MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO MENGGUNAKAN HIMPUNAN FUZZY

KARYA ILMIAH

SUDRADJAT

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN 2009

MENGETAHUI

Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana, MS Guru Besar Matematika FMIPA Unpad

MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN MENGGUNAKAN HIMPUNAN FUZZY

Sudradjat*) sudradjat@unpad.ac.id , adjat03@yahoo.com

1. Pendahuluan

Pada pertengahan abad ke 1952, H. Markowitz mempelopori teori financial modern

yang dikenal dengan model meanvarians portofolio seleksi. Teori tersebut akan

memudahkan dan menginspirasi dalam permasalahan financial. Zhou dan Lie 2000

mengembangkan model “Markowitz complete continuous-time financial market”.

Varians mempunyai peran yang penting dalam pengukuran risiko. Banyak para peneliti

mengemukakan bagaimana melakukan pengukuran risiko dalam investasi, begitu juga

semivarians yang dikemukakan oleh Markowitz. Pada framework mean-risk, hanya

mean-varians yang telah diterima pada discete-time market.

Masalah optimisasi portofolio pada suatu asset terbatas adalah masalah klasik dalam

teori dan perhitungan financial. Markowitz 1952, pertama kali mengemukakan bahwa

penampilan portofolio seharusnya diukur dalam dua dimensi yang berbeda, yaitu rata-rata

yang menggambarkan ekspektasi return, dan risiko yang mengukur ketidakpastian return.

Salah satu pendekatan teori terhadap masalah portofolio seleksi adalah stokastik

dominance.

*) Staf dosen Jurusan Matematika FMIPA Unpad.

Optimisasi portofolio adalah merupakan target return diatas kenaikan (rate) risiko

bebas pada pasar tertentu dimana untuk waktu yang sama dapat menjamin pencapaian

kenaikan return minimum, salah satu teori yang dapat digunakan untuk mencapai target

tersebut adalah teori keputusan fuzzy. Teorri keputusan fuzzy menyediakan framework

analisis yang sangat baik seperti yang kemukakan oleh Supian, 2007 [30, 31] dan Supian,

2008 . Karena permasalahan dalam dunia praktis membutuhkan teori untuk memeriksa

berbagai macam skenario pasar dan setiap sekenario pasar digambarkan kedalam bentuk

fungsi tujuan.

Para investor menyadari investasi yang dilakukan untuk mendapatkan return yang

mengandung konsekuensi risiko. Para investor sebenarnya tidak mengetahui secara pasti

seberapa besar hasil yang akan diperoleh dari investasi yang dilakukan. Namun demikian

para investor dapat memperkirakan berapa keuntungan yang diharapkan dan seberapa

besar kemungkinan hasil yang sebenarnya akan menyimpang dari yang diharapkan.

Upaya melakukan diversifikasi dapat diwujudkan dengan cara mengkombinasikan

berbagai pilihan saham dalam investasinya. Melalui portofolio saham para investor

berusaha memaksimumkan keuntungan yang diharapkan dari investasi dengan tingkat

risiko tertentu atau berusaha meminimumkan risiko untuk sasaran tingkat keuntungan

tertentu. Permasalahannya jenis saham apa yang akan dipilih dalam portofolionya, dan

para investor cenderung memilih portofolio yang optimal, yaitu yang sesuai dengan

preferensinya terhadap keuntungan serta risiko yang ditanggung. Pada analisis keuangan

dikenal dua macam model analisis optimisasi portofolio yaitu stochastic dominance dan

single index model.

Pada karya ilmiah ini akan dibahas dua model optimisasi portofolio, pertama

model optimisasi portofolio dengan pembatas stochastic dominance, kemudian model ini

diselesaikan dengan menggunakan pemrograman linear fuzzy lebih khusus lagi dengan

menggunakan linear membership function dan kedua pendekatan model posibilistik VaR

pada portofolio seleksi.

2

2. Stokastik dominance

Relasi dari stokastik dominance merupakan konsep dasar dari teori keputusan dan

ekonomi, Dentcheva dan Ruszczynski 2003, Hanoch dan Levy 1969, Quirk dan Saposnik

1962 dan Rothschild 1969. Model dasar stokastik optimisasi diformulasikan sebagai

berikut:

max [ ( , )]Z

Ez

z , (2.1)

dimana ω adalah kejadian dasar pada ruang probabilitas ),,( PF , z adalah vector

keputusan yang sesuai dengan ruang Z , dan RZ: . Himpunan

didefinisikan secara eksplisit, atau beberapa kendala yang mempengaruhi kejadian dasar

ω dan harus memenuhi probabilitas yang tepat. Model Optimisasi Stokastik pertama kali

dikembangkan oleh Lehmann 1955 dan Hanoch dan Levy 1969. Teori matematika dari

model-model ekspektasi melibatkan keputusan dua-stage dan multi-stage telah

dikembangkan oleh Wets 1999 dan Birge 1997, sedangkan model-model yang

melibatkan kendala-kendala probabilitas diawali oleh Charnes dan Cooper 1959, Prekopa

1979, Dentcheva dan Ruszczynski 2003 membahas secara lengkap teori dan metode

numerik untuk model linear dengan satu kendala probabilistik dengan beberapa

pertidaksamaan secara terbatas.

ZZ

Dalam pendekatan stokastik dominance, random return merupakan hasil dari

perbandingan titik-pertitik (point-wise) dari beberapa fungsi performansi yang

dikonstruksi dari fungsi distribusinya. Untuk variabel acak V , bentuk fungsi

didefinisikan dengan fungsi distribusi kontinu kanan dari V :

}{),( VVF P untuk R .

Random return V dikatakan stokastik dominance orde pertama (Dentcheva dan

Ruszczynski, 2003, Lehmann, 1955 dan Quirk dan Saposnik, 1962), ditulis SV FSD ,

jika

);();( SFVF untuk semua R .

3

Tentukan fungsi dengan );(2 VF

untuk

dVFVF );();(2 R , (2.2)

fungsi integral adalah fungsi tidak naik, ini adalah fungsi konveks dari dan ditentukan

dengan relasi lemah (weak relation) dari orde dua stokastik dominance (SSD). Hal ini

menunjukkan bahwa random return adalah stokastik dominance orde dua, ditulis V S

SV SSD , jika

);();( 22 SFVF untuk semua R .

Hubungan kuat relasi dominance untuk FSD dan SSD adalah didefinisikan dengan:

jika dan hanya jika SV SV , VS .

