@fajardelli

LOGIKA MATEMATIKA

I. PROPOSISI & OPERASINYA

Definisi 1.1 Proposisi

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari nilai kebenaran disebut dengan nilai kebenaran (truth value).

Contoh 1.1

No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai

Ya Bukan Benar (T)

Salah (F)

1 3 + 3 = 6

2 Bandung merupakan Ibukota Provinsi Jambi

3 Kemarin hari hujan

4 Kehidupan hanya ada di bumi

5 Jam berapa sekarang?

6 x + 3 = 6

7 x + y = y + x untuk setiap x & y bilangan Real.

Contoh 1.1

No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai

Ya Bukan Benar (T)

Salah (F)

1 3 + 3 = 6 √ - √ -

2 Bandung merupakan Ibukota Provinsi Jambi

√ - - √

3 Kemarin hari hujan √ - ? ?

4 Kehidupan hanya ada di bumi √ - ? ?

5 Jam berapa sekarang? - √ - -

6 x + 3 = 6 - √ - -

7 x + y = y + x untuk setiap x & y bilangan Real.

√ - √ -

Latihan 1.1

No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai

Ya Bukan Benar (T)

Salah (F)

1 Bumi itu datar

2 f(x) = 2x + 4

3 Untuk sembarang bilangan bulat positif n, maka 2n adalah bilangan genap

4 Suhu ruangan 27° C

5 Buanglah sampah di tempatnya!

6 4 + 4 = 16

7 Pemuda itu tampan

Latihan 1.1

No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai

Ya Bukan Benar (T)

Salah (F)

1 Bumi itu datar √ - - V

2 f(x) = 2x + 4 - √ - -

3 Untuk sembarang bilangan bulat positif n, maka 2n adalah bilangan genap

√ √

4 Suhu ruangan 27° C √

5 Buanglah sampah di tempatnya!

√

6 4 + 4 = 16 √ √

7 Pemuda itu tampan √ ? ?

Mengkombinasikan Proposisi

Operator Logika

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan preposisi.

Preposisi Majemuk

Proposisi baru yang diperolah dari pengkombinasian.

Proposisi Atomik

Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain.

→ Proposisi Majemuk disusun dari proposisi-preposisi atomik

Definisi 1.2 Konjungsi, Disjungsi & Negasi

Misalkan p dan q adalah proposisi.Konjungsi (konjunction) p dan q, dinotasikan

, adalah proposisi p dan q Disjungsi (Disjunction) p dan q, dinotasikan

, adalah proposisi p atau q Ingkaran/Negasi (Negation) p, dinotasikan ~p

adalah proposisi tidak p

(Notasi Lain : )

Contoh 1.2

p : Orang itu baik

q : Orang itu wangi

Maka

: Orang itu baik dan wangi

: Orang itu baik atau wangi

~q : Orang itu bau

Latihan 1.2

p : Orang itu cantik

q : Orang itu tinggi

Maka

:

:

:

:

:

:

:

:

Latihan 1.2

p : Orang itu cantik

q : Orang itu tinggi

Maka

: Orang itu cantik dan tinggi

: Orang itu cantik atau tinggi

: Orang itu pendek

: Orang itu tidak cantik atau tidak tinggi

: Orang itu tidak pendek

: Orang itu cantik, atau orang itu jelek atau pendek

: Orang itu cantik tapi tidak tinggi

: Tidak benar bahwa orang itu jelek dan pendek

Definisi 1.3 Nilai Kebenaran (dan, atau, not)

Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi , bernilai benar jika p dan

q keduanya benar, selain itu nilainya salah. Disjungsi , bernilai salah jika p dan

q keduanya salah, selain itu nilainya benar. Negasi –p, bernilai benar jika p salah,

sebaliknya bernilai salah jika p benar.

Tabel Kebenaran

Ctt:• T = True/Benar• F = False/Salah

Ctt:• T = True/Benar → T, B, 1• F = False/Salah → F, S, 0

Contoh 1.3

Jika p dan q adalah proposisi, buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut:

Latihan 1.3

Jika p,q dan r adalah proposisi, buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut:

Definisi 1.4 Tautologi & Kontradiksi

Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus (Notasi T), sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus (Notasi F),.

