TEORI RELATIVITAS DAN KOSMOLOGI Dr. Eng. Rinto Anugraha NQZ Jurusan Fisika FMIPA UGM 2011 PRAKATA Bismillahirrahmanirrahim Alhamdulillah,akhirnyabukuTeoriRelativitasdanKosmologiinidapatkami selesaikan.BukuinidisusununtukdigunakansebagaibahanperkuliahanmatakuliahTeori Relativitas di Jurusan Fisika FMIPA UGM. Isi buku ini sedapat mungkin disesuaikan dengan silabus mata kuliah yang terdapat dalam Buku Panduan FMIPA UGM.Penyajian buku ini dimulai dari Teori Relativitas Khusus, serta beberapa penerapannya, baikpadabidangElektrodinamika,maupundinamikapartikelrelativistik.Selanjutnya ditelaahTeoriRelativitasUmumyangdiawalidarianalisismatematikatensor.Setelah merumuskanpersamaangravitasiEinstein,disajikanbeberapapenerapanTeoriRelativitas Umum, seperti pada lubang hitam, presesi orbit planet, pergeseran cahaya bintang, kosmologi dan lain-lain. Khusus pembahasan kosmologi disediakan dua bab,yaitu pada Bab V dan VI. PadaBabpenutup,ditelaahdinamikagerakpartikeldanfotonbaikdalamlubanghitam maupun di jagad raya. Meskitelahdisiapkancukuplama,kamimenyadaribahwabukuinimasihmemiliki banyak kekurangan. Diantaranya, tidak terdapat soal-soal latihan. Barangkali pula di sana sinimasihterdapatsalahtulisdanketik.Karenaitukamidengantanganterbukasangat mengharapmasukanpositifdariparapembaca,dalamrangkapenyempurnaanbukuini. Akhirnyakamiberharap,semogabukuinidapatbermanfaatbagipengembanganfisikadi masa depan. Yogyakarta, Mei 2011 Dr. Eng. Rinto Anugraha NQZ DAFTAR ISI BAB ITEORI RELATIVITAS KHUSUS 1 1.1Pendekatan Energetika dan Penjabaran KaedahTransformasi Lorentz2 1.2Transformasi Lorentz untuk besaran ( p

, E )9 1.3Metode lain penurunan bentuk eksplisit besaran-besaranfisis relativistik15 1.4Transformasi Lorentz Vektor-4 melalui Transformasi Koordinat-418 1.5Kaedah Transformasi untuk Vektor18 1.6Ruang-Waktu Minkowski dan Kaedah Transformasi Lorentz19 1.7Transformasi Lorentz untuk besaran-besaran elektrodinamika25 Soal-Soal Latihan Bab I30 BAB IIPENERAPAN TEORI RELATIVITAS KHUSUS33 2.1Paradoks Kembar33 2.2Tinjauan Gerakan Partikel relativistik yang dikenai Gaya Konstan dan Medan Gravitasi Seragam38 2.2.1Gerakan Partikel oleh Gaya Konstan38 2.2.2Gerakan Partikel dalam Medan Gravitasi Seragam42 2.3Efek Compton51 Soal-Soal Latihan Bab II58 BAB IIIANALISIS TENSOR DAN TEORI RELATIVITAS UMUM61 3.1Analisis Ruang Riemann61 3.2Operasi pada Tensor64 3.3Ruang Datar dan Lengkung65 3.4Tensor Metrik67 3.5Turunan Kovarian68 3.6Tensor Riemann-Christoffel, Ricci dan Einstein69 3.7Persamaan Geodesik71 3.8Teori Relativitas Umum72 3.9Hukum Gravitasi Einstein80 Soal-Soal Latihan Bab III86 BAB IVPENERAPAN TEORI RELATIVITAS UMUM93 4.1Penyelesaian Schwarzschild93 4.2Presesi Orbit Planet100 4.3Pembelokan cahaya bintang di sekitar massa massif105 4.4Gelombang gravitasi109 4.5Lubang hitam Schwarzschild dan Kruskal-Szekeres 111 4.6Struktur bintang115 Soal-Soal Latihan Bab IV119 BAB VKOSMOLOGI : SEJARAH JAGAD RAYA121 5.1Pendahuluan121 5.2Asas Kosmologi124 5.3Geometri Bolahiper125 5.4Metrik Robertson-Walker126 5.5Pergeseran merah galaksi127 5.6Ekspansi Jagad Raya130 5.7Sejarah Suhu Jagad Raya menurut Big Bang133 5.8Radiasi Kosmik Latar Belakang Gelombang Mikro 139 Soal-Soal Latihan Bab V145 BAB VIKOSMOLOGI : DINAMIKA JAGAD RAYA149 6.1Dinamika Jagad Raya149 6.2Rapat Energi dan Tekanan Jagad Raya155 6.3Masa Dominasi Materi157 6.4Horison Partikel dan Horison Peristiwa166 6.5Masa Dominasi Radiasi167 6.6Data Fisis Jagad Raya171 6.7Masa Depan Jagad Raya173 Soal-Soal Latihan Bab VI175 BAB VII DINAMIKA GERAK PARTIKEL DAN FOTON177 7.1Persamaan Gravitasi Einstein178 7.2Persamaan Geodesik179 7.3Dinamika Gerak Partikel dalam Medan Schwarzschild179 7.4Dinamika Gerak Foton dalam Bidang Datar Medan Schwarzschild183 7.5Dinamika Gerak Foton secara Radial dalam MedanSchwarzschild185 7.6Dinamika Gerak Partikel dan Foton dalam Jagad Rayabermetrik Robertson-Walker186 7.7Solusi Persamaan Eisntein untuk Jagad Raya187 7.8Dinamika Gerak Partikel dalam Jagad Raya188 7.9Dinamika Gerak Foton dalam Jagad Raya197 7.10Dinamika Metrik de Sitter198 7.11Dinamika Gerak Foton dalam Metrik de Sitter200 7.12Dinamika Gerak Partikel dalam Metrik de Sitter202 7.13Metrik dan Jagad Raya de Sitter204 7.14Dinamika Gerak Foton dalam Jagad Raya de Sitter205 Soal-Soal Latihan Bab VII207 Daftar Pustaka213 1 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BAB I TEORI RELATIVITAS KHUSUS Fisikaadalahilmuyangberupayasecarailmiahmenelaahgejalaalammulai dariskalamikro(partikelelementer)hinggaskalamakro(jagadraya),sertamulai dari kelajuan rendah hingga kelajuan maksimum. Teori relativitas merupakan salah satutulangpunggungfisikamodern.Sumbangannyaterutamadalambentuk penataandanpelurusankonsepkonsepdasardalamfisika,khususnyayang berkaitan dengan ruangwaktu, momentumenergi sebagai aspek kinematika semua gejalaalam,yangselanjutnyamengangkatcahayasebagaipembawaisyarat berkelajuan maksimum. Sumbanganteorirelativitas,dalamhaliniadalahteorirelativitaskhusus adalahmampumenampilkanpersamaanMaxwell,yangmerupakanpersamaan dasardalamelektrodinamika,dalambentukyangkovarian.Konsekuensiteori relativitaskhususadalahkelajuangelombangelektromagnetdalanruangvakum samadenganc(lajucahayadiruanghampa).Beberapapercobaanmenunjukkan bahwadalamelektromagnetik,tidakadakerangkaistimewa.Dalamkerangka inersial, kelajuan cahaya sama dengan c,atau dengan kata lain, c merupakan suatu besaraninvarian.SelainitusistempersamaanMaxwellberlakudalamsmua kerangka inersial, yang oleh karena itu konsep ruangwaktu dan momentumenergi yang mutlak harus diganti. Ada tiga asas yang melandasi teori relativitas khusus, yaitu : Asaskenol(Asasperpadanan/korespondensi):untuksetiapgerakanberkelajuan rendah(momentumrendah),konsepkonsepdanhukumhukumrelativistik yang muncul harus sesuai dengan konsepkonsepyang telahada dalam teori Newton. Asaspertama:Semuahukumalambersifattetapbentuknya(kovarian)terhadap perpindahanpeninjauandarikerangkainersialsatumenujukerangkainersial yang lain. 2 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Asaskedua:Lajumaksimalyangdapatdimilikiolehisyarattidakbergantung (invarian) dari kerangka acuan inersial yang digunakan.Nilai kelajuan maksimal c ini merupakan salah satu tetapan alam yang sangat pentingdalamfisikadanmemegangperananutamadalampenelusurankonsep ruangwaktusertamomentumenergi.Nilainyasebagaimanayangditetapkanoleh Badan Umum Internasional mengenai Berat dan Ukuran adalah c = 299792458 m/s. Haliniberartisatumeteradalahjarakyangditempuholehcahayadalamruang vakum selama selang waktu 1/299792458 detik. Terdapatduapendekatanyangdigunakanuntukmenelusurikaedah transformasiantarabesaranbesaranfisis(transformasiLorentz)darikerangka inersialyangsatu(K)menujukerangkainersialyanglain) K~( yangbergerak dengan kecepatan konstanV

