LINGKARANOleh : Joko Tri Haryanto, S.Pd.SMA NEGERI 3 MAGELANG

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran ( r ) dan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran.

PERSAMAAN-PERSAMAAN LINGKARANA.Persamaan Lingkaran yang Berpusat di ( 0,0 ) dan berjari-jari

x 2 + y 2 = r2

o Titik M (a,b) terletak di dalam lingkaran jika (a2 + b2 )<r2

o Titik M (a,b) terletak pada lingkaran jika a2 + b2 = r2

o Titik M (a,b) terletak di luar lingkaran jika a2 + b2 > r2

B.Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a,b) dan Berjari-jari r(x– a)2 + (y–b)2 = r 2

Titik M(h,k) terletak di dalam lingkaran jika (x– a)2 + (y–b)2 < r 2

Titik M(h,k) terletak pada lingkaran jika (x– a)2 + (y–b)2 = r 2

Titik M(h,k) terletak di luar lingkaran jika (x– a)2 + (y–b)2 > r 2

C.Bentuk Umum Persamaan LingkaranX2 +y2 + Ax + By + C = 0

R(jari-jari) =

Pusat :

Jarak titik ke garis → d=

POSISI GARIS TERHADAP LINGKARANLangkah: 1. Ubah persamaan garis menjadi y = mx + n2. Subsitusikan ke persamaan lingkaran3. Hitung nilai Diskriminan (D)

D = b2-4acgaris memotong lingkaran (2 titik potong) → D > 0garis menyinggung lingkaran (1 titik potong) → D = 0garis tidak memiliki sekutu dengan lingkaran → D < 0

GARIS SINGGUNG PADA LINGKARANMelalui satu titik pada lingkaran

Pusat (0,0 ) dan jari-jari r Pusat (a,b) dan jari-jari r

Umum

Melalui satu titik di luar lingkaran

Langkah:

1. Gradien garis singgung m. Garis melalui ( ), maka persamaan garis:

y = m (x – ) +

2. Subsitusikan y ke persamaan lingkaran hingga didapat persamaan kuadrat gabungan. Lalu hitung nilai D.3. Garis menyinggung, maka D = 0, nilai m diperoleh. Masukkan nilai m ke y = m (x – ) + .

Gradien garis diketahui

Pusat (0,0) dan jari-jari r Pusat (a,b) dan jari-jari r

y = mx ± r

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

1. Jika garis y = mx + 5, tidak mempunyai titik persekutuan dengan lingkaran

, maka ….

a. Tidak ada harga m yang memenuhi

b. m atau m

c. m

d. -

e. -2

USM/ITB/24

2. Diketahui lingkaran dengan persamaan :

dan garis g

dengan persamaan y = 3, maka ….a. g menyinggung lingkaranb. g melalui pusat lingkaranc. g tidak memotong lingkaran d. g memotong lingkarane. semua jawaban salahUSM/ITB/73

3. Jika titik P(1, 2) terletak pada lingkaran :

, maka harga p

adalah ….a. -3b. -6c. 9d. -2e. 2

4. Persamaan garis singgung pada lingkaran

di titik (3, 4) adalah ….

a. 3x + 4y = 5b. 3x + 4y = -5c. 4x + 3y = 25d. 3x + 4y = 25e. 3x + 4y = -25

5. Lingkaran yang

melalui jari-jari 2, akan menyinggung garis x – y = 0 bila nilai p positif sama dengan ….a. 2

b. 2

c. 4

d. 4

e. 8

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan menyinggung garis y = x adalah ….

a.

b.

c.

d.

e.

7. Persamaan garis singgung melalui titik A(5,1) pada lingkaran

adalah ….

a. 3x + 4y + 19 = 0b. 3x – 4y + 19 = 0c. 3x + 4y – 19 = 0d. 3x – 4y – 19 = 0e. 4x + 3y – 19 = 0

8. Sebuah lingkaran dengan persamaan :

, maka panjang garis singgung

yang ditarik dari titik A(0, 5) sama dengan ….a. 5b. 6c. 4d. 8e. 16

9. Jika garis 2x + y = 4 memotong lingkaran

di titik P(p, q) dan Q(r, s),

maka nilai (p + r) adalah ….a. 3, 2b. -3, 0c. 3, 0d. 3, 2e. -1, 8

10. Persamaan lingkaran yang berpusat di pertengahan garis AB., jika titik A(4, 0) dan B(0, 6) dan melalui titik A adalah ….

a.

b.

c.

d.

e.

