isi prinsip logika

5/13/2018 isi prinsip logika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/isi-prinsip-logika 1/15

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Untuk dapat memahami matematika dan dapat menggunakannya dalam

menyelesaikan masalah diperlukan penguasaan konsep yang lebih baik. Supaya

dapat menyelesaikan soal-soal dengan benar diperlukan kemampuan antara lain

memahami masalah dan dapat mengungkapkan kembali masalah yang sedang

dipelajari, membuat rencana penyelesaian, mengkaji langkah-langkah

penyelesaian, mengadakan dugaan dari informasi yang tidak lengkap. Kegiatan

berpikir seperti yang dijelaskan tersebut merupakan kegiayan berpikir kritis.

Pada saat berpikir kritis, digunakan penalaran deduktif dan penalaran

induktif. Penalaran induktif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal yang

khusus ke hal yang umum. Sedangkan, Penalaran deduktif merupakan penalaran

yang berlangsung dari hal yang umum ke hal yang khusus.

Selain itu matematika pada dasarnya disajikan secara abstrak yang berbeda

dengan sains yang lain. Matematika disajikan secara aksiomatrik dengan

menggunakan logika deduktif. Karena itu logika berperan dalam sistem

matematika.

Oleh karena itu dalam makalah akan dibahas mengenai prinsip “Prinsip

Logika”

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang di atas maka didapat rumusan masalah sebagai berikut;

a. Apa yang dimaksud dengan matematika aksiomatrik? b. Apa yang dimaksud dengan logika?

c. Apa saja pernyataan dalam logika?

d. Apa yang dimaksud dengan konvers, invers, dan kontraposisi?

e. Bagaimana penarikan kesimpulan (inferensi) dalam logika?



2

1.3 Tujuan Penulisan

Dari rumusan masalah di atas, maka didapat tujuan penulisan sebagai

berikut:

a. Mengetahui matematika aksiomatrik.

b. Mengetahui pengertian logika.

c. Mengetahui pernyataan dalam logika.

d. Mengetahui tentang konvers, invers, dan kontraposisi?

e. Mengetahui penarikan kesimpulan (inferensi) dalam logika?



3

BAB 11

PEMBAHASAN

2.1Matematika Aksiomatrik

Sistem aksiomatrik (logika deduktif) kapan dan dimana digunakan pertama

kali masih belum diketahui. Tetapi sistem aksiomatrik ini menjadi bagian dari

matematika dalam buku yang memuat geometri, aljabar, dan teoribilangan yang

disebut Elements. Buku ini disusun oleh Alexandria bernama Euclid.

Dasar logika deduktif adalah ide yang menyatakanbahwa kebenaran suatu

pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran-kebenartan pernyataan-

pernyataan lainnya. Secara sederhana, kebenaran suatu pernyataan baru harus

ditarik dari pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yangn demikian ini

sangat berbeda dengan penalaran yang menggunakan logika induktif. Dalam hal

logika induktif penyususnan kebenaran suatu generalisasi diperoleh daru sejumlah

hasil pengamatan atau eksperimen yang terbatas. Tetapi kebenaran tersebut tidak

dapat dijamin langgeng untuk masa yang akan datang.

Secara umum, logika induktif berperan penting dalam bidang non

matematika dan berperan relatif kecil dalam matematika. Sebaliknya, prinsip

logika deduktif berperan relative kecil dalam non matematika, tetapi berperan

besar dalam matematika. Masalah yang timbul bila kebenaran setiap pernyataan

harus didasarkan pada pernyataan sebelumnya yang sudah dibuktikan

kebenarannya. Apabila kita igin membuktikan pernyataan yang paling awal,

bagaimana membuktikan kebenaran dari pernyataan tersebut. Oleh karena itu

pernyataan yang awal tersebut diasumsikan sabagai pernnyataan yang benar. Jadi

setiap disisplin ilmu yang menggunakan logika deduktif harus memasukkan

sejumlah pernyataan awal/pangkal sebagai kesepakatan yang diterima

kebenarannya tanpa pembuktian. Dan pernyataan tersebut disebut aksioma atu

postulat. Aksioma ini memerlukan suatu pengertian yang tidak didefinisikan

karena setiap konsep tidak mungkin untuk tidak didefinisikan. Pengertian yang

tidak didefinisikan tersebut disebut pengertian pangkal.



