Kinematika Dengan Analisis Vektor.doc

8/16/2019 Kinematika Dengan Analisis Vektor.doc

1/11

Cheatninjasaga-umum.blogspot.com adiwarsito.wordpress.com

PERSAMAAN GERAK

Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR , baik pada suatu bidang

datar maupun dalam bidang ruang.

Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut VEKT! P"#"# yang ditulisdalam Vektor satuan.

VEKTOR SATUAN .

$ i $ % $ j $ % $ k $ % &

i adalah 'ektor satuan pada sumbu (.

j adalah 'ektor satuan pada sumbyu y.

k adalah 'ektor satuan pada sumbu ).

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU BIDANG DATAR.

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan * r % ( i + y j

Contoh * r % i + j

Panjang r ditulis $ r $ % $ / $


2/11


$ r $ %0 0

, -+

% 0, 1+

% -2 satuan

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU RUANG.

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan * r % ( i + y j + ) k

Contoh * r % 2 i + j + 0 k

Panjang 'ektor r ditulis $ r $

$ r $ %0 0 0

2 - 0+ +

% &3 1 2+ +

% 01 satuan

KEC EPATAN SU ATU TITIK MATERI .

4erakan titik materi secara keseluruhan dapat diamati jika posisinya setiap saat diketahui.

"eberapa cepat letak titik materi itu berubah setiap saat disebut * KEC EPATAN .

PE!5/T#K/6.

Titik materi yang bergerak dari / yang posisinya r & pada saat t&, ke titik 7 yang posisinya

r 0 pada saat t0.


3/11


Vektor perpindahannya∆r r r = −0 &

dan selang waktu yang dipergunakan titik materi

untuk bergerak dari / ke 7 adalah∆t t t = −0 &

Kecepatan rata-rata dide8inisikan *

v r

t r r t t = =−

−

∆

∆

0 &

0 &

Pada persamaan di atas tampak bahwa kecepatan rata-rata tidak tergantung pada lintasan

titik materi, tetapi tergantung dari posisi awal 9&r : dan posisi akhir 9 0r :. ;ika ingin

diketahui kecepatan titik materi pada suatu saat misal saat titik materi berada di antara /

dan 7, digunakan kecepatan sesaat.

Kecepatan sesaat dide8inisikan *

"ecara matematis ditulis sebagai *

v d r

dt =

;adi kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari posisi terhadap waktu 9t:

7esarnya kecepatan disebut dengan laju


4/11


6ilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan

grafik yang dibentuk oleh komponen posisi 9 r : terhadap waktu 9 t :.

Persamaan kecepatan sesaat dari gra8ik di samping di dapat *

'& % tg α&

'0 % tg α0

Makin besar derajat kemiringannya makin besar pula harga kecepatannya.

Posisi dari suatu titik materi yang bergerak merupakan 8ungsi waktu, oleh karena itu,'ektor posisi r dapat ditulis sebagai r % r 9 t : artinya r merupakan 8ungsi waktu

9 t :.

Kecepatan titik materi pada sebuah bidang datar$ruang dapat ditulis *

X v dX

dt =

Y v dY

dt =

Z v dZ

dt =

=, >, ? merupakan 8ungsi dari waktu.

"ebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui 8ungsi kecepatannya maka

dapat diselesaikan dengan INTE!A" 9 kebalikan dari de8erensial :.

( ) ( )

v t dX t

dt =

( ) ( )dX t v t dt = .

( ) ( )dX t v t dt ∫ ∫ = .

( ) ( ) X t v t dt = ∫ .

Contoh : '9t: % 0 t + m$det

maka persamaan posisi titik materi tersebut adalah ......

r % v dt ∫

0 ,t +∫ dt

r % t0 + t + C meter


5/11


@engan C adalah suatu konstanta.

5arga C dicari dengan suatu syarat batas tertentu, misalnya *

t % r 9t: % maka harga C dapat dihitung C %

PERCEPATAN

Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun

kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami oleh titik

materi tersebut.