Lebih penting lagi, untuk , dapat didefinisikan secara rekursif fungsi-

fungsi

),,( PV FLm

untuk

dVFVF kk ),();( 1 1,3k mR, . (2.3)

Juga untuk dapat didefinisikan secara rekursif fungsi-fungsi ),,( PV FLm

dVFVF kk ),();( 1 untuk 1,3k mR, . (2.4)

Gambar 2.1 Stokastik dominance orde pertama

4

untuk RE

forXdXFXF )();();( 12 R

Gambar 2.2 Stokastik dominance orde dua

Definisi 2.1. (Dentcheva dan Ruszczy´nski 2003) Suatu variabel acak

dominance orde ke-k terhadap variabel acak jika, ),,(1-k PX FL ),,(1-k PY FL

);();( YFXF kk untuk semua R . (2.5)

Relasi (2.5) dapat dituliskan

YX k )( (2.6)

dan himpunan X memenuhi relasi

}:),,({)( )(1 YXPXYA k

kk FL . (2.7)

Dengan menukarkan orde dari integrasi dapat diperlihatkan fungsi juga

ekpektasi shortfall (Rockafellar and Uryasev, 2002): untuk semua target nilai

);(2 VF

,

diperoleh

)();(2 VEVF , (2.8)

dimana )0,max()( VV . Fungsi );(2 VF adalah kontinu, konveks, nonnegatif

dan tak naik. Hal ini didefinisikan untuk semua variabel acak V dengan nilai ekspektasi

terhingga.

5

3. Masalah Portofolio

Proses portofolio seleksi dibagi dalam dua stage. Stage pertama mulai dengan

observasi dan pengalaman dan diakhiri dengan kenyakinan performansi masa depan.

Stage kedua mulai dengan kenyakinan yang relevan tentang performansi masa depan dan

berakhir dengan memilih portofolio, Markowitz, 1987.

Asumsi dasar masalah standar untuk portofolio seleksi adalah sebagai berikut:

(a) n sekuritas,

(b) inisialisasi dari jumlah dana yang diinvestasikan,

(c) permulaan periode pesanan,

(d) akhir periode pesanan,

dan tentukan sebagai bobot proporsi dari yang diinvestasikan inivestor. Ini

adalah proporsi dari jumlah awal yang diinvestasikan dalam n sekuritas di awal dari

holding periode yang menjelaskan portofolio untuk dipastikan sampai akhir dari holding

periode. Standar view adalah hanya ada satu tujuan di seleksi portofolio dan untuk

memaksimalkan portofolio return, prosentase return didapat dari portofolio holding

periode.

nxx ,,1

Misalkan adalah random returns dari aset nRR ,...,1 n,1 . Asumsikan bahwa [| |]<∞

untuk semua

jR

nj ,1 . Notasikan pembagian modal investasi dari asset nxx ,...,1 n,1 ,

maka model total return dapat dituliskan:

. (3.1) nn xRxRxR ...)( 11

Himpunan alokasi aset yang mungkin dapat dirumuskan:

njxxxxX jnn ,...,1,0,1...: 1 R

Rata return )()( xRx E .

Varians return )()( xRarx V ,

6

Rata-rata risiko:

,/

)()(max

Xxts

xxXx

(3.2)

dimana, adalah parameter nonnegatif yang merepresentasikan perubahan rate dari rata-

rata risiko. Jika 0 , tidak mempunyai nilai risiko dan masalah direduksi menjadi

maksimasi rata-rata. Jika 0 pilih salah satu dari rata-rata dan risiko.

Pendekatan lainnya adalah dengan memilih fungsi utilitas , model

optimisasinya dirumuskan sebagai berikut:

RR :u

. (3.3) )(max xRuXxE

Fungsi u(·) pada umumnya adalah concave dan tak naik. Dalam pendekatan stokastik

dominance, random returns dibandingkan dengan cara point-wise dari beberapa bentuk

fungsi yang dibentuk dari distribusi fungsi. Untuk variabel acak real V, bentuk fungsi

pertama didefinisikan sebangai kontinu kanan distribusi fungsi kualitatif dari V :

)();( VVF P untuk R .

Random return V, dikatakan stokastik dominance orde pertama terhadap random return S

, dinotasikan SV FSD , jika

);();( SFVF untuk R .

Bentuk kedua fungsi , diberikan dari area di bawah distribusi fungsi F, 2F

dVFVF );();(2 untuk R .

dan defnisikan relasi yang lemah dari order kedua stokastik dominance (SSD). Random

return V stokastik dominance ke S orde dua, dinotasikan SV SSD , jika

);();( 22 SFVF untuk R .

Portofolio x mendominasi portofolio y di bawah aturan FSD, jika

));(());(( yRFxRF untuk semua R ,

7

dan x mendominasi di bawah aturan SSD y ))()(( yRxR SSD , jika

));(());(( 22 yRFxRF untuk semua R .

Relasi stokastik dominance mempunyai peranan penting dalam teori keputusan, telah

diketahui bahwa )()( yRxR FSD jika dan hanya jika

, (3.4) ))](([))](([ yRuExRuE

untuk berbagai fungsi tak turun u(.) dimana nilai ekspektasinya adalah terbatas.

Selanjutnya, )()( yRxR SSD jika dan hanya jika (3.4) tidak turun dan concave, yang

mana nilai ekspektasi terbatas dapat dilihat pada Dentcheva dan Ruszczy´nski 2003.

Portofolio x disebut SSD-effisient (atau FSD-effesient) dalam sebuah himpunan

portofolio X jika tidak terdapat Xy seperti (or ). ))()(( xRyR SSD ))()(( xRyR FSD

Pembahasan difokuskan pada relasi SSD, karena konsistensinya dengan tampilan

preferensi yang berlawanan dengan risiko: jika , maka portofolio x

lebih disukai dari y dengan semua risiko averse decision makers.

))()(( xRyR SSD

Definisi 3.1 (Ruszczy´nski dan Vanderbei, 2002) Model mean-risk ),( adalah konsisten

terhadap SSD dengan koefisien 0 , jika relasi berikut dipenuhi

)()()()()()( yyxxyRxR SSD untuk semua 0 .

Perhatikan model optimisasi berikut (Dentcheva dan Ruszczy´nski, 2003):

(3.5) )(xfmaksimasi

kendala YxR )2()( , (3.6)

, (3.7) Xx

dimana RXf : adalah fungsi kontinu concave dituliskan, dan ini

akan tetap memiliki solusi nontrivial, dengan melihat sifat dominance constraints.