terhadap K. Pendekatanpertamayangdigunakanbersifatkonvensionalyaitudengan memilihruangdanwaktusebagaivariabelawalyangdigunakandalam merumuskankaedahtransformasiLorentz.Denganpendekatanini,kaedah transformasi untuk besaran momentum dan energi baru ditelusuri kemudian. Pendekatankeduabersifatpendekatanenergetika,yaitudenganmemilih momentumenergisebagaivariabelawal,yangselanjutnyatransformasiuntuk besaranruangdanwaktubaruditampilkankemudian.MenurutMuslim(1997), pendekatan ini tampil lebih ringkas dan lebih sesuai apabila diterapkan untuk proses mikroskopik pada zarah elementer, mengingat datadata pada proses hamburan dan spektroskopi biasanya melibatkan besaran momentum dan energi. BerikutiniakandijabarkanperumusankaedahtransformasiLorentzmelalui pendekatan energetika (momentumenergi), mengacu pada Muslim (1997). 1.1 Pendekatan Energetika dan Penjabaran Kaedah Transformasi Lorentz Menurutasaskorespondensi,perumusanhukumNewtonkeduayang berbentuk dtdpF

=danr . F

d dE ==dW (1.1) 3 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ dapatpulaberlakudalamenergetikarelativistik(untukmomentumdanenergi relativistik),denganmodifikasidefinisibagimomentump

.Dalamhalini,F

adalahgayaluaryangmelakukankerjadWpadazarahdalamselangwaktudt, denganakibatterjadinyaperubahanmomentumsebesarp

d danenergisebesardE sewaktu zarah tersebut melakukan pergeseran sejauhr

d . Perubahan tenaga tersebut dapat dituliskan sebagai r .p

ddtddE==p . vr. p

ddtdd =.(1.2) Pada saat zarah dalam keadaan rehat ( v

=0

), energi zarah bernilai 0Eyang dinamakandenganenergirehat.Selanjutnyajikazarahbergerak( v

0

),energi zarahtersebutakanbertambahdenganenergikinetiksebesar kE menjadienergi total E yang dirumuskan sebagai kE E E + =0.(1.3) Jika zarah tersebut bergerak lurus makap v //sehingga dE = v dp.(1.4) Untuk foton dengan v = c konstan dan invarian (asas kedua teori relativitas), maka diperoleh energi foton sebesar + = = = konstan pc dp c dE E .(1.5) Mengingat tidak ada foton dengan kecepatan nol, maka disimpulkan bahwa tetapan konstan tersebut sama dengan nol. Jadi diperoleh 2 2 2c E p

=untuk v = c. (1.6) Selanjutnyauntukzarahbermassadenganvataupatau kE sembarang, bentukkuadratmomentum 2p

dapatdiuraikankedalamsuatuderetTaylordalam kE= 0E E yang berbentuk ...22 1 02+ + + =k kE a E a a p

(1.7) Untukzarahrehat(v=0),nilaip maupun kE =0,sehingga 0a =0.Dari sini,perilakuzarahuntukkecepatanrendahdiberikanolehkoefisien 1a .Untuk 4 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ zarahberkelajuantinggi, kE tinggisehingganilai 2 2kE E ,mengingatuntuk daerahini 0E dapatdiabaikan.Darikondisiinidiperoleh 20/ 1c a = ,sedangkan untuk 3a danseterusnyasamadengannol.Adapununtukkelajuanrendah,tentu saja01 a .Jadiuntuksembarangdaerahkelajuan/energikinetik,berlakukaitan dispersi untuk zarah bebas yang berbentuk 2 212/ c E E ak k + = = p . p p

untuk0 v c.(1.8) Apabila ungkapan di atas diambil turunannya, serta dengan mengingat bahwadE E E d dEk= = ) (0 (1.9) diperoleh dE c E a dk) / 2 ( 221 + = p . p (1.10) atau p .p

dc E adEk2121/ +=(1.11) yang harus =p . v d . Dari sini diperoleh kesamaan ( )2121/ c E ak+ = v p .(1.12) Pangkat dua persamaan di atas adalah + + =4221141 2 2cEcE aak kv p (1.13) yang harus bernilai sama dengan 2 212/ c E E ak k + = p

.(1.14) Duapersamaanterakhirdiatasdapatdituliskandenganmengumpulkan kE yang berpangkat sama sebagai 2 214122122221 1 v a EcvacEcvkk= + .(1.15) Dengan mengalikan persamaan di atas dengan ) / 1 (2 22c vc, diperoleh ) / 1 ( 42 22 2 21 212c vc v aE c a Ek k= + (1.16) 5 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ yang ternyata sama dengan 2 2c p . Dengan demikian 2 21/ 1 2 c vv ap= .(1.17) Untuk kelajuan rendah, berlaku rumus Newton : mv p =(1.18) dan 1 / 12 2 c v (1.19) sehingga 21v amv =ataum a 21 = .(1.20) Denganmengisikanhasilinikedalampers.(1.17)diperolehvektormomentum relativistik sebagai 2 2/ 1 c vm=vp

=v

m (1.21) dengan

2 2/ 11c v = 1. (1.22) Selanjutnya dengan mengisikan nilaim a 21 =ke dalam pers. (1.12) diperoleh ) / (2c E m mk+ = v v (1.23) atau ) 1 (2 = mc Ek. (1.24) Mengingatenergikinetikpartikeladalahenergirelativistikpartikeldikurangi dengan energi rehatnya, atau yang dituliskan sebagai

0E E Ek = (1.25) denganE= energi relativistik partikel dan 0E= energi rehat partikel. Selanjutnya dapat dilakukan identifikasi berikut : 6 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 222/ 1 c vmcmc E= = (1.26) dan

