Bab v Homomorpisme Gel

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

1/26

Bab V

BAB V

Homomorpisme Gelanggang

A. Konsep Homomorpisme Gelanggang

Homomorpisme gelanggang merupakan perluasan konsep darihomomorpisme grup. Dalam grup hanya melibatkan satu operasi

biner, sedangkan dalam gelanggang melibatkan dua operasi biner,

maka homomorpisme gelanggang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 5.1:

MisalkanRdanR adalah dua gelanggang. Pemetaanf :RRdisebut homomorpisme, apabila a, b Rberlaku

f(a+ b) =f(a) +f(b) dan f(ab) =f(a)f(b).

Jika pemetaan f tersebut surjektif (onto), maka f disebut

epimorpismedan dikatakan bahwa Rhomomorpikdengan Ryang

ditulisR R, sertaRdisebut peta homomorpik dariR. Jika pemetaanf tersebut injektif (1 1), maka f disebut monomorpisme. Jikapemetaan tersebut surjektif (onto) dan injektif (1 - 1), makafdisebut

isomorpisme dari R ke R. Apabila ada suatu isomorpisme dari

gelanggang Rke gelanggang R, maka dikatakan bahwa R isomorpik

denganRdan ditulisR R. Homomorpisme dari suatu gelanggang kedirinya sendiri disebut endomorpisme. Endomorpisme yang bijektif

disebut automorpisme.

Contoh 5.1:

1. Misalkan R dan R adalah dua gelanggang. Pemetaan f : R Rdidefinisikan olehf(x) = z, untuk setiapx Rdanzadalah elemennol dariR. Maka dapat ditunjukkan bahwafsuatu homomorpisme.

Homomorpisme ini trivial dan disebut homomorpisme nol.

2. Misalkan R suatu gelanggang. Pemetaan g : RRdidefinisikanoleh g(x) = x, x R. Maka dapat ditunjukkan bahwa g suatuautomorpisme.

3. B adalah gelanggang bilangan-bilangan bulat terhadap

penjumlahan dan perkalian aritmetik. B5 adalah gelanggang dari


2/26


kelas-kelas bilangan bulat modulo 5 dengan penjumlahan modulo 5

dan perkalian modulo 5. Pemetaan f : B B5 didefinisikan olehf(x) = x, untuk setiap x B. Akan ditunjukkan bahwa f suatuhomomorpisme dari Bonto B5,sehingga B B5. Homomorpismeseperti ini disebut homomorpisme natural.

Ambil sebarangx, y B, makaf(x) =x, f(y) =y, sehinggaf(x+y) =x+y=x+y=f(x) + f(y) dan

f(xy) =xy=xy=f(x)f(y).

Jadifsuatu homomorpisme.

Ambil sebarang a B5, maka ada a Bsedemikian hinggaf(a) = a.Jadif suatu pemetaan surjektif.

Sehingga f suatu homomorpisme dariBontoB5 atau B B5.

4. B adalah gelanggang bilangan-bilangan bulat terhadap

penjumlahan dan perkalian aritmetik. Misalkan n suatu bilangan

bulat positif yang lebih dari 1 dan N adalah himpunan semua

bilangan bulat kelipatan n. N adalah suatu ideal dari B, sehingga

B/N, yaitu himpunan semua koset kanan dari N dalam B adalahsuatu gelanggang faktor dari Boleh N. Bnadalah gelanggang dari

semua kelas bilangan bulat modulo n, dengan penjumlahan dan

perkalian modulo n. Didefinisikan pemetaan

g:B/N Bnolehg(N+ a) = a, (N+a) B/N.

Akan ditunjukkan bahwa g suatu isomorpisme dariB/NkeBn, atau

B/N Bn.Diambil sebarang (N+a), (N+b) B/N, maka g(N+ a) = adan

g(N+ b) = b, sehingga

g((N+ a) + (N+ b)) =g(N+(a+ b))

= a+ b=g(N+a) +g(N+b), dan

g((N+ a)(N+ b)) =g(N+(ab))

= ab

=g(N+a)g(N+b).

Jadigadalah suatu homomorpisme.

Ambil sebarang a Bn, maka ada (N + a) B/N, sedemikianhingga f(N+a) = a, makagadalah suatu pemetaan surjektif.


3/26

Bab V

Ambil sebarang (N+ a), (N+ b) B/N, sedemikian hinggag(N+a) =g(N+b),

a= b,

ab(modN)

(a b) N,N+ a=N+ b.

Hal ini berartigsuatu pemetaaan injektif

Jadi g adalah suatu isomorpisme dariB/NkeBn, yaituB/N Bn.

5. M = , bilangan real0

a ba b

a

dengan penjumlahan dan

perkalian matriks adalah suatu gelanggang. R adalah gelanggang

semua bilangan real dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik.

Pemetaanf:MRdidefinisikan olehf(0

a b

a

) = a, 0

a b

a

M. Akan ditunjukkan bahwa f suatu homomorpisme dari MontoR.

Misalkan0

a b

a

,0

c d

c

M, maka f(0

a b

a

) = a dan f(

0

c d

c

) = c, sehingga

f(0

a b

a

+0

c d

c

) = f(0

a c b d

a c

)

= a + c

= f(0

a b

a ) + f(

0

c d

c )

f(0

a b

a

0

c d

c

) = f(0

ac ad bc

ac

)

= ac

=f(0

a b

a

) f(0

c d

c

).


4/26


Jadif suatu homomorpisme.