Definisi 1.5 Ekivalen

Dua buah proposisi majemuk P(p,q,…) dan Q(p,q,…) disebut ekivalen secara logika bila keduanya memiliki tabel kebenaran yang identik.

Notasi : P(p,q,…) ≡ Q(p,q,…)

Latihan 1.4

Periksa kebenaran proposisi majemuk berikut kemudian tentukan apakah proposi majemuk tersebut merupakan tautologi, kontradiksi atau ekivalensi dengan proposisi majemuk yang lain.

T, TAUTOLOGI F, KONTRADIKSI

Q≡S

Definisi 1.6 (Disjungsi Ekslusif)

Misalkan p dan q adalah proposisi.Ekslusif or p dan q (notasi : p q) bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar. Selain itu nilainya salah

HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Latihan 1.5

1. Buktikan Hukum-hukum Logika Proposisi tersebut Ekivalen.

2. Dengan menggunakan hukum-hukum logika proposisi, tunjukan bahwa pv-(pvq) dan p v-q keduanya ekivalen secara logika

(aljabar OR numerik) AND matematika

Tugas Kuliah 1

Kerjakan Latihan Hal 42 – 43 No. 1 - 8

Definisi 1.7 Proposisi Bersyarat

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan:

p → qProposisi p disebut Hipotesis (antesenden/ premis/ kondisi)

Proposisi q disebut Konklusi (konsekuen)

Contoh 1.7

p : pukul 8.00

q : bel sekolah berbunyi

p → q : Jika pukul 8.00 maka bel

sekolah berbunyi

p → q• Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi

• Jika pukul 8.00, bel sekolah berbunyi

• Pukul 8.00 mengakibatkan bel sekolah berbunyi

• Pukul 8.00 syarat cukup agar bel sekolah berbunyi

• bel sekolah berbunyi syarat perlu bagi pukul 8.00

• bel sekolah berbunyi bilamana pukul 8.00

• Bel sekolah berbunyi jika pukul 8.00

p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi Kasus 1

Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah berbunyi.

Pernyataan guru benar

Kasus 2

Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah tidak berbunyi

Pernyataan guru salah

Kasus 3

Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 12.00) dan bel sekolah berbunyi

Pernyataan guru benar karena agar bel berbunyi tidak hanya

ketika jam 8.00 tetapi saat istirahat dan pulang sekolah.

Kasus 4

Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 7.00) dan bel sekolah tidak berbunyi

pernyataan guru benar

Nilai Kebenaran Operasi “→”

p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi Kasus 1

Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah berbunyi.

Pernyataan guru benar

Kasus 2

Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah tidak berbunyi

Pernyataan guru salah

Kasus 3

Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 12.00) dan bel sekolah berbunyi

Pernyataan guru benar karena agar bel berbunyi tidak hanya

ketika jam 8.00 tetapi saat istirahat dan pulang sekolah.

Kasus 4

Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 7.00) dan bel sekolah tidak berbunyi

pernyataan guru benar

Nilai Kebenaran Operasi “→”

Contoh Program

“”””Program Pangkat””””   Input : #include <stdio.h> int pangkat (int a,int b) {int i, bil = a;

if(b==1)return a; else{ for (i=2;i<=b;i++)a = a * bil;return a;}} void main() { int x,y,hasil;printf("Masukan Sebuah Bilangan:"); scanf("%i",&x); printf("Masukan Nilai Pangkat:") ;scanf("%i",&y); hasil = pangkat (x,y);printf("Hasil Pangkatnya adalah : %i",hasil);}

LATIHAN 1.7

Kerjakan Soal No 9, 10, 13 (Hal 44-45)

Def. 1.8 Varian Proposisi Bersyarat

Def. 1.8 Varian Proposisi Bersyarat

Implikasi ≡ kontraposisi

p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi

-q → -p : Jika bel sekolah tidak berbunyi maka bukan pukul 8.00

Def. 1.9 Biimplikasi (bikondisional)

Misalkan p dan q adalah proposisi.

