opisna_statistika_01

7/23/2019 opisna_statistika_01

1/38

Anuka Ferligoj, Katja Lozar Manfreda, Ale iberna: Osnove statistike na prosojnicahLjubljana, FDV, 2010

1

Anuka Ferligoj, Katja Lozar Manfreda, Ale iberna:

OSNOVE STATISTIKE NA PROSOJNICAH

tudijsko gradivo pri predmetu Statistika. Fakulteta za drubene vede, Univerza v Ljubljani

Ljubljana, 2010

2 OPISNA STATISTIKA

2.1 KORAKI STATISTINE ANALIZE ............................................................................... 22.2 UREJANJE IN PRIKAZOVANJE PODATKOV ............................................................ 2

2.2.1 Frekvenne tabele in grafi za nominalne in ordinalne spremenljivke ........................... 22.2.2 Frekvenne tabele in grafi za intervalne in razmernostne spremenljivke ..................... 4

2.3 OSNOVNI STATISTINI IZRAUNI ......................................................................... 112.3.1 Kvantili ........................................................................................................................ 112.3.2 Srednje vrednosti ......................................................................................................... 14

2.3.2.1 Mediana ..................................................................................................... 142.3.2.2 Modus ................................................................................................................... 152.3.2.3 Arimetina sredina ............................................................................................... 182.3.2.4 Odnos med Me in . ............................................................................................. 192.3.2.5 Katero srednjo vrednost izbrati? .......................................................................... 20

2.3.3 Mere variabilnosti ....................................................................................................... 212.3.3.1 Absolutne mere variabilnosti ............................................................................... 212.3.3.2 Relativne mere variabilnosti ................................................................................. 242.3.3.3 Variabilnost pri normalni porazdelitvi ................................................................. 25

2.3.4 Mere asimetrije in sploenosti ................................................................................... 252.3.4.1 Koeficient asimetrije (angl. skewness) ................................................................. 272.3.4.2 Koeficient sploenosti (angl. kurtosis) ............................................................... 28

2.3.5 Standardizacija ............................................................................................................ 29

2.4 VAJE ............................................................................................................................... 312.4.1 Urejanje in prikazovanje podatkov ............................................................................. 31

2.4.2 Kvantili ........................................................................................................................ 352.4.3 Srednje vrednosti ......................................................................................................... 352.4.4 Mere variabilnosti, asimetrije, sploenosti, standardizacija ...................................... 37


2/38


2

2.1 KORAKI STATISTINE ANALIZE

1. Doloitev vsebine in namenastatistinega prouevanja; opredelitev predmeta opazovanja

(enote in populacije) in vsebine opazovanja (spremenljivk).

2. Statistino opazovanje; vrste opazovanj:

- opazovanje cele populacije (npr. popisi, tekoe registracije),

- opazovanje vzorca (npr. ankete).

3. Enostavna obdelava: urejanje, razvranje podatkov ter izraun osnovnih statistinih

karakteristik.

4. Analitina obdelava.

2.2 UREJANJE IN PRIKAZOVANJE PODATKOV

Z namenom preglednosti podatke uredimo v frekvenno porazdelitev.

Frekvenna porazdelitevspremenljivke je tabela, ki jo doloajo vrednosti ali skupine

vrednosti in njihove frekvence.

Skupine vrednosti (razrede) oblikujemo, e gre za intervalno ali razmernostno

spremenljivko, ki ima veliko (nepregledno) tevilo razlinih vrednosti.

e je spremenljivka vsaj ordinalnega znaaja, vrednosti (ali skupine vrednosti) uredimood najmanje do najveje.

Frekvenno porazdelitev lahko tudi grafino predstavimo.

2.2.1 Frekvenne tabele in grafi za nominalne in ordinalne spremenljivke

PRIMER

Enote:tudenti

Spremenljivka:X Brez esa bi

najlae iveli? z odgovori brez

TV, brez mobilnika, brez

interneta

tevilo enot:N= 300

Frekvenna porazdelitev

Vrednosti spremenljivke (absolutne) frekvence relativne frekvence

(anketni odgovori) (t. tudentov) strukturni odstotki

(% tudentov)

tevilo vseh enot


3/38


3

Osnovni pojmi

Podatki so urejeni v frekvenno porazdelitev, t.j. tabelo, kjer je v vsaki vrstici zapisana

ena izmed monih vrednosti spremenljivke (x1, x2, ... xm), poleg pa njena frekvenca.

Frekvencaje tevilo enot, ki imajo doloeno vrednost spremenljivke. Oznaujemo jih zfi frekvenca za i-to vrednost spremenljivke.

Smiselno je izraunati relativne frekvence, im. strukturni odstotki. Relativna frekvenca

je % enot med vsemi enotami, ki imajo doloeno vrednost spremenljivke. Oznaujemo jih

zfi% - relativna frekvenca za i-to vrednost spremenljivke. Izraunamo jih po naslednjem

obrazcu:

Grafina predstavitev

Frekvenno porazdelitev za nominalne in ordinalne spremenljivke grafino prikazujemo z

liki, npr. strukturnimi stolpci(angl. barchart) ali strukturnimi krogi(angl.pie).

Ploine likov naj bodo sorazmerne frekvencam.

Legenda naj bo primerno urejena.

Vsaka grafina predstavitev naj ima naslov.

Grafina predstavitev naj bo samozadostna.

Brez esa bi najlaje iveli?

brez TVbrez mobilnikabrez interneta

Strukturni stolpec

(absolutne frekvence)

t.tudnetov

(f

i)

0

50

100

150

200

250

300

90

180

30

Brez esa bi najlaje iveli? (n = 300)

brez TVbrez mobilnikabrez interneta

Strukturni stolpec

(relativne frekvence)

Odstotektudnetov(f

i%)

0 %10 %20 %30 %40 %50 %60 %70 %80 %90 %

100 %

30 %

60 %

10 %

brez interneta brez mobilnika brez TV

Strukturni stolpci

Brez esa bi najlaje iveli?

t.tudnetov

(fi)

0

50

100

150

90

180

30

brez interneta 30 %

brez mobilnika 60 %

brez TV 10 %

Strukturni krog

Brez esa bi najlaje iveli? (n = 300)

% 100iif

f =


4/38


4

2.2.2 Frekvenne tabele in grafi za intervalne in razmernostne spremenljivke

PRIMER

Enota:gospodinjstvo

Spremenljivka:X tevilo lanov gospodinjstva

tevilo enot:N = 50

Podatki so: 1 3 4 3 5 6 2 3 10 4 3 6 4 7 3 7 6 8 2 6

2 4 5 4 4 4 3 2 3 4 4 4 1 4 8 3 2 1 4 5

9 6 4 6 8 7 5 5 5 9

Frekvenna porazdelitev

Osnovni pojmi

Podatke uredimo v frekvenno porazdelitev, t.j. tabelo, kjer je v vsaki vrstici zapisana

ena izmed monih vrednosti spremenljivke (x1, x2, ... xm), poleg pa njena frekvenca.