Ambil a R, maka ada0

a b

a

M, sedemikian hinggaf(0

a b

a

) = a. Ini berarti fsuatu pemetaan surjektif (onto)

6. MisalkanKadalah gelanggang bilangan-bilangan kompleks danM

adalah gelanggang matriks-matriks persegi berordo 2 yang elemen-

elemennya bilangan real.

Pemetaanf:KMdidefinisikan oleh

f(a+ bi) = , ( )a b

a bi K b a

.

Akan ditunjukkan bahwafsuatu isomorpisme.

Ambil sebarangx, y Kdenganx= a+ bidany = c+ di, maka

f(x) =f( a+bi) =a b

b a

dan f(y) =f(c+ di) =

c d

d c

,

maka (x+y) Kdanxy K, sehingga

f(x+y) =f((a+ bi) + (c+ di)) =f((a+ c) + (b+ d)i)

=a c b d

b d a c

=a b

b a

+c d

d c

=f(x) +f(y)

dan f(xy) =f((a+ bi)(c+ di)) =f((ac- bd) + ( ad+ bc)i)

=ac bd ad bc

ad bc ac bd

=a b

b a

c d

d c

=f(x)f(y).



5/26

Bab V

Pemetaanfadalah 1-1, sebab jikax, y K denganx= a+ bidany= c+ di sedemikian sehinggaf(x) =f(y) maka

f(a+ bi) =f(c+ di)

a b

b a

=

c d

d c

a = c dan b = d

a+ bi= c+ di

x =y.

Selanjutnyaf surjektif, sebab jikaa b

b a

M, maka ada

bilangan kompleks a+bi sedemikian sehingga

f(a+ bi) =a b

b a

.

Jadifsuatu isomorpisme dariKkeMdan ditulisK M.

7. B4danB10berturut-turut adalah gelanggang kelas-kelas bilangan

bulat mod 4 dan mod 10. Dibentuk pemetaanf :B4B10yang

didefinisikan olehf(x) = 5x, x B4. Akan ditunjukkan bahwafsuatu homomorpisme.

Pertama ditunjukkan bahwafsuatu pemetaan yang terdefinisi

dengan baik. Misalkanx, y B4danx=y, yaituxy= 4k, untuksuatu bilangan bulat k, maka 5x 5y= 20katau 5x= 5y, yaituf(x)

=f(y). Jadi f terdefinisi dengan baik.

Selanjutnya, misalkan x +y= 4t +sdanxy= 4q + rdengan

0 s, r< 4, maka

f(x+y) =f(s) = 5s= 5x + 5y 20t= 5x+ 5y=f(x) +f(y)f(xy) =f(r) = 5r= 5xy 20q= 5 . 5xy= 5x. 5y=f(x)f(y)


Berikut ini suatu teorema yang telah dinyatakan sebagai suatu

teorema homomorpisme pada suatu grup aditif.

Teorema 5.1:


6/26


Jikafsuatu homomorpisme dari gelanggangR ke gelanggang

R, maka (i). f(z) = z dengan z dan z berturut-turut elemen-

elemen nol dariRdanR. (ii).f(-a) = -f(a), a R.

Bukti :

(i). Ambil a Rmaka a+z= a, sehinggaf( a +z) =f(a)f(a) +f(z) =f(a)f(a) +f(z) =f(a) +z

f(z) =z

(ii). Ambila Rmaka a+ (-a) = (-a) + a=za+ (-a) =z dan (-a) + a=z

f(a+ (-a)) =f(z) dan f((-a) + a) =f(z)

f(a) +f((-a)) =z dan f(-a) +f(a) =z

Dari dua kesamaan terakhir ini disimpulkan f(-a) = -f(a).

Teorema 5.2:

Apabila fsuatu homomorpisme dari gelanggangRke gelanggang

R, maka f(R) adalah anak gelanggang dariR.

Bukti :

Ambil a, bf(R) sedemikian sehingga a=f(a) dan b=f(b) untuksuatu a, b R. Karena a, b R danRsuatu gelanggang, maka a- b

R, sehinggaf(a- b) f(R) danf( a- b) =f(a) +f(-b)

=f(a) -f(b)

= a- b

Jadi a- bf(R).Demikian pula karena a, b RdanRsuatu gelanggang, maka ab Rsehinggaf(ab) f(R) danf(ab) =f(a)f(b) = ab f(R).Selanjutnya mengingatf(z) =zf(R), makaf(R) danf(R) R,sehinggaf(R) adalah anak gelanggang dariR.

Teorema 5.3:

Setiap peta homomorpik dari suatu gelanggang komutatif adalah

gelanggang komutatif.


7/26

Bab V

Bukti :

MisalkanRsuatu gelanggang komutatif danRsuatu gelanggang serta

f suatu homomorpisme dari R onto R. Ambil a , bR, karena fsuatu pemetaan yang onto, maka ada a, b Rsedemikian sehinggaf(a)= a danf(b) = b. Selanjutnya akan ditunjukkan ab= ba.

ab=f(a)f(b)

=f(ab) , sebabfsuatu homomorpisme

=f(ba) , sebab a, b RdanRgelanggang komutatif=f(b)f(a) , sebabf suatu homomorpisme

= ba.

JadiRadalah suatu gelanggang komutatif.

Pada teorema tersebut, apabilaRsuatu gelanggang dengan elemen

kesatuan u, maka

f(u) a=f(u)f(a) dan af(u) =f(a)f(u)

=f(ua) =f(au)

=f(a) =f(a)= a = a.

Sehinggaf(u) = uadalah elemen kesatuan pada gelanggangR.

