SEBARAN PELUANGDISKRET & KONTINU
HADI SUMARNO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
BEBERAPA SEBARAN PELUANG DISKRET
1. Sebaran Seragam 5. Sebaran Multinomial2. Sebaran Bernoulli 6. Sdebaran Negatif
Binom3. Sebaran Binomial 7. Sebaran Geometrik4. Sebaran Hipergeometrik 8. Sebaran Poisson
SEBARAN SERAGAM
1 2
1 2
222
, , ,
1, ; , , ,
k
k
i
ix
X x x x
f x k untuk x x x xk
xE X
k
xE X
k
Contoh:Sebuahdadubersisienamseimbangdilemparkan. Tentukansebaranpeluangbaginilai yang merepresentasikanangkadadu yang muncul
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
SEBARAN BERNOULLI Percobaan dilakukan
satu kali, dengan peluang sukses =p dan peluang gagal = q = 1- p
Contoh-contoh sebaran Bernoulli
1. Sekeping mata uang dilempar sekali. Sukses jika muncul sisi gambar
2. Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sekali. Sukses jika muncul sisi dengan angka 6
1
2
{0,1}
( , ) , 0,1
( )
x x
x
X
Bernoulli x p p q untuk x
E X p
pq
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Contoh : Sebaran Bernoulli Pelemparan
sekepingmatauangseimbang
S={G,A} X=#
Gambar={0,1}
Munculnya angka 6 dalampelemparandadu
SEBARAN BINOMIAL Ciri-ciri percobaan
binom1. Merupakan
percobaan Bernoulli diulang n kali
2. Setiap percobaan saling bebas
1
2
banyaknya sukses dari n kali percobaan
= {0,1,2, ,n}
( , , ) , untuk 0,1,2, ,
!
! !
1 !
1! 1 1 !
Buktikan bahwa
x n x
x n x x n x
x n x
x
X
nb x n p p q x n
x
n xnE X x p q p q
x x n x
n npp q np
x n x
npq
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
CONTOH PERCOBAAN BINOM
3
3 31 1 1 12 2 2 2
Sekeping uang logam dilempar 3 kali
Jika X=banyaknysa sisi gambar yang muncul,
tentukan sebaran bagi p.a. X
3
( ) untuk 0,1,2,32
3 3( ,3, )
x x
xf x x
atau
b xx x
323
2
Peluang terjadi hujan minimal
dua hari selama tiga hari
berturut-turut jika
diketahui bahwa dalam satu
bulan terakhir terjadi
hujan selama 20 hari.
( ,3, ) 0.740741
x
b x
HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
CONTOH TABEL PELUANG BINOM
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.93 0 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.0080 0.0010
1 0.9720 0.8960 0.7840 0.6480 0.5000 0.3520 0.2160 0.1040 0.02802 0.9990 0.9920 0.9730 0.9360 0.8750 0.7840 0.6570 0.4880 0.27103 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Pn r
1 0
0 0
(1,3,0.6) ( ,3,0.6) ( ,3,0.6) 0.3520 0.0640 0.2880
(1,3,0.6, ) (0,3,0.6, )
(1,3,0.6, )
r r
x x
b b x b x
BINOMDIST TRUE BINOMDIST TRUE
BINOMDIST FALSE
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
PERCOBAAN HIPERGEOMETRIK
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
HipergeometrikPercobaan sukses dan gagalTanpa pengembalian (antar percobaan tidak saling bebas) Misalkan dari N benda, k berhasilDiambil contoh berukuran n, x diantaranya berhasil
( , , , ) 0,1,2, ,
k N k
x n xh x N n k untuk x k
N
n
2
; dengan
11 1
x
x
nk k kn np p
N N NN n k k N n
n npqN N N N
CONTOH PERCOBAAN HIPERGEOMETRIK
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Dari 6 mhs laki-laki dan 4 mhs perempuan akan dipilih 3 orang sebagai wakil mhs dalam kompetisi. Jika X menyataan jumlah perempuan terpilih, tentukan sebaran peluang bagi X
PERBEDAAN PERCOBAAN BINOMIAL & HIPERGEOMETRIK
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Dari 5 bola terdiri dari 3 merah dan 2 putih. Diambil dua bola
a. dengan pengembalian B. tanpa pengembalian Jika X menyataan jumlah
bola merah terpilih terpilih, tentukan sebaran peluang bagi X
a. Dengan pengembalian (Binomial); x=0,1,2