;ika pada saat t& kecepatan '& dan pada saat t0 kecepatannya '0, percepatan rata-ratanya

dalam selang waktu ∆ t % t 0 -t & dide8inisikan sebagai *

a v

t

v v

t t

= =−

−

∆

∆

0 &

0 &

Percepatan sesaatnya *

a L i m

t

v

t

dv

dt =

→=

∆

∆

∆.

( )( )

a d v

dt

d d r

dt t

d r

dt = = =

0

0

Percepatan merupakan tutunan pertama dari kecepatan terhadap waktu 9t: atau turunan

kedua dari posisi terhadap waktu 9t:.

Kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan komponen gra8ik

kecepatan 9': terhadap waktu 9t:.

dari gra8ik di samping besar percepatan sesaat *


6/11


a & % tg α &

a 0 % tg α 0

Percepatan dalam arah masing-masing sumbu dalam bidang$ruang dapat dituliskan

sebagai *

a d v

dt

d x

dt X

X = =

0

0

a d v

dt

d y

dt Y

Y = =

0

0

a d v

dt

d z

dt Z

Z = =

0

0

"ebaliknya untuk menentukan kecepatan dari gra8ik 8ungsi percepatan terhadap waktu

dengan cara mengintegralkan #

( )v v a dt t t t

= + ∫ ..

KE$IMP%"AN #

Posisi titik materi, kecepatan dan percepatan merupakan besaran 'ektor, sehingga dapat

dinyatakan dengan VEKT! "/TA/6.

P"#"#∧∧∧

++= k z j yi xr

KECEP/T/6∧∧∧

++= k v jvivv Z Y X


7/11


∧∧∧

++= k dt

dZ j

dt

dY i

dt

dX v

PE!CEP/T/6 ∧∧∧

++= k a jaiaa Z Y X

∧∧∧++= k

dt

dv jdt

dvidt

dva Z Y X

∧∧∧

++= k dt

Z d j

dt

Y d i

dt

X d a

0

0

0

0

0

0

CONTOH SOAL.

(akan dibahas di kelas)

C&NT&' (.

"ebuah benda bergerak sepanjang sumbu ( dengan posisi *

&320 0-

B

−−−= t t t x

0 . Carilah kedudukan benda pada saat t % detik. . 5itunglah perpindahan$pergeseran selama detik pertama.2 . 5itunglah kecepatan rata-rata selama 0 detik pertama. . 5itunglah kecepatan rata-rata selama 0 detik kedua.3 . 5itunglah kecepatan pada saat t % 0 detik. . 5itunglah percepatan rata-rata selama 0 detik ketiga.D . 5itunglah percepatan pada saat t % detik.1 . 5itunglah kecepatan dan percepatan pada saat benda di ( % & . carilah kedudukan benda pada saat kecepatannya 6


8/11


&0 . 5itunglah selang waktu benda bergerak ke kiri.& . 5itunglah selang waktu benda bergerak ke kanan.&2 . 5itunglah waktu yang dibutuhkan benda untuk kembali ke tempat

semula setelah bergerak.& . Carilah kedudukan benda saat benda tepa t berbalik arah.&3 . Carilah kledudukan benda pada saat percepa tannya & m$s 0

& . Carilah kedudukan benda pada saat kecepatannya && m$s&D . 5itunglah panjang lintasan yang ditempuh selama detik pertama.

C&NT&' ).

"uatu benda bergerak dengan 'ektor percep atan sebagai berikut *

>

a

=

Pada saat t % '( % 0 , ' y % dan r ( % 0 , r y % 2

0. 5itunglah kelajuan rata-rata 0 detik pertama.

. 5itunglah kelajuan pada saat t % 0 detik.

2. 5itunglah pergeseran pada saat 0 detik pertama.

. 5itunglah kecepatan rata-rata 0 detik kedua.

3. 5itunglah kecepatan pada saat t % 2 detik.

. Carilah posisi t i t ik pada detik kedua.

C&NT&' *.

"ua tu benda ber ge rak s epan jang s umbu-( dengan g ra 8i k 8 ungsi

percepatan terhadap waktu sebagai berikut *

a9m$s0:

3

3 t 9s:

Pada saat t % , ' % dan ( %


9/11


0. Carilah kedudukan benda pada saat t % detik.

. 5itunglah perpindahan selama detik pertama.