Hal ini secara formal dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema 5.4:

Apabila R dan R adalah gelanggang-gelanggang dengan elemen

kesatuan dan f suatu homomorpisme dari R onto R, maka peta

elemen kesatuan dariRadalah elemen kesatuan dariR.

Definisi kernel dari homomorpisme gelanggang berikut ini mirip

dengan definisi kernel dari homomorpisme grup yang telah dipelajari

sebelumnya.

Definisi 5.2:

Apabilaf suatu homomorpisme dari gelanggang Rke gelanggang

R, maka himpunan semua elemen Ryang petanya adalah elemen


8/26


nol dari R disebut kernel dari homomorpisme f dan dinyatakan

denganKf atau ditulis sebagai

Kf= {x Rf(x) =z},zadalah elemen nol dariR

Pada contoh-contoh homomorpisme di muka, maka kernelnya

berturut-turut adalah

(1).Kf=R.

(2).Kg= {z}.

(3).Kf =B5= himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5.

(4).Kg= N= himpunan semua bilangan bulat kelipatan n.

(5)Kf=0

| bilangan real0 0

bb

(6)Kf= {0 + 0i}

(7)Kf= {0, 2}

Di dalam teori grup, kernel suatu homomorpisme merupakansubgrup normal dari grup domainnya, dan dalam homomorpisme

gelanggang, kernelnya merupakan ideal dari gelanggang domainnya.

Hal ini dinyatakan dalm teorema berikut ini.

Teorema 5.5 :

Jikaf suatu homomorpisme dari gelanggangRke gelanggangR,

maka kernel darif merupakan suatu ideal dariR.

Bukti :

Kernel darif, yaituKf= {x Rf(x) =z} makaKf R.Karenaf(z) =z, makazKf, sehingga Kf .Ambil a, b Kf makaf(a) =f(b) =z.Selanjutnya, f(a- b) =f(a) + f(-b)

=f(a) -f(b)

= z-z

= z.

Jadi (a- b) Kf.Ambil a Kf dan rRmakaf(ar) =f(a)f(r) dan f(ra) =f(r)f(a)

=zf(r) dan =f(r)z

=z =z.


9/26

Bab V

Jadi arKf dan ra Kf, sehinggaKfadalah ideal dariR.

Contoh 5.2:

M= {0a

b c

| a, b, cbilangan rasional} dengan penjumlahan dan

perkalian matriks adalah suatu gelanggang.

Pemetaanf:MMdidefinisikan olehf(0a

b c

) =0

0

a

c

,

0a

b c

M. Apabila0a

b c

,0p

q r

M, maka

f(0a

b c

) =0

0

a

c

danf(0p

q r

) =0

0

p

r

, sehingga

f(0a

b c

+0p

q r

) = f(0a p

b q c r

)

=0

0

a p

c r

=0

0

a

c

+0

0

p

r

= f(0a

b c

) +f(0p

q r

).

f(0a

b c

0p

q r

) = f(0ap

bp cq cr

=0

0

ap

cr

=0

0

a

c

0

0

p

r

= f(0a

b c

)f(0p

q r

).


10/26


Jadifsuatu homomorpisme, dalam hal inifadalah endomorpisme

padaM.

Inti (kernel) darifadalahK= {0a

b c

|f(0a

b c

) =0 0

0 0

},

yaitu K= {0 0

0b | bbilangan rasional}

Telah ditunjukkan pada bab sebelumnya bahwaKadalah suatu ideal

dariM dan f(M) = {0

0

a

c

| a, b, cbilangan rasional } adalah suatu

anak gelanggang dariM.

B. Teorema Homomorpisme

Misalkan S suatu ideal dari gelanggangR,makaR/Ssuatu

gelanggang faktor dengan operasi penjumlahan dan perkalian darikoset-koset SdalamRyang didefiniskan sebagai berikut.

(S+ a), (S+ b) R/Sberlaku(S+ a) + (S+ b) = S+ (a+ b) dan

(S+ a)(S+ b) = S+ ab.

Dari pengalaman dalam mempelajari homomorpisme grup, maka

dapat diduga bahwa ada suatu homomorpisme dariRontoR/S, yaitu

R R/S . Perhatikan bahwa setiap a R ada tepat satu koset dari Suntuk adalamR, sehingga dapat dibentuk suatu pemetaan

f :RR/S yang didefinisikan olehf(a) = S+ a, a R.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa f suatu homomorpisme dari R

ontoR/S. Homomorpisme seperti ini disebut homomorpisme natural.

Ambil sebarang a, b Rmakaf(a) = S+a,f(b) = S+b, dan (a+ b) Rserta ab Rsehingga

f(a+ b) = S+ (a+ b) dan f(ab) = S+ ab


11/26

Bab V

= (S+ a) + (S+ b) = (S+ a) (S+ b)

=f(a) +f(b) =f(a)f(b).

Jadifsuatu homomorpisme .

Ambil (S+ a) R/S, maka a Rsedemikian sehinggaf(a) = S+ a.Ini berartifsuatu pemetaan surjektif (onto). JadiR R/S.Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema berikut ini.

Teorema 5.6:

Setiap gelanggang faktor dari suatu gelanggang merupakan peta

homomorpik dari gelanggang tersebut. Atau dapat dikatakan, jika

Ssuatu ideal dari gelanggangR, makaRhomomorpik denganR/S.

Sebagai akibat dari teorema ini, apabila gelanggang R

homomorpik dengan gelanggangRdengan kernelK, makaR R/K.Selanjutnya akan ditunjukkan bahwaR R/K.

