1 Pusat Pengajian Ekonomi Semester 1 Sesi 2011/2012 EPPE 2313 PENGANTAR EKONOMETRIK LANJUTAN MODEL REGRESI LINEAR MUDAH 1. Regresi melalui Asalan (origin) Fungsi regresi populasi (PRF) diandaikan berbentuk berikut: Yt = |1 Xt + ut yang mana sebutan pintasan bersamaan sifar regresi melalui asalan. Beberapa contoh: -hipotesis pendapatan kekal (permanent income hypothesis) Friedman: penggunaan kekal adalah berkadaran(proportional) dengan pendapatan kekal -model perletakan harga aset modal (capital asset pricing, CAPM) bagi teori portfolio moden jika pasaran modal cekap, premium risiko dijangka bagi sekuriti i (expected risk premium) dalam hubungan berikut: ERi rf = |i (ERm rf)

dengan ER: kadar pulangan dijangka terahadap sekuritii, ERm: kadar pulangan dijangka terhadap portfolio pasaran (market) katakan diwakili oleh indeks papan pertama,rf:kadarpulanganbebas(free)risiko,contohbonkerajaan,|i:pekali betamengukurrisikosistematiki.e.risikoyangtidakbolehdihapuskan menerusi diversifikasi. - Teori analisis kos: kos berubah pengeluaran adalah berkadaran dengan output. Dengan menggunakan OLS rumusan bagi 1diberikan seperti berikut:

=21tt tXY X, =221)(tXVar dengan o2 dianggarkan oleh 122=net 2. R2 bagi regresi melalui asalan R2 = 2 22) (Y XXY 2 Walaupun R2 memenuhi syarat0 < R2 < 1 ianya tidak boleh dibandingkan dengan nilai R2 yang telah dikaji sebelum ini (regresi dengan pintasan) R2 bagi model tanpa pintasan jarang dilaporkan. Perhatian: regresi melalui asalan ini hanya digunakan jika terdapat jangkaan awal yang kuat (strong prior expectation) tentang hubungan gelagat pembolehubah ekonomi. Jika tidak gunakan model regresi mudah biasa dengan pintasan kerana sebab berikut: -jika pintasan disertakan dalam model dan didapati ianya tidak bererti (secara statistik ia bersamaan sifar) regresi melalui asalan. -Jika pintasan sepatutnya ada didalam model tetapi disingkirkan dan kita memadankan model tanpa pintasan ralat spesifikasi model akan dilakukan tidak memenuhi (violate) andaian model regresi linear. 3. Penskalaan (scaling) dan Unit Ukuran Penskalaan menunjukkan bagaimana anggaran-anggaran pekali regresi, ukuranpemboleh ubah, ralat piawai, R2 dan lain-lain dipengaruhi oleh perubahan unit ukuranpemboleh ubah yang digunakan. Contohnya, harga dalam RM sebenar dan bukannyaRM ribu dan lain-lain. a. Skel pemboleh ubah bersandar sahaja yang berubah (i)Penskalaan setiap pekali regresi iaitu setiap pekali perlu didarabkan denganfaktor penskalaan.(ii) Residual dan ralat piawai pekali teranggar berubah. (iii)Statistik-t, F, dan R2 tidak berubah kerana mereka melibatkan nisbah. Contoh: penganggaran hubungan Kuantiti = |0 + |1 Harga + umenghasilkan keputusan berikut: Kuantiti = 1000|0 + 1000|1 Harga + 1000u = |0* + |1* Harga + u* jika kuantiti berubah daripada 1 kg menjadi 1000kg. b. Skel satu pemboleh ubah bebas berubah Pekali regresi cerun dan ralat piawainya akan berubah mengikut songsangan kepadaskel tetapi statistik-statistik lain tidak berubah. Contoh: Kuantiti = |0 + |1(1/1000) Harga + u c. Skel semua pemboleh ubah (bebas dan bersandar) berubah oleh faktor penskelan yang sama 3 (i)R2, F, dan t tidak berubah.(ii) Residual, 0dan 0sberubah mengikut skel yang digunakan. 4. Regresi Terhadap Pemboleh ubah Terpiawai DalamtajukOLSlepasditunjukkanyangunitdalammanapembolehubahbersandar (regressand)danregresor/regresor2diukurakanmempengaruhirumusan/interpretasi pekali regresi. Ini boleh dielakkan jika regressand dan regresor dinyatakan dalam bentuk pemboleh ubah terpiawai (standardized). Satupembolehubahdikatakanterpiawaijikanilaiindividuditolakkandengannilai minnya dan dibahagi dengan sisihan piawai (standard deviation) pemboleh ubah tersebut, contoh: YttYttsX XXsY YY== * , *