20mc E = (1.27) Untuk limit nonrelativistik, bentuk 2 2 2 2 2 / 1 2 22 / 1 ) 2 / 1 ( 1 ) / 1 ( 1 c v c v c v = + = (1.28) sehingga tenaga kinetik nonrelativistik menjadi 221 2 2 2) 2 / ( mv c v mc Ek= = (1.29) yang bersesuaian dengan teori Newton. Kuadrat energi relativistik partikel bernilai ( )2 2 2 2 2 2 4 22 2 2 24 22/ 11/ 1c v m c v m c mc v c vc mE + == = 2 2 4 2 222 22 22 2 4 2/ 1) / 1 () / 1 (c c m cc vmvc vc v c mp

+ =+ (1.30) sehingga 4 2 2 2c m c p E + = (1.31) Hubungan antarav p ,dan E dapat dituliskan dalam bentuk 22 2/cEc mc mvv v p

= = = .(1.32) Daripersamaan(1.31),dapatdibuatilustrasiyangmenggambarkanhubungan tersebut dalam segitiga siku-siku, seperi yang terdapat pada Gambar 1.1. E 2mc p Gambar 1.1 Segitiga siku-siku antara E, pc dan 2mc 7 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Contoh soal : Tentukankecepatansebuahpartikeldalamcataulajucahayadalamruanghampa agar a.rumus Newtonmv p =dapat digunakan dengan kesalahan 610. b.rumus 221mv Ek=dapat digunakan dengan kesalahan yang sama. c.rumusmv p = hanyamemberikansetengahdarinilaimomentumyang sebenarnya dimiliki partikel tersebut. d.rumus 221mv Ek= hanyamemberikannilaisetengahdariyangsebenarnya dimiliki oleh partikel tersebut. e.Tenaga kinetik partikel sama dengan 10 tenaga rehatnya. Jawaban : a.Jika rumus momentum2 / 1 2 2 / 1 2 2) 1 ( ) / 1 ( = = mv c v mv psepertiyangterdapatpadapersamaan(1.21)diuraikanmenggunakanderet, diperoleh...) 1 (483 221+ + + = mv p . DengandemikianrumusNewtonyanghanyamemuatsukupertamaderetdi atas dapat digunakan dengan kesalahan 610, jika 6 22110 ataum/s 10 24 , 4 10 41 , 15 3 = c v . Kecepatan ini cukup tinggi (lebih dari 100 kali kecepatan bunyi di udara). b.Tenaga kinetik partikel seperti dirumuskan pada persamaan (1.24) adalah] 1 ) 1 [(2 / 1 2 2 = mc Ek yang jika diuraikan ke dalam deret menjadi ...) 1 (243 221+ + = mv Ek. 8 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Jadisupayarumustenagakinetikklasikmasihdapatdigunakandengan tingkat kesalahan tersebut, maka 6 24310 atauc v310 15 , 1 . Nilai ini sedikit lebih kecil dari nilai pada (a). c.Untuk pertanyaan tersebut 2 / 1 2 221) / 1 ( = c v mv mvyang berartic v 321= . d.Untuk pertanyaan tersebut ] 1 ) / 1 [(2 / 1 2 2 221 221 =c v mc mvyang berarti 2 / 1 2 2) 1 ( 1 = + . Bentuk ini dapat dituliskan dalam bentuk 1 1 ) 1 )( 2 1 (2 4 6 2 4 2= + = + + sehingga 0 ) 1 (2 4 2= . Bentuk persamaan kuadrat dalam 2di atas memiliki akar positif ) 1 5 (21 2 = sehingga810 36 , 2 79 , 0 = = c vm/s. e.Untuk2 2 / 1 2 210 ] 1 ) 1 [( mc mc Ek= =maka9 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11 ) 1 (2 / 1 2= sehingga1211202= atau810 988 , 2 = vm/s. 1.2Transformasi Lorentz untuk besaran) , ( p

EDitinjautransformasiLorentzantarakerangkaKdankerangkaK~yang bergerakterhadapKdengankecepatanV,yangsecaralinearmenghubungkan perangkatbesaran) , , , (z y xp p p E dan)~,~,~,~(z y xp p p E sertasebagaibentuk pengkhususandipilihtransformasiyanghanyaditinjaukearahsalahsatusumbu koordinat saja, dalam hal ini dipilih sumbu x. Bentuk transformasi Lorentz tersebut adalah (Muslim, 1985) z z y y x x xp p p p aE p p bp E E = = + = + =~dan ~; ) (~; ) ( '~.(1.33) Jadipadabentukdiatas,komponenmomentumkearahsumbuydanztidak mengalamiperubahan,sehinggatransformasihanyamelibatkanpasangan) , (xp E . Untuk mencari parameterparameter transformasi yaitua , ' , dan b, akan ditinjau dua kasus khusus yaitu kasus partikel bermassa rehat m yang rehat masingmasing di K danK~. Ilustrasi tentang kerangka K danK~ terdapat pada Gambar 1.2. z~ z V

O~y~ Oy x x~ Gambar 1.2. Kerangka K danK~ 10 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Saat partikel rehat diK~, yang berarti 0~ ~ ~= = =z y xp p p (1.34) maka memberikan 0 = =z yp p (1.35) serta 0 = + aE px(1.36) atau aE px = .(1.37) Padahal hubungan antarav p ,dan E adalah 2cEvp

= (1.38) sehingga diperoleh kesimpulan 2cva = .(1.39) Mengingat partikel tersebut rehat diK~, itu berarti partikel tersebut bergerak dengan kecepatan xn V

= = V vdi K. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa

2cVa = .(1.40) Selanjutnya saat partikel rehat di K, yang berarti 0 = = =z y xp p p ,(1.41) yang dari transformasi Lorentz memberikan 0~ ~= =z yp p (1.43) serta .~ 222Vm mccVaE px = = = (1.44) PartikeltersebutberartibersamasamadengankerangkaKbergerakterhadapK~ dengankecepatan xn V

= = V v .DengandemikianmomentumpartikeldiK~ bernilai 11 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2 2/ 1 c VmVpx = (1.45) sehingga diperoleh 2 2/ 11c V = .(1.46) Kemudian dihitung nilai energiE~ diK~ menurut ) 0 ( '/ 1~22 22+ == mcc VmcE (1.47) sehingga diperoleh == 2 2/ 11'c V.(1.48) Untukmenentukantetapanb,ditinjaukembalipartikelyangrehatdiK~, sehingga transformasi Lorentz untuk energiE~ diK~ menghasilkan ) ( '~2 2mV b mc mc E + = = (1.49) atau ( )2 2 2 2 2221 / 1 mV c V mc mcmcbmV = = = (1.50) yang berarti bahwaV b = .(1.51) DengandemikiantransformasiLorentzantarakerangkaKdankerangkaK~ yangbergerakdengankecepatanVkearahsumbuxuntukperangkatbesaran) , , , (z y xp p p Edan)~,~,~,~(z y xp p p E adalah

2 2/ 1~c VVp EEx= ; (1.52) 2 22/ 1/~c Vc VE ppxx= ; (1.53)

z z y yp p p p = =~;~.(1.54) Selanjutnya dilakukan perluasan jika arahV

sembarang. Dengan melakukan substitusi : 12 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