Karena gelanggang Rhomomorpik dengan gelanggang R, maka

ada suatu homomorpismefdariRontoR.Dibentuk pemetaan

g :R/K Ryang didefinisikan olehg(K+ a) =f(a), a R.

Pemetaan tersebut terdefinisi dengan baik, sebab jika (K+a), (K+b) R/K denganK+ a=K+ b, maka (a- b) K, sehingga

f( a- b) =z zadalah elemen nol dariR.

f(a) -f(b) =z

f(a) =f(b)

g(K+ a) =g(K+ b).

Akan ditunjukkan bahwagsuatu pemetaan 1-1.Ambil (K+ a), (K+ b) R/K sedemikian sehingga

g(K+ a) =g(K+ b), maka

f(a) = f(b)

f(a) -f(b) =z

f(a) +f(-b) =z

f(a- b) =z

maka (a- b) Ksehingga K+ a=K+ b.


12/26


Jadigsuatu pemetaan 1-1.

Akan ditunjukkan bahwagsuatu pemetaan onto.

Ambil aR, karenafsuatu homomorpisme dariRontoR, maka adaa dalam R sedemikian sehingga f(a) = a. Karena f(a) = g(K + a),

maka a=g(K+ a), untuk (K+ a) R/K. Jadig suatu pemetaan onto.

Akhirnya ditunjukkan bahwa g suatu homomorpisme dari R/K ke R

Ambil (K+a), (K+ b) R/K, makag(K+ a) =f(a) dang(K+ b) =f(b).(K+a) + (K+ b) =K+ (a+ b) dan (K+ a)(K+ b) =K+ (a b), maka

g((K+ a) + (K+ b)) =g(K+ (a + b))

=f( a+ b)

=f(a) +f(b)

=g(K+ a) +g(K+ b)

dan g((K+ a)(K+ b)) =g(K+ ab)

=f(ab)

=f(a)f(b)

=g(K+ a)g(K+ b)Jadigsuatu homomorpisme dariR/K keR. SehinggaR R/K.

Uraian di atas merupakan bukti dari teorema berikut ini. Teorema

ini biasa disebut dengan Teorema Isomorpisme Pertama.

Teorema 5.7:

Setiap peta homomorpik dari suatu gelanggang isomorpik dengan

suatu gelanggang hasilbagi pada gelanggang tersebut.

Atau dapat dikatakan :

Jikafsuatu homomorpisme dari gelanggangRonto gelanggangR

dengan kernelK, makaR/K isomorpik denganR.

Contoh 5.3:

1. Misalkan Qadalah gelanggang dari semua bilangan rasional dalam

bentuk sederhana (pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai

faktor persekutuan selain 1) yang penyebutnya bilangan bulat

gasal. I adalah himpunan dari elemen-elemen Q yang

pembilangnya merupakan bilangan genap. Tunjukkan bahwa I

suatu ideal dari Q, sebagai latihan!


13/26

Bab V

B2= {0, 1}, yaitu gelanggang kelas-kelas bilangan bulat modulo 2.

Pemetaanf: QB2didefinisikan sebagai berikut.

f 0, jika genap

1, jika gasal

aab a

Akan ditunjukkan bahwafsuatu homomorpisme dari QontoB2

dengan kernelI, sehingga B2 Q/I.

Ambila

b,

c

d Q, maka b, dbilangan gasal dan a, c genap atau

gasal. Selanjutnya,a

b+

c

d=

ad bc

bd

=

m

n, dan

a

b.

c

d=

a c

b d=

p

t.

Dengan tidak mengurangi keumuman penjumlahan dan perkalian

pecahan-pecahan dalam Q, maka pembilang dari hasil

penjumlahan dan hasil perkalian, yaitu mdanpmasing-masing

adalah genap atau gasal, sedangkan penyebutnya, yaitu ndan tkeduanya gasal.

Ada 3 kemungkinan untuk adan c, yaitu

(i) keduanya genap,

(ii) salah satu di antaranya genap dan yang lain gasal, dan

(iii) keduanya gasal.

(i) Jika adan ckeduanya genap, makaf(a

b) =f(

c

d) = 0, sehingga

f(a

b+

c

d) =f(

m

n) = 0 = 0 + 0 =f(

a

b) +f(

c

d) dan

f(a

b.

c

d) =f(

t) = 0 = 0 . 0 =f(

a

b)f(

c

d)

(ii). Jika agenap dan cgasal, maka mgasal danpgenap, sehinggaf(

a

b) = 0, f(

c

d) = 1. Selanjutnya,

f(a

b+

c

d) =f(

m

n) = 1 = 0 + 1 =f(

a

b) +f(

c

d) dan

f(a

b.

c

d) =f(

t) = 0 = 0 . 1 =f(

a

b)f(

c

d)


14/26


(iii) Jika adan cgasal, maka mgenap danpgasal, sehingga f(a

b) = 1, dan f(

c

d) = 1. Selanjutnya,

f(a

b+

c

d) =f(

m

n) = 0 = 1 + 1 =f(

a

b) +f(

c

d) dan

f(a

b .c

d ) =f( t ) = 1 = 1 . 1 =f(a

b )f(c

d ).

Jadi fsuatu homomorpisme dan kernelnya adalah

K= {a

bQ|f(

a

b) = 0} = {

a

bQ| agenap} =I.

Jelas bahwaf suatu pemetaan sujektif.

Jadifsuatu homomorpisme dari QontoB2dengan kernelI,

sehingga menurut teorema isomorpisme pertama B2 Q/I.