)]([)( xRxf E

8

Proposisi 3.1 (Dentcheva dan Ruszczy´nski, 2003) Asumsikan bahwa Y suatu distribusi

diskrit dengan realisasi miyi ,1, , maka relasi (2.6) ekuivalen dengan

iYyxRy ],)[(]))([( EE . (3.8)

Asumsikan bahwa return memiliki joint distribusi distkrit dengan relasi , t = 1, . . . , T, tjr

nj ,1 , probabilitas , t = 1, 2, . . . , T. Dengan memasukkan variabel yang

merepresentasikan shortfall dari R(x) di bawah pada realisasi t, i = 1, . . . ,m and

, maka Proposisi 2 (Dentcheva dan Ruszczy´nski, 2003) dikembangkan oleh Supian

2007 [30,31] dan Supian, 2008 sebagai berikut.

tp its

iy

Tt ,,1

Proposisi 3.2 Jika diasumsikan bahwat njR j ,...,1, , dan Y berdistribusi diskrit maka

permasalahan (3.5)–(3.7) adalah ekivalen dengan permasalahan

(3.9) )(xfmaksimasi

kendala , iitj

n

jjt ysxr

1

Ttmi ,...,1,,...,1 , (3.10)

, );(21

iit

T

tt yYFsp

,,...,1 mi (3.11)

(3.12) 0s tm ,...,1,,...,1 it i T

(3.13)

n

jjx

1

1

(3.14)

n

jjx

1

1

0 , j=1,…,n, (3.15) jx

dan hal ini ekivalen dengan :

(3.16)

n

jjj XcmaksimasiXmaksimasi

1

)(

kendala, , (3.17) mmTibxamTn

jijij

2,...,1,1

, 0 mTnjjX ,...,1 (3.18)

dimana , ),...,,...,,...,,,...,,,...,( 12211111 mTmTTn ssssssxxX

9

lainnya

iTnnjandTKmKKmi

TKmKKmiinjr

aij

ij

,0

1)1(,...,1)1(,...,0,)1(,...,1,1

)1(,...,0,)1(,...,1,,...,1,

lainnya

mTinjaij ,0

1,,..,1,1

lainnya

mTinjaij ,0

2,,..,1,1

,,0

2,...,3,,...,1,...,1)1(,)1(

lainnya

mmTmTimKandTKnKTnjpa KTnj

ij

bentuk tabel dari permasalahan (3.16)-(3.18) dapat dilihat pada Lampiran.

4. Masalah Portofolio dengan Koefisien Teknologi Fuzzy

Pada bagian ini model portofolio seleksi (Darinka dan Ruszczy´nski 2003) akan

dibahas menggunakan pendekatan teori keputusan fuzzy Supian 2007 [31,32] dan Supian

2008.

Ambil masalah pemrograman linear (2.20)-(2.22) dengan koefisien teknologi

fuzzy, Supian 2007 [31,32] dan Supian 2008.

(4.1)

n

jjj XcmaksimasiXmaksimasi

1

)(

kendala , i

mTn

jjij bXa

1

~ mmTi 2,...,1 , (4.2)

0 , jX mTnj ,...,1 . (4.3)

Asumsi 4.1. Supian 2007 [31,32] ija~ adalah fuzzy number dengan fungsi keanggotaan

linear:

(i) 1. Untuk i=Km+1,…,(K+1)m, K=0,…,(T-1) dan j=1,…,n

10

,0

,/)(

,1

)(

ijij

ijijijijijij

ij

a

drtif

drtrifdtdr

rtif

tij

2. Untuk i=Km+1,…,(K+1)m, K=0,…,(T-1) dan j=n+T(i-Km-1)+K+1

,10

,11/)1(

11

)(

ij

ijijija

dtif

dtifdtd

tif

tij

(ii) Untuk i=mT+3, …, mT+2+m; K=1,…m dan j=n+T(K-1)+1,…,n+TK

,

)1(

)1(

)1()1(

)1(

0

,/)(

,1

)(

ij

ijijijKTnja

dptif

dptpifdtdp

ptif

t

KTnj

KTnjKTnj

KTnj

ij

dimana dan untuk semua Rt 0ijd ,2,,1 mmTi dan

. Untuk kefuzzian pada masalah ini, pertama dibentuk fungsi objektif

fuzzy. Hal ini dengan menghitung batas atas dan batas bawah dari nilai optimal petama.

Batas-batas nilai optimal dan diperoleh dari penyelesaian masalah standar

pemrograman linear.

)1(,,0 TK

mTn ,j ,1

lz uz

)(1 Xmaksimasiz (4.4)

kendala , i=1,…,mT+m+2 (4.5) ij

mTn

jij bXa

1

, j = 1,…,n+mT, (4.6)

dan

0jX

)(2 Xmaksimasiz (4.7)

kendala , i=1,…,mT+m+2 (4.8) ij

mTn

jij bXa

1

ˆ

, j = 1,…,n+mT, (4.9) 0jX

dimana

11

lainnyad

iTnnjandTKmKKmid

TKmKKmiinjdr

a

ij

ij

ijij

ij

,

1)1(,...,1)1(,...,0,)1(,...,1,1

)1(,...,0,)1(,...,1,,...,1,

ˆ

lainnyad

mTinjda

ij

ijij ,

1,,..,1,1ˆ

lainnyad

mTinjda

ij

ijij ,

1,,..,1,1ˆ

lainnyad

mmTmTimKdanTKnKTnjdpa

ij

ijKTnjij ,

2,...,3,,...,1,...,1)1(,ˆ )1(

Fungsi objektif diberikan antara dan juga koefisien teknologi antara

dan . Berikan dan

1z 2z

max(

ija

ijij da ),min( 21 zzz l ), 21 zzz u . Maka dan secara

berturut- turut disebut batas bawah dan batas atas dari nilai optimal.

lz uz

Asumsi 4.2. Supian 2007 [31,32] Linear crisp pada masalah (4.4)-(4.6) dan (4.7)-(4.9)

menpunyai nilai optimal terbatas. Dalam kasus ini himpunan fuzzy dari nilai optimal, G,

dimana G adalah subset dari nR , ditentukan pada Gasimov, 2002,

(4.10)

n

jjj

n

jjj

n

jjj

n

jjj

G

zXcif

zXczifzzzXc

zXcif

X

1

11

1

.1

)/()(

0

)(

u

ullul

l

Himpunan fuzzy pada kendala ke-i, , yang merupakan subset dari iC mR , didefinisikan:

(i) 1. Untuk i=Km+1,…,(K+1)m dan K=0,…,(T-1)

12

)(XiC = (4.11)

n

jjijiji

n

j

n

jjijijijij

n

j

n

jjijjiji

n

jjiji

Xdrb

XdrbXrXdXrb

Xrb

1

1 11 1

1

)(,1

)(,/)(

,0

(ii) 2. untuk i=Km+1,…,(K+1)m, dan K=0,…,(T-1)

)(XiC

),(

1

),(

1

),(

1

),(

1 1

),(

1

)1(,1

)1(,/)(

,0

Kin

njjiji

Kin

nj

Kin

njjijij

Kin

nj

n

jjijji

Kin

njji

Xdb

XdbXXdXb

Xb

(4.12)

dimana n(i,K)=n+T(i-Km-1)+K+1

(iii) Untuk i=mT+3, …, mT+2+m dan K=1,…, m

)(XiC = (4.13)

TKn

KTnjjijKTnji

TKn

KTnj

TKn

KTnjjijKTnjijKTnj

TKn

KTnj

TKn

KTnjjijjKTnji

TKn

KTnjjKTnji

Xdpb

XdpbXpXdXpb

Xpb

)1()1(

)1( )1()1()1(

)1( )1()1(

)1()1(

)(,1

)(,/)(

,0

Dengan menggunakan definisi keputusan fuzzy dari Bellman and Zadeh, 1970,

didapatkan

))((min),(min()( XXXjC

jGD ,

sehingga ))((min),(min(max))((max

00XXX

jCj

Gx

Dx

.