//p px ; (1.55) p p pz ydan ;(1.56) V p

= V p V px //(1.57) diperoleh 2 2/ 1~c VEE =V p

;(1.58) 2 22///// 1/ ~c Vc E=V pp

; (1.59) = p p~(1.60) KarenaKbergerakterhadapK~dengankecepatanV

,makatransformasibalik untuk bentuk di atas adalah 2 2/ 1~ ~c VEE +=V p

; (1.61) 2 22///// 1/~ ~c Vc E+=V pp

; (1.62) = p p~ (1.63) Ditinjau sebuah partikel bermassa m yang bergerak di K dengan kecepatanv

dan diK~ dengan kecepatanv~.Kaedah transformasi untuk energiE~ di kerangka K~ memberikan

==2 2 2 222 2 2 22/ 1 / 1 / 11/ ' 1~c vmc vmcc V c vmcEV v

(1.64) yangdenganmembalikpembilangdanpenyebutpersamaandiatas,kemudian menyederhanakannya diperoleh

22 22 2 2 2/ 1/ 1/ 1 / ' 1cc vc V c vV v

= .(1.65) Jikapadapersamaandiatasdiisikanv=c,makavjugasamadenganc.Halini berarti kecepatan cahaya di semua kerangkaacuan inersial bernilai tetap (invarian)yang sama dengan c. 13 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Akibat lain dari persamaan di atas adalah dengan menuliskannya sebagai 2/ 11 1'1c V v

= (1.66) atau ) / 1 ('2c V v

=(1.67) Sementara itu dari pers. (1.63) untuk komponen momentum tegaklurus diperoleh

= v v m m ~' (1.68) yang menghasilkan kaedah kecepatan tegaklurus sebagai ) / 1 (~2c V vvv

=.(1.69) Sedangkan untuk komponen momentum yang sejajar, diperoleh ) ( ) / (~'//2 2// //V v V v v

= = m c mc m m (1.70) sehingga 2/// 1~c V vV vv

= .(1.71) Denganmenggunakankaedahpenjumlahankecepatandiatas,dapat diturunkan transformasi koordinat) , ( r

ctdan)~,~( r

t cmenurut resep dt d / r v =(1.72) dan t d d~/~ ~r v = . (1.73) Untuk transformasi kecepatan tegaklurus, diperoleh ) / 1 (~~2c dtdt ddV vrr

=.(1.74) DenganberlakunyasimetrigerakpadapanjangyangtegaklurusV

,untukvektor koordinat yang tegaklurus diperoleh = r r~ (1.75) dan sekaligus juga

= r r d d~,(1.76) sehingga 14 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ) / ( ) / 1 (~ 2 2c d dt c dt t d V r V v

= = .(1.77) Untuksyaratawal:0~= = t t dan0 r

= ,integrasipersamaandiatasmemberikan hasil transformasi waktu koordinat : ) / (~ 2c t t V r

= .(1.78) Sementaraitudarikaedahtransformasikecepatanyangsejajar,bentuknyadapat ditulis sebagai ) / 1 ( ) / 1 (~~~2//2////c dtdt dc dtdt ddV vV rV vrr

= = (1.79) atau ) (~// //dt d d V r r

= .(1.80) Dengan menerapkan syarat awal0~= = t tdan0 r r

= =// //~, maka pengintegralan persamaan di atas memberikan ) (~// //t V r r

= .(1.81) Gabungan antara pers. (1.75) dan (1.81) menghasilkan t V V V V r r r

+ =2/ ) )( 1 (~(1.82) Contoh Soal : Sebuahpesawatantariksadilihatdaribumisedangbergerakkearahtimurdengan kecepatani c vp6 , 0 =

dan dalam waktu lima detik akan bertabrakan dengan sebuah komet yang sedang bergerak ke arah barat dengan kecepatani c vk8 , 0 =

. a.Dilihat dari pesawat antariksa, berapakah kecepatan komet mendekatinya ? b.Menurutpilotpesawatantariksatersebut,berapawaktuyangtersediauntuk menghindari tabrakan tersebut? Jawaban : a.Ditinjaudaripesawatantariksayangbergerakdengankecepatan pv V

=terhadapbumi(kerangkaK),kecepatankometmendekatipesawattersebut dapat dicari dengan perumusan 15 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ i cc c cc cic V vV vvkk946 , 0/ ) 6 , 0 )( 8 , 0 ( 16 , 0 8 , 0/ 1'2 2////// = ==

. Jadikecepatankomettersebutmenurutpilotpesawatadalahc 946 , 0mendekati pesawat tersebut. b.Denganmenggunakandilatasiwaktu,dapatditentukanwaktuyangtersedia bagipilottersebutuntukmenghindaritabrakan.Karenafaktordilatasiwaktu adalah 25 , 1 ) 6 , 0 1 (2 / 1 2= = maka detik 4 detik25 , 15' = == tt . 1.3Metode lain penurunan bentuk eksplisit besaran besaran fisis relativistik Metrikruangwaktudatarempatdimensi(metrikMinkowski)yang digunakan dalam teori relativitas khusus muncul dari bentuk invarian metrik 2 2 2 2 2 2 2 2 2r

d dt c dz dy dx dt c dx dx ds + = + + + = = (1.83) dengan vektor koordinat4 kontravarian dirumuskan ) , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , (3 2 1 0 0r

ct z y x ct x x x x x x xm= = = =(1.84) Pada metrik pers. (1.83), komponen tensor metrik rank2 kovarian adalah 133 22 11 00= = = = (1.85) dan 0 =untuk .(1.86) Sementara itu pasangan komponen tensor metrik rank2 kontravarian adalah 133 22 11 00= = = = (1.87) dan 0 =untuk (1.88) Kaitan antara waktu pribadi dengan elemen garis s adalah 2 2 2 d c ds =(1.89) 16 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ sehingga pers. (1.83) menjadi ( )2 2 222 21dz dy dxcdt d + + = (1.90) Diperkenalkanvektorkecepatan3v

yangmemilikikomponenkomponen Cartesan dtdzvdtdyvdtdxvz y x= = = , , (1.91) Dengansubstitusikomponenkomponenkecepatan3diatas,pers.(1.90)dapat dituliskan menjadi [ ] = + + =222 2 2 222 21 ) / ( ) / ( ) / (11cdt dt dz dt dy dt dxcdt dv

(1.92) atau

dtdtcd = =2 / 1221v

,(1.93) dengan 2 2/ 11c v

= .(1.94) Didefinisikan vektor kecepatan4 kontravarianVyang memiliki komponen ( ) ( ) v r , , c ctdtdddtdtdxddxV = = = = (1.95) sedangkan komponen vektor kecepatan4 kovarian Vdapat dicari dari Vdengan menggunakan tensor metrik kovarian pers. (1.85) (1.86) : ) , ( v

c V V = = .(1.96) Sementarauntukvektorkecepatan4kontravarian P ,komponenkomponennya adalah ( )== = = p v v

, , ,2cEmcmcc m mV P (1.97) dengan energi :

2mc E =(1.98) 17 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ danmomentum3 : v p m = . (1.99) Hasilpers.(1.98)dan(1.99)berturut-turutsamadenganpers.(1.26)dan(1.21). Sedangkan vektor momentum4 kovarian Padalah ) , / ( p

c E P P = = (1.100) Adapun vektor gaya4 kontravarian Fmemiliki komponenkomponen = = = f

,cdtdEddtdtdPddPF (1.101) dengan gaya3f

didefinisikan sebagai dtdpf

= (1.102) Sementara itu vektor gaya4 kovarian Fdirumuskan sebagai = = f

,dt cdEF F .(1.103) Perkalian dalam (inner product) antara dua vektor kovarian dan kontravarian akan menghasilkan suatu skalar, seperti misalnya 2222 2 2 2 2 21 ) , ( ) , ( ccc c c c V V = = + = =vv v v