4

Kumpulan aksioma sistem deduktif dalam suatu sistem matematika harus

memenuhi tiga syarat yaitu:

a. Taat azas (consistent )

Aksioma yang digunakan dalam suatu kupulan tidak boleh terjadi saling

kontradiksi.

Contoh;

A1: 2 + 3 = 1

A2: 1 + 2 = 2

A3: (2 + 3) + (1 + 2) = 8

A4: dua hal yang sama ditambah dengan dua hal yang sama menghasilkan dua hal

yang sama

Keempat aksioma di atas tidak taat azas, sebab dengan menggunakan A4

bila A1 dan A2 digabungkan menghasilkan (2 + 3) + (1 + 2) = 1 + 2 = 2

kontradiksi dengan A3.

b. Lengkap (complete)

Jika salah satu aksioma dalam sistem tersebut dihilangkan maka tidak akan

dapat diperoleh teorema-teorema.

c. Hubungan antara aksioma bebas (independent)

Aksioma tidak dapat diturunkan dari aksioma lainnya dalam sistem

tersebut.

Contoh:

A1: jumlah dua bilangan genap adalah genap.

A2: jumlah bilangan ganjil adalah genap.

A3: 2 + 4 adalah genap

Ketiga aksioma tersebut tidak saling bebas karena A3 dapat diturunkandari A1.

Dengan demikian sistem deduktif terdiri dari 4 komponen yang mendasar,

yaitu pengertian pangkal, aksioma, konsep yang didefinisikan, dan teorema. Dan

suatu pernyataan dalam satu sistem deduktif mungkin slah intuk sistem deduktif

lainnya. Misalnya pernyataan “Jumlah ketiga sudut segitiga adalah 1800” benar

dalam sistem geometri Euclid , tapi salah untuk geometri non- Euclid . Jadi

pernyataan benar bila pernyataan tersebut diturunkan secara logis dari aksioma-



5

aksiomanya. Dengan demikian benar disini berarti sah (valid) yang artinya suatu

pernyataan yang benar (dalam sistem deduktif yang ditentukan) apabila

pernyataan tersebut diturunkan secara logis dengan cara yang sah dari aksioma-

aksioma sistem tersebut.

2.2 Pengertian Logika

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara

bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata,

ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu

pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-

argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk

,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang

dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-

simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa

yang biasa kita gunakan sehari-hari.

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu

pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi

yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

: Merupakan lambang operasi untuk negasi

: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk implikasi

: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

2.3 Pernyataan dalam Logika2.3.1 Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu perlu diketahui pengertian

kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang

mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau

salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi,

kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan

dengan keadaan yang sebenarnya. Contoh:



6

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

3. Frodo mencintai 1

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah,

dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat

yang tidak mempunyai arti. Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf

kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Indah benar lukisan ini!

4. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan

pernyataan.

2.3.2 Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. seseorang memakai kacamata

3. 2x + 8y > 0

4. x + 2 = 8

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat

yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai

dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstantadalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu

dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang

menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang

bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian. Contoh:

x + 2 = 8



7

x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan

real adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat

kita rumuskan sebagai berikut:

2.3.3 Pernyataan majemuk dalam logika

Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan

merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.

Contoh:

disebut konjungsi

disebut disjungsi

disebut Implikasi

disebut biimplikasi

a. Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah

pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga

“negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “ ”

atau “ ”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika

sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.Definisi tersebut

dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

http://www.matematikamenyenangkan.com/wp-content/uploads/2009/03/logic21.jpg




8

B = benar

S = salah

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta

menentukan nilai kebenarannya!