13

Konsekuensinya, masalah (4.1)-(4-3) menjadibentuk optimisasi di bawah ini

maksimasi (4.14)

)(XG (4.15)

21)( mmTiXiC (4.16)

, 0jX 10 , mTj ,...,1 . (4.17)

Dengan menggunakan persamaan (4.10) dan (4.11)-(4.13), dapat dirumuskan

teorema berikut:

Teorema 4.1 Supian 2007 [31,32] Masalah (4.1)-(4.3) direduksi menjadi salah satu dari

masalah crisp berikut ini:

maksimasi (4.18)

(4.19) 0)( 21

21

zXczzn

jjj

,

mTn

jijij bXa

1

0)(ˆ 2,...,1 mmTi (4.20)

, 0 10 jX , mTj ,...,1 , (4.21)

dimana

lainnyad

iTnnjdanTKmKKmid

TKmKKmnjdr

a

ij

ij

ijij

ij

,

1)1(,...,1)1(,...,0,)1(,...,1,1

)1(,...,0,)1(,...,1,,...,1,

)(ˆ

lainnyad

mTinjda

ij

ijij ,

1,,..,1,1)(ˆ

.,

2,,..,1,1)(ˆ

lainnyad

mTinjda

ij

ij

ij

.,

23,,,1)1(,)(ˆ

lainnyad

mmTiTKnKTnjdpa

ij

ijTnjij

Perlu diperhatikan bahwa, kendala pada (4.18)-(4.21) memuat cross product dari jX

adalah tidak konveks.

14

5. Solusi permasalahan defuzzifikasi

Pada bagian ini, akan dibahas metode modifikasi subgradient, Gasimov 2002 dan ini

akan digunakan untuk penyelesaian masalah defuzzifikasi (4.18)-(4.21). Sebagai catatan

bahwa, secara umum kendala pada (4.18)-(4.21) adalah non-konveks. Model ini

diselesaikan dengan metode himpunan decisive fuzzy, yang dibahas oleh Sakawa dan

Yana 1995, atau metode linearisasi oleh Kettani dan Oral, 1990.

5.1. Aplikasi metode modifikasi subgradient pada masalah pemrograman linear.

Penggunaan metode subgradien Gasimov 2002 pada masalah (4.18)-(4.21), pertama

dibentuk model kendala persamaan dengan variabel slak dan dan ditulis sebagai

berikut:

0y iy

maksimasi

(),, 10 zy

(5.1)

(5.2) 0)( 021

20

yzXczXgn

jjj

),,( ii yXg

mTn

jiijij ybXa

1

0)(ˆ , 2,...,1 mmTi (5.3)

, , 0 0,0 iyyjX 10 , mTj ,...,1 , 2,...,1 mmTi . (5.4)

Untuk masalah ini definisikan himpunan S:

}10,0,,0),,....,(),,...,(),,{( 011 iinn yyXyyyXXXpXS .

Karena )min(max dan ),...,(),,( 0 mggpXg augmented Lagrangian yang

bersesuaian dengan masalah (5.1)-(5.4) dapat ditulis dalam bentuk:

.2

1)(ˆ

021

)21

(0

21

22

1)(ˆ

2

021

)21(),,(

1

1

mmT

iybXauyz

n

jj

Xj

czz

mmT

iybXayz

n

jj

Xj

czzccuxL

iij

mTn

jiji

iij

mTn

jij

15

Sebagai ilustrasi pada (5.1)-(5.4) dilakukan dengan cara:

Tahap Inisialisasi. Pilih vektor dengan , ambil , dan

lanjutkan ke tahap utama.

),,...,,( 112

11

10 cuuu mmT 01 c 1k

Tahap Utama.

Tahap 1 . Berikan ; selesaikan submasalah di bawah ini: ),,...,,( 210kk

mmTkk cuuu

.2

1)(

1ˆ

021

)21

(0

21

22

1 1)(ˆ

2

021

)21(min

mT

i iy

ib

jX

mTn

jij

ai

uyzn

jj

Xj

czzu

mmT

i iy

ib

mTn

jj

Xij

ayzn

jj

Xj

czzc

.),,( SyX

Berikan suatu solusi. Jika , maka berhenti;

adalah penyelesaian masalah dual, adalah penyelesaian masalah (4.18)-(4.21).

Lainnya, lanjutkan ke tahap 2.

),,( kkk yX ),,( kkk yXg

), kk

),,...,,( 10kk

mTkk cuuu

(X

Tahap 2 . Berikan

02

1210

10 )( yzxczzhuu

n

jjj

kkk

n

jiijij

kki

ki ybXahuu

1

1 )(ˆ , mKiKm )1(1 dan 0 1 TK

)()(1k

kkkk xghcc

dimana dan adalah skalar positif (stepsizes) dan , ganti k dengan

; dan kembali ke Tahap 1.

kh k 0 kkh

1k

5.2. Algoritma metode himpunan keputusan fuzzy

Metode ini adalah didasari dari ide bahwa, untuk nilai tetap ; masalah (4.18)-

(4.21) adalah masalah pemrograman linear, Gasimov 2002. solusi optimal dari

masalah (4.18)-(4.21) adalah ekuivalen dengan menentukan nilai maksimum

*

(himpunan feasible tidak kosong).

16

Algoritma untuk masalah (4.18)-(4.21) adalah sebagai berikut:

Algoritma

Tahap 1. Berikan = 1 dan lakukan pengujian himpunan feasibel yang memenuhi

kendala pada probelm (4.18)-(4.21). Jika himpunan feasibel ada, berikan = 1: Lainnya,

berikan himpunan dan dan lanjutkan pada Tahap 2 berikut. 0L 1R

Tahap 2. Untuk nilai dari ; perbaiki nilai dari dan dengan

menggunakan metode bisection di bawah ini:

2/)( RL L R

L jika himpunan feasible tidak kosong untuk

R jika himpunan feasibel adalah kosong untuk .