11. Persamaan garis singgung lingkaran :

, yang dapat ditarik dari titik

(7, 1) adalah….a. x + 2y = 25 dan x – 2y = 25b. x + 4y = 25 dan 2x + 4y = 25c. 3x + 4y = 25 dan 3x – 4y = 25d. 3x + 4y = 25 dan 4x + 3y = 25e. 3x + 4y = 25 dan 4x – 3y = 25

12. Sebuah lingkaran menyinggung garis : 3x + 2y = 4 di titik ( 2, -1) dan lingkaran melalui titik A(1, 0). Maka persamaan lingkaran yang dimaksud adalah ….

a.

b.

c.

d.

e.

13. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang berabsis –1 adalah ….a. 3x – 2y – 3 = 0b. 3x – 2y + 5 = 0c. 3x + 2y – 9 = 0d. 3x + 2y + 9 = 0e. 3x + 2y + 5 = 0Soal Ujian Nasional tahun 2007

14. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah ….a. 4x – y – 18 = 0b. 4x – y + 4 = 0c. 4x – y + 10 = 0d. 4x + y – 4 = 0

e. 4x + y – 15 = 0Soal Ujian Nasional tahun 2006

15. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah ….a. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0b. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0c. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0e. x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0Soal Ujian Nasional tahun 2006

16. Jari-jari dan pusat lingkaran :4 + 4 + 4x - 12y + 1 = 0 adalah ….

a. 3/2 dan (-1/2, 1)b. 3/2 dan (-1/2, 3/2)c. 3/2 dan (1/2, 3/2)d. 3 dan (1, 3)e. 3 dan (-1, 3)UMPTN ‘94

17. Sebuah lingkaran dengan pusat P(3,2) melalui titik Q(2,0).Lingkaran tersebut juga melalui titik….a. (1,3)b. (4,0)c. (4,4)d. (5,3)e. (1,3)UMPTN ‘92

18. Persamaan garis singgung lingkaran :+ + 4x – 6y = 12 pada titik (-5, 7)

adalah ….a. 3x + 2y + 48 = 0

b.

c.

d.

e. UMPTN ’93

19. Panjang garis singgung dari titik (3, 2) ke lingkaran

adalah ….

a. 2

b. 3

c. 2

d.

e.SIPENMARU ‘88

20. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan menyinggung garis y – 7 = 0, adalah ….

a.

b.

c.

d.

e.SIPENMARU ‘87

21. Agar garis y = x+c menyinggung lingkaranmaka nilai c adalah ….

a. ± 1

b. ± 2

c. ± 3

d. ± 5

e. ±

UMPTN ‘92

22. Lingkaran yang menyinggung garis x+y=3 di titik ((2, 1) dan melalui titik (6, 3) mempunyai jari-jari ….

a. 5

b.

c.

d.

e.SIPENMARU ‘88

23. Jika r positip dan garis dengan persamaan x+y = r menyinggung lingkaran

, maka r sama dengan ….

a. ½b. 1c. 2

d.

e.UMPTN ‘92

24. Persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran dan

tegak lurus garis 2x – y + 3 = 0 adalah ….a. x + 2y – 3 = 0b. 2x + y + 1 = 0c. x + 2y – 5 = 0d. x - 2y – 1 = 0e. 2x – y – 1 = 0UMPTN ‘94

25. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,3) dan berjari-jari 4 adalah…

a.

b.

c.

d.

e.

26. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, 3) dan melalui titik (-5, 2) adalah ….

a.

b.

c.

d.

e.

27. Suatu persamaan lingkaran

mempunyai

pusat dan jari-jari lingkaran berturut-turut adalah ….a. (-2, 4) dan 4b. (-2, -4) dan 4c. (2, 4) dan -4d. (-2, 4) dan -4e. (2, -4) dan 4

28. Suatu lingkaran mempunyai persamaan

, maka titik

yang berada di luar lingkaran tersebut adalah ….a. (0, 6)b. (1, 1)c. (1, -3)d. (1, 0)e. (0, -3)

29. Dari titik P(8, 2) dibuat garis singgung lingkaran

.Maka jarak titik P ke titik singgung

lingkaran tersebut adalah ….a. 2b. 3c. 4d. 8e. 6

30. Persamaan garis singgung lingkaran di titikS(2, 1) pada lingkaran adalah

….a. 2x + 5 = yb. 2y + 1 = 5xc. 2x + y = 5d. x + 2y = 5e. -2x + y = -5

32. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran = 25 yang tegak lurus dengan garis 3x + 4y – 8 = 0!

33. Tentukan persamaan garis singgung pada = 36 yang melalui titik (8,0)!

34. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ = 10 di titik (3,1)! Apabila garis singgung tersebut juga menyinggung lingkaran L≡

, hitunglah nilai p!

35. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L≡ – 8x – 2y + 12 = 0 yang:

a. Bergradien 50b. Membentuk sudut 30° terhadap sumbu Xc. Sejajar garis x + y – 8 = 0d. Tegak lurus garis x + y – 8 = 0