2. Misalkan T adalah gelanggang dari semua fungsi kontinu bernilai

real pada interval [0, 1], dengan penjumlahan dan perkalian yang

didefinisikan berturut-turut sebagai berikut.

(f +g)(x) =f(x) +g(x) dan

(fg)(x) =f(x)g(x), f,gTdanx [0, 1].

Pada bab sebelumnya telah dibuktikan bahwaI = {fT|f() = 0}adalah suatu ideal dari T.

Pemetaan : TRdidefinisikan oleh (f) =f(),f T.Radalah gelanggang dari semua bilangan real. Periksalah bahwa

adalah suatu homomorpisme dari T onto R dengan kernel I,

sehingga T/I R.

Misalkan R suatu gelanggang dan S = {z} adalah ideal dari R,

maka R/S = R adalah gelanggang faktor dari R oleh S. Selanjutnya

apabilafsuatu homomorpisme dariRontoRdengan kernel {z}, maka

R/S R, sehingga R R. Hal ini mengarahkan kita pada teoremaberikut ini:

Teorema 5.8:

Homomorpisme f dari gelanggang R onto gelanggang R adalah

suatu isomorpisme bila dan hanya bila kernel darif, yaituKf= {z}.


15/26

Bab V

Misalkan Ssuatu ideal dari gelanggang Rdan Tadalah ideal dari

R yang memuat S. Jadi S T R, maka S merupakan anakgelanggang dari T. Apakah Smerupakan ideal dari T?

Mengingat Ssuatu ideal dariR, maka a S, rRberlaku ar, ra S, dan karena T R, maka a S, rTberlaku ar, ra S.

Sehingga Sadalah ideal dari T.Selanjutnya, karena S suatu ideal dari T, maka T/S adalah suatu

gelanggang faktor. Demikian pula, karena Ssuatu ideal dari R, maka

R/S adalah suatu gelanggang faktor. Karena S TR, maka T/SR/S(Tunjukkanlah, sebagai latihan!).

Apakah T/S merupakan suatu ideal dariR/S ?

Ambil (S+ a), (S+ b) T/S, maka a, b T. Selanjutnya,(a b) T dan a b T (karena Tsuatu ideal)(a b) R dan a b R (T R)

S+ (a b) R/S dan S+ ab R/S(S+ a) (S+ b) R/Sdan (S+ a)(S+ b) R/SJadi T/Smerupakan anak gelanggang dariR/S

Ambil (S+ a) T/Sdan (S+r) R/S, maka a TdanrR.ar T dan ra T (Tsuatu ideal dariR)

(S+ ar) T/S dan (S+ra) T/S(S+ a)(S+ r) T/S dan (S+ r)(S+ a) T/S

Jadi T/Smerupakan suatu ideal dariR/S.

Dibentuk pemetaan f :R/S R/T yang didefinisikan olehf(S+x) = T+x, (S+x) R/S.

Ambil sebarang (S+a), (S+b) R/S, makaf(S+a)=T+a, f(S+b)=T+b,(S+ a) + (S+ b) R/Sdan (S+ a)(S + b) R/S, sehingga

f(S+ a) + (S+ b) = fS+ (a+ b)

= T+ (a+b)= (T+ a) + (T+ b)

=f(S+ a) +f(S+b)

dan f(S+ a)(S+ b) = fS+ (ab)

= T+ ab

= (T+ a)(T+b)

=f(S+ a)f(S+ b)

Jadifsuatu homomorpisme dariR/SkeR/T.


16/26


Pemetaanf onto, sebab (T+ a) R/T, (S+ a) R/Ssedemikian hinggaf(S+ a) = T+ a. Jadifsuatu homomorpisme dari

R/S ontoR/T.

Selanjutnya, kita akan menentukan kernel darif, yaitu

K= {(S+ a) R/Sf(S+ a) = T}

= {(S+ a) R/ST+ a= T}= {(S+ a) R/Sa T}= T/S

Sekarang, kita telah memperoleh bahwaR/Tmerupakan peta

homomorpik dariR/Sdengan kernel T/S, sehingga menurut teorema

pertama dari isomorpisme, dapat disimpulkan bahwaR/T / /R S

T S .

Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema yang biasa dinamakan

Teorema IsomorpismeKedua berikut ini.

Teorema 5.9 :

Misalkan Ssuatu ideal dari suatu gelanggangRdan Tadalah ideal

dariRyang memuat S, maka R/T / /R S

T S .

Contoh 5.4:

MisalkanR=B(12) = {0, 1, 2, . . . , 11}, yaitu gelanggang dari kelas-

kelas bilangan bulat modulo 12, dengan penjumlahan dan perkalian

modulo 12. S= {0, 4, 8} adalah suatu ideal dariR.

T= {0, 2, 4, 6, 8, 10} adalah ideal dariRyang memuat S, maka

R/S= {S, S+ 1, S+ 2, S+ 3}.

R/T= {T, T+ 1}

T/S= {S, S+ 2} = N.

Sedangkan / /R S

T S= {N,N+ (S + 1)}.

Tampak di sini bahwaR/T / /R S

T S .

MisalkanRsuatu gelanggang dan diketahui bahwa Ssuatu ideal

dariRdan Tanak gelanggang dariR. Dapat ditunjukkan bahwa

S+ T= {a + ba Sdan b T} merupakan anak gelanggang dariR.Ambix,y S+T, makax = a+bdany= c+d, untuk suatu a, c S

dan b, d T, sehinggaxy= (a+ b) ( c+ d)


17/26

Bab V

= (a c) + (b d)

Jadi (xy) S+ T, sebab (a c) Sdan (b d) T.xy = (a+ b)(c + d)

= ac+ ad+ bc+bd

Jadixy S+ T, sebab (ac+ ad + bc) Sdan bd TDan karena S+ T R, maka S+ Tanak gelanggang dariR.Ssuatu ideal dariRdan S+ Tanak gelanggang dariR, maka Ssuatu

ideal dari S+ T, sehingga (S+ T)/Sadalah suatu gelanggang faktor.