PERBEDAAN PERCOBAAN BINOMIAL & HIPERGEOMETRIK
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
b. Tanpapemulihan (Hipergeometrik)Binomial Hipergeomet
rik
Untuk
PERCOBAAN MULTINOMIAL
Dari percobaanmasing-masingterdiridarikkemungkinan, denganJikamenyatakanjumlahmunculnyakemungkinanke-i, makasebaranpeluangbagi adalah
1 2
1 2 1 2
1 21 2
( , , , ; , , , ; )
, , ,
k
k k
xx xk
k
f x x x p p p n
np p p
x x x
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
CONTOH PERCOBAAN MULTINOMIAL
Dalam 10 kali permainan, berapapeluang 3 kali menang, 4 kali gagaldan 3 kali seri, jikadiketahuipeluangmenang, 0,3 danpeluangkalah 0,4.
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Kemungkinan 1 (menang), 2 (gagal), 3 (seri).
SEBARAN NEGATIF BINOM & GEOMETRIK
Sukses yang ke k pada percobaan yang ke x
1( , , ) , untuk , 1, 2,
1k x kx
nb x k p p q x k k kk
1
Sukses yang pertama kali pada percobaan yang ke x
( , ) , untuk 1,2,3,xg x p pq x
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Negatif Binom
Geometrik
Binom, negatif binom, dan geometrik
Seseorang melemparkan bola kekeranjang basket. Jikapeluangtepatadalah 0.8, hitunglahpeluang:a. Dalam 10 kali pelemparan, sukses 9 kalib. Sukses yang kesembilanpadapelemparan yang kesepuluhc. Sukses yang pertamapadapelemparan yang kesepuluh
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
SEBARAN POISSON Sebaran Poisson: merupakan sebaran
peluang dari suatu percobaan Poisson
X = merupakan peubah acak dari hasil percobaan Poisson.
Hasil percobaan Poisson memiliki siat sebagai berikut:
1. Kejadian pada dua selang waktu/daerah yang saling terpisah adalah saling bebas
2. Peluang terjadinya percobaan pada selang waktu/daerah tertentu, sebanding dengan panjang waktu/luas daerah tersebut.
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan dalam waktu yang singkat/daerah yang kecil diabaikan.
2
( , ) , untuk 1,2,3,!
( )
x
x x
ep x x
x
E X
Misalkan secara rata-rata banyaknya mobil yang melintas per menit di suatu perempatan adalah 30. a. Berapa peluang terdapat 3
mobil yang lewat dalam 1 detik.b. Berapa peluang paling banyak 3
mobil lewat dalam satu detik.
HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
CONTOH SEBARAN POISSON
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.40661 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.77252 0.9998 0.9989 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9659 0.9526 0.93713 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.98654 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.99775 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.99976 1.0000 1.0000 1.0000
mr
30 mobil per menitatau 0.5 mobil per detika.
POISSON(3,0.5,FALSE)=9.9982-0.9856=0.0126
b. =POISSON(3,0.5,TRUE)=0.9982
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
PENDEKATAN SEBARAN POISSON
Misalkan 1 di antara 1000 mahasiswa IPB adalah perokok. a. Berapa peluang bahwa dari
8000 mahasiswa 3 di antaranya adalah perokok.
b. Berapa peluang dari 8000 mhasiswa paling banyak 3 mahasiswa adalah perokok
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
BEBERAPA SEBARAN PELUANG KONTINU
1. Sebaran Seragam2. Sebaran Eksponen 3. Sebaran Normal4. Sebaran lainnya (Chi-Square, F, Gamma, Studentize T
SEBARAN SERAGAM
HADI SUMARN3DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
SEBARAN EKSPONENSIAL
HADI SUMARN3DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
SEBARAN NORMAL
2
121
, , , untuk 2
3.14159...; 2.71828...