1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)

- p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2. r : 3 bilangan positif (B)

-r : (cara mengingkar seperti ini salah)

3 bilangan negatif

(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)

b. Konjungsi ( )

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua

pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua

pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. p : 5 bilangan prima (B)

q : 5 bilangan ganjil (B)

: 5 bilangan prima dan ganjil (B)

c.Disjungsi/ Alternasi ( )

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah

satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan

komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut

disjungsi inklusif)





9

Contoh:

1. p : 1 akar persamaan (B)

q : -1 akar persamaan (B)

: 1 atau -1 akar persamaan (B)

2. p : Bogor di Jawa barat (B)

q : Bogor itu kota propinsi (S)

: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)

d. Implikasi/ Kondisional ( )

Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau

anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika

antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.


boleh dibaca:

jika p maka q

q hanya jika p

p syarat perlu untuk q

q syarat cukup untuk p

p disebut anteseden atau hipotesis

q disebut konsekuen atau konklusi

Contoh:

1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2 (B)

(B) (B)





10

2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)

(S) (S)

e. Biimplikasi atau Bikondisional ( )

Biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen

kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak

demikian maka biimplikasi bernilai salah.


boleh dibaca:

p jika dan hanya jika q (disingkat “ p jhj q”)

jika p maka q , dan jika q maka p p syarat perlu dan cukup untuk q

q syarat perlu dan cukup untuk p

Contoh:

1. 2 x 2 = 4 jika dan hanya jika 4 : 2 = 2 (B)

(B) (B)

2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0 (S)

(B) (S)2.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-

pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.

Implikasi :

Inversnya :

Konversnya :

Kontraposisinya :




11

Contoh:

Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas

Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas

Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring

Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring

Dengan tabel kebenaran:

Implikasi Invers Konvers Kontraposisi

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran

sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita

katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan

konvers. Bisa kita tulis:

Catatan:

“ ” artinya ekivalen

Contoh:

Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri,

maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”

Jawab:

Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi,

“jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”

2. 5 Penarikan Kesimpulan (Inferensi)

a. Pengertian Argumen

Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!

1) Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)

Harga barang naik (premis 2)

Jadi permintaan barang turun (konklusi)



12

2) Jika , maka (premis 1)

(premis 2)

Jadi (konklusi)

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

• Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai

ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”

• Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-

pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).

b. Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma

Ada 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens,dan sillogisma.

1) Modus ponens

Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan. Bentuknya sebagai

berikut:

(premis 1) berupa implikasi

(premis 2) berupa anteseden

——– (konklusi)

Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen adalah sah/valid jika pada

setiap baris dimana premis;prtemisnya benra, pada baris tersebut konklusinya juga

benar dan dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

B B B

B S S

S B B

S S B

Argumentasi ini sah karena untuk premis dan p benar, konklusi q

juga benar. Contoh:

Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun

Harga barang naik

Jadi permintaan barang turun



13

2) Modus tollens

Modus tollens disebut juga kaidah penolakan. Bentuknya sebagai berikut:


(premis 2) berupa negasi dari konsekuen

———-

(konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B B S S B

B S S B S

S B B S B

S S B B B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi

juga benar. Contoh:

Persamaan , , maka dan berlainan

dan tidak berlainan

Jadi persamaan ,

c) Silogisma

Bentuknya sebagai berikut:



———-

(konklusi)



14

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B B B B B B

B B S B S S

B S B S B B

B S S S B S

S B B B B B

S B S B S B

S S B B B B

S S S B B B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi

juga benar. Contoh:

Jika , maka

Jika , maka

Jadi jika , maka



15

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dasar logika deduktif adalah ide yang menyatakanbahwa kebenaran suatu

pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran-kebenartan pernyataan-

pernyataan lainnya. Dengan demikian sistem deduktif terdiri dari 4 komponen

yang mendasar, yaitu pengertian pangkal, aksioma, konsep yang didefinisikan,

dan teorema. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-

argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk

,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang

dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-

simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa

yang biasa kita gunakan sehari-hari. Dalam logika terdapat pernyaan, bukan

pernyataan, kaliamat terbuka, dan pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk

tersebut dapat dalam bentuk negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan

biimplikasi. Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-

pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi. Penarikan

kesimpulan dinyatakan dalam bentuk argumen yang terdiri dari 2 kelompok yaitu

premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi

(kesimpulan). Ada 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus

tollens, dan sillogisma.

3.2 Saran

Dengan adanya makalahini diharapkan pembaca mampu memahami

materi prinsip logika. Sehingga dalam mengatasi masalah dapat digunakan

pemikiran yang menggunakan prinsip-prinsip yang telah dijelaskan. Dan dalam

penyelesaian masalah terutama dalam matematika terlebih dulu menguasai konsep

dengan baik.

isi prinsip logika

Documents

Transcript of isi prinsip logika