Dibentuk pemetaanf: T(S+ T)/Syang didefinisikan oleh

f(a) = S+ a, a T.

Akan ditunjukkan bahwa f suatu homomorpisme dari Tonto (S+T)/S.

Ambil a, b T, makaf(a) = S+a, f(b) = S+b, a+ b Tdan ab T,sehingga

f(a + b) = S+ (a+ b)

= (S+ a) + (S+ b)

= f(a) +f(b)dan f(a b) = S+ a b

= (S+ a) (S+ b)

= f(a)f(b)


Pemetaanfadalah onto, sebab jika S+ a (S+ T)/S, makaa (S+ T)a =s + t, untuk suatus Sdan t T.

S+ a= S+ (s+ t)

S+ a= (S+s) + (S+ t)

S + a= S+t, sebab S+s= Sdan S+ S= S

S+ a =f(t), sebab t T

Jadif suatu homomorpisme dariT onto (S+ T)/S.

Kita akan menentukan kernel darif, misalnyaK, yaitu

K= {t Tf(t) = S}, Sadalah elemen nol dari (S+ T)/S.= { t TS+ t = S}= { t Tt S}= S T


18/26


Sekarang, kita telah memperoleh bahwa (S+ T)/Smerupakan peta

homomorpik dari Tdengan kernel S T, sehingga menurut teoremapertama dari isomorpisme dapat disimpulkan bahwa

(S+ T)/S TS T .

Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema yang terkenaldengan nama Teorema IsomorpismeKetigayang dinyatakan

sebagai berikut.

Teorema 5.10 :

Misalkan Sadalah suatu ideal dari gelanggangR, dan Tsuatu anak

gelanggang dariR, maka (S+ T)/S TS T .

Contoh 5.5:

MisalkanBadalah gelanggang bilangan bulat. S= (3) dan T= (5),

maka S+ T=B, S T= (15), (S+ T)/S= {S, S+ 1, S+ 2},TS T = {(15), (15) + 5, (15) + 10}.

Tampak bahwa (S+ T)/S TS T .

Teorema 5.11 (Homomorpisme dari Bke Gelanggang dengan

Elemen Kesatuan)

MisalkanRsuatu gelanggang dengan elemen kesatuan u, maka

pemetaanf :BRyang didefinisikan olehf(n) = nu, n B,adalah suatu homomorpisme.

Bukti :Ambil m, n B, maka terdapat tiga keadaan dari mdan n, yaitu :

(i) Keduanya bilangan bulat tak negatif

(ii) Keduanya bilangan bulat negatif, dan

(iii)Salah satu tak negatif dan lainnya negatif.

(i) Jika m0 dan n0, makaf(m) = mudanf(n) =nu, sehingga

f(m+ n) = (m+ n) u= . . .

suku

u u u u

m n


19/26

Bab V

= . . .

suku

u u u u

m

+ . . .

suku

u u u u

n

= mu+ nu

=f(m) +f(n)

(ii) Jika m< 0 dan n< 0, makaf(m) = mudanf(n) = nu, sehingga

f(m+ n) = (m+ n) u= (-m n)(-u)= (-m)(-u) + (-n)(-u)

= mu+ nu

=f(m) +f(n)

(iii) Jika m0 dan n< 0, makaf(m) = mudanf(n) = nu, sehingga

f(m+ n) = (m+ n) u

= ( . . .

suku

u u u u

m

) ( . . .

- suku

u u u u

n

)

= mu+ (-n)(-u)

= mu+ nu

=f(m) +f(n)

Selanjutnya,f(mn) = (mn)u= (mn) uu= (mu)(nu) =f(m) +f(n)


Sebagai akibat dari Teorema 5.11, setiap gelanggang dengan

elemen kesatuan memuat anak gelanggang yang isomorpik denganBn

atauB,yang dinyatakan sebagai berikut.

Akibat 5.11.1:

JikaRsuatu gelanggang dengan elemen kesatuan dan karakteristik

dari R adalah n > 0, maka R memuat anak gelanggang yang

isomorpik dengan Bn. Jika karakteristik dari Radalah 0, maka R

memuat anak gelanggang yang isomorpik denganB.

Bukti:

Misalkan elemen kesatuan dari gelanggangRadalah u, maka S= {nu |

n B} adalah anak gelanggang dari R. Sesuai denga Teorema 5.11,pemetaan f : BS dengan f(n) = nu, adalah suatu epimorpisme.Selanjutnya, menurut Teorema Isomomorpisme Pertama, maka

B/Kf S. Kf = (n), dengan n adalah order aditif dari u, yaitukarakteristik dari R adalah n. Jadi S B/(n) Bn. Dan jikakarakteristik dariRadalah 0, maka S B/(0) B.


20/26


Akibat 5.11.2:

Jika karakteristik dari lapangan Fadalah suatu bilangan prima p,

maka Fmemuat anak lapangan yang isomorpik dengan Bp. Jika

karakteristik dariFadalah 0, makaFmemuat anak lapangan yang

isomorpik dengan Q.