Konsekwensi, untuk setiap , baik dengan adanya himpunan feasible dari (4.18)-

(4.21) atau tidak menggunakan fase satu dari metode simpleks dan menggambarkan nilai

maksimum yang memenuhi kendala pada (4.18)-(4.21). *

6. Mean Downside-Risk Freamwork

Para investor dalam prakteknya konsentrasi pada risiko bahwa nilai portofolio

jatuh pasti lebih rendah dari suatu level . Jika dinotasikan v adalah nilai portofolio diakhir

periode, dengan probabilitas )( VaRvP , untuk nilai portofolio jatuh lebih rendah dari

tingkat VaR , disebut shortfall probability, dan expected shortfall adalah , mean absolute

deviation )(v)(( EvvEvE , dan semi-varians ))((( 2 VaRvvEvE , jika

),1(, njx j merepresentasikan proporsi pada total jumlah uang yang disimpan pada

sekuritas j, )n,1(,dan jul jj masing-masing menotasikan proporsi minimum dan

maksimum pada total jumlah uang yang disimpan pada sekuritas j.

Berikan ),1(, njrj adalah variabel acak yang merepresentasikan rate of return pada

sekuritas, sehingga .

n

jjj xrv

1

17

Asumsikan bahwa investor ingin mengalokasikan sebagian kekayaannya n risiko

sekuritas. Jika profil risiko pada investor ditentukan dalam bentuk VaR, maka solusi

mean-VaR portofolio efisien dapat diselesaikan dengan permasalahan optimisasi berikut,

(Inuiguchi, 2000):

(P1)

.,1,

1

,)(

)(

1

njuxl

x

VaRvPkendala

vEmaksimasi

jjj

n

jj

x

Model (P1) ini menunjukkan bahwa investor mencoba memaksimumkan nilai portofolio

untuk waktu yang akan datang, yang membutuhkan probabilitas bahwa nilai portofolio

yang akan datang mendekati VaR dengan tidak lebih dari .

7. Kasus model proposional transaction cost

Biaya tansaksi adalah salah satu dari sumber yang menjadi perhatian dari manajer

portofolio. Arnott dan Wagner, 1990 menemukan bahwa transaction costs akan

mempengaruhi inefisien portofolio. Yoshimoto's empirical analysis, 1996 juga

menyimpulkan yang sama.

Jika diasumsikan bahwa tingkat transaction cost pada sekuritas ( 1, )j j n adalah dan

transaction cost pada sekuritas

jc

),1( njj adalah , sehingga tansaction cost pada

portofolio adalah . Dengan mempetimbangkan tansaction cost dan

kendala shortfall probability, diperoleh model mean VaR portofolio seleksi dengan

transaction cost adalah

jj xc

),...,( 1 nxxx

n

jjj xc

1

18

(P2)

.,1,

1

,)(

)(

1

1

njuxl

x

VaRvPkendala

xcvEmaksimasi

jjj

n

jj

n

jjj

x

8. Pengembangan model

Jika model di atas diterapkan pada multi asset, Supian 2007 [31, 35, 36], maka

nilai portofolio diakhir periode qivi ,1, , qiVaRvP ii ,1),)(( , expected shortfall

adalah ))(( iii VaRvvE , mean absolute deviation )()(( iiii vEvvEvE , dan semi-

varians ))()((( 2iiii vEvvEvE , jika ),1(, njx j merepresentasikan proporsi pada

total uang yang disimpan pada sekuritas j, ),1(,dan 21 njul jj berturut-turutut

menotasikan proporsi minimum dan maksimum pada total jumlah uang yang simpan pada

sekuritas j adalah variabel acak yang merepresentasikan rate of i return pada sekuritas j.

Untuk nj ,1 dan qi ,1 , berikan qinjrji ,1,,1, adalah variabel acak yang

merepresentasikan rate of i return pada sekuritas j adalah .

n

jjjii xrv

1

Asumsikan bahwa investor mengalokasikan sebagian kekayaannya n risiko sekuritas. Jika

profil risiko pada investor ditentukan dalam bentuk qiVaR i ,1,)( , maka solusi mean-

VaR portofolio efisien dapat diselesaikan dengan permasalahan optimisasi berikut,

(Supian, 2007 [31, 35])

19

(8.1) )](),([ 1 qRx

vEvEmaksimasin

qiVaRvkendala iii ,1,)Pr (8.2)

, (8.3)

n

jjx

1

1

njMxM jjj ,1,21 . (8.4)

Model ini menunjukkan bahwa investor mencoba memaksimumkan nilai portofolio untuk

waktu yang akan datang, yang membutuhkan probabilitas bahwa nilai portofolio yang

akan datang mendekati (VaR)i dengan tidak lebih dari qii ,1, .

9. Kasus model proposional transaction cost

Jika diasumsikan bahwa rate of transaction cost pada sekuritas ),1( njj dan

dialokasikan pada qii ,1, aset adalah . Transaction cost pada sekuritas jic j dan di

alokasikan pada i aset adalah . Transaction cost pada portofolio jj xc 1( ,..., )nx xx

adalah qi xcn

jjji ,1,

1

. Dengan mempetimbangkan tansaction cost dan kendala shortfall

probability, maka model mean VaR portofolio seleksi dengan transaction cost adalah

(9.5) ])(,)([11

11

n

jjjqq

n

jjj

RxxcvExcvEmaksimasi

n

qiVaRvkendala iii ,1,)Pr (9.6)

, (9.7)

n

jjx

1

1

njMxM jjj ,1,21 . (9.8)

20

10. Model posibilistik mean VaR portofolio seleksi

10.1 Teori posibilistik

Dasar dari konsep dan teknik dari teori possibility dikemukakan oleh Zadeh, 1970.

Misalkan a~ dan b~

dua bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan masing-masing

berturut-turut ba dan ~~ dan

b~ , maka possibilitas dari a~ dan b

~didefinisikan

sebagai berikut: (Dubois dan Prade 1990),

}.))(),(sup{min()~~(

,},))(),(sup{min()~~(

},,))(),(sup{min()~~(

~~

~~

~~

R

R,

R,

xxxbaPos

yxyxyxbaPos

yxyxyxbaPos

ba

ba

ba

(10.1)

Jika b~

adalah suatu bilangan crisp (invariabel) b, didapat

)(}~(

},)(sup{}~{

},)(sup{}~{

~

~

~

bbaPos

bxxxbaPos

bxxxbaPos

a

a

a

R

R

(10.2)

Untuk suatu operasi dengan bilangan biner dari himpunan fuzzy. Jika

dinotasikan bilangan fuzzy bilangan , maka fungsi keanggotaan

RRR :f

ba~

,~ )~

,~(~ bafc c~

dapat diurunkan dari fungsi keanggoaan a~ dan b~ dengan

)},(,,))(),(sup{min()( ~~~ yxfzyxyxzbac R (10.3)

Untuk suatu . Jadi, posibilistik bahwa bilangan fuzzy mempunyai nilai

adalah lebih besar dari kombinasi kemungkinan dari bilangan riil x,y sedemikian

z = f(x,y), dimana nilai

Rz )~

,~(~ bafc

Rz

a~ dan b~

berturut-turut x dan y.

