titik P. adalah garis
singgung dalam kedua lingkaran
tersebut. Garis titik pusat
melewati P, tegak lurus dengan ,
dan panjangnya sama dengan jumlah
jari-jarinya, yaitu R+r. Selain itu,
membagi-dua setiap garis singgung
luar bersama, &
Lingkaran-lingkaran yang Bersinggungan di Dalam
A
R
P
B
rO'O
Gambar 5-9
Lingkaran O & O' pada Gambar 5-9
bersinggungan di dalam pada titik P.
adalah garis singgung luar kedua
lingkaran tersebut. Garis titik pusat
jika diperpanjang melewati
P, tegak lurus dengan , dan
panjangnya sama dengan selisih
antara jari-jarinya, yaitu R+r.
Lingkaran-lingkaran yang Bertumpang-Tindih
BO'O
E
A
C
D
F
P
Gambar 5-10
Lingkaran O & O' pada Gambar 5-10
bertumpang-tindih. merupakan
tali busur bgersama. Jika lingkaran-
lingkaran tidak sama, garis singgung
luar kedua lingkaran tersebut (yang
sama) yaitu & bertemu
di P. Garis titik pusat
merupakan garis-berat dan jika
diperpanjang akan melalui P.
A
PBC
G
H
D
P'
F
E
O'O
Gambar 5-11
Lingkaran-lingkaran yang Saling Terpisah
Lingkaran O & O' pada Gambar 5-11
benar-benar terpisah satu sama lain.
Garis singgung dalam keduanya,
& , bertemu di titik P. Jika
lingkaran-lingkaran tidak sama, garis
singgung luar kedua lingkaran
tersebut, & , jika
diperpanjang, bertemu di titik P. Garis
titik pusat melewati P & P'.
Selain itu , = & =
A
D
C
B
O
Gambar 5-12
Ukuran Sudut dan Ukuran Busur pada Lingkaran
Sudut-sudut mempunyai derajat
yang sama dengan derajat busur yang
dipotong. Jadi, seperti terlihat pada
gambar 5-12, sudut-pusat yang
merupakan sudut siku-siku memotong
busur , sudut-sudut
memotong busur , dan sudut
pusat yang merupakan sudut lurus
memotong setengah lingkaran
berderajat .
Sudut-dalam adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya merupakan tali busur. Sudut yang terlingkupi dalam suatu busur mempunyai titik sudut yang berada pada busur tersebut dan sisi-
sisinya melalui ujung-ujung busur.
B
C
OA
Gambar 5-13
Jadi, memotong dan
terlingkupi dalam
PRINSIP PENGUKURAN SUDUT
PR
INS
IP 1
Sudut-pusat diukur dengan busur yang dipotongnya.
O B
A
Sudut-pusat O
memotong busur AB
(besarnya )
→ m =
PR
INS
IP 2
Sudut-dalam diukur dengan setengah dari busur yang dipotongnya.
B
C
OA
Sudut-dalam A
memotong busur AB
→
PR
INS
IP 3
Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen , sudut-dalam yang kongruen
mempunyai busur-busur terpotong yang kongruen
B
C
OA
E
F
PD
PRINSIP 4
Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, sudut-dalam yang mempunyai busur-busur terpotong kongruen adalah
kongruen
B
C
OA
E
F
PD
PRINSIP 5
Sudut-dalam pada busur-busur yang sama/kongruen adalah kongruen
B
C
A
E
F
D
└O D
C
B
A
PRINSIP 6
Sudut-dalam pada setengah lingkaran adalah siku-siku
PRINSIP 7
Sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat-dalam bersifat suplementer.
DC
BA
O
PRINSIP 8
Garis-garis yang sejajar memotong busur-busur yang kongruen dalam suatu lingkaran.
D
C
BA
F
EAB : diameter &
Jadi,
memotong busur ECB
& busur ADF
PRINSIP 9
Sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan tali busur ukurannya adalah setengah dari busur yang
dipotongnya
A
B
C
PRINSIP 10
Sudut yang terbentuk oleh 2 tali busur yang berpotongan ukurannya adalah setengah dari jumlah busur-
busur yang dipotong
A
BC
D
1
PRINSIP 11Sudut yang terbentuk oleh dua garis
potong yang berpotongan di luar lingkaran ukurannya adalah setengah
dari selisih busur-busur yang dipotong
A
B
C
ED
PRINSIP 12Sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan garis potong yang
berpotongan diluar lingkaran ukurannya adalah setengah dari
selisih busur-busur yang dipotong
A B
C
D
PRINSIP 13Sudut yang terbentuk oleh dua garis
singgung berpotongan di luar lingkaran ukurannya adalah setengah
dari selisih busur-busur yang dipotong
A
B
C
D
Posisi Verteks
Jenis Sudut Diagram Rumus Pengukuran
Metode Pengukuran
Titik pusatLingkaran
Sudut-pusat(gunakan prinsip 1)
Dengan busur yang dipotong
Pada Lingkaran
Sudut-dalam(gunakan prinsip 2)
Dengan setengah busur yang dipotong.
Sudut yang terbentuk oleh garis singgung bdan tali busur (gunakan prinsip 9)
Tabel Prinsip Pengukuran Sudut
A
O
B
C
BA
AB
C
Di dalam lingkaran
Sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang berpotongan (gunakan prinsip 10)
Dengan setengah dari jumlah busur-busur yang dipotong
Di luar lingkaran
Sudut yang terbentuk oleh 2 garis potong (gunakan prinsip 11) Dengan
setengah dari selisih busur-busur yang dipotong
Sudut yang terbentuk oleh garis potong &garis singgung 9gunakan prinsip 12)
1
D
CB
A
A
B
C
D
E
C
BA
D
Sudut yang terbentuk oleh 2 garis singgung (gunakan prinsip 13)
AB
DC
CONTOH SOAL
Buktikan bahwa tali busur yang sejajar pada ujung-ujung diameter panjangnya sama
Penyelesaian
Diketahui : Lingkaran O
. Adalah diameter
Untuk pembuktian : AC = BD
Bukti bahwa : - sesuai dengan gambar dpat diketahui
bahwa
O
D
C
BA
BUKTI 2
A B
D
C
Terbukti karena diameter memotong
lingkaran menjadi 2 buah setengah lingkaran yang
sama & sesuai dengn prinsip lingkaran yang ke-1
A B
adalah diameter
Terbukti karena sesuai dengan prinsip lingkaran
yang ke-1
BUKTI 1
BUKTI 4
C
BA
F
ED
Terbukti sesuai dengan prinsip pengukuran sudut
yang ke-8
Terbukti sesuai dengan definisi dari garis-garis
sejajar
BUKTI 3
A
B C
D
Terbukti sesuai dengan definisi busur-busur yang
kongruen
BUKTI 5
A
B C
D
BUKTI 6
AC = BD
Terbukti: Pada lingkaran, busur-busur
yang sama mempunyai tali busur yang sama
panjangnya.
A
B C
D
SEKIANNNN…………
WASSALAMU’ALAIKUM Wr.
Wb.
Top Related