Frekvencaje tevilo enot, ki imajo doloeno vrednost spremenljivke. Oznaujemo jih zfi

frekvenca za i-to vrednost spremenljivke.

Smiselno je izraunati relativne frekvence. Relativna frekvenca je % enot med vsemi

enotami, ki imajo doloeno vrednost spremenljivke. Oznaujemo jih zfi% - relativnafrekvenca za i-to vrednost spremenljivke. Izraunamo jih po naslednjem obrazcu:

% 100iif

f =


5/38


5

V primeru ordinalnih, intervalnih in razmernostnih spremenljivk je smiselno raunati tudi

kumulativne frekvence (kumulative). Kumulativna frekvenca za neko vrednost

spremenljivke, vkljuujo to vrednost, je setevek frekvenc za vrednosti pred njo ter to

frekvenco. Oznaimo jo zFi- kumulativna frekvenca za i-to vrednost. Pove nam, kolikoenot ima vrednosti manje ali enake od doloene vrednosti. Izraunamo jo po naslednjem

obrazcu:

Izraunamo lahko tudi relativno kumulativno frekvenco, ki nam pove, koliken % enot

ima vrednosti manje ali enake od doloene vrednosti. Izraunamo jo po naslednjem

obrazcu:

Grupiranje razvranje v razrede

e je tevilo monih vrednosti spremenljivke veliko, je preglednost podatkov majhna.

Zato sorodne vrednosti razvrstimo v skupine razrede.

Skupine vrednosti morajo biti doloene enolino: vsaka enota s svojo vrednostjo je lahko

uvrena v eno in samo eno skupino vrednosti.

Obiajno so skupine vrednosti (razredi) enako iroki.

Podatke uredimo v frekvenno porazdelitev, t.j. tabelo, kjer je v vsaki vrstici zapisana

ena izmed skupin vrednosti (en razred), poleg pa njena frekvenca.

Nezvezna ureditev - e so vrednosti spremenljivke diskretne

iiii ffffFF +++=+= ...211

% 100iiF

F =

9.5

7.5

5.5

3.5

1.5

xi

100

94

82

58

16

Fi%

8.5

6.5

4.5

2.5

0.5

ximin

10.5

8.5

6.5

4.5

2.5

ximax

2

2

2

2

2

di

10050Skupaj N

50639-10

471267-8

4124125-6

2942213-4

81681-2

Fifi%fiRazredi

9.5

7.5

5.5

3.5

1.5

xi

100

94

82

58

16

Fi%

8.5

6.5

4.5

2.5

0.5

ximin

10.5

8.5

6.5

4.5

2.5

ximax

2

2

2

2

2

di

10050Skupaj N

50639-10

471267-8

4124125-6

2942213-4

81681-2

Fifi%fiRazredi


6/38


6

Zvezna ureditev - e so vrednosti spremenljivke zvezne (ali diskretne)

Frekvencaje v tem primeru tevilo enot, ki imajo vrednost v doloeni skupini vrednosti

(razredu). Oznaujemo jih zfi frekvenca za i-ti razred.

Tudi v tem primeru je smiselno izraunati relativne frekvence. Relativna frekvenca je %

enot med vsemi enotami, ki imajo vrednost v doloenem razredu. Oznaujemo jih zfi% -

relativna frekvenca za i-ti razred. Izraunamo jih po naslednjem obrazcu:

Kumulativna frekvencaza neko skupino vrednosti in vkljuujo to skupino (razred) je

setevek frekvenc za skupine vrednosti (razrede) pred njo ter frekvenco te skupine.Oznaimo jo zFi- kumulativna frekvenca za i-ti razred. Pove nam, koliko enot ima

vrednosti manje ali enake od te skupine vrednosti, natanneje manje od zgornje meje

tega razreda. Izraunamo jo po naslednjem obrazcu:

Relativna kumulativna frekvenca za nek razred pa pove, koliken % enot ima vrednosti

manje od zgornje meje razreda. Izraunamo jo po naslednjem obrazcu:

% 100iif

fN

=

iiii ffffFF +++=+= ...211

% 100iiF

FN

=

10

8

64

2

xi

100

94

8258

16

Fi%

9

7

53

1

ximin

11

9

75

3

ximax

2

2

22

2

di

10050Skupaj N

50639 pod 11

471267 pod 9

4124125 pod 72942213 pod 5

81681 pod 3

Fifi%fiRazredi

10

8

64

2

xi

100

94

8258

16

Fi%

9

7

53

1

ximin

11

9

75

3

ximax

2

2

22

2

di

10050Skupaj N

50639 pod 11

471267 pod 9

4124125 pod 72942213 pod 5

81681 pod 3

Fifi%fiRazredi

9

7

5

3

1

xi

2

2

2

2

2

di

100

94

82

58

16

Fi%

8

6

4

2

0

ximin

10

8

6

4

2

ximax

10050Skupaj N

5063nad 8 - 10

47126nad 6 - 8

412412nad 4 - 6

294221nad 2 - 4

8168nad 0- 2

Fifi%fiRazredi

9

7

5

3

1

xi

2

2

2

2

2

di

100

94

82

58

16

Fi%

8

6

4

2

0

ximin

10

8

6

4

2

ximax

10050Skupaj N

5063nad 8 - 10

47126nad 6 - 8

412412nad 4 - 6

294221nad 2 - 4

8168nad 0- 2

Fifi%fiRazredi


7/38


7

Grafina predstavitev

Predpostavimo, da so razredi enako iroki.

HISTOGRAM: drug poleg drugega riemo stolpce pravokotnike, katerih viina je

sorazmerna frekvenci v razredu. irina pravokotnikov je enaka, ker so razredi enakoiroki.

POLIGON: v koordinatnem sistemu zaznamujemo toke (xi, fi), kjer jexisredina i-tega

razreda infinjegova frekvenca. K tem tokam dodamo e toki (xo, 0) in (xk+1, 0), e je v

frekvenni porazdelitvi krazredov. Toke zveemo z daljicami.

OGIVA: grafina predstavitev kumulativne frekvenne porazdelitve s poligonom, kjer v

koordinatni sistem nanaamo toke (xi,max,Fi). Dodamo tudi toko (x1,min, 0).

Histogram

tevilo lanov gospodinjstva

tevilogospodinjstev

0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

25


8/38


8

0

5

10

15

20

Poligon


tevilogospodinjste

v

-1 1 3 5 7 9 11

0 2 4 6 8 10

0

10

20

30

40

50

Ogiva


te

vilogospodinjstev

Oblike frekvennih porazdelitev

Frekvenna porazdelitev prikazuje variiranje ali razprenost vrednosti spremenljivke.

Razprenost je rezultat individualnih, posaminih faktorjev, ki vplivajo na posamezne enote.

Ti vplivi so najrazlineji in njihova posledica so razline oblike frekvenne porazdelitve.

Nekatere oblike frekvennih porazdelitev se vekrat pojavljajo in te porazdelitve so dobile

svoja imena: normalna, unimodalna, bimodalna, polimodalna, asimetrina v levo, asimetrina

v desno, sploena, koniasta, J oblike, U oblike.