10.2 Bilangan trapezoidal fuzzy

Rate of return pada sekuritas diberikan dengan bilangan trapezoidal fuzzy

),,,(~4321 rrrrr dimana 4321 rrrr . Maka fungsi keangotaan bilangan fuzzy r~

diformulasikan:

21

.,0

,

,,1

,,

)(

,4343

4

32

2112

1

~

lainnya

rxrrr

rxrxr

rxrrr

rx

xr (10.4)

Ambil rate of return pada sekuritas dengan bilangan trapezolidal fuzzy ),,,(~4321 rrrrr

dimana 4321 rrrr . Maka fungsi keanggotaan dari fuzzy r~ dapat ditulis:

.,0

,

,,1

,,

)(

,4343

4

32

2112

1

~

lainnya

rxrrr

rxrxr

rxrrr

rx

xr (10.5)

Jika diambil dua trapezoidal bilangan fuzzy ),,,(~4321 rrrrr dan ),,,(

~4321 bbbbb ,

seperti terlihat pada Gambar 10.1.

Jika , maka diperoleh: 32 br

yxyxbrPosbr )}(),(min{sup

~~~~

,11,1min)(),(min 3~2~ brbr mengakibatkan bahwa 1)

~~( brPos .

Jika dan , mengakibatkan . Jika dan 32 br 41 br 1)~~( brPos 32 br 41 br

maka suprimum adalah x yang merupakan irisan dari dua fungsi keanggotaan )(~ xr

dan )(~ xb

, dimana )1rx ( 21 rr .

Jika , maka untuk suatu 41 br yx , satu dari persamaan

0)(,0)( ~~ yxbr , benar.

22

)(~ xb

)(~ xr

1 0 b1 b2 r1 b3 x r2 r3 b4 r4

Gambar 10.1: Dua trapezoidal bilangan fuzzy r~ dan b~

.

Jadi diperoleh 0~~ brPos .

Kemudian dapat disimpulkan bahwa

(10.6)

.,0

,,,

,,1~~

41

4132

32

br

brbr

br

brPos

Secara khusus, dimana b~

adalah bilangan 0, maka diperoleh

(10.7)

,0,0

,0,

,0,1

0~

1

21

2

r

rr

r

rPos

dimana

21

1

rr

r

. (10.8)

Perhatikan lemma berikut:

Lemma 10.1 (Dubois dan Prade, 1990) Ambil 4321 ,,,~ rrrrr adalah bilangan

trapezoidal fuzzy. Maka untuk suatu tingkat konfiden dengan 10 ,

)0~(rPos , jika dan hanya jika 1)1( r + 02 r .

23

Himpunan bilangan fuzzy 4321 ,,,~ rrrrr dengan tingkat (level) adalah suatu

himpunan bagian crisp dari R dan dinotasikan },)({]~[ Rxxxr , dengan

mengacu pada Carlsson 2002, diperoleh

)](),([},)({]~[ 344121 rrrrrrRxxxr .

Level dari bilangan fuzzy 4321 ,,,~ rrrrr adalah himpunan crisp dari R dan

dinotasikan dengan },)({]~[ , maka dengan mengacu pada Carlsson

2001, didapat

Rxx xr

)](),([},)({]~[ 344121 rrrrrrRxxxr .

Jika diberikan )](),([]~[ 21 aar , posibilistik nilai rata-rata crisp dari 4321 ,,,~ rrrrr

adalah 1

0 21 ))()(()~(~ daarE , dimana E

~adalah operator mean.

Dapat diuraikan jika 4321 ,,, ~ rrrrr , maka trapezoidal fuzzy number adalah

63

))()(()~(~ 4132

1

0 344121

rrrrdrrrrrrrE

. (10.9)

10.3 Formulasi portofolio efisien

Ambil adalah proposional dari total sejumlah uang yang disimpan sekuritas j,

dan berturut-turut menotasikan proporsi minimum dan maximum dari total

semua uang yang dipilih pada sekuritas

jx

jM1 jM 2

j . Bilangan trapezoidal fuzzy dari adalah jir

4)(3))( , jiji rr (, jir2)(1, jir~jir dimana r 4)(3)(21)( jijiji rr)( jir . Jika tingkat (VaR)i dengan

bilangan trapezoidal 43,21 ,,~

ibiii bbbib , qi ,1 .

Dengan pendekatan ini perhatikan model pada (9.5)-(9.8) dapat direduksi dari

teorema berikut: (Supian 2007 [34])

24

Teorema 10.1 Posibilistik mean VaR portofolio seleksi untuk vector mean VaR , model

efficient portofolio (9.5)-(9.8) adalah

(10.10)

n

jjjk

n

jjjk

n

jjj

n

jjj

Rx

xcxrExcxrEmaksimasin

1111

11

~~,...,~~

,,1,~~

1

qibxrPoskendala iij

n

jji

(10.11)

, (10.12)

n

jjx

1

1

njMxM jjj ,1,21 . (10.13)

Dengan menggunakan White 1995, Teorema 10.1 dapat dikembangkan menjadi

teorema sebagai berikut: Supian 2007 [,31, 32, 35]

Teorema 10.2. Jika qii ,1,0 , maka efscien portofolio untuk model posibilistik

adalah solusi optimal dari permasalahan di bawah ini:

(10.13)

n

jjji

n

jjji

q

ii

RxxcxrEmaksimasi

n111

~~

,,1,~~

1

qibxrPoskendala iij

n

jji

(10.14)

, (10.15)

n

jjx

1

1

njMxM jjj ,1,21 . (10.16)

Dengan menggunakan tingkat return pad a sekuritas ),1( njj dengan bilangan

trapezoidal fuzzy, maka dapat dirumuskan teorema berkut: Supian 2007 [31,32,35]

Teorema 10.3 Rate of return pada sekurtias ),1( njj dengan bilangan trapezoidal

fuzzy 4)(3)(2)(1)( ,,,~jijijijiji rrrrr dimana 4)(3)(2)(1)( jijijiji rrrr dan

432 ,,1,~

ii bbiii bbb

0i

adalah trapezoidal fuzzy number untuk VaR level dan

,dengan qi ,1 , maka dengan menggunakan model possibilistic mean VaR

portofolio seleksi, efisien portofolio adalah solusi optimal dari permasalahan berikut: 25

n

jjji

n

jjji

n

jjji

n

jjji

n

jjjiq

ii

Rxxc

xrxrxrxr

maksn

1

14)(

11)(

13)(

12)(

1 63 (10.17)

qbxrbxrkendalan

jijjii

n

jijjii ,11,01

132)(

141)(

(10.18)

, (10.19)

n

jjx

1

1

njMxM jjj ,1,21 . (10.20)

Proof : Dari persamaan (10.9), diperoleh:

qi

xrxrxrxr

xrE

n

jjji

n

jjji

n

jjji

n

jjjin

jjji ,1,

63~~ 1

4)(1

1)(1

3)(1

2)(

1

.

Dari Lemma 10.1, diperoleh:

qibxrPos i

n

jijji ,1,

~~1

, is equivalent with

. 011

32)(1

41)(

n

jijjii

n

jijjii bxrbxr

Juga, dari (10.17)-(10.20) dengan menggunakan Teorema 10.2, diperoleh bentuk berikut:

n

jjji

n

jjji

n

jjji

n

jjji

n

jjjiq

ii

Rx

xc

xrxrxrxr

maksn

1

14)(

11)(

13)(

12)(

1 63 (10.21)

, (10.22) 011

32)(1

41)(