Proposisi Majemuk “p jika dan hanya jika

q” disebut sebagai Biimplikasi/

Bikondisional dengan notasi : p↔q.

Pernyataan p↔q benar bila memiliki nilai

kebenaran yang sama.

Def. 1.9 Biimplikasi (bikondisional)

Contoh 1.9 Biimplikasi

PERNYATAAN IMPLIKASI p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi p → q : Bel sekolah berbunyi, Jika pukul 8.00

PERNYATAAN BIIMPLIKASI p↔ q : pukul 8.00 Jika dan Hanya Jika bel sekolah

berbunyi q ↔p : Bel sekolah berbunyi Jika dan Hanya Jika pukul 8.00

ARTINYA

p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi

dan

q → p : Jika bel sekolah berbunyi maka pukul 8.00

Contoh 1.9 Biimplikasi

PERNYATAAN IMPLIKASI p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi p → q : Bel sekolah berbunyi, Jika pukul 8.00

PERNYATAAN BIIMPLIKASI p↔ q : pukul 8.00 Jika dan Hanya Jika bel sekolah

berbunyi q ↔p : Bel sekolah berbunyi Jika dan Hanya Jika pukul 8.00

ARTINYA p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi

dan q → p : Jika bel sekolah berbunyi maka pukul 8.00

Perbandingan

Contoh 1.9 Biimplikasi

Tugas Kuliah 2

Kerjakan Latihan Hal 44 – 45

No. 14, 16, 17, 18, 19

1.10 Inferensi

Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi

1.Modus Ponen

2.Modus Tollen

3.Silogisme Hipotesis

4.Silogisme disjungtif

5.Simplifikasi

6.Penjumlahan

7.Konjungsi

1.10.1 Modus Ponen

Dasar : Tautologi

ContohJika nilai ujian di atas 80 maka nilai Mutu = A

Nilai ujian = 84 .

Nilai Mutu = A

1.10.2 Modus Tollen

Dasar : Tautologi

ContohJika nilai ujian di atas 80 maka nilai Mutu = A

Nilai Mutu ≠ A .

Nilai Ujian di bawah (atau sama dengan) 80

1.10.3 Silogisme Hipotesis

Dasar : Tautologi

ContohJika saya belajar giat maka cepat lulus kuliah

Jika saya cepat lulus kuliah maka saya cepat menikah

Jika saya belajar giat maka saya cepat menikah

1.10.4 Silogisme Disjungtif

Dasar : Tautologi

ContohSaya Belajar giat atau saya kerja tahun depan

Saya malas belajar .

Saya kerja tahun depan

1.10.5 Simplifikasi

Dasar : Tautologi

ContohBudi Mahasiswa IPB dan Unpak

Budi Mahasiawa IPB

Budi Mahasiswa IPB dan Unpak

Budi Mahasiawa Unpak

1.10.6 Penjumlahan

Dasar : Tautologi

Contoh Saya mahasiswa Unpak

Saya mahasiswa Unpak atau Artis hollywood

1.10.7 Konjungsi

Dasar : Tautologi

ContohDeni mengambil kuliah logika matematika

Deni mengambil kuliah matematika komputasi

Deni mengambil kuliah logika matematika dan matematika komputasi

1.11. Argumen (Defenisi)

Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai :

Hipotesis(Premis)

Atau

KonklusiSebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bila mana hipotesis benar (atau Tautologi pada implikasi argumen); sebaliknya argumen dikatakan palsu atau invalid

Memeriksa Kebenaran Argumen

1. Cek kesesuaiannya dengan modus/kaidah yang ada

2. Gunakan Defenisi Argumen

3. Periksa implikasi argumen

Periksa Kesahihan Argumen Berikut

Jika Gelas Pecah Maka Ibu Marah

Ibu Marah . Gelas Pecah

Contoh 1.11.1

Jika air laut surut setelah gempa di laut maka tsunami datang

Air laut surut setelah gempa dilaut ,

karena itu tsunami datang.

Contoh 1.11.2

Jika air laut surut setelah gempa di laut maka tsunami datang

Tsunami datang ,

air laut surut setelah gempa di laut.