(1.104) dan ( )2 2/ ) , / )( , / ( p p p

+ = = c E c E c E P P = 2 2c m (1.105) Dari turunan pers. (1.104) di atas diperoleh ( )F V V F V mVdd+ = = 0 = + f v v f

, ) , ( ) , ( ,dt cdEc cdt cdE = + v f

dtdE22(1.106) sehingga diperoleh v f

=dtdE(1.107) 18 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dengan hasil di atas, vektor gaya4 kontravarian dan kovarian berturutturut dapat dituliskan menjadi ( ) f v f

, / c F =(1.108) dan ( ) f v f

, / c F =(1.109) Dari pers. (1.105) berlaku kaitan

4 2 2 2 2c m c E + = p

.(1.110) Sementara dari pers. (1.107) : p v f v

d dt dE = = .(1.111) Bentuk di atas sama dengan pers. (1.2) 1.4Transformasi Lorentz Vektor 4 melalui Transformasi Koordinat 4 BerikutiniakandijabarkankaedahalihbentukLorentzuntukkomponen vektor4,baikdalambentukkovarianmaupunkontravarianmelaluitransformasi koordinat4 (1.3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu) di ruangwaktu Minkowski. Mulamuladiberikanaturantransformasikoordinatuntukvektordalamruang sembarang berdimensi N. Selanjutnya diberikan deskripsi ruangwaktu Minkowski yangmenjadiwahanateorirelativitaskhususEinstein.Diberikankaitan transformasikoordinatdidalamruangwaktutersebutbagiduakerangkainersial yangsalahsatunyabergerakdengankecepatankonstanV

terhadaplainnya. Dengankaitantersebutselanjutnyamelaluikaedahtransformasiuntukvektor, nilainilaikomponenbeberapavektor4dihitungdandiperolehrelasiyang mengaitkanbesaranbesaranpadakeduakerangkatersebut.Vektor4yangdipilih disiniberkaitanberkaitandenganmasalahdalamdinamikarelativistikdan elektrodinamika,sepertivektorkecepatan4,vektormomentum4,vektorgaya4, vektor potensial4 dan vektor kerapatan4. 1.5Kaedah Transformasi untuk VektorDitinjau suatu ruang berdimensi N dengan koordinat19 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Nx=) ,..., , (2 1 Nx x x .(1.112) Jika dilakukan transformasi ke koordinat Nx~ = Nx x x~,...,~,~(2 1)(1.113) didalamruangtersebut,kaedahtransformasiyangmengubungkanvektor kontravarian A dan A~sertaantaravektorkovarian A dan A~berturutturut adalah (Lawden, 1982) AxxA=~~(1.114) dengan inversi AxxA~~= ,(1.115) serta AxxA~~= (1.116) dengan inversi

AxxA~~= .(1.117) Di sini telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein, yaitu jika terdapat indeksberulang,makapenjumlahanharusdilakukanmeliputijangkuanindeks tersebut.Apabilapenjumlahantakingindilakukan,makahaltersebutharus diungkapkan secara eksplisit. 1.6Ruang Waktu Minkowski dan Kaedah Transformasi Lorentz Metrik ruang waktu Minkowski dengan koordinat ) , , , (3 2 1 0x x x x x = = (ct, x, y, z) =) , ( r

ct (1.118) dapat mengambil bentuk 2 2 2 2 2 2 2 2 2r

d dt c dz dy dx dt c dx dx g ds + = + + + = = (1.119) dengan = g 0 , 1 , (0 0 00= = = =m m mn mn )(1.120) 20 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ DitinjauduakerangkainersialyaknikerangkaKdengankoordinat x dan kerangkaK~dengankoordinat x~yangbergerakdengankecepatankonstanV

terhadap kerangka Kke arah //r

=VVV . r

2(1.121) KaitanLorentzantarakoordinat4didalamruangwaktuMinkowskiadalah (Zahara dkk, 1997) //~r

= //(r

) t V

(1.122) = r r~(1.123) ) / (~ 2c t t V . r

= (1.124) dengan 2 2/ 11c V = .(1.125) Kalau komponen ruang di atas ingin digabungkan, hasilnya //~ ~r r =+r~ =V VVV . rr

cct +2) )( 1 ((1.126) yang jika diuraikan ke dalam komponenkomponennya menjadi iiii jjiiiin xcVn VVV xn x n x 02) 1 (~ + = (1.127) atau

02) 1 (~xcVxVV Vxij jiiji + = (1.128) Sedangkan penguraian untuk komponen waktu adalah ) (~ i ixcVct t c = (1.129) atau ) (~ 0 0 i ixcVx x = .(1.130) 21 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Daripers.(1.128)dan(1.130),jikadilakukanderivatifparsialkoordinatK~ terhadap K, diperoleh 2) 1 (~VV Vxxjiijji + = (1.131) cVxxi i =0~(1.132) cVxxii =0 ~(1.133) =00 ~xx.(1.134) Ditinjau suatu vektor4 kontravarian di ruang K ) , ( ) , (0 0S

S S S Sm= =(1.135) dan vektor4 kontravarian di ruangK~ )~,~( )~,~(~0 0S

S S S Sm= =.(1.136) Denganmenggunakankaedahtransformasiuntukkomponenvektorkontravarian, diperoleh : nn SxxSxxSxxS+==0000 00~ ~ ~~ = 0S =cS ScVn nV S 0 (1.137) dan

nnm m mmSxxSxxSxxS+==~ ~ ~~00 = 0ScV m +n nmmnSVV V +2) 1 (= m mVVS2) 1 ( V S +mVcS0(1.138) yang jika dinyatakan dalam notasi vektor menjadi VV SS S

2) 1 (~V + = V

cS0 .(1.139) Mengingat bentuk //2/ ) ( S V V S = V ,(1.140) kaedah untuk komponen vektorS

yang sejajarV

adalah 22 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

// // //) 1 (~S S S

+ = V

cS0=( ) V S ) / (0//c S .(1.141) Sementara itu kaedah untuk komponen vektorS

yang tegaklurusV

adalah = S S~.(1.142) Selanjutnya ditinjau vektor kecepatan4 kontravarian : ) , ( v

c V = (1.143) sehingga c S =0(1.144) dan v S

= .(1.145) Dengan menggunakan hasil pers. (1.137), untuk komponen ke nol, diperoleh + =cc cV v

~(1.146) yang memberikan hasil + =21~cV v

.(1.147) Persamaandiatasmenghubungkanfaktordilatasipartikelyangbergerakdikedua kerangka.Sedangkandenganmenggunakanpers.(1.139)untukkomponenvektor, diperoleh V VV vv v

ccV + =2) 1 ( ~~(1.148) yang jika disederhanakan menjadi +=221) 1 (~cVV vV VV vvv

(1.149) Persamaandiatasmenghubungkanvektorkecepatan3dikeduakerangkaacuan. Kaedah untuk //v

adalah 23 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2////1~cV vV vv

= (1.150) Sedangkan untuk v

adalah =21~cV vvv

(1.151) Berikutnyaditinjauvektormomentum4kontravarianyangmemiliki komponen : ) , / ( p

c E P =(1.152) sehingga c E S /0= (1.153) dan p S

= .(1.154) Kaedah transformasi Lorentz untuk energi adalah =cc E c EV p

/ /~(1.155) atau ( ) V p

= E E~.(1.156) Bentuk(1.156)diatassamadenganpers.(1.58).Adapunkaedahtransformasi Lorentz untuk vektor momentum3 adalah V VV pp p