9/38


9

Frekvenna porazdelitev, s katero obiajno primerjamo doloeno frekvenno porazdelitev, je

normalna porazdelitev, ki je unimodalna (ima en vrh), simetrina in zvonaste oblike.

Oblika porazdelitev se lahko od normalne bolj ali manj razlikuje zaradi nehomogenostipopulacije, okrnjenega delovanja doloenih faktorjev itd. Zato je oblika porazdelitve lahko:

bimodalna, e ima dva vrha; polimodalnaz ve vrhovi;

asimetrina v levo, e se rep vlee

na levo;

asimetrina v desno, e se rep vlee

v desno;


10/38


10

bolj koniastaali sploenaod normalne porazdelitve;

koniastanormalnasploena

Jali Uoblike.

Zavajajoi grafi

Grafi morajo biti narisani tako, da realno prikaejo osnovne znailnosti podatkov.

Vasih so grafi nepravilno narisani, tako da celo zavajajo bralca. Npr. potrebna je posebna

pozornost pri izbiri velikosti merske enote v koordinatnem sistemu.


11/38


11

2.3 OSNOVNI STATISTINI IZRAUNI

2.3.1 KvantiliKvantili so statistini izrauni, ki nam pomagajo doloiti, kje se nahaja posamezna enota v

primerjavi z drugimi enotami in njihovimi vrednostmi. Raunamo jih lahko le za intervalne in

razmernostne spremenljivke.

Primer

Enota: tudent 1. letnika FDV

Spremenljivka: tevilo doseenih tok na izpitu

S kvantili lahko odgovorimo npr. na naslednji dve vpraanji:

1. Kolikno je tevilo doseenih tok na izpitu za 10 % najboljih tudentov?

2. Koliken del tudentov je doseglo 55 tok ali ve?

Osnovni pojmi:

Ranirna vrsta:enote z ustreznimi vrednostmi spremenljivke uredimo od tiste z

najmanjo vrednostjo do tiste z najvejo vrednostjo. Im. tudi ranirni razmik.

RangR: vsaki enot v ranirni vrsti priredimo zaporedno mesto.Primer:

Izpitne ocene (0-100) 10 tudentov so: 82, 78, 58, 68, 86, 59, 46, 45, 17, 92

Ranirna vrsta je:

xi 17 45 46 58 59 68 78 82 86 92 vrednosti

Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 rangi

Kvantilni rangP: pove, na katerem delu celotne ranirne vrste / ranirnega razmika lei

doloena enota oz. koliki del celotne ranirne vrste / ranirnega razmika ima manje

vrednosti od dane vrednost. Izraunamo ga po naslednjem obrazcu:

Kvantil:vrednost spremenljivke, ki pripada doloenemu kvantilnemu rangu.

RP

5,0=


12/38


12

Obiajni kvantili:

Mediana Me (P=0.5)

= kvantil, ki razdeli ranirno vrsto na dva dela.

= kvantil, ki pripada kvantilnemu ranguP=0.5.= vrednost, od katere ima enot manjo, pa vejo vrednost.

Kvartili Q1(P=0.25), Q2(P=0.5), Q3(P=0.75)

= kvantili, ki razdelijo ranirno vrsto na etrtine.

= npr. prvi kvartil je vrednost, ki pripada kvantilnemu ranguP=0.25.

= npr. prvi kvartil je vrednost, od katere ima 1/4 enot manjo, 3/4 pa vejo vrednost.

Decili D1(P=0.1), D2(P=0.2), ..., D9(P=0.9),

= kvantili, ki razdelijo ranirno vrsto na desetine.= npr. prvi decil je vrednost, ki pripada kvantilnemu rangu P=0.1.

= npr. prvi decil je vrednost, od katere ima 1/10 enot manjo, 9/10 enot pa vejo vrednost.

Centili C1(P=0.01), C2(P=0.02), ..., C99(P=0.99),

= kvantili, ki razdelijo ranirno vrsto na stotine.

= npr. prvi centil je vrednost, ki pripada kvantilnemu rangu P=0.01.

= npr. prvi centil je vrednost, od katere ima 1/100 enot manjo, 99/100 enot pa vejo

vrednost.Me=Q2=D5=C50

D1=C10

Q1=C25

Raunanje kvantilov

Koliko tok je dosegla polovica tudentov z najmanjim oz. najvejim tevilom tok? Iemo

vrednost, ki se nahaja tono na polovici med 5. in 6. enoto v ranirni vrsti. To je vrednost, ki

je tono na polovici med 59 in 68, torej 63.5.


13/38


13

Takno vrednost natanno doloimo z linearno interpolacijo, ki upoteva razmerja med

rangi ter vrednostmi, ki rangom pripadajo. e jeRmed rangomaR0inR1, je ustreznixmed

vrednostimax0inx1.

Linearna interpolacija je seveda mogoa le pri intervanih in razmernostnih spremenljivkah.

Primer

1. Kakno oceno ima polovica tudentov, ki ima najnijo oceno? (Izraunajmo za navedene

ocene tudentov mediano, t.j. kvantil, ki pripada kvantilnemu ranguP=0.5.)

Rang lei med rangomaR0= 5 inR1= 6 in ustrezna vrednost (mediana) lei med vrednostimax0=

59 inx1= 68. Uporabimo linearno interpolacijo:

Ocena, ki razdeli ranirno vrsto na polovico oz. lei tono na polovici ranirne vrste, torej

mediana, je 63.5.

Polovica tudentov je dosegla manj kot 63.5 tok, polovica tudentov pa ve kot 63.5 tok.

2. Koliken del tudentov ima manj kot 50 tok? (Izraunajmo kvantilni rang za vrednost

50 (x=50).)

Vrednostx=50 lei med sosednjima vrednostimax0=46 inx1=58, ki mu pripadata rangaR0=3 in

R1=4. Uporabimo linearno interpolacijo:

Vrednost x=50 bi bila 3.33 enota v ranirni vrsti. Izraunajmo kvantilni rang (kaj to pomeni v

relativnem smislu):

Vrednost 50 je vrednost, za katero velja, da ima 28.3% enot manjo vrednost.28% tudentov ima manj kot 50 tok.

0 0

1 0 1 0

R R x x

R R x x

=

5.55.05.0105.0 =+=+= PNR

5635968

59

56

555

50

1

0

1

0

.xMex

x.

xx

xx

RR

RR

.

oo

===

=

=

33.34658

4650

34

31

0

1

0

=

=

=

R

R

xx xxRR RR oo

283.010

5.03.35.0=

=

=

N

RP


14/38


14

Raunamo torej lahko:

1) Vrednost, ki pripada doloenemu kvantilnemu rangu - katera vrednost lei na

doloenem mestu v ranirni vrsti.

xp= ?Pje podan; izPinNizraunamoR; z linearno interpolacijo doloimox, ki pripadaR.

2) Kvantilni rang za doloeno vrednost - na katerem mestu v ranirni vrsti lei doloena

vrednost.