n

jijjii

n

jijjii bxrbxrkendala

(10.23)

n

jjx

1

1

26

qjMxM jjj ,1,21 . □ (10.24)

Permasalahan (10.21)-(10.24) adalah standar dari permasalahan pemrograman linear

multi-objektif. Untuk mencari solusi optimal dapat menggunakan algoritma dari

pemrograman multi-objektif Caballero, 2001, Preda, 1993.

11. Contoh Kasus

Sebagai ilustrasi untuk model posibilistik mean VaR portofolio seleksi, misalkan

permasalahan 5-sekuritas dengan distribusi possibiliti berikut : (Guohua, 2006)

)07.0,06.0,05.0,04.0(1 r , , )07.0,065.0,06.0,04.0(2 r

)01.0,07.0,065.0,05.0(4

,

, )08.0,075.0,68.0,048.0(3 r r ,

. )116.0,085.0,075.0,05.0(5 r

VaR level adalah )05.0,048.0,046,0,04.0(~b

,001.0,001.0,0 432

. Rates dari transaction costs pada

sekuritas adalah 003.0,002.0 51 ccc cc .

Untuk β =0.01, maka

.,1

,1

,0))1(

63

.

1

1 13241

1

1 141

13

12

nj

uxl

x

bxrbxrkendala

xc

xrxrxrxr

maks

jjj

n

jj

n

j

n

jjjjj

n

jjj

n

j

n

jjjjj

n

jjj

n

jjj

x

27

.5,1,05,00

,1

04998,05025.05015.00482.00402.00401.0

078.0067.0068.0059.0055.0

1

54321

54321

jx

x

xxxxxkendala

xxxxxMaks

j

n

jj

x

Dengan menggunakan model pemrograman linear diperoleh hasil (0, 0, 0.112821,

0.387179, 0.50), dan nilai optimal 0.0731128. Portofolio optimal adalah (0, 0, 0.112821,

0.387179, 0.50), possibility return optimal = 0.0731128.

Dengan cara yang sama bisa dicari untuk nilai β=0.03, β=0.05 dst.

Kesimpulan

Dalam karya ilmiah ini, mempertimbangkan distribusi possibility trapezoidal sebagai

distribusi possibility dari rate of returns dalam sekuritas dan mengusulkan sebuah model

possibilistic mean VaR portofolio. Sebuah pendekatan pemrograman posibilistik yang

berbasis pada fuzzy VaR telah diusulkan. Masalah pemrograman posibilistik dapat

diselesaikan dengan mentranformasinya ke dalam masalah pemrograman linear yang

berbasis teori posibilistik. Model posibilistik ini kemudian dikembangkan dengan

menggunakan faktor pembobot oleh Supian, 2007 [31, 32, 36] dengan mengacu pada

model dasar Fuller dan Majlender, 2002. Sebagai implementasi model ini diberikan

contoh numerik untuk memberikan gambaran bahwa metode yang diusulkan dapat

digunakan secara efisien untuk menyelesaikan masalah pemilihan portofolio.

Daftar pustaka [1] Andrzej Ruszczynsk and Robert J. Vanderbei, “Frontiers of stochastically

nondominated portofolio” Operations research and financial engineering, Princeton University, ORFE -0-01,2002.

28

[2] Arnott, R.D. and Wanger, W.H., The measurement and control of trading costs, Financial Analysts Journal, 46(6), 73-80, 1990.

[3] Bellman, R. and Zadeh, L.A., Decision making in a fuzzy environment, Management Science, 17, 141-164, 1970.

[4] Birge, J.R. and Louveaux, F.V., Introduction to Stochastic Programming, Springer, New York, 1997.

[5] Caballero R., Cerda E., Munoz M. M., L. Rey, and I. M. Stancu Minasian, Efficient solution concepts and their relations in stochastic multi-objective programming. Journal of Optimization Theory and Applica-tions, 110(1):53-74, 2001.

[6] Carlsson, C. and Fuller, R., On possibilistic mean value and variance of fuzzy numbers, Fuzzy sets and systems, 122, 315-326, 2001.

[7] Carlsson, C., Fuller, R. and Majlender, P., A possibilistic approach to selecting portofolios with highest utilty score, Fuzzy sets and systems, 131, 13-21, 2002.

[8] Dentcheva, D. and Ruszczynski, A, Optimization under linear stochastic dominance, Comptes Rendus de l’Academie Bulgare des Sciences 56, No. 6, pp. 6–11, 2003.

[9] Dentcheva, D. and Ruszczy´nski, A., Portofolio Optimization with Stochastic Dominance Constraints, May 12, 2003.

[10] Darinka Dentcheva and Ruszczy´nski, A., Optimization with stochastic dominance constraints, Siam J. Optim.Society For Industrial And Applied Mathematics Vol. 14, No. 2, Pp. 548–566, 2003.

[11] Dubois, D. and Prade, H., Possibility theory, Plenum press, New York 1998. [12] Fernando, K. F., Practical Portofolio Optimization, NAG. Ltd., Wilkinson House

Jordan Hill Oxford OX2 8DR. [13] Fuller, R. and Majlender, P., On weighted possibilistic mean value and variance of

fuzzy numbers, Turku Centre for Computer Science, 2002. [14] Gasimov, R. N., Yenilmez K., Solving fuzzy linear programming probelms with

linear membership functions, Turk J Math. 26 , 375 -396, 2002. [15] Guohua C., A possibilistic mean VaR model for portofolio selection, AMO-

Advanced Modeling and Optimization, Vol. 8, No. 1, 2006. [16] Hanoch, G.and Levy, H., The efficiency analysis of choices involving risk, Rev.

Econom.Stud., 36, pp. 335–346,1969. [17] Hull, J. C., White, D. J., Value-at-risk when daily changes in market variabel are

not normally distributed, Journal of Derivatives 5, 9-19, 1998. [18] Inuiguchi, M. and Ramik, J., Possibilistic linear programming: a brief review of

fuzzy mathematical programming and a comparison with stochastic programming in portofolio selection probelm, Fuzzy Sets and Systems, 111, 3-28, 2000.