2 2) 1 ( ~cEV + = .(1.157) Untuk komponen vektor momentum3 sejajar dan tegaklurus, kaedahnya adalah ( ) V p V p p p

) / ( ) 1 (~2//2// // //c EcE = + = (1.158) dan = p p~(1.159) Bentuk (1.158) dan (1.159) di atas sama dengan bentuk pers. (1.59) dan (1.60). Selanjutnya ditinjau vektor gaya4 kontravarian : 24 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ( ) f v f

, / c F =(1.160) sehingga

cSv f

= 0 (1.161) dan f S = .(1.162) Diperoleh Vv fVV ff f

2 2) 1 (~~c V + = (1.163) yang dengan menggunakan pers. (1.139), bentuk di atas dapat dituliskan menjadi +=22 21) 1 (~cc VV vVv fVV fff

.(1.164) Kaedahf

untuk komponen sejajar dan tegaklurus berturutturut adalah = +=22//22// ////1 1) 1 (~ccccV vVv ffV vVv ff ff

.(1.165) dan =21~cV vff

.(1.166) SelanjutnyajikaditinjaukasuskhususdenganV v

= ,ataupartikelrehatdiK~, yang berarti bahwa : 221 =cV V , (1.167) 2// //) ( V V f f V V V f

= = , (1.168) sehingga25 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ //2222//0//11~fff

==cVcV(1.169) dan == fff

20~.(1.170) Jadi untuk kerangka rehat partikel diK~, kaedah transformasi Lorentz untuk vektor gaya3 adalah + = + = f f f f f

//0 0//0~ ~ ~.(1.171) 1.7Transformasi Lorentz untuk besaran besaran elektrodinamika Diketahui danv

berturutturutadalahrapatmuatandankecepatanaliran relatif terhadap suatu kerangka inersial K.Rapat arusj

dirumuskan sebagaiv j

= .(1.172) Persamaan kontinuitas muatan dirumuskan sebagai0 = +j .

t(1.173) Dalamelektrodinamikadikenalskalarpotensiallistrik danvektor potensiallistrik3A

yangmanagabungankeduanyabersamasamamembentuk suatu vektor potensial4 Adengan komponen ) , / ( ) , (0A

c A A Am= = (1.174) Mengikuti sistem satuan SI, terdapat perumusanperumusan berikut 012= +A .

t c(1.175) j AA

022221 = +t c (1.176) 2022221ct c = + (1.177) 26 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Gabungan dua persamaan di atas menghasilkan j A0 = (1.178) dengan vektor kerapatan4 jdidefinisikan sebagai ) , ( ) , (0j j c j j = = .(1.179) Operator skalar4 didefinisikan sebagai 22222222222221 1z y x t c t c +++ = + = = (1.180) Operatorturunankoordinat4kovariandankontravarianmasing-masing dirumuskan sebagai === ,1,0t c x x xm (1.181) = = ,1t c (1.182) Bentuk syarat Lorentz pers. (1.175) dapat dituliskan sebagai 0 = A (1.183) sedangkanbentukpersamaankontinuitasmuatan(pers.(1.173))dapatdituliskan menjadi 0 = j (1.184) Kaedah transformasi Lorentz untuk komponen vektor kerapatan4 adalah =cc cV j ~(1.185) atau =2~cV j (1.186) serta VV jj j

2) 1 (~V + = V

,(1.187) ( ) V j j

=// //~, (1.188) 27 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ dan = j j~.(1.189) SementaraitukaedahtransformasiLorentzuntukkomponenvektor potensial4 adalah =c c cV A ~(1.190) atau ( ) V A = ~, (1.191) serta V VV AA A 2 2) 1 (~c V + = ,(1.192) = V A A

2// //~c,(1.193) dan = A A~.(1.194) JikakitainginmencaritransformasibalikdarikerangkaK~kekerangkaK, halitudapatdilakukandenganmudah,yaitudengansubstitusiV V = .Dengan substitusi ini, diperoleh kaedah transformasi Lorentz besaran-besaran berikut ini : Vektor kecepatan3 : + + +=22~1~) 1 ( ~cVV vV VV vvv

(1.195) 2//// ~1~cV vV vv

++= (1.196) + =2~1~cV vvv

(1.197) 28 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Energi :( ) V p

+ =~ ~E E (1.198) Vektor momentum3 : V VV pp p

2 2~ ~) 1 ( ~cEV+ + = (1.199) + = V p p

2// //~~cE(1.200)

= p p~ (1.201) Vektor gaya3 : + + +=22 2~1~~ ~) 1 (~cc VV vVv fVV fff

(1.202) ++=22//// ~1~~~ccV vVv fff

(1.203) + =2~1~cV vff

.(1.204) Rapat muatan+ =2~~cV j (1.205) Vektor rapat arus VV jj j

2~) 1 (~V + = V

~ + (1.206) + = V j j

~~// //(1.207) = j j~ .(1.208) Skalar potensial listrik : + = V A~~ (1.209) 29 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Vektor potensial3 listrik : V VV AA A 2 2~~) 1 (~c V + + = (1.210) + = V A A

2// //~~c(1.211) = A A~ .(1.212) Daritelaahdiatas,tampakbahwateorirelativitaskhususberperanbesar dalammenatadanmeluruskanbesaran-besaranfisikayangmendasar,seperti besaran panjang, waktu, kecepatan, momentum, energi dan sebagainya. Selanjutnya juga telah dikaji prosespenurunan kaedah transformasiLorentz besaran-besaran di atasyangmenunjukkanbahwahukumfisikamemilikibentukyangtetapdidalam semua kerangka acuan inersial.30 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Soal-Soal Latihan Bab I 1.Sebuahpesawatbergerakkearahtimurdenganlaju0,8cdiukurmenurutmenarayangdiam.Pesawattersebutmelepaskanpelurudenganlaju0,6c terhadap pesawat. Carilah masing-masing laju dan arah gerak peluru terhadap menara jika arah peluru terhadap pesawat adalah(a)timur(b)utara(c)barat(d)timur laut. 2.SebuahpartikelbermassambergerakterhadapkerangkaIdengankecepatan )22)( 5 / ( k j i c + = v

.JikaterdapatkerangkaIIyangbergerakterhadap kerangka I dengan kecepatan)2 2 )( 5 / ( k j i c + = V

, carilah : (a)momentumdantenagakinetikdantenagatotalpartikelmenurut kerangka I.(b)kecepatan, momentum, tenaga kinetik dan tenaga total partikel menurut kerangka II. 3.DuabuahpartikelbergeraksepanjangsumbuZkerangkaKmasing-masing dengankecepatan 1v

dan 2v

dengan 2 1v v > .AgarditinjaudariK,kedua partikeltersebutmempunyaikecepatanyangberlawanan,tunjukkanbahwa kecepatan gerak kerangka K ke arah sumbu Z terhadap K besarnya adalah2 1222 2122 12) )( (v vv c v c v v c . 4.Sebuahelektrondalamsuatuakseleratortenagatinggibergerakdengan kelajuan0,5c.Carilahkerjayangharusdilakukanterhadapelektronuntuk menaikkan kelajuannya menjadi(a)0,75 c31 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (b)0,99 c (c)Untuk kedua nilai kelajuan tersebut, tentukan faktor peningkatan tenaga kinetik maupun momentum elektron. 5.Sebuahintiradioaktifbergerakdengankecepatani c v6 , 0 =

terhadap kerangkaK(lab),sewaktuiamemancarkanpartikelbetadengankecepatan j c v75 , 0 =

terhadap inti tersebut (kerangka 0K ). (a)Tentukan besar dan arah kecepatan partikel beta menurut kerangka K. (b)Jikapartikelbetatersebuttetapdipancarkandengankelajuanc 75 , 0 di 0K ,namunarahnyadilihatdariKsejajardengansumbuy,tentukan arah pancaran diamati dari inti dan kelajuan partikel beta diamati di K. 6.DikerangkaK,duapartikelAdanBbergerakmasing-masingdengan kecepataniA Av = v

daniB Bv = v

( 0 v vA B> > ).Jikaterdapatkerangka K~yangbergerakterhadapKdengankecepataniV = V