denganY = min sampel bagi Y, sY = sisihan piawai sampel bagi Y,X= min sampel bagi X, sX = sisihan piawai sampel bagi X Yt* dan Xt* dipanggil pemboleh ubah-pemboleh ubah terpiawai. Dengan itu model baru berbentuk: Yt* = |0* + |1* Xt* + ut* = |1* Xt* + ut* oleh kerana nilai sebutan pintasan bagi regresi dengan regressand dan regresor terpiawai selalunya sifar.Dalam literatur, |0* dan |1* dikenali sebagai pekali-pekali beta. Rumusan Pekali: Jikaregresor(terpiawai)meningkatsebanyaksatuunitsisihanpiawai,secarapurata, regressand (terpiawai) meningkat sebanyak |1 unit sisihan piawai tidak seperti model tradisional,kitamengukurkesanbukandalamsebutan-sebutanunitasaldalammanaY dan X dinyatakan, tetapi dalam unit sisihan piawai. 5. Bentuk Fungsi Lain Model Regresi A. Bentuk Fungsi1. Model Semilog: Model Log-Lin dan Lin-Log

Mengukur kadar pertumbuhan: Model Log-linear Kadar pertumbuhan beberapa pembolehubah ekonomi tertentu seperti populasi, KNK, bekalan wang, guna tenaga, produktiviti dan lain-lain sering dikaji. 4Katakankitainginmenentukankadarpertumbuhanperbelanjaanpenggunaan persendirian(personal)terhadapperkhidmatan,katakanYtmewakiliperbelanjaan sebenarpadamasatdanY0mewakilinilaiasal(initial).Dalamekonomirumusan kadar bunga kompaun (compound interest) terkenal dinyatakan seperti berikut: Yt = Y0 (1+r)t dengan r adalah kadar pertumbuhan kompaun bagi Y.Dengan mengambil logarithma semula jadi (natural log) kedua-dua belah persamaan: Ln Yt = Ln Y0 + t Ln (1+r) = |1 + |2 t (1) dengan |1 = Ln Y0.(1a)dan |2 = Ln (1+r) (1b). dengan menambah sebutan gangguan model menjadi: Ln Yt = |1 + |2 t + ut(2) Rumusan: Pekali cerun mengukur kadaran malar (constant proportional) atauperubahan relatif dalam Y bagi perubahan mutlak (absolute) dalam nilai regresor (dalam contoh t) iaitu |2 = regresor dalam mutlak perubahanY regresand dalam relatif perubahan ) ( (3) Jika perubahan relatif dalam Y didarab dengan 100 (3) akanmemberikan perubahan peratusan,ataukadarpertumbuhandalamYbagiperubahanmutlakdalamregresor iaitu100x|2memberikankadarpertumbuhandalamY,dandikenalisebagaisemi-keanjalan bagi Y terhadap X. Contoh: = XS E Ln 7.789 + 0.00743 t Rumusan:perbelanjaanperkhidmatanmeningkatpadakadar(sukutahunan)0.743 peratus.Secarakasarinisamadengankadarpertumbuhantahunan4x0.743=2.97 peratus.Olehkerana7.7890=logEXSpadapermulaantempohkajian,dengan mengambilantilogdidapati2413.90sebagaipermulaannilaiEXS.(lihatcontoh Gujarati). Contoh: Katakan lnyi = xi ' | + ui interpretasi bagi |i: perubahan relatif dalam yi