2. 5itunglah kecepatan rata-rata selama 0 detik kedua.

. 5itunglah kecepatan pada saat t % 0 detik.

3. 5i tunglah kecepatan pada saat benda kembali ke t i tik asal setelah

bergerak.

. Carilah kedudukan benda pada saat jkecepatannya maksimum.

D. 5itunglah selang waktu benda bergerak ke kiri .

1. 5itunglah selang waktu benda bergerak ke kanan.

& . C arilah k ed ud uk an ben da pa da sa at be nda te pa t berb alik ar ah .

&&.5itunglah panjang lintasan yang ditempuh selama detik pertama.

C&NT&' +.

"uatu benda bergerak sepanjang sumbu ( dengan percepatan sebesar *

/ % 0( + 2 pada saat ( % ' % 2 m$s. 5itunglah kecepatannya pada ( % 2

meter.

C&NT&' ,.

a9m$s0:

3

2

2 t9s:

"uatu benda bergerak sepanjang sumbu ( dengan gra8 ik percepatan

terhadap waktu sepert i gra8ik di atas. Pada saat t % , ' % 0 m$s dan ( %

& m.

0. 5itunglah keceptan rata-rata pada selang waktu t % detik dan

t % 3 detik.

. 5itunglah jarak yang ditempuh t % hingga detik ke l ima.


10/11


TUGAS SOAL-SOAL

&. "ebuah partikel bergerak searah dengan sumbu ( , percepatannya a % t + 2 9a dalam

m$s0 dan t dalam detik:. ula-mula partikel tersebut terletak pada ( % & meter

dengan kecepatan 3 m$detik. Tentukanlah *

a. Posisi partikel pada t % 2 detik.

b. Kecepatan partikel pada t % detik.

c. Posisi partikel pada saat kecepatannya &0 m$detik.

d. Kecepatan partikel pada saat percepatannya 0 m$s0.

0. "uatu benda bergerak sepanjang sumbu-( mengikuti persamaan ( % 0t + t0 -

dengan ( dalam meter dan t dalam detik.

a. Tentukan persaman kecepatan dan persamaan percepatan.

b. Tentukan posisi, kecepatan dan percepatan pada t % 0 s.

c. Tentukan kecepatan rata-rata serta percepatan rata-rata antara t % 0 s dan t % s.

. 7enda dengan kecepatan awal nol dipercepat dengan a( % m$s0 dan ay % -2 m$s0

selama periode 0 detik. Carilah besar dan arah ' pada akhir dari waktu itu.

2. 4erakan sebuah partikel merupakan 8ungsi posisi yang dinyatakan dengan

persamaan a % 2( + 9a dalam m$det 0 dan ( dalam meter: pada saat ( %

kecepatannya 0 m$detik. Tentukan kecepatan partikel tersebut pada saat ( % 3 m

. "uatu benda bergerak sepanjang sumbu ( dengan *

3&.30

& 0-2 ++−−=−

t t t t r

@imana posisi benda tersebut pada saat kecepatnnya maksimum.

3. "uatu benda mempunyai 'ector posisi *

2-−=t r

x

dan0:&9 += t r y

Tentukan persamaan kecepatan pada saat perlajuannya 0 0 satuan.

. a 9m$s 0 :


11/11


3

t 9s:

3 &0

7enda bergerak sepanjang sumbu ( menurut gra8ik percepatan seperti di atas.

Pada saat t % , ' % dan r % . carilah posisi benda pada saat detik ke-1

D. a9m$s 0 :

2 / 7

0

0 2 t 9s:

7enda / dan 7 bergerak sepanjang sumbu (, menurut gra8ik percepatan di atas,

keduanya berangkat bersamaan dan dari tempat yang sama menuju arah yang sama,

pada saat t % , ' % dan r % , kapan dan dimana / dan 7 bertemu kembali.

----oo---oo---oo---oo----

Kinematika Dengan Analisis Vektor.doc

Documents

Transcript of Kinematika Dengan Analisis Vektor.doc