P = ?

xje podan; z linearno interpolacijo doloimoRza x, iz R in N izraunamoP.

2.3.2 Srednje vrednosti

Pregled vrednosti spremenljivke dobimo z ranirno vrsto ali - v primeru vejega tevila enot -

s frekvenno porazdelitvijo. Pri tem nas zanima, ali iz podatkov lahko razberemo neko

reprezentativno vrednost spremenljivke in jo im. srednja vrednost. Ta vrednost naj bila

najbolj tipina, obiajna, reprezentativna, normalna, priakovana, pogosta ...

Ostale vrednosti se od srednje vrednosti nekoliko odklanjajo, variirajo. Bolj kot se posamezne

vrednosti odklanjajo od srednje vrednosti, tem slabe ta srednja vrednost predstavlja

spremenljivko.

Obstaja ve vrst srednjih vrednosti. Mi bomo spoznali naslednje: medianaMe

modusMo

aritmetina sredina

2.3.2.1Mediana

Mediana je tista vrednost spremenljivke, od katere je ravno toliko manjih vrednosti od nje,

kolikor jih je vejih od nje. Torej tista vrednosti, ki razdeli ranirno vrsto na polovico, t.j.

kvantil, ki pripada kvantilnemu ranguP=0.5.

Mediana je primerna srednja vrednost za ordinalne spremenljivke.

Raunamo jo iz ranirne vrste.


15/38


15

V ranirni vrsti z lihim tevilomenotN = 2m + 1je medianaxm+1vrednost v ranirni

vrsti.

Primer: 3, 6, 7, 8, 10, 13, 14

Ker je N=7, je mediana na 4. mestu (Me=x3+1), torej Me = 8. V ranirni vrsti s sodim tevilom enotN = 2mje mediana vrednost, ki je na sredini med

srednjima dvema vrednostima, torejMe= (xm+xm+1)/2.

Primer: 3, 3, 8, 10, 11, 14

Ker je N=6, je mediana med 3. in 4. vrednostjo, torej Me=(8+10)/2=9.

2.3.2.2 Modus

Modus je edina srednja vrednost, ki je primerna za nominalne spremenljivke.

Spremenljivka z diskretnimi vrednostmi

Modus = Vrednost spremenljivke, ki se najpogosteje pojavlja.

Primeri:

2, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 9 Mo=4

2, 2, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12 Mo1=5 Mo2=7 Modusov je lahko ve2, 3, 7, 9, 12 Modusa ni.

Spremenljivka z zveznimi vrednostmi

Modus = Vrednost spremenljivke, okoli katere se ostale vrednosti najbolj gostijo.

Mo

Globalni in lokalni modusi


16/38


16

Globalni modus

Pravi modus je globalni, to je tista vrednost spremenljivke, ki se najpogostejepojavlja oz.okoli katere se ostale vrednosti najboljgostijo.

Lokalni modusLokalni modus je tista vrednost spremenljivke, ki se pojavlja pogosteje kot njej blinjevrednosti oz. okoli katere se ostale vrednosti gostijo. To ni pravi modus.

Primeri:2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 9 Globalni modus: 4

Lokalna modusa: 2 in 72, 2, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12 Dva globalna modusa: 5 in 72, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 Globalni modus: 4

Lokalnega modusa ni

Primer: ve lokalnihmodusov in en globalni modus pri spremenljivki z zveznimi vrednostmi

Bimodalna porazdelitev

Mo1 Mo2

Polimodalna porazdelitev

Mo1 Mo2 Mo3 Mo4

Primer: ve globalnihmodusov pri spremenljivki z zveznimi vrednostmi

Mo1 Mo2


17/38


17

Izraun modusa iz frekvenne porazdelitve

e modus razumemo kot vrednost spremenljivke, okoli katere se vrednosti najbolj gostijo, ga

lahko najlaje doloamo iz frekvenne porazdelitve. Razred z najvejo frekvenco vsebuje

modus, zato ga imenujemo modalni razred.

Prvi pribliek modusu je lahko sredina modalnega razreda.

Natanneje modus doloimo s pomojo naslednjega obrazca:

xo,min ... spodnja meja modalnega razreda

d... irina razreda

fo... frekvenca modalnega razreda

f+1... frekvenca razreda za modalnim razredom

f-1... frekvenca razreda pred modalnim razredom

Primer: Frekvenna porazdelitev prikazuje tevilo lanov 50 gospodinjstev:

Iz frekvenne porazdelitve razberemo potrebne podatke za izraun modusa:

x0,min= 2.5, d = 2,f0= 21, f-1= 8, f+1= 12

Najve gospodinjstev ima 3.68 lanov.

Grafino pa si modus ponazorimo takole:


tevilogospodinjstev

0

5

10

15

20

25

0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5Mo

0 10,

0 1 12min

+

f fMo = x +d

f f f

68.3128212

82125.2

2 11

1min,0 =

+=

+=+

Mofff

ffdxMo

o

o


18/38


18

2.3.2.3 Arimetina sredina

Aritmetina sredina ali povpreje je vsota vseh vrednosti, deljena s tevilom enot v populaciji.

Primerna je za intervalne in razmernostne, priblino normalno porazdeljene spremenljivke.

... aritmetina sredina

xi... vrednost spremenljivkeXna i-ti enoti

N... tevilo vseh enot

... sumacijski znak Setej vrednosti spremenljivkeX,

ko itee od 1doN, torej za vse enote.

Primer:

Aritmetino sredino lahko definiramo kot vrednost, za katero velja:

Zgornji obrazec za izraun aritmetine sredine velja, kadar imamo podatke, ki niso urejeni v

frekvenno porazdelitev.

e pa imamo podatke, ki so urejeni v frekvenno porazdelitev, uporabljamo naslednji

obrazec:

... aritmetina sredina

xi... reprezentativna vrednost (obiajno sredina) i-tega razreda spremenljivkeX

fi... frekvenca za i-ti razred spremenljivkeX(t. enot, ki so v tem razredu)

k... tevilo vseh razredov v frekvenni porazdelitviN... tevilo vseh enot

... sumacijski znak Setej produkt reprezentativne vrednosti razreda

spremenljivkeX in frekvence, ko itee od 1do k, torej za vse vrednosti.

Pozor:V primeru, da uporabimo kot reprezentativno vrednost sredino razreda in ne

aritmetine sredine vrednosti v razredu (ki obiajno ni na voljo, razen e je v vsakem razredu

le ena vrednost), z zgornjim izraunom dobimo le pribliek aritmetine sredine vseh

vrednosti.

1 21

1 1( ... )

N

i Ni

x x x xN N

=

= = + + +

35

54321

5,4,3,2,1

=++++

=

=

=N

iix

1

0)(

1 1 2 21

1 1( ... )

k

i i k k i

f x f x f x f xN N

=

= = + + +


19/38


19

Primer: frekvenna porazdelitev, ki prikazuje tevilo lanov gospodinjstva.

2.3.2.4 Odnos med Me in .

Za unimodalne, simetrine porazdelitve velja: = Me = Mo.