hasil perubahan mutlak seunit dalam xij. 5Kadar Pertumbuhan serta merta (instantaneous) dan kompaun Pekalipembolehubaharahaliran(trend)dalam(2)iaitu|2mewakilikadar pertumbuhansertamerta(padasatutitikmasa)danbukannyakadarpertumbuhan kompaun(bagisatutempohmasa).Kadarkompaunbolehdidapatidaripada(1b) denganmengambilantilogkepada 2dantolakkan1daripadanyadandarabkan perbezaan tersebut dengan 100.Denganitu,jika 2 = 0.00743, [antilog (0.00743) 1]=0.00746atau0.746peratus.Denganitukadarpertumbuhankompaunterhadap perbelanjaanperkhidmatanadalah0.746peratuspersukutahun,yangagaktinggi sedikit daripada kadar pertumbuhan serta merta sebanyak 0.743 peratus.Ini disebabkan oleh kesan memkompaun (compounding effect).[nota: cara yang lebih ringkas adalah ( 1e ) 100]. Model Arah Aliran Linear Model yang dipanggil model arah aliran linear dan pemboleh ubah t dikenali sebagai pemboleh ubah arah aliran berbentuk: Y = |1 + |2 t + ut(4) Jikapekalicerundalam(4)adalahpositifmakaterdapatarahaliranmeningkatkeatas (upwardtrend)dalamYdanjikanegatifterdapatarahaliranmerosotkebawah (downward trend) dalam Y.Contoh, S X E= 2405 + 19.692 t boleh dirumuskansebagai: sepanjang tempoh suku tahun 1993-I hingga 1998-III, secara purata,perbelanjaanterhadapperkhidmatanmeningkatpadakadarmutlak(nota:bukan relatif) 20 bilion per suku tahun: iaitu terdapat arah aliran meningkat dalam perbelanjaan perkhidmatan. Y X Rajah 1 6Model Lin-Log Katakan ingin dicari perubahan mutlak dalam Y bagi satu peratus perubahan dalam X.Model berbentuk: Yt = |1 + |2 Ln Xt + ut Model dipanggil model lin-log.Rumusan kepada pekali cerun |2: |2 = X dalam relatif perubahanY dalam perubahanLnX dalam perubahanY dalam perubahan = Sebutan kedua mengikut fakta yang satu perubahan dalam log satu nombor adalah satu perubahan relatif.Secara simbol, |2 = X XY/ AA yang mana A mewakili satu perubahan kecil.Persamaan ini boleh ditulis sebagai: AY = |2 (AX/X)(5) Persamaan(5)bermaksudyangperubahanmutlakdalamY(=AY)samadengancerun didarab dengan perubahan relatif dalam X. Jikasebutan |2 (AX/X)didarabkan dengan 100, (5) memberikan perubahan mutlak dalam Y bagi satu peratusan perubahan dalam X.Contohjika (AX/X) berubah sebanyak 0.01 unit(atau 1%), perubahanmutlak dalamY adalah 0.01(|2); jika |2 = 500, perubahan mutlak dalam Y adalah (0.01)(500) = 5. Bilamodellin-logberguna?Penggunannyayangpentingadalahdalammodel perbelanjaanEngeldinamakanmengikutahlistatistikGermanErnstEngelyang menyatakanjumlahperbelanjaanyangdiperuntukkankepadamakanancenderung meningkatmengikutprogresiarithmetik(arithmeticprogression)apabilajumlah perbelanjaanmeningkatmengikut progresi geometrik (geometric progression).Contoh empirik: E F= 1283.9+ 257.27 Ln TE yangmanaFEadalahperbelanjaanmakanandanLnTEadalahlogarithmajumlah perbelanjaan.Rumusan:pekalicerunadalah257bermaknayangsatukenaikandalam jumlahperbelanjaansebanyak1%,secarapurata,membawakepadahampirRM2.57 kenaikan dalam perbelanjaan makanan bagi 55 keluarga dalam sampel kajian. 7 Y | > 1 0 0 |1 > 0 |0|0 < 0 0X 001 X -|0 Rajah 4(a) Rajah 4(b) Rajah 4(c) Dalam Rajah 4(a) keluk adalah cembung (convex) dan mendekati satu asimptot daripada atas(approachesanasymptotefromabove).Inimungkinbergunabagimenganggar fungsi permintaan wang. Contoh lain,M C= 81.79 + 27,237.17|.|

\|PGNP1 dengan CM mewakili mortaliti bayi dan PGNP mewakili KNK perkapita.Apabila PGNP meningkat secara berterusan, mortaliti bayi mendekati nilai asimptot sebanyak 82 kematian per ribu.Nilai positif bagi pekali bagi|.|