Bukti:

Sesuai dengan Akibat 5.11.1, F memuat anak gelanggang yang

isomorpik dengan Bp, jika F mempunyai karakteristik p. Jika F

mempunyai karakteristik 0, makaFmemuat anak gelanggang Syang

isomorpik denganB. Perhatikan himpunan berikut ini.

T= {ab-1| a, b Sdanb z}

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa Tisomorpik dengan Q.

Irisan dari semua anak lapangan dari suatu lapangan adalah suatuanak lapangan dan disebut anak lapangan terkecil dari lapangan

tersebut. Anak lapangan seperti ini juga disebut anak lapangan prima.

Jadi menurut Akibat 5.11.2, anak lapangan prima dari suatu lapangan

yang mempunyai karakteristik p isomorpik dengan Bp, sedangkan

anak lapangan prima dari lapangan yang berkarakteristik 0 isomorpik

dengan Q.

Rangkuman

1.

Misalkan Rdan R adalah dua gelanggang. Pemetaan f : RRdisebut homomorpisme, apabila a, b Rberlaku

f(a+ b) =f(a) +f(b) dan f(ab) =f(a)f(b).

2.

Jika f suatu homomorpisme dari gelanggang R ke

gelanggang R, maka (i). f(z) = zdengan z dan z berturut-

turut elemen nol dariRdanR. (ii).f(-a) = -f(a), a R.3.

Apabilafsuatu homomorpisme dari gelanggang Rke gelanggang

R, makaf(R) adalah anak gelanggang dariR.


21/26

Bab V

4.

Setiap peta homomorpik dari suatu gelanggang komutatif adalah

gelanggang komutatif.

5.

Apabila R dan R adalah gelanggang-gelanggang dengan elemen

kesatuan dan f suatu homomorpisme dari R onto R, maka peta

elemen kesatuan dariRadalah elemen kesatuan dariR.

6.

Apabilafsuatu homomorpisme dari gelanggang Rke gelanggang

R, maka himpunan semua elemen Ryang petanya adalah elemen

nol dari R disebut kernel dari homomorpisme f dan dinyatakan

denganKf. Kf= {x Rf(x) =z},zadalah elemen nol dariR7. Jikafsuatu homomorpisme dari gelanggangR ke gelanggang R,

maka kernel darif merupakan suatu ideal dariR.

8. Jika Ssuatu ideal dari gelanggangR, makaRhomomorpik dengan

R/S.

9.

Jikafsuatu homomorpisme dari gelanggangRonto gelanggangR

dengan kernelK, makaR/K isomorpik denganR.

10.

Homomorpisme f dari gelanggang R onto gelanggang R adalah

suatu isomorpisme bila dan hanya bila kernel dari f, yaitu Kf =

{z}.11.

Misalkan Ssuatu ideal dari suatu gelanggangRdan Tadalah ideal

dariRyang memuat S, maka R/T / /R S

T S .

12.

Misalkan Sadalah suatu ideal dari gelanggangR, dan Tsuatu anak

gelanggang dariR, maka (S+ T)/S TS T .13.

Misalkan R suatu gelanggang dengan elemen kesatuan u, maka

pemetaan f : BR yang didefinisikan oleh f(n) = nu, n B,adalah suatu homomorpisme.

14.JikaRsuatu gelanggang dengan elemen kesatuan dan karaktristik

dari R adalah n > 0, maka R memuat anak gelanggang yang

isomorpik dengan Bn. Jika karakteristik dari Radalah 0, maka R

memuat anak gelanggang yang isomorpik denganB.15.

Jika karakteristik dari lapangan Fadalah suatu bilangan prima p,

maka Fmemuat anak lapangan yang isomorpik dengan Bp. Jika

karakteristik dariFadalah 0, makaFmemuat anak lapangan yang

isomorpik dengan Q.


22/26


Latihan 5

1.

a. Tunjukkan bahwaf: B5B10yang didefinisikan olehf(x) = 5x,bukan suatu homomorpisme.

b. Tunjukkan bahwa f: B3B12yang didefinisikan olehf(x) = 5x,

bukan suatu homomorpisme.

2.

a. Apakah gelanggang 2Bisomorpik dengan gelanggang 3B?

b. Apakah gelanggang 2Bisomorpik dengan gelanggang 4B?

3.

Apakah pemetaan f :B10B10yang didefinisikan oleh f(x) = 2x,merupakan suatu homomorpisme gelanggang.

4. Dalam B, misalkan A= (2) dan D= (8). Tunjukkan bahwa grup

A/Disomorpik dengan B4, tetapi gelanggangA/Dtidak isomorpik

dengan gelanggangB4.

5.

Misalkan Badalah gelanggang bilangan-bilangan bulat, 2B(+ , )adalah gelanggang bilangan-bilangan genap dengan operasi pada

2Bdidefinisikan oleh

a b = , , 22

aba b B .

Pemetaan f : B2B didefinisikan oleh f(a) = 2a, a B.Tunjukkanlah bahwafsuatu isomorpisme dariBke 2B.

6.

MisalkanB 2 = {a + b 2 | a,b B} danM= {2a b

b a

| a,b B}

Tunjukkan bahwa dua gelanggang tersebut isomorpik.

7. Buktikan bahwa setiap peta isomorpik dari suatu gelanggang

tanpa pembagi nol adalah suatu gelanggang tanpa pembagi nol.


23/26

Bab V

8.

Misalkan N = {0

a b

c

| a,b,c B} dan pemetaan f : N B

didefinisikan oleh f(0

a b

c

) = a. Selidiki, apakah f suatu

homomorpisme gelanggang?

9.

Buktikan bahwa peta isomorpik dari suatu medan adalah suatu

medan pula.

