DERET FOURIER.doc
Transcript of DERET FOURIER.doc
2. DERET FOURIER
Fungsi PeriodikDeret Fourier Trigonometri
Identitas Parseval Terapan Deret Fourier
2.1. Fungsi Periodik
Definisi 1
Suatu fungsi f disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan
real positif 2p, sehingga untuk setiap t berlaku
f(t+2p) = f(t)
Bilangan positif 2p dinamakan perioda fungsi f.
Gambar 1 : Contoh grafik suatu fungsi periodik dengan perioda 2p
Bila 2p merupakan perioda fungsi f, maka :
f(t) = f(t+2p) = f[(t+2p)+2p] = f(t+4p).
Jadi 4p juga perioda fungsi f. Dengan cara serupa, akan diperoleh
perioda-perioda fungsi f, yaitu 4p, 6p, 8p,.... Secara umum dapat
dikatakan bila 2p adalah perioda fungsi f, maka 2np (n=1,2,3,...)
juga merupakan perioda f.
Perioda terkecil suatu fungsi disebut Perioda Dasar
(fundamental period). Tidak semua fungsi periodik mempunyai
perioda dasar (misalnya fungsi konstan y=k).
Deret Fourier 1
0
y
t
y=f(t)
2p 4p 6p
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Contoh 1
1. f(t) = k , k konstan.
Setiap bilangan real positif 2p merupakan perioda fungsi f
sebab f(t+2p) = k = f(t).
Mengingat tidak ada nilai 2p terkecil untuk f tersebut, maka
fungsi f tidak mempunyai perioda dasar.
2. g(t)=sin(t), dengan suatu bilangan real positif, maka
perioda dasar fungsi g adalah 2/.
3. h(t)=tan(t), adalah suatu fungsi periodik dengan perioda dasar
, meskipun =tidak terdefinisi untuk n=1,2,3,...
4. y(x)=sin(3x)+cos(2x) adalah fungsi periodik dengan perioda
dasar 2, sebab :
sin(3x), perioda dasar T1=2/3
cos(2x), perioda dasar T2=, maka
Perioda dasar sin(3x)+cos(2x), T=KPK{T1,T2}=2
(KPK=Kelipatan Persekutuan terKecil)
Grafik fungsi y(x) dapat dilihat pada gambar berikut
Gambar 2 : Grafik y(x)=sin(3x)+cos(2x)
5. , p konstan. Perioda dasar f adalah
T=KPK{2p ,2p/2 ,2p/3 ,
2p/4 ,}=2p.
Untuk selanjutnya, perioda dasar disebut perioda saja.
2.2. Deret Fourier Trigonometri
Deret Fourier 2
Definisi 2
Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p) sedemikian
hingga integral-integral :
ada, untuk n=0,1,2,...
Deret Fourier (Trigonometri) fungsi f pada interval (-p,p)
didefinisikan oleh :
dengan
, n=0,1,2,3,....
, n=1,2,3,....
an dan bn disebut Koefisien Fourier fungsi f.
Contoh 2:
Diketahui f fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda
Akan dicari deret fourier f
Penyelesaian
Perioda f adalah 2p=-(-)=2, jadi p=
=
=
= , n1
untuk n=1
Deret Fourier 3
= , n1
untuk n=1
Jadi diperoleh deret fourier fungsi f :
Gambar 3 : Grafik ekspansi fourier fungsi f pada Contoh 2, masing-masing untuk 2 dan 3 suku pertama.
Sifat 1
a. Jika f suatu fungsi ganjil, yaitu f(-x)=-f(x), x maka deret
fourier fungsi f hanya memuat suku-suku sinus saja
(konstanta fourier an=0, n). Deret yang terjadi disebut Deret
Sinus.
b. Jika f suatu fungsi genap, yaitu f(-x)=f(x), x maka deret
fourier fungsi f hanya memuat suku-suku cosinus saja
Deret Fourier 4
y=f(t)
(konstanta fourier bn=0, n). Deret yang terjadi disebut Deret
Cosinus.
Contoh 3
1. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(x)=x , -4<x<4.
Penyelesaian
Karena f(-x)=-x=f(x), x berarti f fungsi ganjil, maka menurut
sifat di atas konstanta fourier an=0. Jadi hanya dicari bn saja
Diperoleh
Berikut grafik y=f(x) untuk 7 suku pertama:
Gambar 4: Grafik fungsi f dan hasil ekspansi fourier f untuk 7 suku pertama dari Contoh 3
2. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(t)=4-t2 , -2<t<2
Penyelesaian
Karena f(-t)=4-(-t)2=4-t2=f(t), t berarti f fungsi genap, maka
menurut sifat di atas konstanta fourier bn=0. Jadi hanya dicari
an saja.
Deret Fourier 5
untuk
n=0
Diperoleh
Hasil lain yang diperoleh dari ekspansi fourier f tersebut adalah
jika diambil t=0, maka :
4=
Berikut adalah teorema yang menyatakan syarat cukup
kekonvergenan deret fourier suatu fungsi.
Teorema 1
Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p).
Jika
(a). f periodik dengan perioda 2p
(b). f dan kontinu sepotong-sepotong (piecewise
continue) pada interval (-p,p)
maka deret fourier fungsi f akan konvergen ke :
1. f(x) , bila f kontinu di x.
