MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

8 Februari 2017

Sasaran Kuliah Hari Ini

9.1 Barisan Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan, bila mungkin, menghitung limitnya

9.2 Deret Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya

9.3 Deret Positif: Uji Integral

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral

2/12/2014 2(c) Hendra Gunawan

9.2 DERET TAK TERHINGGAMA1201 MATEMATIKA 2A

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 3

Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya

Berapa Luas Daerah yang Diarsir?

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 4

…. dst.

Deret Tak Terhingga & Hampiran

Dengan turunan pertama, kita mendapatkanhampiran

Bila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kitaakan dapatkan hampiran yang lebih baik

Kelak kita dapat menunjukkan bahwa

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 5

.0,sin xuntukxx

.0,sin6

3

xuntukxx x

.,......sin!5!3

53

xuntukxx xx

Deret Tak Terhingga & Hampiran

Pertanyaannya adalah: apa arti penjumlahan

dan bagaimana mengetahui jumlah tsb ada?

Secara umum, bila an ϵ R untuk tiap n ϵ N, apaarti penjumlahan

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …

dan bagaimana menghitungnya?

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 6

......!5!3

53

xxx

Definisi Deret Tak Terhingga

Bentuk penjumlahan

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …

disebut sebagai deret tak terhingga atausingkatnya deret, dan biasanya dituliskandengan notasi sigma

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 7

.1

n

na

Bagaimana Memaknai Deret

Diberikan suatu deret

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …

kita dapat menghitung jumlah parsial-nya:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

…

SN = a1 + a2 + … + aN…

Dalam hal ini kita peroleh barisan {SN}.2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Bagaimana Memaknai Deret

Jika {SN} konvergen ke S, maka deret tersebutdikatakan konvergen (ke S) dan kita definisikan

Bilangan S disebut sebagai jumlah deret tsb.

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 9

.lim...321

1

SSaaaa NN

n

n

Deret Geometri

Deret geometri , dengan a ≠ 0 dan r ≠ 1,

mempunyai jumlah parsial

Jika |r|< 1, maka dan dalam hal ini

Jika |r| > 1 atau r = -1, {SN} div.

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 10

1

1

n

nar

.1

)1(

r

raS

N

N

,0lim

N

Nr

.1

limr

aSN

N

Contoh

Deret merupakan deret geometri dengan

suku pertama a = ½ dan rasio r = ½. Jadi deret inikonvergen dan jumlahnya adalah S = 1.

Deret merupakan deret geometri

dengan suku pertama a = -1 dan rasio r = -1.

Jadi deret ini divergen.

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 11

12

1

n

n

1

)1(n

n

Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan

Jika deret konvergen, maka

Jika maka deret divergen.

Contoh. divergen karena

Catatan. Hati-hati! Walau belum

tentu konvergen. Contohnya2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 12

1n

na .0lim

nn

a

,0lim

nn

a

1n

na

1

)1(n

n.0)1(lim

n

n

,0lim

nn

a

1n

na

1

1 .n

n

Deret Harmonik

Di sini Tapi deret ini divergen, karena:

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 13

1

1

n n

1

...1

...3

1

2

11

1

n nn

.01

lim nn

n

n

nS n

1...

2

1

2

1

2

11

1...

8

1...

5

1

4

1

3

1

2

11

1...

5

1

4

1

3

1

2

11

Deret Kolaps (Berjatuhan)

Deret konvergen, karena

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 14

1 )1(

1

k kk

.11

11

1

11...

3

1

2

1

2

1

1

1

1

11

)1(

1

1 1

nbilan

nn

kkkkS

n

k

n

k

n

Teorema Kelinearan Deret

Jika dan konvergen, dan c konstanta,

maka

(i)

(ii)

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 15

1n

na

1n

nb

1 1

,n n

nn acca

1 1 1

.)(n n n

nnnn baba

Catatan

Jika divergen dan c ≠ 0, maka

divergen.

Sebagai contoh, divergen karena

divergen.

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 16

1n

na

1n

nca

1 100

1

n n

1

1

n n

9.3 DERET POSITIF: UJI INTEGRALMA1201 MATEMATIKA 2A

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral

Deret Positif

Deret disebut deret positif apabila an ≥ 0

untuk tiap n ϵ N. Pada bagian ini, kita hanyaakan membahas deret positif.

Teorema (Uji Jumlah Terbatas). konvergen

jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas.

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 18

1n

na

1n

na

Contoh/Latihan

Buktikan bahwa deret berikut konvergen.

1.

2.

Petunjuk. Periksa keterbatasan jumlah parsial Sn.

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 19

1 !

1

n n

12

1

n n

Uji Integral

Misalkan f fungsi yang kontinu, tak negatif, dantak naik pada [1,∞), dan an = f(n). Maka deret

konvergen jika dan hanya jika integral tak wajar

konvergen.

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 20

1n

na

1

)( dxxf

Contoh

Deret konvergen, karena integral

konvergen.

Deret konvergen jika dan hanya jika p > 1.

[Hasil ini mengukuhkan bahwa divergen.]

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 21

12

1

n n

1

2

1dx

x

1

1

npn

1

1

n n

Latihan

Selidiki apakah deret di bawah ini konvergenatau divergen.

1. .

2. .

3. .

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 22

141n n

n

3 )ln(lnln

1

n nnn

2 ln

1

n nn