(diketahui 0 vA B> > > V v ) : (a)Tentukan kecepatan A dan B menurutK~, yaitu A~v

dan B~v

. (b)Jika menurut pengamat yang rehat diK~, kecepatan A dan B sama besar namun berlawanan arah, tunjukkan bahwaB A2B2 2A2B A2) )( ( ) (v vv c v c v v cV+ += . 7.DikerangkaK,sebuahpartikelbergerakdengankecepatanu

.DiKtersebut juga terdapat medanE

danB

. Bagaimanakah cara menentukan gaya Lorentz pada partikel tersebut di kerangkaK, dimana K bergerak dengan kecepatan V

terhadap K ? Jika gayaLorentz di K tersebut telah diperoleh, bagaimana cara menguji bahwa nilai yang diperoleh itu benar ? 32 Teori Relativitas Khusus ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8.Diketahuivektor4kontravarian: ) , / ( Z

c c Y X = dengan = ) / 1 (2 2c u

,u

= vektor kecepatan3 dan c laju cahaya di ruang hampa. (a)tuliskan kaedah tranformasi Lorentz untuk besaran Y dan Z

. (Petunjuk : jangan lupa relasi antaradengan ) (b)Jikaterdapathubungan:c k Y = danc k / u Z

= denganksuatu invarianLorentz,carilahinvarianLorentzyangdapatdiperolehdari vektor4 tersebut, sertaberapakah nilainya ? 9.Jelaskan bahwa gaya Lorentz yang dirasakan oleh sebuah partikel di kerangka KmenjadigayaCoulombdikerangkadiamK.Bagaimanadengan sebaliknya, gaya Coulomb di K menjadi gaya Lorentz di K ? 10.DikerangkaK,sebuahpartikelbermassarehatmbermuatanqbergerak dengan kecepatan konstanu

. Di Ktersebutterdapat medan listrikE dan medanimbasmagnetB

.JikakerangkaKbergerakterhadapkerangkaK dengan kecepatan konstanV

:(a)Tentukan energi, energi kinetik dan momentum partikel di K maupun di K. (b)Carilah kecepatan partikel, medan listrik dan medan imbas magnet di K. (c)Nyatakan gaya Lorentz yang bekerja pada partikel di K maupun K. (d)Tuliskan tiga invarian Lorentz yang melibatkan besaran-besaran di atas. Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 33 BAB II PENERAPAN TEORI RELATIVITAS KHUSUS Teori Relativitas Khusus sebagai salah salah satu pilar fisika modern memiliki beberapakegunaandalammenelaahsecaralebihkompakdanterpaduberbagai gejalaalam.Berikutiniakandisajikanbeberapapenerapanteorirelativitaskhusus padabeberapafenomena,diantaranyaadalahpersoalanparadokskembar,gerak partikelrelativistikdalammedangayakonstandanmedangravitasiseragam,efek hamburan Compton dan sebagainya. 2.1Paradoks Kembar (Twin Paradox) Paradokskembar(atauparadoksjam)adalahsatupersoalanyangcukup membingungkan dalam relativitas khusus. Kasus paradoks kembar dapat dinyatakan sebagaiberikut:Misalkankitapunyaduaorangkembar:JohndanMary.John diputuskantetaptinggaldibumi,sementaraMarymenjadiastronotyangakan mengadakanperjalanruangangkasamenujusebuahbintang.Marymengendarai pesawatruangangkasadanterbangmenujubintangtersebutdengankecepatanV (diasumsikan agar nampak efek relativitas, nilai V dalam orde c) dan sesudah sesaat tiba di bintang, Mary kembali ke bumi dan bertemu dengan John dengan kecepatan yang sama. Lihat Gambar 2.1 Bumi Bintang Gambar 2.1 Perjalanan pulang pergi bumi-bintang Teori relativitas khusus menyatakan bahwa jika Mary bergerak terhadap John, maka selangwaktudalamkerangkainersialMarymengalamidilatasisebesaryang dirumuskan 2 2/ 1 c V = . (2.1) Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 34 JadipadaakhirperjalananMary,dialebihmudadaripadaJohn.Paradoksmuncul darikenyataanbahwa(denganmengabaikanselangwaktusaatMarybergerak dipercepat dan diperlambat), Mary berada dalam kerangka inersial, dan selanjutnya dari prinsip relativitas, Mary dapat mengklaim bahwa Johnlah yang bergerak, bukan dia. Kalau demikian selang waktu John seharusnya yang mengalami dilatasi, bukan Mary,sehinggasaatMarykembali,iamenjumpaisaudarakembarnyaitulebih muda daripadanya. Manakah yang benar ? Untukmenyederhanakankasusini,diasumsikanperjalananMaryterjadisaat ia lahir (yang juga berarti saat John lahir). Pada saat itu, berarti waktu lokal T= 0 danposisiX=0.Selanjutnyaakandibandingkanjarakbumibintangmenurut keduaorangtersebut.Jarakantarabumidanbintangdiukurolehpengamatyang stasionerdibumi(John)adalah JD .JarakbumibintangyangdiukurolehMary adalah /J MD D = .(2.2) Perumusan ini disebabkan oleh adanya kontraksi Lorentz. Indeks J dan M berturut-turutmenunjukkanpengukuranmenurutJohndanMary.Akandiukurumurrelatif John dan Mary. Caranya, pertama dengan melakukan penghitungan dalam kerangka JohndanselanjutnyapenghitungandikerjakandalamkerangkaMary.Nantiakan ditunjukkanbahwaduapenghitungantersebutakanmemperolehhasilyangsama. Kesamaaninimenunjukkantidakadanyaperbedaanantaraduakerangkainersial yang ditinjau. SekarangpenghitungandilakukandalamkerangkaJohn.Marymenempuh perjalanantotal(menujubintangdankembalikebumi)sejauh JD 2 dengan kecepatanV(Vsaatkembali).Perjalananbumibintangbolak-baikinimemakan waktuV DJ/ 2 .TransformasiLorentzuntukwaktumemberikanhubunganantara waktu yang ditunjukkan oleh jam milik John (JT ) dan waktu yang ditunjukkan oleh Mary (MT ) sebagai ] [2cVXT TJJ M = (2.3) Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 35 dengan JX adalahjarakantaramereka.SelamaperjalananMarymenujuke bintang, berlaku persamaan

J JT V X = .(2.4) Substitusi persamaan di atas ke dalam pers. (2.3), diperoleh ] ) / ( [2 2J J MT c V T T = = JT c V )] / ( 1 [2 2 = JT.(2.5) Dalam bentuk penulisan selang waktu,