\|PGNP1 membayangkan yang kadar perubahan bagi CM terhadap PGNP adalah negatif. Dalam Rajah 4(c) kita hanya menukar tanda pada pekali dalam fungsi permintaan wang.Keputusannyaadalahianyacekung(concave)danmendekaltiasimptotdaripadabawah (approaches the asymptote from below). 10Log Hiperbola (hyperbola) atau Model Salingan Logarithma (logarithmic Reciprocal) Model berbentuk seperti berikut: Ln Y = |1 - |2|.|

\|X1 + u BentuknyasepertiditunjukkandalamRajah5.AsalnyaYmeningkatpadakadar bertambahan(increasingrate)[i.e.,kelukasalnyacembung(convex)]dankemudiania meningkatpadakadarberkurangan(decreasingrate)[i.e.,kelukmenjadicekung (concave)]. Y X Rajah 5 Untuk mendapatkan cerun Y terhadap X, ingat semula dari kalkulus: |.|

\|= |.|

\| =22221 1) (X XLnYdXd tetapidXdYYLnYdXd 1) ( = Dengan penggantian didapati: 22XYdXdY = DalamRajah5kitabolehmenghasilkanbentuksigmoidal(sigmoidalshape)tersebut menerusipilihanparameteryangsesuai.Sebagaicontoh,satufungsipengeluaran mungkinmempunyaibentukinijikasepanjangjulatoutputyangrelevantidakterdapat 11keluaransutnegatif(negativemarginalproduct).Bagikebanyakanmasalah-masalah dalam ekonomi ini mungkin berlaku. 4. Model Kuadratik Model berbentuk parabola seperti berikut: Y =o + | X + X2

Y X Rajah 6 Dengan pilihan parameter yang sesuai kita boleh membalikkan fungsi tersebut (flip it over)danmendapatkankelukkospurata.Akhirnya,walaupunpekalitelahdipilih untukmemperbesarkan(exaggerate)bentuk,satufungsikuasatiga(cubic)boleh dipilih untuk mewujudkan satu fungsi pengeluaran atau fungsi kos yang berkelakuan baik (well behaved). 5. Model Kuasa Tiga (cubic) Model berbentuk: Y =Y =o + | X + X2 + o X3 + u Y X Rajah 7

12 Terdapat cabaran-cabaran semasa menganggarkan keluk-keluk dalam Rajah 6 dan 7.Sering didapati apabila pembolehubah bebas yang disertakan di rhs dalam bentuk polinomial masalah multikolineariti mungkin muncul.Ini boleh diatasi sebahagiannya, misalnya dengan menganggar keluk kos purata dan bukannya keluk jumlah kos (total cost curve).Perlaksanaan ini memerlukan, katakan, sebutan kuasa tiga (cube term) digugurkan daripada fungsi. B. Pilihan Bentuk Fungsi Panduan memilih bentuk fungsi: 1.Teori asas (underlying) (e.g. keluk Phillips, lihat contoh model Rajah 4(b) dalam Gujarati). 2.Amalan yang baik adalah mendapatkan kadar perubahan (i.e., cerun) bagiregresand terhadap regresor begitu juga mendapatkan keanjalan regresand terhadap regresor. 3.Pekali model yang dipilih sepatutnya memenuhi jangkaan awal (a priori) tertentu.Sebagai contoh, jika permintaan komoditi sebagai fungsi harga dan lain-lain pembolehubah, dijangka pekali negatif bagi pembolehubah harga. 4.Kadang-kadanglebihdaripadasatumodelyangpadandengansetdata.Dalam kelukPhillipsterlaras(modified)kedua-duamodellineardansalingan dipadankanpadadatayangsama.Dalamkedua-duakes,pekali-pekaliadalah sepertidijangkadanberertisecarastatistik.PerbezaannyaR2bagimodellinear agaktinggiberbandingmodelsalingan.Tentukandalammembandingkandua nilaiR2,walaupunpembolehubahbersandaratau regresandmestisama,regresor boleh mengambil sebarang bentuk. 5.Umumnya jangan terlalu memberi perhatian yang berlebihan pada ukuran R2 dalam erti kata lebih tinggi R2 lebih baik model keranaR2 sentiasa meningkat apabila lebih banyak regresor ditambah dalam model.Dalam banyak kes, pilihan bentuk fungsi ditentukan oleh kesesuaian /kemudahan dalam interpretasi ekonomi dan lain-lain perkara juga mungkin boleh memainkan peranan. Contohnya, menggunakan lnYi menggantikan Yi mungkin boleh mengurangkan masalah heteroskedastisiti (Tajuk 7).