x
n x e x
dengan
e
, ,a
P X a n x dx
HADI SUMARNO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
KURVA NORMAL
SEBARAN NORMAL
100
20
1 15 29 43 57 71 85 99 1131271411551691831972112250
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
1 15 29 43 57 71 85 99 1131271411551691831972112250
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
200
20
150
20
150
40
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
SEBARAN NORMAL – LUAS BAWAH KURVA
150
40
1 15 29 43 57 71 85 99 1131271411551691831972112250
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Standarisasi ke normal
baku
SEBARAN NORMAL BAKU
XZ
1
2
115 100115
15
1exp 1 84%
2
P X P Z
z dz NORMSDIST
HADI SUMARNO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
SOURCE: TR BLACK 1998
𝑍 𝑁 (0,1)
Tabel Normal Bakuz 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
-1.4 0.0808 0.0823 0.0838 0.0853 0.0869 0.0885 0.0901 0.0918 0.0934 0.0951-1.3 0.0968 0.0985 0.1003 0.1020 0.1038 0.1056 0.1075 0.1093 0.1112 0.1131-1.2 0.1151 0.1170 0.1190 0.1210 0.1230 0.1251 0.1271 0.1292 0.1314 0.1335-1.1 0.1357 0.1379 0.1401 0.1423 0.1446 0.1469 0.1492 0.1515 0.1539 0.1562-1 0.1587 0.1611 0.1635 0.1660 0.1685 0.1711 0.1736 0.1762 0.1788 0.1814
-0.9 0.1841 0.1867 0.1894 0.1922 0.1949 0.1977 0.2005 0.2033 0.2061 0.2090-0.8 0.2119 0.2148 0.2177 0.2206 0.2236 0.2266 0.2296 0.2327 0.2358 0.2389-0.7 0.2420 0.2451 0.2483 0.2514 0.2546 0.2578 0.2611 0.2643 0.2676 0.2709-0.6 0.2743 0.2776 0.2810 0.2843 0.2877 0.2912 0.2946 0.2981 0.3015 0.3050-0.5 0.3085 0.3121 0.3156 0.3192 0.3228 0.3264 0.3300 0.3336 0.3372 0.3409-0.4 0.3446 0.3483 0.3520 0.3557 0.3594 0.3632 0.3669 0.3707 0.3745 0.3783-0.3 0.3821 0.3859 0.3897 0.3936 0.3974 0.4013 0.4052 0.4090 0.4129 0.4168-0.2 0.4207 0.4247 0.4286 0.4325 0.4364 0.4404 0.4443 0.4483 0.4522 0.4562-0.1 0.4602 0.4641 0.4681 0.4721 0.4761 0.4801 0.4840 0.4880 0.4920 0.4960
0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Latihan Sebuah jenis motor kecil mempunyai umur rata2 10
tahun, dengan simpangan baku 5 tahun. Pabrik akan menjamin mengganti dengan yang baru semua motor yang rusak selama masa garansi. Jika pabrik hanya bersedia mengganti 10%, berapa lama
garansi yang harus diberikan. Asumsi menyebar normal. Berapa peluang motor rusak antara 6 s/d 11 tahun? Berapa peluang motor rusak tepat berumur 3 tahun Berapa peluang motor rusak lebih dari 15 tahun.
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Latihan ;
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Hampiran normal terhadap sebaran binom
Menurut majalah Consumers Digest, hasil angka sensus menunjukkan bahwa dalam tahun 78, hampir 53% diantara semua rumahtangga di AS terdiri atas 1 – 2 orang. Berapa peluang bahwa di antara 1000 rumah yang diambil
secara acak, antara 490 s/d 515 terdiri dari 1-2 orang saja. Berapa peluang lebih dari 500 di antaranya terdiri dari 1-2
orang. Berapa peluang tidak lebih dari 300 di antaranya terditi dari
1-2 orang.
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Hampiran normal terhadap sebaran binom
HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB
Top Related