JMTT= .(2.6) PersamaaninimenunjukkanbahwajamMarybergeraklebihlambatdaripadajam milik John dengan faktor / 1 . Di sini perlu diingat bahwa 1. (2.7) Dengancarayangsamadapatditunjukkanpulabahwahaltersebutberlaku pulauntukperjalananMarypulangkebumi.Saatkembalikebumidengan kecepatanyangsama,jammilikMaryjugabergeraklebihlambatdarijammilik Johndenganfaktoryangsama: / 1 .Makaselamaperjalanantotal,umurJohn adalah VDAJJ2= ,(2.8) sedangkan umur Mary adalah

1 2VDAJM= .(2.9) TampakbahwaumurJohnlebihbesardaripadaumurMary,ataudengankatalain dalamkerangkaJohn,saatMarykembalikebumi,Johnlebihtua.Selisihumur mereka adalah VDA AJM J2 11|||

\| = .(2.10) BagaimanakahpenghitungandalamkerangkaMary?Seluruhbesaranyang tadinyadihitungpadakerangkaJohn,sekarangdiukurolehMary.Transformasi LorentzmemberikanhubunganantarawaktumilikjamJohndanwaktumilikjam Mary sebagai Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 36

||

\| =2cVXT TMM J .(2.11) Dandenganpenurunanselanjutnyadapatditunjukkankaitanuntukselangwaktu masing-masing jam sebagai

MJTT= (2.12) yang berarti jam milik John bergerak lebih lambat daripada jam milik Mary dengan faktor1/.Sekilasnampakadanyaparadoksataukontradiksidenganungkapan sebelumnyayangmenyatakanbahwajamMarybergeraklebihlambatdaripada John. Namun demikian yang sebenarnya tidak demikian, karena hal ini disebabkan relativitas khusus menyatakan bahwa kita tidak dapat menghubungkan waktuyang ditunjukkanolehjampadatempatyangberbeda(yangdalamhaliniumurorang kembaryangterpisah)sampaikemudiankeduaorangtersebutbertemukembali. Ketikamerekaberduabertemukembali,barutampaklahsiapayanglebihtuaatau lebihmudadengancaramembandingkanselangwaktuyangditunjukkanolehjam masing-masing. MenurutMary,perjalanannyamemakanwaktuV DM/ 2 ,sehinggaselama perjalanan, umur Mary adalah MMDA2= .(2.13) Perludiingatbahwatelahdiasumsikanbahwawaktuuntukmempercepatdan memperlambatrokettelahdiabaikan.KarenajamJohnbergeraklebihlambat dengan faktor 1/, John berumur 1 2VDAMJ= .(2.14) Jikadilatasiwaktumenjadisatu-satunyafaktordalampenghitungan,Mary dapatmengklaimbahwadirinyaberusialebihtuadariJohndenganselisihumur mereka adalah

VDA AMJ M2 11|||

\| = = 1 2 11VDJ|||

\| (2.15) Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 37 dan dijumpai adanya ketidakcocokan dengan hasil sebelumnya. Bagaimana caranya memecahkan masalah ini ? Disiniterdapatfaktorlainyangdapatmenyelesaikanketidakcocokan tersebut.KetikaMarysampaikebintangdankemudiankembali,diamengubah kerangka inersialnya. Sebelum Mary tiba di bintang, hubungan antara jam John dan jam Mary yang diukur oleh Mary adalah ||

\| =2cVDT TMM J .(2.16) Sesaatsetelahiameninggalkanbintangmenujubumi,relasiantarajamkeduanya adalah ||

\|+ =2cVDT TMM J .(2.17) Dua persamaan terakhir di atas menunjukkan adanya kontradiksi dalam waktu / jam milikJohnyangdiukurolehMary,sesaatsetelahMarybergantikeadaan(dari menujubintangmenjadimeninggalkanbintang.Selisihpengukuranwaktumilik John ini menurut Mary adalah 2 22 2cVDcVDJ M=.(2.18) SelisihiniterjadiakibatterjadinyaperubahankerangkainersialMary.Dengan demikiandalamkerangkaMary,selisihantaraumurJohndenganMaryadalah selisihumuryangtelahdihitungpadapers.(2.15)ditambahdenganselisihumur mereka akibat terjadinya perubahan kerangka inersial Mary. Akhirnya selisih umur Mary dengan John adalah

22 1 211cVDVDA AJ JM J+|||

\| = = VDcVVDJ J2 1 2222|||

\|+ .(2.19) Karena 11222= +cV(2.20) maka

VDVDA AJ JM J2 2 = = VDJ2 11|||

\|. (2.21) Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 38 Ternyata dalam kerangka Mary, selisih umur antara John dan Mary juga sama sepertiyangtelahdihitungpadakerangkaJohn.Dariduapenghitungantersebut ditunjukkanbahwasetelahkembalikebumi,Maryyangmenempuhperjalanan berusia lebih muda daripada saudara kembarnya, John. 2.2Tinjauan Gerakan Partikel Relativistik yang dikenai Gaya Konstan danMedan Gravitasi Seragam Salahsatulatihanyangcukupmudahdalampersoalanmekanikaklasik elementeradalahmenyelesaikanproblemgerakansebuahpartikeldalamdua dimensi yang dikenai suatu gaya konstan. Untuk gerakan nonrelativistik, gaya yang bekerjapadapartikeldalammedangravitasiseragam(uniform)bersifatkonstan, dan persamaan trayektori / lintasan partikel tersebut berbentuk parabola. Dalam tinjauan teori relativitas khusus, gayagravitasiyang berkaitan dengan medangravitasiseragamtidaklahbersifatkonstan,namunmerupakanfungsi kecepatan partikel yang diperoleh dengan menetapkan massa gravitasi sama dengan massa inersial. Berikut ini akan dicari penyelesaian eksak untuk gerakan pada kasus tersebut dan juga gerakan dengan gaya konstan. 2.2.1Gerakan partikel oleh gaya konstan Pertama kali akan dicaripenyelesaian untukgerakan dibawah pengaruhgaya konstan.SebuahpartikeldenganmassarehatmditembakkandarititikOdengan kecepatanawal 0V padabidangXYyangmembuatsudutdengansumbuX. SebuahgayakonstanF

bekerjapadapartikeldenganarahsejajarpadasumbuY negatif. Didefinisikan mFg

= .(2.22) Persamaan gerakan partikel tersebut adalah mgdtd=p

(2.23) atau Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 39 ( ) g

m mcdtd= (2.24) dengan cV

=dan 211= .(2.25) Dengan mengintegralkan pers.(2.24) diperoleh ct g

+ =0 0 (2.26) dengan c00V

=dan 20011= .(2.27) Pers.(2.26)dapatdituliskandalamkomponen-komponenkesumbuXdanY sebagai cos0 0=x(2.28) dan = sin0 0 y(2.29) dengan cgt= .(2.30) Dengan mengingat bahwa

2 211y x = ,(2.31) penyelesaian untuk y x ,dan dapat dinyatakan sebagai fungsiyang nilainya adalah

20 0200 0) sin 2 (cos + =x(2.32)

20 0200 0) sin 2 (sin + =y(2.33) dan Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 40 20 020) sin 2 ( + = .(2.34) Dengan mengintegralkan pers. (2.32) dan (2.33) diperoleh

) sin 1 (sin ) sin 2 (lncos0 00 020 020 0 02 + + =gcx (2.35) dan ( )20 020 02) sin 2 ( + =gcy .(2.36) Dalam limit nonrelativistik,10