Za unimodalne porazdelitve, asimetrine v levo, velja: < Me.

Za unimodalne porazdelitve, asimetrine v desno, velja: > Me.

Me Mo Mo Me

=

===k

iiixf

N 156.4228

50

11

Gospodinjstva imajo v povpreju 4.56

lanov gospodinjstva.


20/38


20

2.3.2.5 Katero srednjo vrednost izbrati?

Drugi kriteriji:

Modus:

- e imamo spremenljivko, ki je samo nominalna.

- e je porazdelitev bimodalna ali polimodalna.

Mediana:

- e imamo spremenljivko, ki je samo ordinalna.

- e kakna enota mono izstopa od ostalih enot oz. je porazdelitev izrazito asimetrina (Pri

izraunu mediane ekstremnih vrednosti namre ne upotevamo.)

Aritmetina sredina:

- e je spremenljivka tevilska in priblino normalno porazdeljena.

- e bomo srednjo vrednost potrebovali kot osnovo za nadaljnje izraune.

Modus Mediana Aritmetinasredina

Nominalna + - -Ordinalna + + -Intervalna + + +Razmernostna + + +


21/38


21

2.3.3 Mere variabilnosti

Primer: IK za 2 razreda uencev

0

2

4

6

8

10

Intelegneni kvocient

80 90 100 110 120 130 140

Letonji razredLanski razred

1 = 2= 110

Im. tudi mere razprenosti.

Variabilnost (razprenost, variacija) govori o tem:

koliko so podatki variabilni (koliko so vrednosti razline med seboj),

koliko se vrednosti odklanjajo od srednje vrednosti,

koliko se vrednosti razlikujejo od srednje vrednosti.

2.3.3.1 Absolutne mere variabilnosti

Variacijski razmik xmax... najveja vrednost

xmin... najmanja vrednost

Razlika med najvejo in najmanjo vrednostjo.

Veja kot je variabilnost, veji je variacijski razmik.

Kvartilni odklon , kjer sta Q3in Q1kvartila.

Polovica razdalje med prvim in tretjim kvartilom.

Meri variabilnost okoli mediane. Veja kot je variabilnost, veji je kvartilni odklon.

max min

R x x=

3 1

2

Q QQ

=


22/38


22

Povpreni absolutni odklon odMein

xi... vrednost i-te enoteN ... tevilo enot

e so podatki urejeni v frekvenno porazdelitev ...xi... reprezentativna vrednost (obiajno sredina) i-tega

razreda spremenljivkeXk... tevilo vseh razredov v frekvenni porazdelitvi

fi... frekvenca za i-ti razred

Pozor:V primeru, ko vse vrednosti v razredu nisoenake reprezentativni vrednosti razreda (kar se zgodi le,e je v vsakem razredu le ena vrednost, ki je enakareprezentativni), z zgornjim izraunom dobimo le

pribliek absolutnega odklona od mediane oz.

aritmetine sredine.

Povpreni odklon vrednosti od srednje vrednosti (Meoz. ). Meri variabilnost okoli aritmetine sredine () oz. mediane (Me). Veja kot je variabilnost, veji je povpreni absolutni odklon bolj se posamezne

vrednosti odklanjajo od srednje vrednosti.

Varianca in standardni odklon

2 ... varianca ... standardni odklon ... aritmetina sredina

N ... t. enotxi ... vrednost sprem.Xza i-to enoto(xi-) ... odklon od aritmetine sredine za i-to enoto

Standarden (tipien, obiajen) odklon vrednosti od aritmetine sredine. Meri variabilnost okoli aritmetine sredine. Veja kot je variabilnost, veji je standardni odklon bolj se posamezne vrednosti

odklanjajo (razlikujejo) od aritmetine sredine.

Varianca in standardni odklon e so podatki urejeni v frekvenno porazdelitev

2... varianca

... standardni odklon... aritmetina sredinaN ... t. enotxi ... reprezentativna vrednost (obiajno sredina) i-tega razreda

spremenljivkeXk ...tevilo razredovfi ... frekvenca i-tega razreda

(xi-) ... odklon od aritmetine sredine

Pozor:V primeru, ko vse vrednosti v razredu niso enake reprezentativni vrednosti razreda

(kar se zgodi le, e je v vsakem razredu le ena vrednost, ki je enaka reprezentativni), zzgornjim izraunom dobimo le pribliek variance oz. standardnega odklona.

1

1

1

1

N

ii

N

Me ii

AD xN

AD x MeN

=

=

=

=

=

=

=

=

k

iiiiMe

i

k

iii

fMexNAD

fxN

AD

1

1

2 2 2 2

1 1

1 1( )

N N

i ii i

x xN N

= =

= =

2 =

i

k

ii fx

N==

1

22 )(1

2 =


23/38


23

Primer 1SpremenljivkaX:tevilo ur gledanja TV na teden.Enota: oseba.

Opazovane osebe v povpreju gledajo TV 15 ur na teden. Standardni odklon pa je 3,69 ure, karpomeni, da se tevilo ur gledanja TV pri posameznikih od povpreja standardno odklanja zaslabe 4 ure.

Primer 2SpremenljivkaX: tevilolanov gospodinjstva.Enota: 1 gospodinjstvo.

Gospodinjstva imajo v povpreju 4.56 lanov

gospodinjstva. tevilo lanov posameznihgospodinjstev pa se od povpreja standardnoodklanja za 2,15 lana.

69,36,13

6,135

68)(

1

155

751

2

1

22

1

===

===

===

=

=

N

ii

N

i i

xN

xN

15,261,4

61,450

32,230)(

1

56.4228

50

11

2

1

22

1

===

===

===

=

=

N

iii

k

i

ii

fxN

xf

N


24/38


24

2.3.3.2 Relativne mere variabilnosti

Absolutne mere variabilnosti lahko le redko primerjamo med seboj. Zato raunamo relativnemere variabilnosti, ki so absolutne mere, deljene z ustrezno srednjo vrednostjo.POZOR: Relativne mere variabilnosti lahko uporabljamo le pri razmernostnihspremenljivkah

vrednostsrednja

meraabsolutnamerarelativna =

Kdaj jih uporabljamo?- e elimo primerjati dve porazdelitvi z zelo razlinima srednjima vrednostima.- e elimo primerjati dve spremenljivki, kjer so uporabljene razline merske enote.

Relativni variacijski razmik:

Relativni kvartilni odklon:

Relativni povpreni absolutni odklon od mediane oz. aritm. sredine:

Relativni standardni odklon koeficient variacije:

Primer 1V neki raziskavi so ocenili, da je povpreno tevilo ur gledanje televizije na teden za enske

Z=10in za moke M=13. Standardna odklona pa sta bila enaka, in sicer Z= M= 6. Vkaterem primeru so relativno gledano razlike med osebami veje? Kdo se bolj razlikuje medseboj, moki ali enske?

46,013

66,0

10

6======

M

MM

Z

ZZ KVKV

Podatki kaejo, da v povpreju moki gledajo za 3 ure ve televizijo na teden kot enske.Razlike v gledanju pa so med enskami veje kot med mokimi, ker je relativna razprenost prienskah veja.