2. , bila f diskontinu di x.
Keterangan
Untuk h>0, maka :
.
Contoh 4
Diambil ekspansi fourier dari , yaitu
Deret Fourier 6
.
Diperhatikan bahwa f kontinu pada interval (-,) kecuali di
titik t=0. Jadi f kontinu sepotong-sepotong pada interval
tersebut. Berdasarkan teorema disimpulkan bahwa deret :
konvergen ke f(t) untuk setiap t(-,)\{0} dan konvergen ke
di titik x=0, meskipun f(0) = ½ .
Hingga di sini fungsi yang diperderetkan ke deret fourier
adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada suatu interval bentuk (-
p,p). Kenyataannya, ada fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval
bentuk (0,p). Untuk memperoleh ekspansi fourier fungsi semacam
ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan fungsi f pada interval (-
p,0), sehingga f terdefinisi pada (-p,p). Ada tiga cara yang dapat
dilakukan untuk tujuan ini :
1. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-
t)=f(t), jadi diperoleh suatu fungsi genap pada interval (-p,p).
Dengan demikian f dapat diperderetkan ke Deret Cosinus
2. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=-
f(t), jadi diperoleh suatu fungsi ganjil pada interval (-p,p).
Dengan demikian f dapat diperderetkan ke Deret Sinus.
3. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan
f(t)=f(t+p). Dengan demikian f dapat diperderetkan ke deret
fourier pada interval (-p,p).
Deret cosinus atau deret sinus yang diperoleh dengan cara di atas
dikenal sebagai half-range expansions.
Contoh 5
Deret Fourier 72p
Ekspansikan f(t)=t2 , 0<t<2 ke dalam
(a). Deret cosinus
(b). Deret sinus, dan (c). Deret Fourier lengkap
Penyelesaian
(a). Diambil f(t)=t2 , -2<t<2 yaitu f fungsi genap,
diperoleh deret
(b). Diambil yaitu f fungsi ganjil,
diperoleh deret :
(c). Diambil ,
diperoleh deret
2.3. Identitas Parseval
Teorema 2:
Bila fungsi f dapat diekspansikan ke dalam deret fourier yang
konvergen seragam (uniformly convergence) ke f(t) pada
interval (-p,p), maka :
Bukti:
Deret Fourier 8
2-2
2-2
2-2
t
erbukti.
Sifat 2:
1.
2.
3.
2.4. Terapan Deret Fourier
Ditinjau balok lurus seragam, panjang L, berbeban w(x) dan
kedua ujungnya ditumpu sederhana (perhatikan gambar 5) dengan
model matematis lendutan :
..................................... ()
EI adalah angka kekakuan-lentur balok (flexural rigidity).
w(x)L
x
Deret Fourier 9
y
Gambar 5 : Balok seragam dengan tumpuan sederhana dan beban w(x)
Mengingat kedua ujung ditumpu sederhana, maka berlaku :
1. Lendutan di titik-titik ujung balok nol, yaitu : y(0)=y(L)=0.
2. Momen (bending momen) di titik-titik ujung balok nol, yaitu :
Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan () dengan deret
Fourier, maka dapat diasumsikan y(x) suatu deret sinus, yaitu
............................. ()
Dengan demikian beban w(x) menjadi
, dengan ........ ()
Jika persamaan () dan () disubstitusikan ke (), diperoleh
.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Perderetkan fungsi-fungsi berikut ke dalam deret fourier
a. f(x)=x+ , -<x<
b.
Kunci : a).
b).
2. Tinjau suatu balok panjang L dengan kedua ujung ditumpu
sederhana. Bila beban per satuan panjang diberikan oleh
persamaan w(x)=w0x/L, 0<x<L maka diperoleh persamaan
lendutan y(x), yaitu :
Deret Fourier 10
a. Ekspansikan w(x) ke dalam deret sinus
b. Tentukan persamaan lendutan y(x)
Kunci: a).
b).
3. Tentukan perioda dasar fungsi periodik berikut
a. f(x)=sin(3x/4)
b. g(x)=sin(2x)+3cos(5x)
4. Diketahui fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda
f(x)=x2 , 0<x<2
Perderetkan fungsi f ke dalam
a) deret Fourier Sinus
b) deret Fourier Cosinus
c) deret Fourier lengkap (sinus dan cosinus)
5. Diketahui fungsi periodik dengan definisi satu periode :
a). Sketsalah grafik f(x) tersebut
b). Hitung f(-6)+f(6)=....
c). Andai f(x) diperderetkan ke dalam Deret Fourier, apakah
akan menghasilkan Deret Sinus, Deret Cosinus atau bukan
kedua-duanya
6. Buatlah sketsa grafik dan tentukan perioda dasar fungsi-fungsi
periodik berikut :
a. f(x)=sin(2x)
b. g(x)=cos(3x)+1
c. h(x)=2sin(x/2)
7. Pandang grafik fungsi periodik berikut:
Deret Fourier 11
0 2
3
5
yy=f(x)
x
(a). Tentukan rumus f(x) pada 0<x<5
(b). Berapakah periode fungsi f di atas?
(c). Hitunglah f(-3)+f(11)=...?
Deret Fourier 12