10.

Misalkan M = {a b

b a

| a,b B} dan pemetaan f : M B

didefinisikan olehf(a b

b a

) = a b.

(i)

Tunjukkan bahwafsuatu homomorpisme.

(ii)

Tentukan kernel darif.(iii)

Tunjukkan bahwaM/Kfisomorpik denganB.

11.

Misalkan R dan T adalah dua gelanggang. Pemetaan g : RTadalah suatu epimorpisme dengan kernel K. V suatu anak

gelanggang dari T dan U = g-1(V) = {a Rg(a) V}.Tunjukkanlah :

(i) Uadalah anak gelanggang dariRyang memuatK.

(ii)

Jika V suatu ideal kiri dari T, maka U juga suatu ideal kiri

dariR.

12.Apakah pemetaanfdariB5keB30yang didefinisikan olehf(x) = 6x

merupakan suatu homomorpisme gelanggang? Ingat bahwa peta

elemen kesatuan adalah elemen kesatuan dalam daerah hasil

(range), bukan elemen kesatuan dariB30.

13.B 2 = {a + b 2a, b bilangan-bilangan bulat} denganpenjumlahan dan perkalian aritmetik adalah suatu gelanggang.


24/26


Pemetaanf:B 2B 2 didefinisikan olehf(a+b 2 )= a- b 2 , (a+ b 2 ) B 2 . Tunjukkan bahwafsuatu isomorpisme.

14.

Misalkan suatu homomorpisme dari gelanggang R ke

gelanggang S.Aadalah anak gelanggang dariR danBsuatu ideal

dari S(i)

Jika rRdan nsuatu bilangan bulat positif, tunjukkan bahwa(nr) = n(r) dan (r)n= ((r))n.

(ii)

(A) = {(a) | a A} adalah anak gelanggang dari S(iii)

-1(B) = {rR| (r) B} adalah ideal dariR

15.

Misalkan M = , , bilangan real0

a ba b c

c

. Pemetaan

f :MMdidefinisikan olehf(0

a b

c

) =0

0

a

c

, untuk setiap

0

a b

c

dalamM. Tunjukkan bahwa fsuatu homomorpisme dan

tentukan kernelnya.

16.Tentukan semua homomorpisme gelanggang dari B ke B.

17.

P = {-

a b

b a

| a, b bilangan bulat} dengan penjumlahan dan

perkalian matriks adalah suatu gelanggang. Badalah gelanggang

bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik.

Pemetaan h : PB didefinisikan oleh h(-

a b

b a

) = a, untuk

setiap-

a b

b a

dalamP. Selidiki, apakah hsuatu homomorpisme

18.

Tentukan semua homomorpisme gelanggang dari B6 ke B6.

Demikian pula untuk B20ke B30.


25/26

Bab V

19.

M= {0a

b c

| a, b, cbilangan real} dan N = {

0 0

0 0

0 0

p

q

r

|p, q, r

bilangan real}. Pemetaang :MNdidefinisikan oleh

g(0a

b c ) =

0 0

0 0 0

0 0 0

a

, untuk setiap 0ab c

dalamM.

(i)

Tunjukkan bahwag suatu homomorpisme.

(ii)

Tentukang(M) dan

(iii)

Tentukan kernel darig.

20.Misalkan R dan T adalah dua gelanggang. Pemetaan g : RTadalah suatu epimorpisme dengan kernel K. V suatu anak

gelanggang dari T dan U = g-1(V) = {a R g(a) V}.Tunjukkanlah:

(i)

Uadalah anak gelanggang dariRyang memuatK.

(ii)

U/K V

21.Badalah gelanggang bilangan-bilangan bulat. Padalah himpunan

semua bilangan bulat kelipatan pdengan psuatu bilangan prima.

Bp = { 0, 1, 2, , p-1} dengan penjumlahan modulo p dan

perkalian modulo p adalah suatu gelanggang. Tunjukkanlah

bahwa B/P Bp

22. MisalkanRdan Tmasing-masing adalah gelanggang.

R T= {(r, t) rR, tT}. Kesamaan, penjumlahan dan perkaliandua elemen sebarang dalamR Tdisefinisikan sebagai berikut.

(a, b), (c, d) R T, (a, b) = (c, d) jika dan hanya jika a= cdanb= d, (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) dan (a, b)(c, d) = (ac, bd)

(i)

Tunjukkanlah bahwaR Tadalah suatu gelanggang !

(ii)

Tunjukkanlah bahwa G= {(r, 0) r R} danH= {(0,s) s T} berturut-turut adalah ideal-ideal dariR Tyang isomorpik

denganRdan T!

23. MisalkanM= , , bilangan real0

a ba b c

c

dan


26/26


I=0

bilangan real0 0

bb

Tunjukkanlah bahwa :

(i). M adalah suatu gelanggang terhadap penjumlahan dan

perkalian matriks.

(ii) I adalah suatu ideal dariM.

(iii). M/I isomorpik dengan R R, dengan Radalah medan darisemua bilangan real.

24.

MisalkanI danJmasing-masing adalah ideal dari gelanggangR.

M=R/I danN=R/J. Tunjukkan bahwa pemetaan g:RMNyang didefinisikan oleh g( r) = (r+I, r+J), rR, adalah suatuhomomorpisme dengan kernelK=I J.

25.

Buktikan bahwa setiap gelanggang homomorpik dengan

gelanggang dari endomorpisme pada grup aditifnya.

Bab v Homomorpisme Gel

Documents

Transcript of Bab v Homomorpisme Gel