[19] Hadar, J. and Russell, W., Rules for ordering uncertain prospects, Amer. Econom. Rev., 59, pp. 25–34, 1969.

29

[20] Kettani, O., Oral, M.: Equivalent formulations of nonlinear integer probelms for eficient optimization, Management Science Vol. 36 No. 1, 115-119, 1990.

[21] Klir, G.J., Yuan, B., Fuzzy Sets and Fuzzy Logic-Theory and Applications, Prentice-Hall Inc. , 574p, 1995.

[22] Lehmann E., Ordered families of distributions, Annals of Mathematical Statistics, 26, pp. 399–419, 1955.

[23] Manfred Gilli and Evis K¨ellezi., A Global Optimization Heuristic for Portofolio Choice with VaR and Expected Shortfall, This draft: January 2001.

[24] Markowitz, H. M. , Mean–Variance Analysis in Portofolio Choice and Capital Markets, Blackwell, Oxford, 1987.

[25] Negoita, C.V.: Fuzziness in management, OPSA/TIMS, Miami ,1970. [26] Quirk, J.P and Saposnik, R., Admissibility and measurabel utility functions, Review

of Economic Studies, 29, pp. 140–146, 1962. [27] Rockafellar, R.T. and Uryasev S., Conditional value-at-risk for general loss

distributions,J. Banking and Finance, 26, pp. 1443–1471, 2002. [28] Ruszczynski A. and Vanderbei R. J., Frontiers of stochastically nondominated

portofolios, Operations Research and Financial Engineering, Princeton University, ORFE-02-01, 2002.

[29] Rockafellar, R.T. and. Wets, R.J.-B., Stochastic convex programming: Basic duality , Pacific J.Math., 62, pp. 173-195, 1976.

[30] Sakawa, M., Yana, H.: Interactive decision making for multi-objective linear fractional programming probelms with fuzy parameters, Cybernetics Systems 16, 377-397, 1985.

[31] Supian, S., Contributions to Portofolio Optimization Model, Teză de Doctorat, Universitatea din Bucureşti, 2007.

[32] Supian, S., “Mathematical Programming Models for Portofolio Selection, editura Universităţii din Bucureşti, 2007.

[33] Supian, S., Preda, V., On portofolio optimization using fuzzy decisions, ICIAM, Elvetia, Zürich, , Juli 2007, InterScience, WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, Volume 7, Issue 1, Page 2060075, 12 Dec 2008

[34] Supian, S., On possibilistic approach for a portofolio selection, Romanian Academy, Mathematical Reports, Vol. 9(59). No. 3. 2007.

[35] Supian, S., Popescu, C. and Ghica, M., .A portofolio selection probelm with a possibilistic approach, 22ND European Conference on operational research, Prague July 2007.

[36] Supian, S., .The weighted possibilistic mean variance and covariance of fuzzy numbers, Journal of Applied Quantitative Methods, vo. 2, No. 3 Fall, 2007.

[37] Tanaka, H., Asai, K.: Fuzzy linear programming probelms with fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems 13, 1-10, 1984.

30

[38] Tanaka, H., Okuda, T., Asai, K.: On fuzzy mathematical programming, J. Cybernetics 3 , 37-46, 1984.

[39] Uryasev, S. and R.T. Rockafellar, Conditional value-at-risk: Optimization approach, in Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (Gainesville, FL, 2000), Appl. Optim. 54, Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands, pp. 411–435, 2001.

[40] White, D. J., Multiple objective weighting factor auxiliary optimizationprobelms, J. Multi-Criteria Decision Analysis, 4, 122-132, 1995.

[41] Zimmermann, H.J., Fuzzy mathematical programming, Comput. & Ops. Res. Vol. 10 No 4 (1983) 291-298.

31

LAMPIRAN Proposisi 3.2 Jika diasumsikan bahwat njR j ,...,1, , dan Y berdistribusi diskrit maka

permasalahan (3.5)–(3.7) adalah ekivalen dengan permasalahan

(3.9) )(xfmaks

, kendala Ttmiiitj

n

jjt ysxr

1

,...,1,,...,1 , (3.10)

) , ;(21

iit

T

tt yYFsp

,,...,1 mi (3.11)

(3.12) 0s tm ,...,1,,...,1 it i T

(3.13)

n

jjx

1

1

(3.14)

n

jjx

1

1

0 , j=1,…,n (3.15) jx

dan hal ini ekivalen terhadap masalah :

(3.16)

n

jjj XcmaksXmaks

1

)(

kendala, , (3.17) mmTibxamTn

jijij

2,...,1,1

, 0 mTnjjX ,...,1 (3.18)

dimana ),...,,...,,...,,,...,,,...,( 12211111 mTmTTn ssssssxxX

lainnya

iTnnjandTKmKKmi

TKmKKmiinjr

aij

ij

,0

1)1(,...,1)1(,...,0,)1(,...,1,1

)1(,...,0,)1(,...,1,,...,1,

lainnya

mTinjaij ,0

1,,..,1,1

lainnya

mTinjaij ,0

2,,..,1,1

,,0

2,...,3,,...,1,...,1)1(,)1(

lainnya

mmTmTimKandTKnKTnjpa KTnj

ij

Permasalahan (3.16)-(3.18) dapat dinyatakan dalam bentuk tabel di bawah ini:

1x 2x … nx s11 s12 … s1T s21 s21 s2T … sm1 sm2 … smT

ib

11r 12r … nr1 -1 0 … 0 0 0 … 0 … 0 0 … 0

1y

11r 12r … nr1 0 0 … 0 -1 … 0 … 0 0 … 0

2y

: : … : : : … : : … : … : : … : :

11r 12r … nr1 0 0 0 0 … 0 … 0 0 … -1

my

21r 22r … nr2 0 -1 … 0 0 0 … 0 0 … 0

1y

21r 22r … nr2 0 0 … 0 0 -1 … 0 0 … 0

2y

: : … : : : … : : : … : : … : :

21r 22r … nr2 0 0 0 0 0 … 0 -1 … 0

my

: : : : : : … : : : : : : : : : :

1Tr 2Tr … Tnr 0 0 … -1 0 0 … 0 … 0 0 … 0

1y

1Tr 2Tr … Tnr 0 0 0 0 -1 … 0 … 0 0 … 0

2y

: : … : … : : … 0 :

1Tr 2Tr … Tnr 0 0 0 0 0 … 0 … 0 0 … -1

my

1 1 … 1 0 0 0 0 0 … 0 0 … 0 1 -1 -1 … -1 0 0 … 0 0 … 0 … 0 0 … 0 -1 0 0 … 0

1p 2p … Tp 0 … 0 … 0 0 … 0 F2(Y,y1)

0 0 … 0 0 0 … 0 1p …

Tp … 0 0 … 0 F2(Y,y2)

: : : : : : … : : : : : : : : : : 0 0 … 0 0 0 … 0 0 … 0 …

1p 2p … Tp F2(Y,ym)