Primer 2Na izpitu iz Osnov programiranja je bilo povpreno tevilo tok (od 100 monih) 50, standardniodklon pa 10. Pri izpitu iz Statistike pa je bilo povpreno tevilo tok 16 (od 30 monih),standardni odklon pa 4.V katerem primeru so razlike med tokami veje?

25,016

42,0

50

10======

S

SS

OP

OPOP KVKV

Razlike med doseenimi tokami so veje pri izpitu iz Statistike.

minmax

minmax 2)(

xx

xx

+

e

QQ

213

AD

Me

ADMe

=KV


25/38


25

2.3.3.3 Variabilnost pri normalni porazdelitvi

Denimo, da se spremenljivkaXporazdeljuje normalnoz aritmetino sredino in standardnimodklonom . Tedaj velja, da v razmiku:

[- ; + ]lei 68.3% enot, [- 2; + 2]lei 95,4% enot, [- 3; + 3]lei 99,7% enot.

-3 -2 -1 +1 +2 +3

68,3%

95,4%

99,7%

PrimerDenimo, da se inteligenni kvocient na populaciji tudentov porazdeljuje priblino normalno z

aritmetino sredino =105in standardnim odklonom =15.Potem vemo, da ima 95,4% tudentov inteligenni kvocient v intervalu [75; 135].[- 2; + 2]=[105 - 215; 105 + 215]=[75; 135]

-3 -2 -1 +1 +2 +360 75 90 105 120 135 150

68,3%

95,4%

99,7%

2.3.4 Mere asimetrije in sploenosti

e je spremenljivka priblino normalno porazdeljena, potem jo statistini karakteristikiaritmetina sredina in standardni odklon zelo dobro opisujeta. V primeru unimodalne


26/38


26

porazdelitve spremenljivke, ki pa je bolj ali manj asimetrina in bolj ali manj sploena(koniasta), pa je potrebno izraunati e stopnjo asimetrije in sploenosti (koniavosti). Tolahko na ve nainov merimo s koeficienti asimetrije in sploenosti.

0

5

10

15

20

Poligon


tevilogospodinjstev

-0.5 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5 11.5

0

5

10

15

20

Poligon


tevilogospodinjstev

-0.5 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5

Na katerem poligonu in na kateri krivulji (modri-polni ali zeleni-rtkani) je sploenost veja?


27/38


27

Koeficienta asimetrije in sploenosti s centralnimi momenti

Ve razlinih mer, npr. koeficient asimetrijeg1in koeficient sploenostig2(razvil ju je KarlPearson), izraunana s pomojo t. im. centralnih momentov.

l-ti centralni moment je:

Gre za razlike med posameznimi vrednostmi in aritmetino sredino na l-to potenco. Meriasimetrije in sploenosti torej upotevata odklone vrednosti od srednje vrednosti.

m1=0 ... ker je setevek vseh odklonov (na 1. potenco) enak 0.m2=

2 ... ker odklone kvadriramo, je to ravno varianca.

2.3.4.1 Koeficient asimetrije (angl. skewness)

Porazdelitev spremenljivke je lahko simetrina ali asimetrina.

Simetrina p.- vrednosti se enako odklanjajo od srednje vrednosti navzdol in navzgor.

Asimetrina p. v levo e se rep porazdelitve vlee v levo stran, v negativno smer. Veinaenot ima visoke vrednosti in malo enot ima (ekstremno) nizke vrednosti. Aritm. sredina jemanja od mediane, ker nizke vrednosti zmanjujejo aritmetino sredino.

Asimetrina p. v desno- e se rep porazdelitve vlee v desno stran, v pozitivno smer. Veinaenot ima majhne vrednosti in malo enot ima (ekstremno) visoke vrednosti. Aritm. sredina je

veja od mediane, ker visoke vrednosti poveujejo aritmetino sredino.

g1 > 0... asimetrija v desnog1 = 0... simetrinag1 < 0... asimetrina v levo

Mo Me

g1 > 0

Me Mo

g1< 0

11 ( )

N

ll i

im x

N ==

( )

3 3 3

3 1 1 11 3 3 3 3

22 2

1

1 1 1( ) ( ) ( )

1( )

N N N

i i ii i i

N

ii

x x xm N N N

gm

xN

= = =

=

= = = =


28/38


28

2.3.4.2 Koeficient sploenosti (angl. kurtosis)

Porazdelitev spremenljivke je koniasta, sploena ali normalno sploena/koniasta.

Koniasta p. bolj koniasta od normalne porazdelitve. Za porazdelitev sta znailna daljarepa in oji osrednji del. Z naraanjem vrednosti frekvenca zelo poasi naraa do doloenevrednosti, ko zane naenkrat hitro naraati in hitro dosee vrh. Z nadaljnjimi vrednostmi pafrekvenca najprej hitro upade in nato poasi upada do ekstremno visokih vrednosti.

Sploena p. bolj sploena od normalne porazdelitve. Za porazdelitev sta znailna krajarepa ter debeleji osrednji del. Frekvenca zane naraati e pri nijih vrednostih in z vijimivrednostmi enakomerno naraa, dokler ne dosee vrha. Nato pa z vijimi vrednostmi poasienakomerno upada.

Zelo ekstremne vrednosti in/ali vrednosti isto na sredini se pojavljajo pri koniastiporazdelitvi pogosteje kot pri sploeni. Vrednosti med sredino in ekstremnimi vrednostmi pase pogosteje pojavljajo pri sploeni porazdelitvi.

Lahko tudi reemo, da je variabilnost pri sploeni porazdelitvi predvsem posledica velikegatevila srednje-velikih razlik (med vrednostmi), pri koniasti pa manjega tevila zelo velikihrazlik.

g2 > 0koniastag2 = 0normalnag2 < 0sploena

4 4 4

1 1 142 2 2 2 4

2 22

1

1 1 1( ) ( ) ( )

3 3 3 31 ( )( ( ) )

N N N

i i ii i i

N

ii

x x xm N N N

gm

xN

= = =

=

= = = =


29/38


29

Primer: anketa med tudenti FDV (2002)

Koef. asimetrije 2.95 ... asimetrija v desnoKoef. sploenosti 5.97 ... koniasto

Koef. asimetrije 0.21 ... simetrinaKoef. sploenosti -0.74 ... normalnosploena

2.3.5 Standardizacija

Postopek standardizacije

Vsaki vrednostixispremenljivkeXodtejemo njeno aritmetino sredino xin delimo z njenimstandardnim odklonom x:

Vrednostizi imenujemo standardizirane vrednosti. SpremenljivkoZ, ki ima vrednostizi, paimenujemo standardizirana spremenljivkaZ.

Standardizirana vrednostziza vrednostxipredstavlja relativni odklon od aritmetine sredine.

Vrednosti razlinih spremenljivk v splonem niso primerljive. e pa spremenljivkistandardiziramo, lahko primerjamo njihove standardizirane vrednosti.

Znailnosti standardizirane spremenljivke in njenih vrednosti1. Standardizirana spremenljivkaZima aritmetino sredino enako 0 (Z=0) in standardni

odklon enak 1 (Z=1).

Dokaz (izpeljava):

i Xi

X

xz

=

1 1 1

22 2 2 2 2 2

2 21 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1( ) 0 0

1 1 1 1 1 1 1( ) ( 0) ( ) ( ) 1

N N Ni X

Z i i Xi i iX X X

N N N N Ni X

Z i Z i i i X Xi i i i iX X X

xz x

N N N N

xz z z x

N N N N N

= = =

= = = = =

= = = = =

= = = = = = =


30/38


30

2. e je spremenljivkaXporazdeljena priblino normalno, standardizirana vrednost doloamesto enote v populaciji:

Predznak pove, ali je enota nad (+) ali pod (-) povprejem. Absolutna vrednost pove, za koliko se vrednost odklanja od aritmetine sredine v

relativnem smislu za koliko standardnih odklonov se odklanja

Primer:Tea in viina dojenkov, starih 9 mesecev

Lucija: 68 cm, 8 kg Matev: 74 cm, 10.2 kg

Kateri dojenek je veji glede na ostale otroke istega spola in starosti?Deklice Deki

Povprena viina = 70 cm = 72 cmStandardni odklon = 2.5 cm = 2.5 cm

Povprena tea = 8.6 kg = 9.4 kgStandardni odklon = 0.8 kg = 0.8 kg

Standardizirana viina

Standardizirana tea

Lucija je manja in laja v primerjavi z ostalimi deklicami svoje starosti, medtem ko je Matevveji in teji v primerjavi z ostalimi deki svoje starosti. Vendar ne odstopata ekstremno. Npr.Lucija je manja za 0.8 standardnega odklona, torej spada med 68.3% deklic svoje starosti, ki sonajblije povpreju (ob predpostavki, da se spremenljivka tea deklicporazdeljuje normalno).

18,0

4,92,1075,0

8,0

6,88

8,05,2

72748,0

5,2

7068

=

=

==

=

=

=

=

==

=

=

MM

LL

MM

LL

xz

xz

xz

xz


31/38


31

2.4 VAJE

2.4.1 Urejanje in prikazovanje podatkov

1. Ferligoj (1994): Naloge iz statistike, naloge: 3.1 3.6.

2. Opiite naslednja dva grafa:- razberite, kaj je enota in kaj je spremenljivka,- doloite mersko lestvico spremenljivke,- opiite obliko porazdelitev (asimetrija, sploenost/koniavost, modalnost).

10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 22,00

tevilo ucencev O na enega ucitelja

0

2

4

6

8

Frekvenca

-tevilo

drav

Mean = 15,1958Std. Dev. = 3,48231N = 24

Izobraevalni kadri v osnovnem olstvu

0 20 40 60 80 100

% 18-letnikov, ki so vkljuceni v olanje

0

2

4

6

8

10

Frekvenca

-tevilo

drav

Mean = 73,084

Std. Dev. = 14,01317N = 25

Vkljucenost mladih v olanje v EU dravah


32/38


32

3. V nadaljevanju so grafino predstavljene porazdelitve dveh razmernostnih spremenljivk. Za vsakospremenljivko je narisan histogram za ve nainov zdruevanja vrednosti v razrede. Za vsakospremenljivko odgovorite na naslednja vpraanja:

- Kaj je spremenljivka?- Kaj je enota in kolikno je tevilo enot?

- Kako se spreminja oblika porazdelitve, e spreminjamo tevilo (in posledino irino) razredov?Primer 1: Kadri v osnovnoolskem izobraevanju Povpreno tevilo uencev na enega uitelja v O za25 drav lanic EU

Primer 2: tevilo avtomobilov na 1000 prebivalcev za25 drav lanic EU

tevilo osebnih avtomobilov na 1000 prebivalcev

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,01 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

25 100,0

247

259

265

287

295

331

340

351

357

371

405

422

424

447

453459

460

463

490

495

508

541

558

590

643

Frekvenca(tevilodrav)

Relativnafrekvenca

tevilo uencev O na 1 uitelja

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

2 8,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

1 4,01 4,0

1 4,0

1 4,0

2 8,0

1 4,0

2 8,0

1 4,0

1 4,0

1 4,0

25 100,0

10,60

10,80

10,90

11,00

11,20

11,60

12,40

12,50

12,60

12,80

13,10

14,40

14,6015,80

16,90

17,00

18,90

19,10

19,40

19,50

19,90

20,10

Frekvenca(tevilodrav)

Relativnafrekvenca


33/38


33

0 5 10 15 20 25

tevilo ucencev O na 1 ucitelja

0

2

4

6

8

10

12

Frekvenca

Histogram: Kadri v osnovnoolskem izobraevanju

0 5 10 15 20 25


0

2

4

6

8

Frekvenca


0 5 10 15 20 25


0

1

2

3

4

5

6

Frekvenca


0 5 10 15 20 25


0

1

2

3

4

5

Frekvenca



34/38


34

200 300 400 500 600 700

tevilo osebnih avtomobilov na 1000prebivalcev

0

1

2

3

4

Frekvenca

-tevilo

drav

Histogram: tevilo osebnih avtomobilov v dravah EU

200 300 400 500 600 700tevilo osebnih avtomobilov na 1000

prebivalcev

0

1

2

3

4

5

Frekvenca

-tevilo

drav


100 200 300 400 500 600 700tevilo osebnih avtomobilov na 1000

prebivalcev

0

2

4

6

8

10

12

14

Frekvenca

-tevilo

drav


200 300 400 500 600 700

tevilo osebnih avtomobilov na 1000prebivalcev

0

2

4

6

8

10

Frekvenca

-tevilo

drav



35/38


35

2.4.2 Kvantili

1. Ferligoj (1994): Naloge iz statistike, naloge: 4.1, 4.4.

2. Primer izpitnega vpraanja.Podane so starosti 7 tudentov: 22, 19, 21, 24, 19, 18, 23. Pr vi kvartil ima vrednost:

a) 18.5b) 19c) 19.5d) 25%

2.4.3 Srednje vrednosti

1. Ferligoj (1994): Naloge iz statistike, naloge: 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 (samo modus), 4.10, 4.11, 4.12(samo modus), 4.13 (a, b samo frekvenna porazdelitev), 4.17, 4.20.

2. Neka multinacionalna tovarna avtomobilov na leto proizvede naslednje tevilo avtomobilov (v10.000) v svojih obratih v sedmih dravah:

6, 8, 6, 9, 11, 5, 60a) Kaj je spremenljivka in kaj so enote?

b) Kakna je merska lestvica spremenljivke?c) Nariite histogram, poligon in ogivo.d) Kolikno je celotno tevilo proizvedenih avtomobilov v tej tovarni?e) Kolikni so arimetina sredina, mediana, modus? Oznaite te tri sredine naf) histogramu.g) Kaj lahko na osnovi grafov reete o asimetriji te porazdelitve?h) Za neko drugo tovarno, ki izdeluje avtomobile v 10-ih dravah, so podatki za letno tevilo proizvedenih

avtomobilov (v 10.000 naslednji): 7.8 v povpreju na dravo, mediana je 6.5 in modus 5.0. Kakno je

skupno tevilo proizvedenih avtomobilov v 10-ih dravah?

3. Da bi videli, ali so upraviene izjave o vzdrljivosti baterij, so na Zvezi potronikovtestirali vzorec 20-ih baterij. Zabeleeni so podatki o ivljenjski dobi (v minutah) tehbaterij:

a) Kaj je spremenljivka in kaj so enote?b) Kakna je merska lestvica spremenljivke?c) Vrednosti razporedite v frekvenno porazdelitev z razredi, irokimi 5 minutd) Relativno frekvenno porazdelitev grafino predstavite.

e) Na osnovi frekvenne porazdelitve izraunajte modus porazdelitve.f) Vrednosti razporedite v frekvenno porazdelitev s tremi razredi, pri emer naj bodo srednje vrednosti

razredov 60, 70 in 80 minut. Ponovno grafino predstavite porazdelitev in izraunajte modus. Primerjajterezultat dveh razlinih grupiranj.

4. V manjem podjetju je prejnji mesec 5 zaposlenih na najnijem delovnem mestu dobilo 2.500 EURbruto, dve zaposleni osebi na vijem delovnem mestu 6.000 EUR bruto ter direktor podjetja 25.500EUR bruto.a) Kaj je spremenljivka in kaj so enote?

b) Kakna je merska lestvica spremenljivke?c) Kolikna je bila povprena bruto plaa v tem podjetju?d) Koliko zaposlenih zaslui manj od povpreja?e) Kolikna je mediana za bruto plao?f) Koliken je modus za bruto plao?g) Katera srednja vrednost je najprimerneja za ponazoritev viine bruto plae v tem podjetju?

58 58,4 59,4 64,2 64,9 65,1 65,4 67,8 68 73,3 74,7 74,9 75,1 75,4 76 76 76,6 76,7 77,6 81,3


36/38


36

5. Predstavljene so tiri frekvenne porazdelitve neke spremenljivke (negrupirana porazdelitev,porazdelitev z razredi irine 2 enoti, z razredi irine 3 enote ter razredi irine 4 enote). Za vsakoporazdelitev izraunajte modus in jih primerjajte. Kaj se dogaja, ko vrednosti zdruujemo v razrede?

6. Izraunajte aritmetino sredino za naslednjih pet vrednosti: 3, 7, 8, 12, 15.a) Za vsako vrednost izraunajte (pozitiven ali negativen) odklon od aritmetine sredine, t.j.xi-. Izraunajte

povpreje teh odklonov.b) Zamislite si nek poljuben niz tevil. Izraunajte njihovo aritmetino sredino in nato povpreni odklon od

aritmetine sredine.c) Dokaite, da je za vsak moen niz n-tih vrednosti povpreni odklon od aritmetine sredine enak ni.

7. kotski vic: e se kot preseli iz kotske v Anglijo, se v obeh regijah zvia povpreni inteligennikvocient. V katerem primeru je to mogoe (ali je nemogoe)? (Kakno mora biti povpreje v vsakiregiji in kakna mora biti vrednost kota v primerjavi s povprejem?)

x i fi x i fi x i fi x i fi

22 123 124 025 126 327 1328 1229 830 831 632 433 234 135 136 037 0

Negrupirani

podatki

Grupirani

podatki d=2

Grupirani

podatki d=3

Grupirani

podatki d=3

34-37 2

30-33 20

26-29 36

22-25 3

34-36

2

17

28

12

2

22-24

25-27

28-30

31-3314

6

2

0

2

1

16

20

30-31

32-33

34-35

36-37

22-23

24-25

26-27

28-29


37/38


37

2.4.4 Mere variabilnosti, asimetrije, sploenosti, standardizacija

1. Ferligoj (1994): Naloge iz statistike: 5.1, 5.2, 5.7, 5.9, 5.14.

2. Podani so podatki o viini inteligennega kvocienta za nek olski razred. Odgovorite na spodnjavpraanja:

a) Kaj je enota analize in kaj spremenljivka? Kakna je merska lestvica spremenljivke?b) Za dane podatke izraunajte vse absolutne in relativne mere variabilnosti?c) Interpretirajte izraunani standardni odklon.d) Podatke uredite v frekvenno porazdelitev s 5 razredi in jo grafino predstavite s histogramom in

poligonom. Ocenite oblike porazdelitve iz grafine predstavitve.e) Izraunajte koeficienta asimetrije in sploenosti s pomojo centralnih momentov in ju interpretirajte.

Ali se rezultat ujema z ugotovitvijo v toki d)?f) Kaken inteligenni kvocient bi imelo 95.4% vseh uencev, e bi bila porazdelitev popolnoma

normalna?

3. Za skupino starejih oseb, obolelih s Parkinsovo boleznijo, je podan podatek o starosti ob nastopubolezni:

67 68 60 64 68 6368 70 63 70 68 6970 69 69 69 69 6862 70 70 64 66 6666 69 67 67 70 67

a) Izraunajte koeficient asimetrije za to porazdelitev in ga interpretirajte.b) Izraunajte koeficient sploenosti za to porazdelitev in ga interpretirajte.c) Nariite histogram. Ali grafina predstavitev vrednosti potrjuje zgornje ugotovitve?d) Gospod X je imel ob nastopu bolezni 64.2 leti. S pomojo standardizacije ugotovite, ali je v

primerjavi s povprejem za to boleznijo zbolel mlad ali star.

77 87 92 97 97 97 102 102 102 102 102 107 107 107 107 107 112

112 112 112 112 112 117 117 117 117 122 122 122 127 127 132 132 142


38/38


4. Primeri izpitnih vpraanj

Dane so vrednosti: 10, 8, 14, 14, 16, 10. Aritmetina sredina danih vrednosti je 12. Varianca je:a) 2,83

b) 3,27c) 0d) 8

68.3% vseh vrednosti standardizirane normalno porazdeljene sluajne spremenljivkea) lei na intervalu od -1 do +1

b) lei na intervalu od -3 do +3c) je samo pozitivnihd) lei na intervalu od minus do plus neskonno

e je koeficient asimetrije, izraunan s centralnimi momenti, enak 2.05, je porazdelitev spremenljivkea) sploena

b) asimetrina v levoc) koniasta

d) asimetrina v desno

e elimo primerjati variabilnost ocen pri dveh predmetih, moramo primerjatia) normalizirane vrednost

b) koeficienta variacijec) najmanji vrednostid) asimetrini sredini

e ima enota standardizirano vrednost 1.3, pomeni, da imaa) vrednost, ki je veja od aritmetine sredine,

b) vrednost, ki je manja od aritmetine sredine,c) vrednost, ki je 1.3-krat veja od aritmetine sredine,d) koniasto porazdelitev

opisna_statistika_01

Documents

Transcript of opisna_statistika_01